椭圆离心率经典题型总结
椭圆离心率经典题型 使用
椭圆离心率专项练习一、直接求出a c ，或求出的比值，求解e 。
1.倍，则椭圆的离心率等于2.若椭圆中心在原点，且焦点为)03()0,1(1，顶点A F ,则椭圆的离心率为3.已知矩形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率是4.短轴端点P 满足21PF PF ⊥，则椭圆的离心率为=e5.mn的离心率为6.已知F 1为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P ∥AB （O 为椭圆中心）时，7.P，21F F 、是椭圆的左右焦点，已椭圆的离心率为=e8.P 是椭圆上一点，若则椭圆的离心率为9.A （a,0）B(0,b),若右焦点∣AF∣，则椭圆的离心率10.a>b>0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是11.已知直线La>b>0）的顶点A （a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L，则椭圆的离心率是12.，右焦点为(0)F c ，，方 ）Ａ．必在圆222x y +=内 Ｃ．必在圆222x y +=外 Ｄ．以上三种情形都有可能 二、构造a c ，的关系式，求出e1．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是 。
2．以椭圆的右焦点F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F 1，直线MF 1与圆相切，则椭圆的离心率是 。
3．以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M 、N 两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是 。
4．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 5．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是三、利用焦点三角形或寻找特殊图形中的不等关系，求e 的取值范围1．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 。
2024年高考数学复习培优讲义专题12---椭圆与双曲线离心率相关问题(含解析)
专题2-4椭圆与双曲线离心率相关问题一、常见的离心率的求法：①定义法：根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程．②几何法：涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得ca的值．③构造齐次方程求离心率利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化简为参数a，c的关系式进行求解．二、求离心率范围建立不等式：1、利用焦半径的取值范围建立不等关系P 为椭圆上的任意一点，[]1,PF a c a c ∈−+；12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，1PF c a ≥−．2、利用最大顶角θ建立不等关系．12,F F 为椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若12F PF θ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围为sin12e θ≤<．3、利用题目不等关系建立不等关系．4、利用判别式建立不等关系．5、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．6、利用基本不等式，建立不等关系．2023新高考1卷T16——思路一：倒边得出直角三角形/思路二：爪型图2次余弦定理1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A F B ⊥=−，则C 的离心率为 ．2021年全国乙卷（理）T112．设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦2019年全国Ⅰ卷（理）T16——找出中位线3．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为 ．题型一 利用定义、几何性质求离心率的值 双焦点三角形倒边1．已知1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点，斜率为34的直线l 过1F 分别交双曲线左、右支于A 、B 点，22||||F A F B =，则双曲线C 的离心率为______________.2．1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点，过点1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点，若2ABF ∆是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A ．2B ．3C ．5D ．73．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点,A B ，若2ABF 是边长为4的等边三角形，则C 的离心率为（ ） A ．3 B ．7 C ．5 D ．24．（2023秋·衡阳市八中高三校考）已知分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为 .12,F F 2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>A C P A 33412PF F △21120PF F ∠=重点题型·归类精讲利用正余弦定理2024届·厦门大学附属科技中学10月月考5．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．146．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，且127cos 9F PF ∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点Q 在C 上，则C 的离心率为________.构造齐次方程求离心率7．双曲线2222:1(0x y C a a b−=>，0b >的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线C 上一点，2PF x ⊥轴，123tan 4PF F ∠=，则双曲线的离心率为( ) A ．43B 2C 3D ．28．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的两条渐近线分别为12,l l ，点12,F F ，分别为双曲线的左、右焦点，以原点O 为圆心且过两焦点的圆与1l 交于点P (P 在第一象限)，点Q 为线段1OF 的中点，且2QP l ⊥，则双曲线的离心率为( )A ．3514− B ．3314 C ．1712D ．17129．已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，若2ABF 是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A 3B 2C 21D 210．已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线与Γ交于A ，B 两点.若223AF F B =，12AB AF =，则Γ的离心率为（ ）A ．15B 5C 10D 1511．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，2222NF =，则C 的离心率为（ ） A 2B ．12C ．6237D ．3237利用勾股定理构造等式12．（2024届河南省实验中学高三校考）设1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x ya b a b−=>>的左、右焦点，O为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足()112OE OP OF =+，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3C ．2 D 52024届·湖北省高中名校联盟高三上学期第一次联合测评13．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左，右焦点，M ，N 是椭圆C 上两点，且112MF F N =，20MF MN ⋅=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．34B ．23C ．53D ．74利用2次余弦定理14．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的两个焦点为12F F ，，过1F 作直线与椭圆相交于,A B 两点，若112AF BF =且2BF AB =，则椭圆C 上的离心率为（ ）A ．13 B ．14 C 3 D 615．设12F F ，分别为椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，点A B ，均在C 上，若122F A F B =，1125F B F A =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．22B ．53C ．64D ．10516．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若122||||F F AF =，112AF F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．57B 2C 5D ．1317．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且22||3||AF BF =．若1||||AB AF =，则双曲线C 的离心率为() A ．32B ．2C 15D ．4与初中几何性质结合（相似，中位线等）2024届武汉九月调研T718．