高中数学椭圆经典例题(学生+老师)

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2020高中数学 10 椭圆的几何性质(一)(含解析)2-1

课时分层作业（十）椭圆的几何性质(一）(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知椭圆错误!＋错误!＝1（m〉0)的左焦点为F1（－4，0)，则m 等于（)A．2 B．3 C．4 D．9B ［由题意知25－m2＝16，解得m2＝9,又m〉0，所以m＝3.]2．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为错误!，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为（)A．9 B．1C．1或9 D．以上都不对C [错误!解得a＝5，b＝3，c＝4。

∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a－c ＝1.］3．如图所示，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°角的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为( )A.12 B 。

34C 。

错误!D 。

错误!A ［由题意得2a ＝错误!＝8错误!(cm)，短轴长即2b 为底面圆直径12 cm ，∴c ＝错误!＝2错误! cm ，∴e ＝错误!＝错误!.故选A 。

］4．曲线错误!＋错误!＝1与曲线错误!＋错误!＝1（k 〈9）的（）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等C ［曲线错误!＋错误!＝1的焦点在x 轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为45，焦距为8.曲线错误!＋错误!＝1（k 〈9)的焦点在x 轴上，长轴长为2错误!,短轴长为2错误!，离心率为错误!，焦距为8.则C 正确．]5．已知椭圆C ：错误!＋错误!＝1(a 〉b 〉0）的左，右焦点为F 1，F 2，离心率为错误!，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点,若△AF 1B 的周长为43,则C 的方程为( ）A 。

错误!＋错误!＝1B 。

错误!＋y 2＝1C 。

错误!＋错误!＝1D 。

错误!＋错误!＝1A [∵△AF 1B 的周长为4错误!，∴4a ＝4错误!，∴a＝3，∵离心率为错误!，∴c＝1，∴b＝错误!＝错误!，∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1。

高中数学椭圆大题经典例题

高中数学中椭圆大题的经典例题题目：已知椭圆 C：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为√3/3，过点 A(0,b) 和 B(a,0)的直线与原点的距离为√3/2。

(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 是椭圆 C 上一点，E、F 是椭圆 C 上的两动点，如果直线 PE，PF 的斜率都存在，且满足 kPE * kPF = -2/3，试探究△OEF 的形状，并说明理由。

(3)试问：是否存在以 PE，PF 为邻边的平行四边形？如果存在，求出所有这样的平行四边形；如果不存在，说明理由。

解析：(1)由题意，离心率 e = c/a = √3/3，直线 AB 的方程为 y = -√3x + b，利用点到直线的距离公式得到 b = √3/2。

又因为 a^2 = b^2 + c^2，解得 a = √3, b = 1。

所以椭圆 C 的方程为 x^2/3 + y^2 = 1。

(2)设 P(x0,y0)，E(x1,y1)，F(x2,y2)，由 kPE * kPF = -2/3，得到 (y0 - y1)(y0 - y2) / (x0 - x1)(x0 - x2) = -2/3。

根据椭圆方程和斜率公式，化简得到 (x0^2 - 1)(x0^2 - 3) = -4(x0^2 - 1)，解得 x0^2 = 1 或 x0^2 = 3（舍去）。

所以△OEF是直角三角形。

(3)假设存在以 PE，PF 为邻边的平行四边形，则 PE // PF，即存在 m，使得 kPE = kPF = m。

联立方程求解得 m = -√5/5 或 m = √5/5。

当 m = -√5/5 时，P(-√15/3, √15/5)，E(-√15/5, √15/5)，F(-√15/5, -√15/5)，此时ΔOEF 是等腰三角形，不满足题意。

当 m = √5/5 时，P(-√15/3, -√15/5)，E(-√15/5, -√15/5)，F(-√15/5, √15/5)，此时ΔOEF 是等腰三角形，满足题意。

人教版(B版)高中数学选择性必修第一册课时作业课时作业(二十) 椭圆的几何性质

课时作业(二十) 椭圆的几何性质一、选择题1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 2．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( )A.13B.12C.33D.223．已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为 ( )A ．9B ．1C ．1或9D ．以上都不对4．曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k＝1(k<9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等二、填空题5．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m>0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 等于________．6．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)经过点P(0，3)，且椭圆的长轴长是焦距的2倍，则a ＝________.7．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．三、解答题 8.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB，求此椭圆的离心率．9．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝13，又知椭圆上一点M ，它的横坐标等于焦点的横坐标，纵坐标是4，求此椭圆的标准方程．[尖子生题库]10．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．。

