三角函数总结经典例题

第三章 三角函数3.1任意角三角函数一、知识导学1．角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角. 2．弧度制：任一已知角α的弧度数的绝对值rl=α，其中l 是以α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.3．弧度与角度的换算：rad π2360=ο；rad 1745.01801≈=πο；1οο30.57180≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad .用弧度为单位表示角的大小时，弧度（rad ）可以省略不写.度()ο不可省略.4．弧长公式、扇形面积公式：,r l α=2||2121r lr S α=＝扇形,其中l 为弧长，r 为圆的半径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当πα2=时的情形.5．任意角的三角函数定义：设α是一个任意大小的角，角α终边上任意一点P 的坐标是()y x ,，它与原点的距离是)0(>r r ，那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是yrx r y x x y r x r y ======ααααααcsc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin .这六个函数统称为三角函数. 三角函数定义域 x y sin =R x y cos = Rx y tan = ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππx y cot ={}Z k k x x ∈≠,πx y sec =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππx y csc ={}Z k k x x ∈≠,π7．三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值）可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正. 二、疑难知识导析1．在直角坐标系内讨论角（1）角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角（或说这个角属于第几象限）.它的前提是“角的顶点为原点，角的始边为x 轴的非负半轴.否则不能如此判断某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限. （2）与α角终边相同的角的集合表示.{}Z k k ∈+⋅=,360αββο，其中α为任意角.终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差ο360整数倍. 2．值得注意的几种范围角的表示法“0ο～ο90间的角”指οο900<≤θ；“第一象限角”可表示为{}Z k k k ∈+⋅<<⋅,90360360οοοθθ；“小于90ο的角”可表示为{}ο90<θθ.3．在弧度的定义中rl与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关. 4．确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴上时点P 坐标中必有一个为0.5．根据三角函数的定义可知：（1）一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角α与)(360Z k k ∈⋅=οβ的同名三角函数值相等；（2）r y r x ≤≤,，故有1sin ,1cos ≤≤αα，这是三角函数中最基本的一组不等关系. 6．在计算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.因此，在解答此类问题时要注意：（1）角的范围是什么？（2）对应角的三角函数值是正还是负？（3）与此相关的定义、性质或公式有哪些？三、经典例题导讲[例1] 若A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，且)2(π≠<<C C B A ，则下列结论中正确的个数是（ ）①.C A sin sin < ②.C A cot cot < ③.C A tan tan < ④.C A cos cos <A ．1 B.2 C.3 D.4正解：法1C A <Θ在ABC ∆中，在大角对大边，A C a c sin sin ,>∴>Θ法2 考虑特殊情形，A 为锐角，C 为钝角，故排除B 、C 、D ，所以选A . [例2]已知βα,角的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为 . 正解：∵βα,角的终边关于y 轴对称 ∴)(,22Z k k ∈+=+ππβα即)(,2z k k ∈+=+ππβα说明：（1）若βα,角的终边关于x 轴对称，则α与β的关系为)(,2Z k k ∈=+πβα（2）若βα,角的终边关于原点轴对称，则α与β的关系为)(,)12(Z k k ∈++=πβα （3）若βα,角的终边在同一条直线上，则α与β的关系为)(,Z k k ∈+=παβ [例4]已知角α的终边经过)0)(3,4(≠-a a a P ，求ααααcot ,tan ,cos ,sin 的值. 