过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的左焦点F 作222x y a +=的一条切线，设切点为T ，该切线与双曲线E 在第一象限交于点A ，若3FA FT =，则双曲线E 的离心率为（ ） A 3B 5C 13 D 1519．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点为()1,0F c −和()2,0F c ，直线l 过点1F ，2F 点关于直线l 对称点A 在C 上，且()2112222F A F F AF c +⋅=，则椭圆C 的离心率为____________．20．已知椭圆1C 与双曲线2C 共焦点，双曲线2C 实轴的两顶点将椭圆1C 的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则椭圆的离心率为（ ） A.3 B.3 C.5 D.521．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0,0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且在第一象限，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为A ，O 为坐标原点，若||3OA b =，则该椭圆的离心率为______.2024届长郡中学月考（二）22．已知双曲线的左､右焦点分别为，过双曲线上一点向轴作垂线，垂足为，若且与垂直，则双曲线的离心率为 .23．（2024届·广州市一中校考）已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为 .24．已知1F ，2F 是双曲线22221x ya b−=（0a >，0b >）的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心，2OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D 31题型二 求离心率范围范围问题25．已知F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，A 是C 的上顶点，直线l ：340x y −=与C 交于M ，N 两点．若6MF NF +=，A 到l 的距离不小于85，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．5⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ B ．5⎛ ⎝⎦ C ．3⎛ ⎝⎦ D ．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭26．已知12F F 、是双曲线22221(0)x ya b a b−=>>的左右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A ，B 两点，若122F F AB >，则双曲线的离心率的取值范围是______．2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>12,F F C P y Q 12PQ F F =1PF 2QF C O P ()2222:10x y E a b a b+=>>x F PO PF E Q R QF FR ⊥4QF FR =E27．已知双曲线22:1x y C m m λ−=+（其中0,0m λ>≠），若0λ<，则双曲线C 离心率的取值范围为（ ） A ．()1,2 B ．()2,+∞C ．()1,2D ．()2,+∞28．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（ ）．A ．2,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭29．已知1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 是右支上一点，且12π3F PF ∠=，设12PF F θ∠=，当θ的范围为ππ,126⎛⎫⎪⎝⎭时，双曲线C 离心率的范围为（ ）A ．6,32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B ．61,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．(1,3)D ．6,22⎛⎫⎪⎝⎭30．已知双曲线2222:1x y C a b−=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 为双曲线C中第一象限上的一点，12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，若214OQ OF =，则双曲线的离心率范围为（ ） A ．()1,2B ．()1,4C ．()2,2D ．()2,431．（多选）双曲线2221y x a−=的离心率为e ，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则e 可能取值为（ ）．A ．324B ．2C ．32D ．232．已知双曲线2222:1,(0,0)x y a b C a b−=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，若C 与直线y x =有交点，且双曲线上存在不是顶点的P ，使得21123PF F PF F ∠∠=，则双曲线离心率取值范围范围为 .33．设椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线22221y x a b−=，若双曲线的一条渐近线的斜率大于52，则椭圆的离心率e 的范围是 .34．过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，则该双曲线离心率的范围为 ． 35．已知点1F 、2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点，过1F 的直线与双曲线右支交于点P ，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A ，若1||3F A b =，则双曲线的离心率的取值范围是()A ．2)B ．3)C ．(2,2)D ．(3,2)36．已知12F F ，分别是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆C 上不存在点P 使12120F PF ∠≥︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3⎛ ⎝⎭D ．3,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭37．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，点P 是C 上任意一点，若圆222:O x y b +=上存在点M 、N ，使得120MPN ∠=︒，则C 的离心率的取值范围是( )A ．3⎛ ⎝⎦B ．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭38．已知点P 为椭圆C ：()222101y x b b+=<<的上顶点，点A ，B 在椭圆上，满足PA PB ⊥且PA PB =，若满足条件的△PAB 有且只有一个，则C 的离心率的取值范围为（ ） A ．20,2⎛ ⎝⎭B ．6⎛ ⎝⎦C ．2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．6⎫⎪⎪⎝⎭题型三 椭圆和双曲线公共焦点问题39．设1F ，2F 为椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，1F ，2F 分别为左､右焦点，1C 与2C 在第一象限的交点为M .若12MF F △是以线段1MF 为底边的等腰三角形，且双曲线2C 的离心率72,2e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则椭圆1C 离心率的取值范围是（ ）A ．45,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．70,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．27,516⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦40．已知有相同焦点1F 、2F 的椭圆()2211x y a a +=>和双曲线()2210x y m m−=>，则椭圆与双曲线的离心率之积的范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．()0,1C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭41．设12,F F 是椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b −=>>的公共焦点，曲线12,C C 在第一象限内交于点12,90M F MF ∠=，若椭圆的离心率16,13e ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭，则双曲线的离心率2e 的范围是（ ） A ．(1,2⎤⎦B ．(1,3⎤⎦C ．)3,⎡+∞⎣D ．)2,⎡+∞⎣42．设12,F F 为双曲线22122:1x y C a b−=与椭圆2C 的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点12,P PF F 是以线段1PF 为底边的等腰三角形，若椭圆2C 的离心率范围为25,512⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则双曲线1C 的离心率取值范围是（ ）A ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．125,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．122,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2,5]43．设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅=，则22124e e +的最小值为（ ）A ．3B ．92C ．4D ．5344．