专题22 椭圆(解答题压轴题)(教师版)-2024年高考数学压轴专题复习

专题22 椭圆（解答题压轴题）目录①椭圆的弦长（焦点弦）问题 (1)②椭圆的中点弦问题 (10)③椭圆中的面积问题 (15)④椭圆中的参数和范围问题 (22)⑤椭圆中的最值问题 (28)⑥椭圆中定点、定值、定直线问题 (35)⑦椭圆中向量问题 (42)⑧椭圆综合问题 (48)所以()2216432224m m ∆=-⨯⨯-=解得33m -<<．设()11,A x y ，()22,B x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -=2．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）已知椭圆C上一点．(1)求C的方程；(2)设M，N是C上两点，若线段MN3．（2023秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）已知椭圆椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且线段则2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得(x 所以()()(1212124x x x x y y +-++又因为P 是DE 中点，所以1x +3．（2023秋·安徽亳州·高三校考阶段练习）令21230t k=->，故24k=当且仅当12tt=，即23,t k=故AOBV面积的最大值为3.）由题意得，四边形ABCD为菱形，则菱形ABCD的面积1S AC=⋅令235t n -=，得2716970n n -+=，解得7n =或977n =，从而2t =±或11621t =±.故直线l 的方程为23x y =±-，或116x =±④椭圆中的参数和范围问题1．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知动点）显然直线l 的斜率存在，设直线:1l y kx =+，1,1)y ，2(B x ,2)y ，则2(D x λ,2)y λ，四边形OAED 为平行四边形，AE =，12(E x x λ+,12)y y λ+，A ，B ，E 均在椭圆C 上，2114y +=，2222194x y +=，221212()()194x x y y λλ+++=，0，2129180x y y λ++=，依题意，设直线l 的方程为(1)(y k x =-易得12x x <．联立方程组()221,1,4y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 并整理得则2122814k x x k +=+，()21224114k x x k -=+，）得()20A ，，设直线l 的方程为x =2214x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2242m y mty ++()()()222Δ244416mt m t m =-+-=2mt 24t -）C 短轴顶点时，PAB V 的面积取最大值222a b c =+，解得2,a b =的标准方程为2214x y += .）1122(,),(,)P x y Q x y ，若直线PQ 的斜率为零，由对称性知1111022y y x x -==++，222y k x -=-设直线PQ 的方程为x ty n =+由()2224y k x x y ⎧=+⎨+=⎩，得(2k +()()(22121k x k x ⎡⎤++-+⎣⎦解得()22211k x k -=+或x =-）)()0011,,,x y A x y ，()22,B x y ，则可设直线PA 的方程为1x my =-，其中221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得(234m +）为椭圆C 的左顶点，又由（1）可知：(2,0)M -，设直线联立方程可得：222(44x ty mt x y =+⎧⇒+⎨+=⎩()()22224(4)40mt t m =-+->，即设直线:l y kx m =+交该椭圆220x +将y kx m =+代入221205x y +=得()2221484200k x kmx m +++-=设()11,D x y ，()22,E x y ，则21221621k x x k +=+，12x x ∴()1212542x x x x =+-，又()2,0A -，()2,0B ，∴直线AD 的方程为()1122y y x x =++，直线BE 的方程为1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆且垂直于长轴的弦长度为1．(1)求椭圆C的标准方程；2．（2023秋·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）已知椭圆长轴长为6．(1)求椭圆E的标准方程；(2)椭圆E的上下顶点分别为,A B，右顶点为C，过点于x轴对称，直线AP交BC于M，直线AQ交BC于点【答案】(1)221 94x y+=(2)证明见解析【详解】（1）根据题意可知26a=，可得3a=；联立直线与椭圆方程221942x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去设(),P P P x y ，易知P x 和0是方程的两根，由韦达定理可得又2P P y kx =+，所以2218894P k y k -=+，即1．（2023秋·辽宁·高二校联考阶段练习）已知椭圆3。