正解：若0>a ，则a r 5=，且角α在第二象限3434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-=-=-===∴a a a a a a a a αααα 若0<a ，则a r 5-=，且角α在第四象限3434cot ,4343tan ,5454cos ,5353sin -=-=-=-==--=-=-=∴a a a a a a a a αααα[例5] （1）已知α为第三象限角，则2α是第 象限角，α2是第 象限角；（2）若4-=α，则α是第 象限角.解：（1）αΘ是第三象限角，即Z k k k ∈+<<+,2322ππαππZ k k k ∈+<<+∴,4322ππαππ，Z k k k ∈+<<+,34224ππαππ当k 为偶数时，2α为第二象限角当k 为奇数时，2α为第四象限角而α2的终边落在第一、二象限或y 轴的非负半轴上.（2）因为ππ-<-<-423，所以α为第二象限角. 点评：α为第一、二象限角时，2α为第一、三象限角，α为第三、四象限角时，2α为第二、四象限角，但是它们在以象限角平分线为界的不同区域..[例7]已知α是第三象限角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+。

解：原式＝αααα2222sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(----+＝αααααcos sin 2cos sin 1sin 1=+-+ 又α是第三象限角，0cos <∴α 所以，原式＝αααtan 2cos sin 2-=-。

点评：三角函数化简一般要求是：（1）尽可能不含分母；（2）尽可能不含根式；（3）尽可能 使三角函数名称最少；（4）尽可能求出三角函数式的值.本题的关健是如何应用基本关系式脱去根式，进行化简. [例8] 若角α满足条件0sin cos ,02sin <-<ααα，则α在第（ ）象限 A.一 B.二 C.三 D.四 解：αααααααααα⇔⎩⎨⎧<>⇔⎩⎨⎧<<⇔⎩⎨⎧<-<0cos 0sin sin cos 0cos sin 0sin cos 02sin 角在第二象限.故选B.四、典型习题导练1．已知钝角α的终边经过点()θθ4sin ,2sin P ，且5.0cos =θ，则α的值为 ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛-21arctan B ．()1arctan - C ．21arctan-π D ．43π2．角α的终边与角β的终边关于y 轴对称，则β为（ ）A.-αB.л-αC.（2k л+1）л-α(k ∈Z)D.k л-α（k ∈Z ）3.若sin αtg α≥0,k ∈Z ，则角α的集合为（ ）A ．[2k π－2π，2k π +2π] B.( 2k π－2π,2k π+2π) C.( 2k π－2π，2k π+2π)∪}{ππ-k 2 D.以上都不对4．当0＜x ＜π时,则方程cos (πcosx)=0的解集为( )A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧65,6ππ B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧32,3ππ C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫3π D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫32π 6．已知x ∈(0,2π),则下面四式: 中正确命题的序号是 . ①sinx ＜x ＜tgx ②sin(cosx)＜cosx ＜cos(sinx) ③sin 3x+cos 3x ＜1 ④cos(sinx)＜sin(cosx)＜cosx7．有以下四组角：(1)k π+π2；(2)k π-π2；(3)2k π±π2；(4)-k π+π2(k ∈z)其中终边相同的是（ ）A.(1)和(2)B.(1)、(2)和(3)C.(1)、(2)和(4)D.(1)、(2)、(3)和(4)8．若角α的终边过点(sin30°，-cos30°),则sin α等于（ ）A. 12B.－ 12C.－32D.－33 9．函数y=1)3cos(2--ππx 的定义域是______,值域是______.3.2三角函数基本关系式与诱导公式一、知识导学1．同角三角函数的基本关系式平方关系：1cos sin 22=+αα；商数关系：αααcos sin tan =；倒数关系：1cot tan =⋅αα 同角三角函数的基本关系式可用图表示（1）三个阴影部分三角形上底边平方和等于1的平方； （2）对角为倒数关系；（3）每个三角函数为相邻两函数的积. 角 函数正弦余弦记忆口诀 απ+k 2 αsin αcos函数名不变 符号看象限απ+ －αsin －αcos α- －αsin αcos απ- αsin －αcos απ-2 －αsin αcosαπ-2αcosαsinαπ+2αcosαsin函数名不变 符号看象限απ-23 －αcos －αsinαπ+23 －αcosαsin诱导公式可将“负角正化，大角小化，钝角锐化”. 3．诱导公式解决常见题型（1）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数；（2）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母. 二、疑难知识导析1．三角变换的常见技巧“1”的代换；ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin ⋅三个式子，据方程思想知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式1cos sin22=+αα）；2．在进行三角函数化简和三角等式证明时，细心观察题目的特征，灵活恰当地选用公式，一般思路是将切割化弦.