已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则221213e e +=（ ） A ．1 B ．2C ．2D ．445．已知1F 、2F 为椭圆与双曲线的公共焦点，P 是其一个公共点，1260F PF ∠=︒，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为（ ） A ．23B ．1C ．32D ．246．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF ＞，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．247．已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（ ） A ．43B ．433C ．4 D ．46348．如图，F 1，F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1与C 2在第二､四象限的公共点，若AF 1⊥BF 1，设C 1与C 2的离心率分别为e 1，e 2，则8e 1+e 2的最小值为（ ）A ．32B ．643C 510D 55专题2-4椭圆与双曲线离心率相关问题一、常见的离心率的求法：①定义法：根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程．②几何法：涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得ca的值．③构造齐次方程求离心率利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合c2＝a2＋b2(或a2＝c2＋b2)，化简为参数a，c的关系式进行求解．二、求离心率范围建立不等式：1、利用焦半径的取值范围建立不等关系P 为椭圆上的任意一点，[]1,PF a c a c ∈−+；12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b −=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，1PF c a ≥−．2、利用最大顶角θ建立不等关系．12,F F 为椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若12F PF θ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围为sin12e θ≤<．3、利用题目不等关系建立不等关系．4、利用判别式建立不等关系．5、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．6、利用基本不等式，建立不等关系．2023新高考1卷T16——思路一：倒边得出直角三角形/思路二：爪型图2次余弦定理1．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A F B ⊥=−，则C 的离心率为 ．35【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到2211,,,AF BF BF AF 关于,a m 的表达式，从而利用勾股定理求得a m =，进而利用余弦定理得到,a c 的齐次方程，从而得解.方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得00235,3x c y t ==−，224t c =，将点A 代入双曲线C得到关于,,a b c 的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一：依题意，设22AF m =，则2113,22BF m BF AF a m ===+，在1Rt ABF 中，2229(22)25m a m m ++=，则(3)()0a m a m +−=，故a m =或3a m =−（舍去）， 所以124,2AF a AF a ==，213BF BF a ==，则5AB a =， 故11244cos 55AF a F AF ABa ∠===， 所以在12AF F △中，2221216444cos 2425a a c F AF a a +−∠==⨯⨯，整理得2259c a =，故35c e a ==方法二:依题意，得12(,0),(,0)F c F c −，令()00),,(0,A x y B t ，因为2223F A F B =−，所以()()002,,3x c y c t −=−−，则00235,3x c y t ==−，又11F A F B ⊥，所以()1182,,33F A F B c t c t ⎛⎫⋅=−⋅ ⎪⎝⎭2282033c t =−=，则224t c =，又点A 在C 上，则2222254991c t a b−=，整理得2222254199c t a b −=，则22222516199c c a b −=， 所以22222225169c b c a a b −=，即()()2222222225169c c a a c a c a −−=−，整理得4224255090c a c a −+=，则()()22225950c a c a −−=，解得2259c a =或225c a =，又1e >，所以35e =5e =（舍去），故35e =2021年全国乙卷（理）T112．设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为 2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+−=−+−=−++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b −≤≤，当32bb c−≤−，即 22b c ≥时，22max 4PB b =，即 max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即 20e <≤； 当32b b c −>−，即22b c <时， 42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得， ()2220c b −≤，显然该不等式不成立．2019年全国Ⅰ卷（理）T16——找出中位线3．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为 ． 【分析】通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，得到1AOB AOF ∠=∠，结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由0tan 603ba==. 【详解】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 603ba==，所以该双曲线的离心率为221()1(3)2c be a a==+=+=题型一 利用定义、几何性质求离心率的值 双焦点三角形倒边1．已知1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点，斜率为34的直线l 过1F 分别交双曲线左、右支于A 、B 点，22||||F A F B =，则双曲线C 的离心率为______________. 【解答】解：设22||||F A F B m ==，由双曲线定义得：1||2F A m a =−，1||2F B m a =+， 所以11||||||(2)(2)4AB F B F A m a m a a =−=+−−=，作21F H F B ⊥，Rt △21F HF 中，213tan 4F H F H α==，可得234F H m =， Rt △2F HA 中，勾股定理得：222222222234||||||()(2)......4167m F H AH AF m a m a +=⇒+=⇒=①，Rt △21F HF 中，勾股定理得：22222221123||||||()(2)4F H F H F F m m c +=⇒+=，可得22254 (16)m c =②， 由①②可得2242547a c ⨯=，整理可得22257c a =，即577e =2．1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点，过点1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点，若2ABF ∆是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )重点题型·归类精讲A 2B 3C 5D 7【解答】解：因为2ABF ∆为等边三角形，不妨设22||||||AB BF AF m ===，B 为双曲线上一点，1211||||||||||2F B F B F B BA F A a −=−==， A 为双曲线上一点，则21||||2AF AF a −=，2||4AF a =，12||2F F c =，由260ABF ∠=︒，则12120F AF ∠=︒，在△12F AF 中应用余弦定理得：2224416224cos120c a a a a =+−⋅⋅⋅︒， 得227c a =，则27e =，解得7e =D ． 【法二】作垂直，勾股定理3．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点,A B ，若2ABF 是边长为4的等边三角形，则C 的离心率为（ ） A ．3 B 7C 5D ．2【答案】B 【解析】224AB BF AF ===，1212BF BF AF a ∴−==，又212AF AF a −=，244AF a ∴==，解得：1a =，16BF ∴=， 在12BF F △中，由余弦定理得：2221212122cos 283F F BF BF BF BF π=+−⋅=，解得：1227F F =227c =，7c ∴=∴双曲线C 的离心率7ce a=4．（2023秋·衡阳市八中高三校考）已知分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线的右顶点，点在过点的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为 .【答案】【分析】作出辅助线，得到，求出. 【详解】由题知，过作轴于，则，，，利用正余弦定理2024届·厦门大学附属科技中学10月月考 5．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．14【详解】分析：先根据条件得PF 2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率. 