三角函数典型例题剖析与规律总结

三角函数典型例题剖析与规律总结

一：函数的定义域问题 1. 求函数1sin 2+=x y 的定义域。

分析：要求1sin 2+=

y 的定义域，只需求满足01sin 2≥+x 的x 集合，即只需求出满足

2

1

sin -≥x 的x 值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周

期上的适合条件的区间，然后两边加上πk 2()Z k ∈即可。 解：由题意知需01sin 2≥+x ，也即需21sin -

≥x ①在一周期??

????-23,2ππ上符合①的角为??????-67,6ππ,由此可得到函数的定义域为?????

?

+-672,62ππππk k ()Z k ∈ 小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如()()1,0log ≠>=

a a x f y a

的函数，则其定义域由()x f 确定。

（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。 二．函数值域及最大值，最小值 （1）求函数的值域 例。求下列函数的值域

（1）x y 2sin 23-= （2）2sin 2cos 2

-+=

x y x

分析：利用1cos ≤x 与1sin ≤x 进行求解。 解：（1） 12sin 1≤≤-x ∴[]5,151∈∴≤≤y y （2）

()[].

0,4,1sin 11sin 1sin 2sin 2sin 22

22

cos -∈∴≤≤---=-+-=-+=y x x x x x x y 评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。 （2）函数的最大值与最小值。 例。求下列函数的最大值与最小值 （1）x y sin 211-

= （2）??? ??≤≤-??? ?

?

+=6662sin 2πππx x y

（3）4sin 5cos 22

-+=x x y （4）??

??

??∈+-=32,31cos 4cos 32

ππx x x y

分析：（1）（2）可利用sinx,cosx 的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数c bx ax x f ++=2

)(在闭区间[]n m ,上求最值得方法。

解：

(1)

221sin ;261sin 1sin 11

sin 10

sin 21

1min max =

==-=∴≤≤-∴?????≤≤-≥-y x y x x x x 时当时，当 (2)

.11)32cos(5132cos ,1)32cos(1min max =-=+==??? ?

?

+∴≤+

≤-y x y x x 时，；当时，当πππ

(3)[]2

2

2

592cos 5sin 42sin 5sin 22sin ,sin 1,1,48y x x x x x x ?

?=+-=-+-=--+∈- ??

?

∴当sin 1x =-，即2(2

x k k Z π

π=-

+∈）

时，y 有最小值9-； 当sin 1x =，即2(2

x k k Z π

π=+∈）

，y 有最大值1。 (4)

4

13,21cos 415y 32,21cos ,21,21cos ,32,3,31)32(cos 31cos 4cos 3min max 22-

=====-=??

?

???-∈??????∈--=+-=y x x x x x x x x x y 时，即当时，、即

从而ππππ 小结：求值域或最大值，最小值的问题，一般的依据是：（1）sinx,cosx 的有界性；（2）tanx 的值可取一切实数；（3）连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。根据上面的原则，常常把给出的函数变成以下几种形式；

（1）()sin x ωα+一次形式（2）sin ()x f y =或cos ()x f y =的形式，通过()1f y ≤来确定或其他变形来确定。 三：函数的周期性

例 求下列函数的周期()x x f 2cos )(1=())6

2

sin(2)(2π

-

=x x f

分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为基本三角函数去处理。

（1） 把x 2看成是一个新的变量u ，那么u cos 的最小正周期是π2，就是说，当π2+u u 增加到且

必须增加到π2+u 时，函数u cos 的值重复出现，而),(2222πππ+=+=+x x u 所以当自变量x 增加到π+x 且必须增加到π+x 时，函数值重复出现，因此，x y 2sin =的周期是π。

（2） ??

? ??-=+-62sin 2)262sin(

2πππx x 即())62sin(2)()62sin(2642

1

sin 2ππππ-=∴-=??????-+x x f x x 的周期是π4。

小结：由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量x 的系数有关。一般地，函数

)sin(?ω+=x A y 或)cos(?ω+=x A y （其中?ω,,A 为常数，),0,0R x A ∈>≠ω的周期ω

π

2=

T 。

四．函数的奇偶性

例 判断下列函数的奇偶性

x

x

x x f x x x f sin 1cos sin 1)()2)(sin()()1(2+-+=+=π

分析：可利用函数奇偶性定义予以判断。 解：（1）函数的定义域R 关于原点对称。

是偶函数。)()(sin )sin()()(,sin )sin()(x f x f x x x x x f x x x x x f ∴=-=--=--=+=ππ

（2函数应满足∴?