尽量化同名，同次，同角；3．已知角α的某个三角函数值，求角α的其余5种三角函数值时，要注意公式的合理选择.在利用同角公式中的平方关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进行讨论.解决此类问题时，要细心求证角的范围. 三、典型例题导讲 [例1]已知=∈=+θπθθθcot 051cos sin ），则，（，__________ 正解： ），，（，πθθθ051cos sin ∈=+ 两边同时平方，有联立，与51cos sin 02512cos sin =+<-=⋅θθθθ 求出，，53cos 54sin -==θθ∴43cot -=θ [例2]若sinA=asinB,cosA=bcosB,A 、B 为锐角且a ＞1,0＜b ＜1，求tanA 的值 正解：由⎩⎨⎧== ② ①B b A B a A cos cos sin sin ①2+②2得a 2sin 2B+b 2cos 2B=1∴cos 2B=2221b a a -- ∴sin 2B=2221ba b -- ∴tan 2B=1122--a b∵B 为锐角 ∴tan B=1122--a b②①得tan A=b a tan B =1122--a b b a [例4]已知tan 2α=2，求（1）tan()4πα+的值； （2）6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值．解：（1）∵ tan2α=2, ∴ 22tan2242tan 1431tan 2ααα⨯===---; 所以tan tantan 14tan()41tan 1tan tan 4παπααπαα+++==--=41134713-+=-+； （2）由(I), tan α=－34, 所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()173463()23-+=--.点评：本题设计简洁明了，入手容易，但对两角和与差的三角函数、同角间的基本关系式要求熟练应用，运算准确. [例5]化简：)()414cos()414sin(z n n n ∈-++--απαπ正解：原式)]4(cos[)]4(sin[αππαππ-+++-=n n（1）当)(12z k k n ∈+=，时 原式)]4(2sin[απππ+-+=k +)]4(2cos[απππ-++k)4sin(απ+=)4cos(απ--)4cos(απ-=)4cos(απ--=0（2）当)(2z k k n ∈=，时 原式)]4(2sin[αππ+-=k +)]4(2cos[αππ-+k)]4sin(απ+-=+)4cos(απ-=0[例6]若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos =（ ） A ．97-B ．31-C ．31D ．97正解：⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos =)]23(cos[αππ--=—)23cos(απ-=—1+2)6(sin 2απ-=—97.故选A.四、典型习题导练1． 当0＜x ＜л时,则方程cos (лcosx)=0的解集为( )A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧65,6ллB.⎭⎬⎫⎩⎨⎧32,3лл C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫3л D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫32л 2．在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： ① 1cot tan =⋅B A② 2sin sin 0≤+<B A③ 1cos sin 22=+B A④ C B A 222sin cos cos =+其中正确的是 A ．①③B.②④C.①④D.②③3．设02x π≤≤,sin cos x x =-,则A. 0x π≤≤B.744x ππ≤≤C. 544x ππ≤≤D. 322x ππ≤≤4．曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|等于（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π5．已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋cos2x ．(1) 求f (4π)的值； (2) 设α∈(0，π)，f (2α)，求sin α的值．6．已知在△ABC 中，sinA （sinB ＋cosB ）－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小.3.3三角函数的恒等变换一、知识导学1.两角和、差、倍、半公式（1） 两角和与差的三角函数公式βαβαβαcos cos sin sin )sin(±=± βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=± βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(μ±=±（2） 二倍角公式αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=（3） 半角公式2cos 12sin2αα-=， 2cos 12cos 2αα+= ， αααcos 1cos 12tan 2+-= αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=2.