人教A版高中数学选择性必修第一册3.1椭圆经典例题及配套练习题

3.1 椭圆3.1.1 椭圆及其标准方程例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(−2,0)，(2,0)，并且经过点(52,−32)，求它的标准方程．解：由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)．由椭圆的定义知c=2，2a=√(52+2)2+(−32)2+√(52−2)2+(−32)2=2√10，所以a=√10，所以b2=a2−c2=10−4=6．所以，所求椭圆的标准方程为x2 10+y26=1．例2 如图3.1-5，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？图3.1-5分析：点P在圆x2+y2=4上运动，点P的运动引起点M运动．我们可以由M为线段PD的中点得到点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程．解：设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x0,y0)，则点D的坐标为(x0,0)，由点M是线段PD的中点，得x=x0，y=y02．因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上，所以x02+y02=4．①把x0=x，y0=2y代入方程①，得x2+4y2=4，即x24+y2=1．所以点M的轨迹是椭圆．例3如图3.1-6，设A，B两点的坐标分别为(−5,0)，(5,0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是−49，求点M的轨迹方程．图3.1-6分析：设点M的坐标为(x,y)，那么直线AM，BM的斜率就可用含x，y的关系式分别表示．由直线AM，BM的斜率之积是−49，可得出x，y之间的关系式，进而得到点M的轨迹方程．解：设点M的坐标为(x,y)，因为点A的坐标是(−5,0)，所以直线AM的斜率k AM=yx:5(x≠−5)．同理，直线BM的斜率k BM=yx;5(x≠5)．由已知，有y x:5×yx;5=−49(x≠±5)，化简，得点M的轨迹方程为x2 25+y21009=1(x≠±5)．点M的轨迹是除去(−5,0)，(5,0)两点的椭圆．练习1．如果椭圆x2100+y236=1上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离为____【答案】14【分析】根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a及椭圆x2100+y236=1上一点P到焦点F1的距离等于6，可得PF2的长.【详解】解：根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a，又椭圆x2100+y236=1上一点P到焦点F1的距离等于6，∴6+|PF2|=20，故|PF2|=14，2．求适合下列条件的椭圆的标准方程．（1）a=4，b=1，焦点在x轴上；（2）a=4，c=√15，焦点在y轴上；（3）a+b=10，c=2√5．【答案】（1）x216+y2=1；（2）y216+x2=1；（3）x236+y216=1或y236+x216=1.【分析】（1）根据已知直接得出方程；（2）根据已知求得b，即可得出方程；（3）由已知联立求得a,b即可得出方程.【详解】（1）a=4，b=1，焦点在x轴上的椭圆方程为x216+y2=1；（2）由a=4，c=√15可得b2=a2−c2=1，又焦点在y轴上，所以标准方程为y216+x2=1；（3）联立{a+b=10 c=2√5a2=b2+c2，解得a=6,b=4，所以标准方程为x236+y216=1或y236+x216=1.3．已知经过椭圆x225+y216=1的右焦点F2作垂直于x轴的直线AB,交椭圆于A,B两点,F1是椭圆的左焦点.（1）求ΔAF1B的周长;（2）如果AB不垂直于x轴,ΔAF1B的周长有变化吗?为什么?【答案】（1）20；（2）不变，理由见解析【分析】根据椭圆的定义ΔAF1B的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a求解.【详解】（1）由椭圆的定义得：|AF1|+|AF2|=2a=10,|BF1|+|BF2|=2a=10，所以ΔAF1B的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=20.（2）不变，由椭圆的定义ΔAF1B的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a.只受a的影响，不受AB与x轴的位置关系影响.4．已知A，B两点的坐标分别是(−1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？为什么？【答案】点M的轨迹是直线x=−3，并去掉点(−3,0)【分析】设出点M的坐标，求出直线AM,BM斜率，由k AMk BM=2可求出.【详解】设点M的坐标为(x,y)，则k AM=yx:1(x≠−1)，k BM=yx;1(x≠1)，当y≠0时，k AMk BM =x;1x:1=2，整理得x=−3(y≠0)，所以点M的轨迹是直线x=−3，并去掉点(−3,0).3.1.2 椭圆的简单几何性质例4 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．解：把原方程化成标准方程，得x2 52+y242=1，于是a=5，b=4，c=√25−16=3．因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8，离心率e=ca =35，两个焦点坐标分别是F1(−3,0)和F2(3,0)，四个顶点坐标分别是A1(−5,0)，A2(5,0)，B1(0,−4)和B2(0,4)．练习5．你能用圆规作出图中椭圆焦点的位置吗？你的依据是什么？【答案】能. 依据见解析.【分析】根据椭圆中a2=b2+c2的几何表示，即原点、焦点、短轴端点构成直角三角形，且体现a2=b2+c2求解.【详解】能.如图，以点B2(或B1)为圆心, |OA2|(或|OA1|)为半径画圆弧，与x轴交于点F1,F2，则点F1,F2就是椭圆的两个焦点.依据：因为在Rt△B2OF2中，|OB2|=b,|B2F2|=|OA2|=a，所以|OF2|=c，同理有|OF1|=c.6．求下列椭圆的焦点坐标：（1）x2100+y236=1；（2）2x2+y2=8．【答案】（1）(8,0)和(−8,0)；（2）(0,2)和(0,−2)【分析】由椭圆方程得到a2，b2，根据c2=a2−b2求出c，即可得解；【详解】解：（1）因为椭圆方程为x2100+y236=1，焦点在x轴，所以a2=100，b2=36，因为c2=a2−b2，即c=√a2−b2=√100−36=8，所以椭圆的焦点坐标为(8,0)和(−8,0)（2）因为2x2+y2=8，所以y28+x24=1，焦点在y轴，所以a2=8，b2=4，因为c2=a2−b2，即c=√a2−b2=√8−4=2，所以椭圆的焦点坐标为(0,2)和(0,−2) 7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上，a=6，e=；（2）焦点在y轴上，c=3，e=．【答案】（1）x236+y232=1（2）y225+x216=1【详解】试题分析：（1）由离心率公式，求得c，再由a，b，c的关系，求得b，即可得到椭圆方程；（2）由离心率公式，求得a，再由a，b，c的关系，求得b，即可得到椭圆方程试题解析：（1）a=6，e=，即，解得c=2，b2=a2﹣c2=32，则椭圆的标准方程为：=1；（2）c=3，e=，即，解得，a=5，b2=a2﹣c2=25﹣9=16．则椭圆的标准方程为：=1．8．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过P(−3,0)，Q(0,−2)两点；（2）长轴长等于20，离心率等于35．【答案】（1）x 29+y 24=1 （2）x 2100+y 264=1或y 2100+x 264=1.【分析】（1）设出椭圆方程,根据椭圆经过点A (−3,0),B (0,−2),得出{a =3b =2 ,代入方程即可.（2）由条件可得{2a =20c a =35 ,则可得{a =10c =6b =8 ,根据焦点所在的轴代入对应的标准方程即可. 【详解】解:（1）设椭圆方程为:x 2a 2+y 2b 2=1,因为椭圆经过点A (−3,0),B (0,−2), A (−3,0),B (0,−2)分别为左顶点和下顶点, 所以得{a =3b =2,所以椭圆标准方程为x 29+y 24=1.（2）椭圆的长轴长等于20, 离心率等于35依题意: {2a =20c a =35 ,所以{a =10c =6，由b 2=a 2−c 2=64,即b =8所以椭圆标准方程为:x 2100+y 264=1或y 2100+x 264=1.9．比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更接近于圆？为什么？（1）9x 2+y 2=36与x 216+y 212=1；（2）x 2+9y 2=36与x 26+y 210=1．【答案】（1）x 216+y 212=1更接近于圆；（2）x 26+y 210=1更接近于圆.【分析】探究可得离心率e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆. 所以只需比较离心率的大小即可得出结果.【详解】因为椭圆的离心率e =ca =√1−(b a )2，所以e 越大，ba 越小，椭圆越扁；e 越小，ba 越大，椭圆越圆. （1）椭圆9x 2+y 2=36即x 24+y 236=1，其离心率e 1=√1−436=2√23，椭圆x 216+y 212=1的离心率e 2=√1−1216=12，因为e 2<e 1，所以椭圆x 216+y 212=1更接近于圆；（2）椭圆x 2+9y 2=36即x 236+y 24=1，其离心率e 3=√1−436=2√23，椭圆x 26+y 210=1的离心率e 4=√1−610=√105，因为e4<e3，所以椭圆x26+y210=1更接近于圆.例5 如图3.1-11，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知BC⊥F1F2，|F1B|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm．试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程（精确到0.1cm）．图3.1-11解：建立如图3.1-11所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为x2 a2+y2b2=1(a>b>0)．在Rt△BF1F2中，|F2B|=√|F1B|2+|F1F2|2=√2.82+4.52．由椭圆的性质知，|F1B|+|F2B|=2a，所以a=12(|F1B|+|F2B|)=12(2.8+√2.82+4.52)≈4.1；b=√a2−c2=√4.12−2.252≈3.4．所以，所求的椭圆方程为x2 4.12+y23⋅42=1．例6 动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l:x=254的距离的比是常数45，求动点M的轨迹．解：如图3.1-12，设d是点M到直线l:x=254的距离，根据题意，动点M的轨迹就是集合。

人教版高中数学选择性必修第一册-3.1 椭圆习题课测试卷(含解析)