详解：因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c, 由AP 3得，222312tan sin cos 61313PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=， 12,F F 2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>A C P A 3312PF F △21120PF F ∠=323,2PM c AM c a ==−333PM c AM==1222F F PF c ==P PM x ⊥M 260PF M ∠=2223,,2PM c F M c AM AF F M c a c c a ∴==+=−+=−333PM c AM ==23c a =32e ∴=由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠, 所以222113134,π5431211sin()3221313c a c e a c PAF =∴==+−∠⋅−⋅6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，且127cos 9F PF ∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点Q 在C 上，则C 的离心率为________. 3【解析】设1F 关于12F PF ∠平分线的对称点为Q ， 则2,,P F Q 三点共线， 设1PF m =，则PQ m =，又127cos 9F PF ∠=，所以在1PF Q 中，由余弦定理有： 22222174299FQ m m m m =+−⨯=，即123m FQ = 由椭圆定义可知11243m PF PQ QF m m a ++=++=，可得32m a = 所以1231,22PF a PF a ==在12PF F △中，由余弦定理可得：222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+−⋅⋅∠，即22222913744244493c a a a a =+−⨯⨯=，所以2213c a =， 所以3c e a ==构造齐次方程求离心率7．双曲线2222:1(0x y C a a b−=>，0b >的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线C 上一点，2PF x ⊥轴，123tan 4PF F ∠=，则双曲线的离心率为( ) A ．43B 2C 3D ．2【解答】解：因为点P 在双曲线上，且2PF x ⊥轴，所以点P 的横坐标为c ，代入双曲线的方程可得2(,)b P c a ±，则22||b PF a=，12||2F F c =，所以2221212||3tan ||224b PF b a PF F F F c ac ∠====，所以223b ac =， 所以222()3c a ac −=，所以2232(1)c ca a −=，所以22320e e −−=，所以12e =−（舍去），或2e =8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的两条渐近线分别为12,l l ，点12,F F ，分别为双曲线的左、右焦点，以原点O 为圆心且过两焦点的圆与1l 交于点P (P 在第一象限)，点Q 为线段1OF 的中点，且2QP l ⊥，则双曲线的离心率为( )A 351−B ．331+ C 171− D 171+【答案】B法一：利用对称性和互余关系导角【简证】设2QP l ⊥于H ，作PH ⊥x 轴于H ，易知如右图，易知∠POH=∠GOQ ，则∠1=∠2 而5s 0.10.5in a a c c ∠==，sin 2OH OHOP c∠==，则OH a =，PH b =故 221tan 1122OG PH a b a ac b QG QH b a c ∠==⇒=⇒+=+，即22212a ac c a +=−同除a ²可得21112e e +=− 解得3314e =法二：设点由题可设,),(,0)2(cP a b Q −，2,2PQ bk PQ l G a =⊥+，则 223311()()124045Q bb k k e ec a a e +⋅=−⇒−=−⇒−−==⇒+9．已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，若2ABF 是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A 3B ．22C 21D 2【答案】C【解析】不妨设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，焦点()()12,0,,0F c F c −，离心率为e ，将x c =代入22221c y a b +=可得2b y a =±，所以22bAB a =, 又2ABF 是等腰直角三角形，所以212224bAB F F c a===，yxl 2l 1:y=b aGHQF 1O F 2P 12ba c0.5c0.5bG O所以22b c a=即2220c a ac −+=，所以2210e e +−=，解得21e =（负值舍去）.10．已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线与Γ交于A ，B 两点.若223AF F B =，12AB AF =，则Γ的离心率为（ ）A ．15B 5C 10D 15【答案】C【详解】设2F B m =,则23AF m =,124AB AF m ==. 由椭圆的定义可知1225BF BF a m +==,所以25m a =,所以265AF a =,145AF a =. 在△ABF 1中,22222211118481555cos 8424255a a a AB AF BF A a a AB AF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+− ⎪ ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭⎝⎭===⨯⨯.所以在△AF 1F 2中,2221212122cos F F AF AF AF AF A =+−,即22224441425554a a a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理可得：22225c e a ==,所以10e =11．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在C 上（M 位于第一象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若12MN F F =，2222NF =，则C 的离心率为（ ） A 2B ．12C 623−D 323−【答案】C【详解】解：依题意作下图，由于12MN F F =，并且线段MN ，12F F 互相平分， ∴四边形12MF NF 是矩形，其中122F MF π∠=，12NF MF =，设2MF x =，则12MF a x =−，根据勾股定理，2221212MF MF F F +=，()22224a x x c −+=， 整理得22220x ax b −+=，由于点M 在第一象限，222x a a b =−，由2222NF =，得23MN MF =，即(22322a a b c −=，整理得227690c ac a +−=，即27690e e +−=，解得6237e =.利用勾股定理构造等式12．（2024届河南省实验中学高三校考）设1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x ya b a b−=>>的左、右焦点，O为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且满足()112OE OP OF =+，则双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3C ．2 D 5【答案】D【分析】由题意OE a =，再结合平面向量的性质与双曲线的定义可得22PF a =，14PF a =，再根据勾股定理列式求解决即可.【详解】∵E 为圆222x y a +=上的点，OE a ∴=，()112OE OP OF =+，∴E 是1PE 的中点， 又O 是12F F 的中点，222PF OE a ∴==，且2//PF OE ， 又122PF PF a −=，14PF a ∴=，1PF 是圆的切线，1 OE PF ∴⊥，21PF PF ∴⊥又12||2F F c =，22222212416420c PF PF a a a =+=∴=+， 故225c a =，离心率5ca=2024届·湖北省高中名校联盟高三上学期第一次联合测评13．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左，右焦点，M ，N 是椭圆C 上两点，且112MF F N =，20MF MN ⋅=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．34B ．23C ．53D ．74【分析】设1NF n =，结合椭圆的定义，在2Rt MNF △中利用勾股定理求得3an =，12Rt MF F △中利用勾股定理求得223620c a =，可求椭圆C 的离心率.【详解】连接2NF ，设1NF n =，则12MF n =，222MF a n =−，22NF a n =−，在2Rt MNF △中22222N M MF NF +=，即()()()2223222n a n a n +−=−， 22222948444n a an n a an n ∴+−+=−+，2124n an ∴=，3a n =， 123a MF ∴=，243a MF =， 在12Rt MF F △中，2221212MF MF F F +=，即222416499a a c =+， 223620c a ∴=，2205369e ==，又()0,1e ∈，5e ∴=利用2次余弦定理14．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的两个焦点为12F F ，，过1F 作直线与椭圆相交于,A B 两点，若112AF BF =且2BF AB =，则椭圆C 上的离心率为（ ）A ．13 B ．14 C 3 D 6【答案】C解析：设1F B t =，则12AF t =，23F B t =， 由椭圆定义：1242F B F B t a +==，2at ∴=，1222F A F A a F A a +=+=，2F A a ∴=，1212cos cos AF F BF F ∠=−∠，22222294444122222a a c a c a a c a c +−+−∴=−⋅⋅⋅⋅，化简223c a =,3e ∴=，故选C15．