恒等变形主要是运用三角公式对式子进行等价变形，常见于化简求值和恒等式证明.恒等式证明就是利用公式消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，使左右相等，常用方法为：（1）从一边开始证得它等于另一边，一般由繁到简；（2）证明左右两边都等于同一个式子（或数值）. 二、疑难知识导析1．两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律，常用于解决求值、化简和证明题.2．倍角公式的内涵是揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.如αααcos sin 22sin =成立的条件是“α是任意角，αα是2的2倍角”，精髓体现在角的“倍数”关系上.3．公式使用过程中（1）要注意观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用逆用和变形使用，也要注意公式成立的条件.例)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβαμ±=±、22cos 1sin2αα-=、22cos 1cos 2αα+=等. 4． 三角公式由角的拆、凑很灵活.如)()(2βαβαα-++=、ββαα-+=)(、22βαβαβ+-+=，)2()2(2βαβαβα+--=-等，注意到倍角的相对性.5．化为三角函数式，常见的思路为化“三同”即同名、同角、同次，切割化弦、特殊值与特殊角的三角函数互化等.6. 三角恒等式的证明包括无条件恒等式和有条件恒等式(1)无条件恒等式证明,要认真分析等式两边三角函数的特点,角度和函数关系,找出差异寻找突破口.(2)有条件的等式证明,常常四寻找条件与需证式的区别与联系,对条件或须证式进行变形.采用消去法或基本量法等求证.三、典型例题导讲[例1] 在∆ABC 中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=3，则∠C 的大小应为( )A ．6πB ．3πC ．6π或π65D ．3π或32π正解：A[例2] 已知tan α tan β是方程x 2+33x+4=0的两根，若α，β∈(-2,2ππ)，则α+β=（ ）A ．3πB ．3π或-π32 C ．-3π或π32D ．-π32正解：D.[例3] △ABC 中，已知cosA=135，sinB=53，则cosC 的值为（ ）A.6516B.6556C.6516或6556D.6516-正解：A[例4] 已知53sin +-=m m θ，524cos +-=m m θ（πθπ<<2），则=θtan （ ）A 、324--m mB 、m m 243--±C 、125-D 、12543--或正解：C四、典型习题导练1.已知集合M=}{R x x x y y ∈+=,cos sin ，N=}{R x x x y y ∈=,cos sin π则MUN 等于（ ） A ．M B.N C.ф D.}{22≤≤-y y2.若sin α+cos α=2,则tan α+cot α=( )A.1B.2C.-1D.-2 3.已知2л＜α＜л＜,sin α=54,则cos 2α的值为( )A.25或-55 B.- 55 C. 55 D.以上都不对4.已知θ=5л,则`34an 3an 334an 3t θθθθt t t an ++= . 5.计算sin 10лsin 1013л= .6．已知tanA·tanB=tanA+tanB+1，则cos(A+B)的值是（ ） A ．22-B ．22C ．22±D ．21±7．已知角A 是△ABC 的一个内角，且32cos sin =+A A ，则△ABC 是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．形状不确定3.4三角函数的图像与性质一、知识导学1.三角函数线.设角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 做x PM ⊥轴于M ，过点)0,1(A 做单位圆的切线，与角α的终边或终边的反向延长线相交于点T ，则有向线段AP OM MP ,,分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线.2.三角函数的图像（1）x y x y x y x y cot ,tan ,cos ,sin ====四种图像 （2）函数)sin(ϕω+=x A y 的图像 ①“五点作图法” ②图像变化规律3.三角函数的定义域、值域及周期4.三角函数的奇偶性和单调性 二、疑难知识导析1.)sin(ϕω+=x A y +)0,0(>≠ωA B 中，ω,,B A 及ϕ，对正弦函数x y sin =图像的影响，应记住图像变换是对自变量而言.如：x y 2sin =向右平移6π个单位，应得)6(2sin π-=x y ，而不是)62sin(π+=x y 2.用“五点法”作)sin(ϕω+=x A y )0,0(>≠ωA 图时，将ϕω+x 看作整体，取2,0π，πππ2,23,来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图.3.,cos ,sin x y x y ==)sin(ϕω+=x A y 的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.而x y tan =图像只是中心对称图形，掌握对称中心和对称轴的求法及位置特征，充分利用特征求出中)sin(ϕω+=x A y )0,0(>≠ωA 的各个参数.4.