3.1椭圆测试卷（原卷版）1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是()A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝12．若椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为()A.32B.233C.932D.23273．(2018·课标全国Ⅱ，文)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为()A ．1－32B ．2－3C.3－12D.3－14.如图，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为()A.33B.12C.22D.325．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A ．(0，1)，12D.22，6．【多选题】设椭圆的方程为x 22＋y 24＝1，斜率为k 的直线l 不经过原点O ，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．k AB ·k OM ＝－1B ．若点M 坐标为(1，1)，则直线l 的方程为2x ＋y －3＝0C ．若直线l 的方程为y ＝x ＋1，则点M 的坐标为(13，43)D ．若直线l 的方程为y ＝x ＋2，则|AB |＝4237．与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为________．8．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．9．椭圆C ：x 28＋y 24＝1的弦AB 的中点为点Q (2，1)，则弦AB 所在直线的方程为________，若点P 为椭圆上的任意一点，F 为左焦点，O 为原点，则OP →·FP →的取值范围为________．10．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△PAB 的面积．11．过点M (－2，0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为()A ．2B ．－2C.12D ．－1212．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，下顶点为B ，离心率为32，且△BF 1F 2的面积为3.则椭圆C 的标准方程为________，若点P 在椭圆C 上，且以AP 为直径的圆过B 点，则直线AP 的斜率为________．13．已知中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上的椭圆M 的焦距为4，且椭圆M 过点(1，3)．(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点C (0，1)的直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且AC →＝2CB →，求直线l 的方程．1．设a >0，则椭圆x 2＋2y 2＝2a 的离心率是()A.12B.22C.13D ．与a 的取值有关2．已知点P 是椭圆x 216＋y 24＝1上一点，其左、右焦点分别为F 1，F 2，若△F 1PF 2外接圆的半径为4，则△F 1PF 2的面积是()A.433B ．43C ．4D.433或433．已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)．若椭圆的离心率为32，则|k 1|＋|k 2|的最小值为()A ．1 B.2C.32D.34．已知直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，若椭圆上存在点P 使△ABP 的面积等于12，则这样的点P 共有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的最短距离为3，则这个椭圆的方程为________．6．2013年我国载人航天飞船神舟十号飞行获得圆满成功．已知神舟十号飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200km ，350km.设地球半径为R km ，则此时飞船轨道的离心率为________(结果用含R 的式子表示)．7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．8．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)4，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)⊙O (O 为坐标原点)是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若OA →·OB →＝－32，求k 的值．10.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为(3，0)1M 是x 轴上的一点，过M 点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C的方程；(2)若AM→＝2MB→，且直线l与圆O(O为坐标原点)：x2＋y2＝47相切于点N，求MN的长．11．已知椭圆C过点(－1，0)，(1，0)．(1)求椭圆C的方程；(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．3.1椭圆测试卷（解析版）1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是()A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1答案D2．若椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为()A.32B.233C.932D.2327答案A 3．(2018·课标全国Ⅱ，文)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为()A ．1－32B ．2－3C.3－12 D.3－1答案D解析在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1.所以离心率e ＝ca ＝21＋3＝3－1.故选D.4.如图，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为()A.33B.12C.22D.32答案B解析设圆柱的底面半径为1，则椭圆的短半轴长为1，长轴长为2sin 60°＝433，即长半轴长为233，所以半焦距为33，故离心率为12.5．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A ．(0，1)，12D.22，答案C解析依题意，以F 1，F 2为直径且过点M 的圆在椭圆内，得c <b ，即c 2<b 2，c 2<a 2－c 2，2c 2<a 2.故－22＜e ＝c a <22，又0<e <1，所以0<e <22.6．【多选题】设椭圆的方程为x 22＋y 24＝1，斜率为k 的直线l 不经过原点O ，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．k AB ·k OM ＝－1B ．若点M 坐标为(1，1)，则直线l 的方程为2x ＋y －3＝0C ．若直线l 的方程为y ＝x ＋1，则点M 的坐标为(13，43)D ．若直线l 的方程为y ＝x ＋2，则|AB |＝423答案BD解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)＋y 124＝1，＋y 224＝1，两式相减，得x 12－x 222＋y 12－y 224＝0，即y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－2，即k AB ·k OM ＝－2，所以A 不正确；对于B ，由k AB ·k OM ＝－2，M (1，1)，得k AB ＝－2，所以直线l 的方程为y －1＝－2(x －1),即2x ＋y －3＝0，所以B 正确；对于C ，若直线l 的方程为y ＝x ＋1，k AB ·k OM ＝1×4＝4≠－2，所以C 不正确；对于D ，由x ＋2，＋y 24＝1，得3x 2＋4x ＝0，解得x ＝0或x ＝－43，所以|AB |＝1＋12|－43－0|＝423，所以D 正确．故选BD.7．与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为________．答案x 215＋y 210＝18．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．答案35解析2＋4y 2＝16，＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0，Δ＞0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－212所以弦长|MN |x 1－x 2|＝54[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝54×（4＋24）＝35.9．椭圆C ：x 28＋y 24＝1的弦AB 的中点为点Q (2，1)，则弦AB 所在直线的方程为________，若点P 为椭圆上的任意一点，F 为左焦点，O 为原点，则OP →·FP →的取值范围为________．答案x ＋y －3＝0[2，8＋42]解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)＋y 124＝1，＋y 224＝1，即x 12－x 22＋2(y 12－y 22)＝0，变形为y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2.又AB 的中点为点Q (2，1)，则有x 1＋x 22＝2，y 1＋y 22＝1，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，即直线AB 的斜率为－1，所以弦AB 所在直线的方程为y ＝－(x －2)＋1，即x ＋y －3＝0.设P (x 0，y 0)，又F (－2，0)，所以OP →＝(x 0，y 0)，FP →＝(x 0＋2，y 0)，所以OP →·FP →＝2x 0＋x 02＋y 02＝2x 0＋x 02＋4－x 022＝12(x 0＋2)2＋2.又－22≤x 0≤22，所以当x 0＝－2时，OP →·FP →有最小值2；当x 0＝22时，OP →·FP →有最大值8＋42，所以OP →·FP →∈[2，8＋42]．10．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△PAB 的面积．解析(1)由已知得c ＝22，c a ＝63，解得a ＝2 3.则b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，x ＋m ，＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①由Δ＝(6m )2－4×4×(3m 2－12)＞0，得m 2＜16.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB的中点为E(x0，y0)，则x1＋x2＝－3m2，则x0＝x1＋x22＝－3m4，y0＝x0＋m＝m4.因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝2－m4－3＋3m4＝－1，解得m＝2，满足Δ＞0.此时方程①为4x2＋12x＝0，解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝32.此时，点P(－3，2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝|－3－2＋2|2＝322.所以△PAB的面积S＝12|AB|·d＝92.11．过点M(－2，0)的直线m与椭圆x22＋y2＝1交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为()A．2B．－2C.12D．－12答案D解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)y12＝1，①y22＝1.①－②，得（x1＋x2）（x1－x2）2＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.即2x·（x1－x2）2＋2y(y1－y2)＝0.