设12F F ，分别为椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，点A B ，均在C 上，若122F A F B =，1125F B F A =，则椭圆C 的离心率为（ ）A 2B 5C 6D 10【答案】B解析：设1A F t =，则22t F B =，152BF t =， 由椭圆定义：125222t tF B F B a +=+=， 23a t ∴=，1222F A F A t F A a +=+=，243a F A ∴=， 12A 2F F B =，12F A F B ∴，1212cos cos AF F F F B ∴∠=−∠，2222224162544999921222233a a a a c c a c a c +−+−∴=−⋅⋅⋅⋅，化简2295c a =，5e ∴=，故选B16．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若122||||F F AF =，112AF F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．57B 22C ．53D ．13【答案】D【解析】因为122||||2F F AF c ==，由椭圆定义知1||22AF a c =−，又112AF F B =，所以1||BF a c =−，再由椭圆定义2||2()BF a a c a c =−−=+， 因为1212πAF F BF F ∠+∠=，所以1212cos cos AF F BF F ∠=−∠，所以由余弦定理可得22222211221122112112||||||||||||2||||2||||AF F F AF BF F F BF AF F F BF F F +−+−=−⋅⋅，即222222(22)(2)(2)()(2)()2(22)22()2a c c c a c c a c a c c a c c −+−−+−+=−−⋅−⋅，化简可得22340a c ac +−=，即23410e e −+=， 解得13e =或1e =（舍去）17．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且22||3||AF BF =．若1||||AB AF =，则双曲线C 的离心率为( )A ．32B ．2C 15D ．4【解答】解：设2||BF x =，因为22||3||AF BF =，则2||3AF x =， 由双曲线的定义可得1||23AF a x =+，1||2BF a x =+， 因为1||||4232AB AF x a x x a =⇒=+⇒=，所以2||2BF a =，2||6AF a =，1||8AF a =，1||4BF a =， 因为1212F F B F F A π∠+∠=，所以1212cos cos 0F F B F F A ∠+∠=，由余弦定理可得22222212211221122122||||||||||||02||||2||||F F F B BF F F F A AF F F F B F F F A +−+−+=⋅⋅， 即222222(2)(2)(4)(2)(6)(8)0222226c a a c a a c a c a +−+−+=⋅⋅⋅⋅，解得2c e a ==． 故选：B ．与初中几何性质结合（相似，中位线等）2024届武汉九月调研T718．过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的左焦点F 作222x y a +=的一条切线，设切点为T ，该切线与双曲线E 在第一象限交于点A ，若3FA FT =，则双曲线E 的离心率为（ ）A 3B 5C ．132 D．152【答案】C【分析】取线段AT 中点，根据给定条件，结合双曲线定义及直角三角形勾股定理求解作答.【详解】令双曲线E 的右焦点为F '，半焦距为c ，取线段AT 中点M ，连接,,OT AF F M ''，因为FA 切圆222x y a +=于T ，则OT FA ⊥，有2222||||||FT OF OT c a b =−=−=， 因为3FA FT =，则有||||||AM MT FT b ===，||||232AF AF a b a '=−=−， 而O 为FF '的中点，于是//F M OT '，即F M AF '⊥，||2||2F M OT a '==， 在Rt AF M '中，222(2)(32)a b b a +=−，整理得32b a =， 所以双曲线E 的离心率22131c b e a a ==+=19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点为()1,0F c −和()2,0F c ，直线l 过点1F ，2F 点关于直线l 对称点A 在C 上，且()2112222F A F F AF c +⋅=，则椭圆C 的离心率为____________．【答案】12【分析】由向量线性运算化简已知等式得到21222F F AF c ⋅=，由向量数量积定义可求得22AF c =，121cos 2F F M ∠=，可知12AF F △为等边三角形；利用椭圆定义可得42c a =，进而可得椭圆离心率. 【详解】设2AF 与直线l 交点为M ，则M 为2AF 中点，21AF F M ⊥；()()()1122112122112222F A F F AF F A F F F F AF F M F F AF +⋅=++⋅=+⋅21212212222F M AF F F AF F F AF c =⋅+⋅=⋅=，2221221212222212cos 22F M F F AF F F A F F AF AF F M F M c F F ∴⋅∠=⋅⋅=⋅==，2F M c ∴=，22AF c =，121cos 22c F F M c ∴∠==，则123F F M π∠=，又2122AF F F c ==， 12AF F ∴为等边三角形，则12AF c =，由椭圆定义知：1242AF AF c a +==，∴椭圆离心率12c e a ==.20．已知椭圆1C 与双曲线2C 共焦点，双曲线2C 实轴的两顶点将椭圆1C 的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则椭圆的离心率为（ ） A.33B.32C.53D.54【答案】C【分析】设椭圆1C 的标准方程为()2211221110x y a b a b +=>>，双曲线2C 的标准方程为()2222222210,0x y a b a b −=>>，设椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点为1F 、2F ，且1F 、2F 为两曲线的左、右焦点，设椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限的交点为P ，在第三象限的交点为Q ，由已知条件可得出2113=a a ，利用椭圆和双曲线的定义可求得1PF 、2PF ，分析出12F PF ∠为直角，利用勾股定理可求得椭圆1C 的离心率.【详解】设椭圆1C 的标准方程为()2211221110x y a b a b +=>>，双曲线2C 的标准方程为()2222222210,0x y a b a b −=>>，设()2120F F c c =>，因为双曲线2C 实轴的两顶点将椭圆1C 的长轴三等分，则21223a a =， 设椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点为1F 、2F ，且1F 、2F 为两曲线的左、右焦点， 设椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限的交点为P ，在第三象限的交点为Q ，则12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨−=⎪⎩，解得112121214323PF a a a PF a a a⎧=+=⎪⎪⎨⎪=−=⎪⎩，由对称性可知PQ 、12F F 的中点均为原点O ，所以，四边形12PF QF 为平行四边形， 因为P 、1F 、Q 、2F 四点共圆，则有12121212πF PF FQF F PF FQF∠+∠=⎧⎨∠=∠⎩，故12π2F PF ∠=，由勾股定理可得2221212PF PF F F +=，即()2221142233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2212049a c =， 即12523a c =，故椭圆1C 的离心率为112515323c e a ===.21．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0,0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆上，且在第一象限，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为A ，O 为坐标原点，若||3OA b =，则该椭圆的离心率为______. 6【分析】延长2F A ，交1PF 于点Q ，根据P A 是12F PF ∠的外角平分线，得到2||=AQ AF ，2||PQ PF =，再利用椭圆的定义求解. 【详解】解：如图所示：延长2F A ，交1PF 于点Q ， ∵P A 是12F PF ∠的外角平分线，2||AQ AF ∴=，2||PQ PF =，又O 是12F F 的中点，1QF AO ∴∥，且12||3QF OA b ==. 又1112||2QF PF PQ PF PF a =+=+=， 223a b ∴=，222233()a b a c ∴==−，∴离心率为6c a=2024届长郡中学月考（二） 22．已知双曲线的左､右焦点分别为，过双曲线上一点向轴作垂线，垂足为，若且与垂直，则双曲线的离心率为 . 【答案】【分析】由题意知四边形为菱形，再结合图形得出，最后根据定义即可得出离心率.【详解】设双曲线焦距为，不妨设点在第一象限，由题意知，由且与垂直可知，四边形为菱形，且边长为，而为直角三角形，， 2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>12,F F C P y Q 12PQ F F =1PF 2QF C 31212PQF F 1223,2PF c PF c ==22221(0,0)x y a b a b−=>>2c P 12PQ F F ∥12PQ F F =1PF 2QF 12PQF F 2c 1QF O112,QF c FO c ==故，则， 则， 故， 即离心率故答案为:23．