三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提.求定义域实质上是解简单的三角不等式（组）.要考虑到分母不为零，偶次根式被开方数不小于零，对数的真数大于零、底数大于零且不等于1，同时还要考虑到函数本身的定义域.可用三角函数图像或三角函数线解不等式（组）.5.求三角函数的值域是常见题型.一类是x b x a y cos sin +=型，这要变形成)sin(22ϕ++=x b a y ；二是含有三角函数复合函数，可利用换元、配方等方法转换成一元二次函数在定区间上的值域.6.)sin(ϕω+=x A y )0,0(>>ωA 单调性的确定，基本方法是将ϕω+x 看作整体，如求增区间可由22ππ-k ≤ϕω+x ≤)(22z k k ∈+ππ解出x 的范围.若x 的系数为负数，通常先通过诱导公式处理.7.利用单调性比较函数值的大小.往往先利用对称型或周期性转化成同一单调区间上的两个同名函数.三、典型例题导讲[例1] 为了得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin πx y 的图像，可以将函数x y 2cos =的图像（ ） A 向右平移6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3π 正解：B[例2]下列四个函数y=tan2x ，y=cos2x ，y=sin4x ，y=cot(x+4π),其中以点(4π,0)为中心对称的三角函数有（ ）个. A ．1B ．2C ．3D ．4正解：D[例3]函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是 ( )A. ]3,0[π B. ]127,12[ππC. ]65,3[ππD. ],65[ππ正解： C3.5解三角形及三角函数的应用 一、知识导学1.解三角形的的常用定理:(1) 内角和定理:π=++C B A 结合诱导公式可减少角的个数.(2) 正弦定理:R C cB b A a 2sin sin sin ===（R 指△ABC 外接圆的半径） )sin 21sin 21sin 21(B ac A bc C ab S ===(3) 余弦定理: 222cos 2c C ab b a =-+及其变形. (4) 勾股定理: 222c b a ABC Rt =+∆中 三、经典例题导讲[例1]已知方程01342=+++a ax x （a 为大于1的常数）的两根为αtan ，βtan ，且α、∈β ⎝⎛-2π,⎪⎭⎫2π，则2tan βα+的值是_________________.正解：1>a Θ ∴a 4tan tan -=+βα0<，o a >+=⋅13tan tan βα∴βαtan ,tan 是方程01342=+++a ax x 的两个负根又⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2,ππβα ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈∴0,2,πβα 即⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈+0,22πβα 由tan ()βα+=βαβαtan tan 1tan tan ⋅-+=()1314+--a a =34可得.22tan -=+βα [例2]函数f(x)=xx x x cos sin 1cos sin ++的值域为______________. 正解：⎥⎦⎤ ⎝⎛--⋃⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡---2122,11,2122 [例4] ︒-︒︒+︒︒40cos 270tan 10sin 310cos 20cot ＝ 解：︒-︒︒+︒︒40cos 270tan 10sin 310cos 20cot ＝000000040cos 270cos 70sin 10sin 320sin 10cos 20cot -+ ＝00000040cos 220sin 20cos 10sin 310cos 20cos -+000000000002cos 402cos 20(cos10sin 30sin10cos30)2cos 40sin 202cos 20sin 402sin 20cos 40sin 202=-+=--== [例3] 在锐角△ABC 中，A ＜B ＜C,且B=60°,)2cos 1)(2cos 1(C A ++=213-,求证：a+.22c b = 解：∵B=60° ∴A+C=120° cos(A+C)=-21 又由已知C A 22cos 2cos 2⋅=213- ∵锐角△ABC 中，cosA ＞0，cosC ＞0， ∴cosAcosC=413- sinAsinC=413+ ∴cos(C －A)=23 即C －A=30° ∴A=45° B=60° C=75°∴a+2b=2R(sin45°+2sin60°)=2·2R 462+=2·2Rsin75°=2c四、典型习题导练1.在Rt △ABC 中,C=90°,则sinAcos2(45°－2B )-sin 2A cos 2A A.有最大值41和最小值0 B.有最大值41但无最小值 C.即无最大值也无最小值 D.有最大值21但无最小值2.要得到y=sin2x 的图像,只需将y=cos(2x-4л)的图像 ( ) A.向右平移8л B.向左平移8л C.向右平移4л D.向左平移4л 4.在△ABC 中,sin 2sin 2sin 2C B A =81,则△ABC 的形状为 ． 5.直角三角形的周长为定值2l ,则斜边的最小值是 .6．在∆ABC a b c 中，、、分别是角A 、B 、C 的对边，设a c b A C +=-=23，π，求sinB 的值.。