∴k1＝y1－y2x1－x2＝－x2y.又k2＝yx，∴k1·k2＝－12.12．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，下顶点为B，离心率为32，且△BF1F2的面积为3.则椭圆C的标准方程为________，若点P在椭圆C上，且以AP为直径的圆过B点，则直线AP的斜率为________．答案x24＋y2＝1310解析由题意可知ca＝32，S△BF1F2＝bc＝3.又a2－b2＝c2，所以b＝1，c＝3，a＝2，所以椭圆C的标准方程为x24＋y2＝1.以AP为直径的圆过B点，即AB⊥BP.因为k AB＝－ba＝－12，所以k BP＝2.所以直线BP的方程为y＝2x－1.2x－1，y2＝1，＝0，＝－1＝1617，＝1517，所以点PAP的斜率k AP＝1517－01617＋2＝310.13．已知中心为坐标原点O，焦点在y轴上的椭圆M的焦距为4，且椭圆M过点(1，3)．(1)求椭圆M的方程；(2)若过点C(0，1)的直线l与椭圆M交于A，B两点，且AC→＝2CB→，求直线l的方程．解析(1)设椭圆M的方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．∵2c＝4，∴c＝2，∴a2－b2＝c2＝4.又椭圆M过点(1，3)，∴3a2＋1b2＝1.b2＝4，＋1b2＝1，解得a2＝6，b2＝2.∴椭圆M的方程为y26＋x22＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0.设此时点A，B的坐标为(0，－6)和(0，6)，不满足AC→＝2CB→，∴直线l的斜率一定存在．设直线l的方程为y＝kx＋1，kx＋1，＋x22＝1，消去y并整理，得(3＋k2)x2＋2kx－5＝0.则Δ＝4k2＋20(3＋k2)＝24k2＋60>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2k3＋k2，x1x2＝－53＋k2.又∵AC→＝2CB→，∴(－x 1，1－y 1)＝2(x 2，y 2－1)，∴x 1＝－2x 2，∴x 1＋x 2＝－x 2＝－2k3＋k 2，x 1x 2＝－2x 22＝－53＋k 2，∴8k 2（3＋k 2）2＝53＋k 2，即8k 23＋k 2＝5，解得k 2＝5，∴k ＝± 5.故直线l 的方程为y ＝±5x ＋1.1．设a >0，则椭圆x 2＋2y 2＝2a 的离心率是()A.12B.22C.13D ．与a 的取值有关答案B2．已知点P 是椭圆x 216＋y 24＝1上一点，其左、右焦点分别为F 1，F 2，若△F 1PF 2外接圆的半径为4，则△F 1PF 2的面积是()A.433B ．43C ．4 D.433或43答案D解析由正弦定理得|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2×4＝8，∴sin ∠F 1PF 2＝32.∴cos ∠F 1PF 2＝±12，符合题意．由余弦定理得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2.又|PF 1|＋|PF 2|＝8，∴|PF 1||PF 2|＝16或163.∴S △F 1PF 2＝12PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝433或4 3.3．已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)．若椭圆的离心率为32，则|k 1|＋|k 2|的最小值为()A ．1 B.2C.32D.3答案A 解析不妨令A (－a ，0)，B (a ，0)．设M (x ，y )，N (x ，－y )(－a <x <a )，则k 1＝y x ＋a ，k 2＝y a －x.又椭圆的离心率为32，所以b a ＝1－e 2＝12，所以|k 1|＋|k 2|＝|y |x ＋a ＋|y |a －x≥2y 2a 2－x 2＝2b a ＝1(当且仅当|y |x ＋a ＝|y |a －x，即x ＝0时等号成立)．故选A.4．已知直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，若椭圆上存在点P 使△ABP 的面积等于12，则这样的点P 共有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案B解析可求出|AB |＝5，设P (4cos θ，3sin θ)，θ∈[0，2π)，则P 点到AB 的距离为d ＝|12（cos θ＋sin θ）－12|5＝245.∴θ＝π或3π2，∴这样的点P 有2个．5．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的最短距离为3，则这个椭圆的方程为________．答案x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1解析依题意可得a ＝2c ，a －c ＝3，∴c ＝ 3.∴a ＝23，b 2＝9.故椭圆的方程为x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1.6．2013年我国载人航天飞船神舟十号飞行获得圆满成功．已知神舟十号飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200km ，350km.设地球半径为R km ，则此时飞船轨道的离心率为________(结果用含R 的式子表示)．答案75275＋R解析由题意得a －c ＝200＋R ，a ＋c ＝350＋R ，求得a ＝275＋R ，c ＝75.所以离心率e ＝c a ＝75275＋R.7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝b cx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．答案22解析设椭圆的左焦点为F 1，O 为坐标原点，连接OQ ，QF 1，QF ，由F 关于直线l ：y ＝b c x 的对称点Q 在椭圆上，得|OQ |＝|OF |.又|OF 1|＝|OF |，所以F 1Q ⊥QF .所以F 1Q ∥l .不妨设|QF 1|＝ck (k ＞0)，则|QF |＝bk ，|F 1F |＝ak ，因此2c ＝ak .又2a ＝ck ＋bk ，由以上二式可得2c a ＝k ＝2a b ＋c，即c a ＝a b ＋c ，即a 2＝c 2＋bc ，所以b ＝c ，e ＝22.8．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．答案33解析利用直线与直线、直线与椭圆的位置关系求交点坐标，再利用两直线垂直时斜率的关系列式以确定离心率．直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a.不妨令∴kBF 1＝－b 2a －0c －（－c ）＝－b 2a 2c＝－b 22ac .∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac(x ＋c )．令x ＝0，则y ＝－b 22a.∴k AD ＝b 2a ＋b 22a c＝3b 22ac .∵AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 22ac＝－1.∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac .∴3e 2＋2e －3＝0.∴e ＝－2±4－4×3×（－3）23＝－2±423.∵e >0，∴e ＝－2＋423＝33.9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)4，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)⊙O (O 为坐标原点)是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若OA →·OB →＝－32，求k 的值．解析(1)∵2a ＝4，∴a ＝2.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2b2＝1.∵椭圆C，∴14＋94b2＝1.∴b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设O 到l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，则d ＝r ＝1.即|m |1＋k2＝1，∴m 2＝1＋k 2.①＋y 23＝1，kx ＋m ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.则Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝192k 2－48m 2＋144＝144k 2＋96＞0.设A ，B 坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－123＋4k2.∴y 1·y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝7m 2－12k 2－123＋4k 2.②将①代入②，得x 1x 2＋y 1y 2＝－5－5k 23＋4k 2.∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－32，∴－5－5k 23＋4k 2＝－32，∴k ＝±22.10.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为(3，0)1M 是x 轴上的一点，过M 点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM →＝2MB →，且直线l 与圆O (O 为坐标原点)：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求MN 的长．解析(1)2＝3，1，解得a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m ，0)，直线l ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切，∴原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋t 2＝47，即t 2＝74m 2－1.由AM →＝2MB →，得y 1＝－2y 2.y 2＝1，ty ＋m ，得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0，则Δ＝16(t 2－m 2＋4)＝12m 2＋48＞0.∴y 1＋y 2＝－2tm t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.∵y 1y 2＝－2y 22，y 1＋y 2＝－2y 2＋y 2＝－y 2，∴y 1y 2＝－2[－(y 1＋y 2)]2＝－2(y 1＋y 2)2，即m 2－4t 2＋4＝－，化简得(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2.m 2－4）（t 2＋4）＝－8t 2m 2，＝74m 2－1，消去t 2，得21m 4－16m 2－16＝0，即(3m 2－4)(7m 2＋4)＝0，解得m 2＝43，此时t 2＝43，∴±233，连接ON ，在Rt △OMN 中，|MN |＝43－47＝42121，∴MN 的长为42121.11．已知椭圆C 过点(－1，0)，(1，0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．解析(1)由题意，得c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b 2＝1(b ＞0)．因为点A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3或b 2＝－34(舍去)．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋－12＝0.由Δ＝36(2k ＋1)2＞0，得k ≠－12.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )．因为点A所以x E y E ＝kx E ＋32－k .又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代替k ，可得k ≠12，且x F y F ＝－kx F ＋32＋k .所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k （x F ＋x E ）＋2k x F －x E＝12.即直线EF 的斜率为定值，其值为12.。