（2024届·广州市一中校考）已知为坐标原点，是椭圆上位于轴上方的点，为右焦点.延长、交椭圆于、两点，，，则椭圆的离心率为 . 【答案】【分析】设椭圆的左焦点为，证明四边形为矩形，设，结合椭圆定义可得，结合可得的关系，由此可求离心率.【详解】如图，设椭圆的左焦点为，连接、、， 由题意可知，、关于原点对称，且为的中点， 所以四边形为平行四边形，又因为，所以四边形为矩形. 因为，设，， 则，，1130,60F QO QF O ∠=∴∠=1120F QP ∠=1232223,2PF c c PF c ===122322PF PF c c a −=−=3131e +==−31+O P ()2222:10x y E a b a b+=>>x F PO PF E Q R QF FR ⊥4QF FR =E 53E F 'PFQF 'FR m =3am =222PF PF FF ''+=,a c E F 'PF 'QF 'RF 'P Q O O FF 'PFQF 'QF FR ⊥PFQF '4QF FR =FR m =4QF PF m '==224PF a PF a m '=−=−22F R a FR a m '=−=−所以，，在中，，即， 解得，所以，，，在中，由勾股定理可得，即，整理可得，解得24．已知1F ，2F 是双曲线22221x ya b−=（0a >，0b >）的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心，2OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C ．2D 31【答案】C【分析】先求解F 1到渐近线的距离，结合OA ∥F 2M ，可得∠F 1MF 2为直角，结合勾股定理可得解 【详解】由题意,F 1(−c ,0),F 2(c ,0)， 设一条渐近线方程为y =b a x ,则F 122b a b=+. 设F 1关于渐近线的对称点为M ,F 1M 与渐近线交于A ,∴|MF 1|=2b , A 为F 1M 的中点，又O 是F 1F 2的中点, ∴OA ∥F 2M ,∴∠F 1MF 2为直角， ∴△MF 1F 2为直角三角形， ∴由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2 ∴3c 2=4(c 2−a 2),∴c 2=4a 2， ∴c =2a ，∴e =2.题型二 求离心率范围范围问题25．已知F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，A 是C 的上顶点，直线l ：340x y −=与C 交于M ，N 两点．若6MF NF +=，A 到l 的距离不小于85，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．5⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ B ．5⎛ ⎝⎦ C ．3⎛ ⎝⎦ D ．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】B【分析】据162MF NF NF a NF +=+==，得到3a =，根据点A 到直线l 距离d ，求出2b ≥，从而求出c2423PR PF FR a m m a m =+=−+=−Rt F PR '222PF PR F R ''+=()()22216232m a m a m +−=−3a m =443a PF m '==4224233a aPF a m a =−=−=Rt PFF '222PF PF FF ''+=22242433a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2259a c =5c e a ==得范围，从而求出答案.【详解】设椭圆的左焦点为1F ，A 是C 的上顶点，连接11,MF NF ，如下图所示：由椭圆的对称性可知，,M N 关于原点对称，则OM ON = 又1OF OF = ，∴四边形1MFNF 为平行四边形1MF NF ∴= ，又162MF NF NF a NF +=+==，解得：3a = A 到l 的距离为：4855b d −=≥， 解得：2b ≥22292a c c −−05c ∴<≤5c e a ⎛∴=∈ ⎝⎦.26．已知12F F 、是双曲线22221(0)x ya b a b−=>>的左右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A ，B 两点，若122F F AB >，则双曲线的离心率的取值范围是______．【答案】2101⎛ ⎝⎭，【分析】表示出222AB a b =−a b c 、、的齐次式，即可求出离心率的范围.【详解】1F ，2F 是双曲线22221(0)x ya b a b−=>>的左右焦点，以()20F c ，圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0ax by =－交于A ，B 两点，则焦点到渐近线的距离：22bc d b a b==+，所以222AB a b =−， 122F F AB >， 22222c a b ∴−>， 可得2222244a b c a b >=+－，即：22223555a b c a >=－，可得2258c a <，所以2285c a <，所以210e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是：2101⎛ ⎝⎭，27．已知双曲线22:1x y C m m λ−=+（其中0,0m λ>≠），若0λ<，则双曲线C 离心率的取值范围为（ ） A ．()1,2 B ．()2,+∞C ．()1,2D ．()2,+∞【分析】先将双曲线方程化为标准方程，再根据离心率的定义，用m 表示出离心率，进而可得其取值范围. 【详解】由双曲线22:1x y C m m λ−=+（其中,00m λ><）， 得()2211y x m mλλ−=−+−， 则双曲线C 离心率()()()121121121111m m m m e m m m m λλλ−+−+−+====−−++++ 因为0m >，所以11m +>，则1011m <<+， 所以11221m <−<+， 所以12e <<C 离心率的取值范围为(2.28．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（ ）．A ．2,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据圆的直径及圆与椭圆交点的个数可得c b >，据此可求出椭圆的离心率. 【详解】因为以12F F 为直径的圆与椭圆有四个交点，所以b c <，即22b c <，222a c c −<，222a c <，所以212e >，即22e >， 又因为01e <<，所以椭圆离心率的取值范围为2⎫⎪⎪⎝⎭．29．已知1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 是右支上一点，且12π3F PF ∠=，设12PF F θ∠=，当θ的。
椭圆离心率问题
一、椭恻离心率的1.运川几何图形中线段的几何意义。
基础题目：如图• 0为椭圆的中心，F为焦点• A为顶点，准线L交0A于B. P、Q在椭恻上• PD丄L于D.QFIAD于F,设椭圆的离心率为e.则（!）*晋卞②^罟禺算④*+|吕厂、I F0 I⑤ *1757评：AQP为椭圆上的点•根据椭圆的第一定义得，V I A0 I =a, I OF I =c,・••有⑤：Tl AO I =aU BO I =辛.••有③。
题目1：椭圆务+^l（a>b>0）的两焦点为F, . F2 •以F1F2为边作正三角形.若椭圆恰好平分正三角形的两边.则椭圆的离心率e思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2的中点B.连接8F_把已知条件放在椭圆内•构造△RBF2分析三角形的^^^边长及关系。
解：V I F1F2 I =2c I BF1 I =c I BFz I =©C c-K/3c=2a Ae= yjs-l*2 u2变形椭圆农+h=lSb>0）的两儘点为F1、F2 •点P在椭圆上，使△OPF1为正三角形•求椭恻离心解：连接 PF2测 I OF2 I = I OFJ = I OP I ,ZF I PF2 =90^ 图形如上图，y2变形2:椭圆农+^i(a>b>0)的两焦点为F 八Fz . AB 为椭恻的顶点.P 是椭圆上一点•且PF 】丄X 轴.tP•■TP Fl I = — I Fa Fl I =2c I OB I =b I OA I =a "AB •■- I F X' I ■夕 又"b=毎疋•'•a2=5c2 e=¥ 点评：以上题目，构造焦点三角形・通过#边的几何总义及关系，推寻有关a 与C 的方程式，推导离心率。
一、运用正余弦定理解决图形中的三角形y2 \i2题目2：椭圆+^l(a>b>0), A 是左顶点.F 是右焦点.B 是短轴的一个顶点.ZA8F=90" ■求ePF2 〃 AB,求椭圆离心率解: PF2根据和比性质:I FiP I + I PF2 I sinFiFzP+sin PF1F22c ZPFiFa =75 * Z PF2Fi=15「 5in9(r V e* sin75“ +5inl5' " 3点评：在焦点三角形中・使用第一定义和正弦定理可知X2 v2变形 h 椭圆+^l(a>b>O)rrj 两焦点为 Fl (-C. 0)、F2 (c,0), P 是椭圆上一点，且ZFiPF ； =60 .求 e 的取值范ra解 S I AO I =3 I OF I =C I BF I =a I AB I 而 a^b^+a^ =(a+c)2 =$2+2合c+c2 aJ ：2・ac=0 两边同除以 aPe^+e-l=0 e=—e - '-护(舍去)变形:椭+^l{a>b>0). e=2号E A 是左顶点，F 是右焦点.B 是短轴的一个顶点，求ZABF 点评: 此题是上一题的条件与结论的互换•解题中分析各边.由余弦定理解决角的问題。
求椭圆离心率范围的常见题型及解析
求椭圆离⼼率范围的常见题型及解析
求椭圆离⼼率范围的常见题型解析解题关键:挖掘题中的隐含条件，构造关于离⼼率e的不等式.⼀、利⽤曲线的范围，建⽴不等关系
例1
已知椭圆
22
22
1(0)
x
y
a b
a b
+=>>右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离⼼率e的取值范围.例2已知椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左、右焦点分别为
12
(,0),(,0)
F c F c
-,若椭圆上存在
⼀点P使
1221
sin sin
a c
PF F PF F
=,则该椭圆的离⼼率的取值范围为()
21,1
-.