?????∈+

≠∈∴≠+.,2320sin 1Z k k x R x x x π

π，且函数的定义于为函数的定义域不关于原点对称。∴ 函数既不是奇函数又不是偶函数。

评注：判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称的区间，如果是，再验证)(x f -是否等于)(x f -或)(x f ，进而判断函数的奇偶性，如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。 五：函数的单调性 例：下列函数，在??

?

?

??ππ,2上是增函数的是（ ） x y A sin .=x y B cos =x y C 2sin =x y D 2cos =

分析：判断。

在各象限的单调性作出与可根据x x x x cos sin .22,2

ππππ

≤≤∴≤≤ 解：

sin y x =与cos y x =在2ππ??

????

，上都是减函数，∴排除,A B ，2x ππ≤≤，22,x ππ∴≤≤知sin 2y x =在[]2,2x ππ∈内不具有单调性，∴又可排除C ，∴应选D 。

小结：求形如)0,0)(cos()sin(>≠+=+=ω?ω?ωA x A y x A y 其中或的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：

式的方向相同（反）。

的单调区间对应的不等与时，所列不等式的方向）视为一个整体；（把“)(cos ),(sin )0(02)"0()1(R x x y R x x y A A x ∈=∈=<>>+ω?ω

练习：1. 函数x

y sin 1

=

的定义域为（ ） {}

[)(]

{}0.

1,00,1.

,.

.≠-∈≠∈x x D C Z k k x R x B R A π

2. 函数)6cos(π

+

=x y ，??

?

???∈2,0πx 的值域是( ) ??

??????

?

?????

?

???-??

?

??-

1,211,2323,2121,23.

D

C

B

A 3. 函数)0)(4

sin(>+

=ωπ

ωx y 的周期为

32π

，则ω=------------. 4. 下列函数中是偶函数的是（ ）

1sin sin sin 2sin .+==-==x y D

x

y C

x y B x y A

5. 下列函数中，奇函数的个数为（ ）

（1）x x y sin 2

=（2）[]π2,0,sin ∈=x x y （3）[]ππ,,sin -∈=x x y （4）x x y cos =

432.1.D C B A

6. 在区间???

?

?2,

0π上，下列函数为增函数的是（ ） x y D

x

y C

x

y B

x

y A cos sin cos 1sin 1.-=-=-

==

7. 函数x y 2sin =的单调减区间是（ ）

[]

()

Z k k k D

k k C

k k B k k A ∈??

?

???

+-++?

????

?

++??????++4,423,243,4223,22ππππππππππππππππ

8. 如果4

π

≤x ，则函数

x x y sin cos 2+=的最小值是——————

9. 函数)2

434

(

tan π

ππ

≠≤=x x

x y 且的值域为（ ） []

(][)(]

[)+∞-∞-+∞-∞--,11,,11,1,1D

C

B

A

答案：B B 3 C C D B

22

1

B

例1已知，且，则可以表示（）．

（A）（B）

（C）（D）

分析由题意求，不仅要看选择支给出的四个角中哪一个角在区间，还要看哪一个角的正弦值为

依据诱导公式，有，

，由此排除了B和D．

又，故，

因此本题应选C．

点评反三角函数的记号既然表示一个特定区间上的角，就可以此为基础表示其他指定范围内的角．

例2（1）若，则等于（）．（A）（B）（C）（D）

（2）已知，那么的值是（）．

（A）（B）（C）（D）

分析（1）方法1

因为

（注意）.

（注意由有）.

于是原式，故选.

方法2 利用，

，

，

又，，

，故选（A）.

（2）本题是的条件下，求两角和的值，只要求出这两个角和的正切值，并确

定其取值范围即可．

设，，

由，有，，，

故，

并且，，.

由此可知，故选.

点评本题是利用反三角函数的概念，通过设辅助角，把反三角函数的运算转化为三角函数的问题来解决，这是常用的处理方法，同时，揭示了反三角函数和三角函数的内在联系．例3的值=．

分析本题实质上是求角的大小，可以先求它的某种三角函数值，再估计其取值范围而确定．

设，则，且

又设，则，且，故．

∴

又由，可得