8道椭圆大题

1．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)． (1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．2．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上两点，已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1b ，y 1a ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2b ，y 2a ，若m·n＝0且椭圆的离心率e ＝32，短轴长为2，O 为坐标原点． (1)求椭圆的方程；(2)△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．3．如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．4．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3. (1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (0,1)，Q (0,2)．设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T .求证：点T 在椭圆C 上．6．如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形． (1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．7．已知椭圆4422=+y x ，直线l ：y ＝x ＋m(1)若l 与椭圆有一个公共点，求m 的值；(2)若l 与椭圆相交于P ，Q 两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m 的值．8．已知曲线E 上任意一点P 到两个定点()1F ，)2F 的距离之和4．（1）求曲线E 的方程；（2）设过(0，-2)的直线l 与曲线E 交于,C D 两点，且0OC OD ⋅=u u u r u u u r（O 为原点），求直线l 的方程．1解析 (1)由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)， AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4.因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2. 此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3，2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.2解析 (1)∵2b ＝2，∴b ＝1，∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32. ∴a ＝2，c ＝3.∴椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.(2)①当直线AB 的斜率不存在，即x 1＝x 2时， y 1＝－y 2，由m·n ＝0得x 21－y 214＝0，∴y 21＝4x 21.又A (x 1，y 1)在椭圆上，∴x 21＋4x 214＝1，∴|x 1|＝22，|y 1|＝2，△AOB 的面积S ＝12|x 1||y 1－y 2|＝12|x 1|·2|y 1|＝1.②当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx ＋b (其中b ≠0)，代入y 24＋x 2＝1，得 (k 2＋4)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0.Δ＝(2kb )2－4(k 2＋4)(b 2－4)＝16(k 2－b 2＋4)， x 1＋x 2＝－2kb k 2＋4，x 1x 2＝b 2－4k 2＋4，由已知m·n ＝0得x 1x 2＋y 1y 24＝0，∴x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）4＝0，代入整理得2b 2－k 2＝4，代入Δ中，满足题意，∴△AOB 的面积S ＝12·|b |1＋k 2|AB |＝12|b |·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝|b |4k 2－4b 2＋16k 2＋4＝4b 22|b |＝1.∴△AOB 的面积为定值13.解 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎨⎧x P ＝x ，y P＝54y ，∵P 在圆上，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫54y 2＝25，即C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋?x －3?225＝1，即x 2－3x －8＝0.∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.∴线段AB 的长度为|AB |＝?x 1－x 2?2＋?y 1－y 2?2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1625?x 1－x 2?2＝4125×41＝415. 4解 (1)设椭圆C 的焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2. 所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF 2→＝2F 2B →及l 的倾斜角为60°，知y 1<0，y 2>0，直线l 的方程为y ＝3(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3?x －2?，x 2a 2＋y 2b 2＝1消去x ，整理得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2?2＋2a ?3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2?2－2a ?3a 2＋b 2.因为AF 2→＝2F 2B →，所以－y 1＝2y 2，即3b 2?2＋2a ?3a 2＋b 2＝2·－3b 2?2－2a ?3a 2＋b 2，解得a ＝3.而a 2－b 2＝4，所以b 2＝5. 故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.5.(1)解由题意知，b ＝22＝ 2. 因为离心率e ＝c a ＝32，所以ba ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12. 所以a ＝2 2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)证明由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，① 直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2.②法一联立①②解得x ＝x 02y 0－3，y ＝3y 0－42y 0－3，即T ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－3，3y 0－42y 0－3.由x 208＋y 202＝1，可得x 20＝8－4y 20.因为18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 0－42y 0－32＝x 20＋4?3y 0－4?28?2y 0－3?2＝8－4y 20＋4?3y 0－4?28?2y 0－3?2＝32y 20－96y 0＋728?2y 0－3?2＝8?2y 0－3?28?2y 0－3?2＝1，所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．法二设T (x ，y )，联立①②解得x 0＝x 2y －3，y 0＝3y －42y －3.因为x 208＋y 22＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1. 整理得x 28＋?3y －4?22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y22＝1.所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上．6解 (1) 如图，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2. 结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝25 5. 在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为：x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5，又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16?m 2＋1?m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，得B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.7．（1）5±=m ；（2）430±=m ；【解析】（1）联立直线与椭圆方程⎩⎨⎧+==+mx y y x 4422得：04-48522=++m mx x，5,016-802±===∆m m 所以。