⼆、利⽤曲线的平⾯⼏何性质，建⽴不等关系
例3已知
12
、
F F是椭圆的两个焦点，满⾜的点P总在椭圆内部，则椭圆离⼼率的取值范围是（）
x
y
O A
F1F2
P
Ａ．(0,1) Ｂ．1(0,]2
Ｃ．(0,2 Ｄ．2。
(完整版)专题椭圆的离心率解法大全,推荐文档
椭圆的离心率为(
)
[解析] b ( b ) 1 a2 c2 ac e 5 1
ac
2
3，以椭圆的右焦点 F2 为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于 M、N 两点，椭圆的左焦点为 F1，直线
MF1 与圆相切，则椭圆的离心率是 3 1
变式（1）：以椭圆的一个焦点 F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心 O 并且与椭圆交于 M、N 两点，如果
22
m2
3
综上 m 16 或 3 3 3
3，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是
5
4，已知 m,n,m+n 成等差数列，m，n，mn 成等比数列，则椭圆 x2 y2 1的离心率为 mn
2n 2m n
[解析]由 n2 m2n mn 0
m 2 n 4 ，椭圆
x2 m
可得| PF1 |2 | PF2 |2 | F1F2 |2 4c2 ，则| PF1 || PF2 | 2(a2 c2 ) 2b2 ，
PF1
，
PF2
是方程 z 2
2az
2b2
0 的两个根，则
4a2
8(a2
c2) 0 e2
c2 a2
1 2
e
2 2
解法 3：正弦定理
设记 PF1F2 ，PF2 F1 ，由正弦定理有
4
0 3 则 2 sin( ) 1，1 2 sin( ) 2
24
44 2
4
4
所以 2 e 1 2
解法 5：利用基本不等式由椭圆定义，有 2a | PF1|| PF2 | 平方后得 4a 2 | PF1|2 | PF2 |2 2| PF1|| PF2 | 2(| PF1|2 | PF2 |2 ) 2| F1F2 |2 8c2
小专题求椭圆离心率的值的常见题型
小专题求椭圆离心率的值的常见题型利用平面图形的平面几何性质，建立不等关系如图，已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 2与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆C 的离心率为____．(2)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为____．【解析】(1) 连结OQ ，F 1P 所以OQ 是△PF 1F 2中位线，所以F 1P ⊥F 2P 且F 1P ＝2b ，依椭圆定义可知F 2P ＝2a －2b ∴()2b 2＋(2a －2b )2＝4c 2化简的b ＝23a ∴e ＝53.（2）设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫0，am2（a －c ），又B ，D ，M三点共线，所以m 2（a －c ）＝m a ＋c，所以a ＝3c ，所以e ＝13.已知椭圆，F 1，F 2为其左、右焦点，P 为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，△F 1PF 2的重心为G ，内心I ，且有（其中λ为实数），椭圆C 的离心率e=（ ） A ． B ． C ． D ．设椭圆C 的两个焦点为F 1、F 2，过点F 1的直线与椭圆C 交于点M ，N ，若|MF 2|=|F 1F 2|，且|MF 1|=4，|NF 1|=3，则椭圆Г的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ．椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C． D．一l已知椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|=|F1F2|，且2|PF1|=3|QF1|，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，M为y轴正半轴上一点，直线MF2交C于点A，若F1A⊥MF2，且|MF2|=2|OA|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F1、F2，M是椭圆C上一点，且满足||=2||=2||，则椭圆的离心率e=（）A．B．C． D．利用点在椭圆上斜率为的直线l与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A． B．C． D．点F为椭圆+=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF 为正三角形，那么椭圆的离心率为（）A． B． C．D．﹣1。
专题十：求椭圆的离心率
专题十：椭圆的离心率题型一：（求椭圆的离心率的值）1、椭圆1422=+y x 的离心率为 ．2、椭圆短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，则该椭圆的离心率为 ．3、已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的半焦距为c ，原点O 到经过两点(,0),(0,)c b 的 直线的距离为12c ，则椭圆E 的离心率为 ． 4、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别是B A ,，左、右焦点分别是21,F F ， 若B F F F AF 1211,,成等比数列，则椭圆C 的离心率为 ．5、已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点， △21F PF 是底角为30的等腰三角形，则椭圆E 的的离心率为 ．6、在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率是 ．7、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过原点的直线l 与椭圆C 相交于 ,A B 两点，连接,AF BF ．若410,6,cos 5AB AF ABF ==∠=，则椭圆C 的离心率为 ． 8上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭 圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)， 则该椭圆的离心率是 ．9、如图，正六边形ABCDEF 的两个顶点D A ,为椭圆的两个焦点，其余四个顶点在椭圆Q O F 2F 1P y x 上，则该椭圆的离心率为 ．10、如图，已知21,F F 是椭圆2222:1x y C a b+= (0)a b >>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上， 线段2PF 与圆222b y x =+相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率 为 ．（第9题图） （第10题图） （第11题图）11、如图，在直角△ABC 中，1AB AC ==，如果一个椭圆通过,A B 两点，它的一个焦 点为C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率为 ． 12、如图，在平面直角坐标系xOy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个 顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰 为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ．（第12题图）B CF EA D x y A 1B 2 A 2 O M F TB 113、如图，已知c AB 2=(常数0>c )，以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且 CD AB //，若椭圆以B A ,为焦点，且过D C ,两点，则当梯形ABCD 的周长最大时， 椭圆的离心率为 ．（第13题图）题型二：（求椭圆的离心率的取值范围）1、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，短轴的一个端点为P ， 若12F PF ∠为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．2、已知焦点在x 轴上的椭圆222:1(0)4x y E b b +=>，短轴的一个端点为M ，点M 到直 线:340l x y -=的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围为 ． 3、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，若 椭圆C 上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线经过点F ，则椭圆C 的离心率的取值范 围为 ．4、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．5、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为 A ，点P 是椭圆C 上一点，l 为左准线，PQ l ⊥，垂足为Q ．若四边形PQFA 为平行四 边形，则椭圆C 的离心率的取值范围为 ．6、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>和圆222x y b+=，若C上存在点P，过点P引圆O的两条切线，切点分别为,A B，满足60APB∠=，则椭圆C的离心率的取值范围为．7、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得12PFePF=，则椭圆C的离心率的取值范围为．8、已知椭圆22:11x yCm m+=+的两个焦点分别是12,F F，若椭圆C上存在点P，使得121PF PF⋅=，则椭圆C的离心率的取值范围为．9、已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>右顶为A，点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP 垂直于PA，则椭圆C的离心率的取值范围为．10、如图，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，点P是椭圆C上一点，点M在1PF上，且满足12F M MP=，2PO F M⊥，O为坐标原点，则椭圆C的离心率的取值范围为．（第10题图）专题十：椭圆的离心率参考答案题型一：（求椭圆的离心率的值）1、2；2、33、2；4、5；5、34；6、2；7、57；8、2；91；10、3；1112、5；131． 题型二：（求椭圆的离心率的取值范围）1、(2；2、；3、1[,1)2；4、1[,1)3；5、1,1)；6、；7、1,1)；8、；9、；10、1(,1)2．。
椭圆离心率问题
一、椭圆离心率的1、运用几何图形中线段的几何意义。
基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。
∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a 2c∴有③。
题目1：椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e思路：A 点在椭圆外，找a 、b 、c 的关系应借助椭圆，所以取AF 2 的中点B ，连接BF 1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F 1BF 2分析三角形的各边长及关系。
解：∵｜F 1F 2｜=2c ｜BF 1｜=c ｜BF 2｜=3cc+3c=2a ∴e= ca= 3-1变形1：椭圆x 2a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，点P 在椭圆上，使△OPF 1 为正三角形，求椭圆离心率解：连接PF 2 ,则｜OF 2｜=｜OF 1｜=｜OP ｜,∠F 1PF 2 =90°图形如上图，e=3-1变形2: 椭圆x 2a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1 ⊥X 轴，PF 2 ∥AB,求椭圆离心率解：∵｜PF 1｜= b 2a ｜F 2 F 1｜=2c ｜OB ｜=b ｜OA ｜=aPF 2 ∥AB ∴｜PF 1｜ ｜F 2 F 1｜= b a 又 ∵b= a 2-c 2∴a 2=5c 2e=55点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。
椭圆离心率总结
关于椭圆离心率设椭圆x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点P ，使∠=︒F PF 1290，求离心率e 的取值范围。