高中数学选择性必修一精讲精炼 1 椭圆的简单几何性质(精讲)(教师含解析)

3.1.2 椭圆的简单几何性质(精讲)考点一离心率【例1】(1)(2021·四川高二期末(文))椭圆()222210x ya ba b+=>>的左右焦点分别是1F，2F，以2F为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线1PF恰好与圆2F相切于点P，则椭圆的离心率为( )．A B C1D(2)(2021·黄冈天有高级中学高二月考)已知12,F F是椭圆的两个焦点，过1F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于,A B两点，若2ABF是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是( )A B．2C1D【答案】(1)C(2)C【解析】(1)由题意2PF c=，12PF PF⊥，所以1PF===，所以122PF PF c a++=，所以离心率为1cea=．故选：C．(2)不妨设椭圆方程为()222210x ya ba b+=>>，焦点()()12,0,,0F c F c-，离心率为e，将x c =代入22221c y a b +=可得2b y a =±，所以22bAB a =,又2ABF 是等腰直角三角形，所以212224bAB F F c a===，所以22b c a =即2220c a ac -+=，所以2210e e +-=，解得1e =(负值舍去).故选：C. 【一隅三反】1．(2021·河北石家庄二中高一期末)若焦点在x 轴上的椭圆 22116x y m +=+m = A ．31 B ．28 C ．25 D ．23【答案】D【解析】焦点在x 轴上，所以221,6a m b =+= 所以2165c m m =+-=-离心率e =，所以2225314c m e a m -===+解方程得m=23 所以选D2．(2021·江苏高二期末)设1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点，点P 在C 上，且1122,,PF F F PF 成等比数列，则C 的离心率的最大值为( ) A ．12 B ．23C ．34D ．1【答案】A【解析】设()2120F F c c =>，122PF PF a +=，因为1122,,PF F F PF 成等比数列，所以2212124F F PF PF c =⨯=，由12PF PF +≥2a ≥ 即12c e a =≤，当且仅当12PF PF =等号成立，所以椭圆C 的离心率最大值为12. 故选：A.3．(2021·全国高二课时练习)在Rt ABC 中，1AB AC ==，如果一个椭圆通过A ､B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率e =( )A B 1C 1D -【答案】D【解析】设另一个焦点为F ，如图所示，∵||||1AB AC ==，||BC42AB AC BC a ++==a =，设FA x =，则12x a +=，12x a -=，∴x =2214c +=，c =c e a ==故选:D.考点二点与椭圆的位置关系【例2】(1)(2021·广西平果二中(理))点(1,1)与椭圆22132x y +=的位置关系为( )A ．在椭圆上B ．在椭圆内C ．在椭圆外D ．不能确定(2)(【新教材精创】3.1.2 椭圆的简单几何性质(2) 导学案-人教A 版高中数学选择性必修第一册)若点(),1P a 在椭圆22123x y +=的外部，则a 的取值范围为( )A ．⎛ ⎝⎭B ．,⎫⎛+∞⋃-∞⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭C ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】(1)B(2)B【解析】(1)1151326+=<，可知点(1,1)在椭圆内．故选：B.(2)因为点(),1P a 在椭圆22123x y +=的外部，所以221123a +>，即243a >，解得a >a <.故选：B. 【一隅三反】1．(2021·安徽定远二中)点()1,0.7P 与椭圆2212x y +=的位置关系为( )A ．在椭圆内B ．在椭圆上C ．在椭圆外D ．不能确定【答案】A【解析】2210.70.9912+=<，所以，点P 在椭圆2212x y +=内.故选：A.2．(2021·甘肃省民乐县第一中学高三二模(理))若直线9mx ny +=和圆229x y +=没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆221916x y +=的交点个数为( )A ．1个B ．至多一个C ．2个D ．0个【答案】C【解析】因为直线9mx ny +=和圆229x y +=没有交点， 3>，即229m n +<，所以2222191699m n m n +≤+<，即点(,)m n 在椭圆221916x y +=内，所以过点(,)m n 的直线与椭圆221916x y +=的交点个数为2个. 故选：C考点三直线与椭圆的位置关系【例3】(2021·安徽省泗县第一中学)已知椭圆的长轴长是(，. (1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y x m =+与这个椭圆交于两不同的点，求m 的取值范围.【答案】(1)2213x y +=；(2)22m -<<.【解析】(1)由已知得2a =c = 解得a =2321b ∴=-=，∴椭圆的标准方程为2213x y +=． (2)由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解方程组并整理得2246330x mx m ++-=，有两个不同的交点∴222(6)44(33)12(4)0m m m ∆=-⨯⨯-=-->．解不等式得22m -<<． m ∴的取值范围(2,2)-．【一隅三反】1．(2021·上海市长征中学)设直线与椭圆的方程分别为 2y x b =+与2217525x y +=，问b 为何值时，(1)直线与椭圆有一个公共点； (2)直线与椭圆有两个公共点； (3)直线与椭圆无公共点.【答案】(1)b =±(2)b -<(3)b <-b >【解析】设直线与椭圆的方程分别为 2y x b =+与2217525x y +=，问b 为何值时，由22217525y x b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2213172530x bx b ++=-.(1)当()()22124133075b b =--∆⨯⨯=，即b =±(2)当()()22124133075b b =--∆⨯⨯>，即b -<(3)()()22124133075b b =--∆⨯⨯<即b <-b >时直线与椭圆无公共点.2．(2021·广东高二期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P到两点(M N 的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程.(2)若直线2y kx =+与曲线C 有公共点，求实数k 的取值范围. 【答案】(1)2214x y +=；(2)|k k k ⎧⎪≤≥⎨⎪⎪⎩⎭.【解析】(1)由己知得4PM PN MN +=>=由椭圆定义可知，轨迹C 是以M ，N为焦点，焦距长2c =24a =的椭圆. 