解法1：利用曲线范围设P （x ，y ），又知F c F c 1200（，），（，）-，则F P x c y F P x c y F PF F P F P F P F P x c x c y x y c 1212121222229000→→→→→→=+=-∠=︒⊥⋅=+-+=+=()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y ，可解得x a c a b a b F PF x aa c ab a b a2222222122222222229000=--∠=︒≤<≤--<但由椭圆范围及知即可得，即，且从而得，且所以，）c b c a c c a e c a e c a e 2222222221221≥≥-<=≥=<∈[解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知||||||||||||PF PF a PF PF PF PF a 121222122224+=⇒++=又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此∠=︒+===--+-=F PF PF PF F F c PF PF a c PF PF u au a c 12122212221222122229042220||||||||||()||||()∆=--≥⇒=≥⇒≥4801222222222a a c e c a e ()因此，e ∈[)221 解法3：利用三角函数有界性记∠=∠=PF F PF F 1221αβ，，由正弦定理有||sin ||sin ||sin ||||sin sin ||||||||sin sin sincoscosPF PF F F PF PF F F PF PF a F F c e c a 121212121212902211222122βααβαβαβαβαβ==︒⇒++=+====+=+-=-又，，则有而知从而可得09002452221221≤-<︒≤-<︒<-≤≤<||||cos αβαβαβe解法4：利用焦半径 由焦半径公式得||||||||||PF a ex PF a ex PF PF F F a cx e x a cx e x ca e x c x c a e P x y x a x a 12122212222222222222222222224220=+=-+=+++-+=+==-≠±≤<，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即022212222≤-<∈c a e ae 得，）[解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有212a PF PF =+|||| 平方后得42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||得c a2212≥ 所以有，）e ∈[221 解法6：巧用图形的几何特性由∠=︒F PF 1290，知点P 在以||F F c 122=为直径的圆上。
【圆锥曲线】02椭圆离心率与几何性质(含经典题型+答案)
椭圆的离心率与几何性质角，则该椭圆的离心率为 .2.若椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点可构成一个等边三角形,则椭圆的离心率为（ ）1123. . . .4222A B C D 3.在一椭圆中以焦点F 1、F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e 等于（ ）.秒杀秘籍：椭圆离心率的计算定义：如图所示，P 为椭圆的上顶点，令122,PF F OPF αθ∠=∠=，离心率就是sin cos ce aθα=== 例1：已知直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点,那么这个椭圆的方程为____________________,离心率为_______. 解：()()220;2,00,1x y -+=∴-直线过点；,故过椭圆的上顶点和左焦点，根据图形可得2,1,5c b a ===；故椭圆方程为2215x y +=，255c e a ==椭圆顶点三角形与离心率：如右图，2tan 1be aα==-， 例2：椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的四个顶点为A 、B 、C 、D ,若菱形ABCD 的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率是( ) A.253- B.853+ C. 215- D.815+解：根据图形可得22222tan b c c b ac a c ac a ba c α===⇒=⇒-=-； 即22251110,2c c e e e a a --=⇒+-==（黄金椭圆2b ac =）半通径的焦点三角形与离心率：如右图，过椭圆右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于点P ，则22b PF a =，12,F PF α∠=222222221cos 12bab a ac e a c ea α--===++- 例3：设椭圆的两个焦点分别为1F ,2F ,过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△12F PF 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为__________ .解：根据图形可得()22222212cos 21122e e e e α--==⇒=⇒=-+ 例4：椭圆221123x y +=的两个焦点为F 1，F 2, 点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的 倍。
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椭圆离心率经典题型总结一、基础题1. 已知椭圆2215x y m+=的离心率e =m 的值为（ ）A ．3B CD ．253或32. 的两段，则其离心率为________．3. 若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A.12B.33C.22D.244. 椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）11A.D.54325. 以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于________．6. 已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2CD 17. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF △是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A B C 1 D8. 椭圆22221x y a b+=上一点到两焦点的距离分别为12d d 、，焦距为2c ，若122d c d 、、成等差数列，则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿.9. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A 、13B C 、12D10. 在ABC ∆中，7,cos .18AB BC B ==-若以,A B 为焦点的椭圆经过点,C 则该椭圆的离心率e =________．11. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）A. 45B.35C.25D.1512. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，A 是椭圆长轴的一个端点，B 是椭圆短轴的一个端点，F 为椭圆的一个焦点． 若AB BF ⊥，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D13. 椭圆22221(a b 0)x y a b+=>>的两顶点为A(,0),B(0,)a b 且左焦点为F ，FAB ∆是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为（ ）A.B. C. D.14. 设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点．若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为( )A.2－1B.5－12C.22 D.2＋115. 已知椭圆22221x y a b+=，焦点为12,F F ，在椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆的离心率e 的取值范围为________．16. 斜率为2的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．12C D ．1317. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P .若2AP PB =，则椭圆的离心率是A B C ．13 D ．1218. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是________．19. 与椭圆x 22＋y 2＝1有相同的焦点且与直线l ：x －y ＋3＝0相切的椭圆的离心率为________．20. 设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．2B ．1[,1)2C ．(0,2D ．1(0,]2二、中档题21. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径作圆M ．若过点2,0a P c ⎛⎫⎪⎝⎭所作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为 ．22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，直线12A B 与直线1B F 相交于点,T 线段OT 与椭圆的交点M 恰为OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ．23. 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13 D.1424. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =，则C 的离心率为 ．25. 如图，已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若90BAO BFO ∠+∠=°，则该椭圆的离心率是 ．26. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，斜率为－12的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若△ABF 1的重心为G (,)63c c ，则椭圆C 的离心率为_____．27. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆22:1(0)C a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点。
P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y轴交于点E 。
若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ） A ．13 B ．12 C ．23 D ．3428. 已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )A.3－1 B ．2－ 3 C.22 D.3229. 设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)长轴的端点分别为A ，B .点C 为椭圆上异于A ，B 的一点，若将△ABC 的三内角记为A ，B ，C ，且满足3tan A ＋3tan B ＋tan C ＝0，则tan A ·tan B 的值为________，椭圆的离心率为________．30. 设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.(0,2B.(0,3C.,1)2D.,1)331. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，F 1，F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使1223F PF π∠=，则离心率e 的取值范围为 ．32. 已知P 为椭圆22221x y a b +=上一点，F 1，F 2是焦点，∠F 1PF 2取阳大值时的余弦值为13，则此椭圆的离心率为________。
33. 已知12(,0),(,0)F c F c -为椭圆221a b+=的两个焦点，P 为椭圆上一点且212PF PF c ⋅=，因此椭圆离心率的取值范围是（ ）A. ,13⎫⎪⎪⎣⎭B. 11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 32⎣⎦ D. 2⎛ ⎝⎦34. 过椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若1132k <<，则椭圆离心率的取值范围是A ．19,44⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭35. 椭圆M ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上任一点，且12PF PF ⋅的最大值的取值范围为22,3c c ⎡⎤⎣⎦，其中c =，则椭圆M 的离心率e的取值范围是 ．36. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF|+|BF|＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．(02，B ．3(0]4， C ．1)2 D ．3[1)4， 37. 椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点为(),0F c ，点2,0a A c ⎛⎫ ⎪⎝⎭在x 轴上．在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 ．38. 已知椭圆22221x y a b+=的左焦点、右焦点分别为1F 、2F ，且椭圆上存在两点P 、Q ，使得12120F PF ∠=︒，1260FQF ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围为 ，12F PF △的面积与12F QF △的面积之比为 ．。