所以222431b a c =-=-=，所以曲线C 的方程是2214x y +=.(2)由22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221416120k x kx +++=. ()()22216412146448k k k ∆=-⨯⨯+=-，因为直线2y kx =+与曲线C 有公共点，所以0∆≥，即264480k -≥，解得k ≤k ≥故实数k的取值范围是|k k k ⎧⎪≤≥⎨⎪⎪⎩⎭.3．(2021·莆田第十五中学高二期末)直线0x y m --=与椭圆2219xy +=有且仅有一个公共点，求m 的值.【答案】m =【解析】将直线方程0x y m --=代入椭圆方程2219x y +=，消去x 得到：2210290y my m -++=，令0∆=，即()22441090m m -⨯-=解得m =考点四弦长【例4-1】(2021·全国高二课时练习)直线x －y ＋1＝0被椭圆23x ＋y 2＝1所截得的弦长|AB |等于( )A．2BC．D．【答案】A【解析】由2210,1,3x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得交点为(0,1)，31(,)22--，则|AB |故选：A.【例4-2】(2021·陕西高二期末(理))已知椭圆()2222:10y x E a b a b +=>>的焦距为⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线1y kx =+与椭圆E 交于M 、N 两点，O 为坐标原点，求OMN 面积的取值范围．【答案】(1)2214y x +=；(2)⎛ ⎝⎦. 【解析】(1)因为焦距为2c =c =因为点⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆E 上，所以221314a b +=，联立222221314c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，21b =，椭圆E 的标准方程为2214y x +=. (2)设()11,M x y ，()22,N x y ，联立22141y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()224230k x kx ++-=，0∆>，则12224k x x k +=-+，12234x x k =-+，原点到直线1y kx =+，则MON △的面积12S ==令t =t ≥，22211t S t t t==++，令1y t t =+，则221t y t-'=，函数1yt t =+在)+∞上单调递增，故1t t +≥，201t t <≤+OMN 面积的取值范围为⎛ ⎝⎦. 【一隅三反】1．(2021·安徽省泗县第一中学高二开学考试(理))已知椭圆的长轴长是()，).(1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y x m =+与这个椭圆交于A ､B两不同的点，若2AB =，求m 的值. 【答案】(1)2213x y +=；(2)1m =±.【解析】(1)由已知得2a =a =c =2221b a c =-=所以椭圆的标准方程2213x y +=(2)由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消除y 得2246330x mx m ++-= 因为有两个不同的交点，所以()222(6)44(33)1240m m m ∆=-⨯⨯-=-->得m 的取值范围为()2,2- 由韦达定理得：126342m m x x --+== ，212334m x x -=所以2AB ==解得1m =±2．(2021·四川高二期末(文))已知椭圆1C 以直线0x my +=所过的定点为一个焦点，且短轴长为4． (1)求椭圆1C 的标准方程；(2)过点()1,0C 的直线l 与椭圆1C 交于A ，B 两个不同的点，求OAB 面积的最大值．【答案】(1)22194x y +=；【解析】(1)直线0x my +过定点)，即椭圆的一个焦点为)，依题意：椭圆1C 的半焦距c =2b =，长半轴长a 有2229a b c =+=，所以椭圆1C 的标准方程为22194x y +=； (2)显然点()1,0C 在椭圆内部，即直线l 与椭圆必有两个不同的交点，由题意得直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为1x ky =+，由2214936x ky x y =+⎧⎨+=⎩消去x 整理得()22498320k y ky ++-=, 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122849k y y k -+=+，1223249y y k -=+, 从而有1212111||||222△△△OAB AOC BOC S S S OC y OC y y y =+=⋅⋅+⋅⋅=-421k =++121=，t 1()4f t t t=+在)+∞单调递增，则t 0k=时，14t t =+≥=于是有129AOB S ≤△0k =时等号成立，所以OAB 3．(2021·重庆字水中学高二期末)已知椭圆22:1y E x m +=的下焦点为1F 、上焦点为2F ，其离心率e =过焦点2F 且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于A 、B 两点 (1)求实数m 的值；(2)求ABO (O 为原点)面积的最大值．【答案】(1)2m =；【解析】(1)由题意可得：21b =，2a m =，可得1b =，a =因为c e a ==c = 因为222a b c =+，所以12mm =+，可得2m =，(2)由(1)知：椭圆22:12y E x +=，上焦点()20,1F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:l 1y kx =+，由22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()222210k x kx ++-=，所以12222k x x k -+=+，12212-=+x x k ，所以()()()()222222121212222222442248842222k k k k x x x x x x k k k k ++-+⎛⎫-=+-=+== ⎪++⎝⎭++，可得：12x x -=所以12211122ABOSx x OF =⨯-⨯==≤即0k =时等号成立，所以ABO (O 为原点)面积的最大值为2. 考点五中点弦与点差法【例5】(1)(2021·全国高二专题练习)已知椭圆2219x y +=，过点11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与椭圆相交于A 、B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( ) A ．950x y +-= B ．940x y --= C ．950x y +-=D ．940x y -+=(2)(2021·南京市中华中学高二期中)已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点为F ，过点F的直线0x y -与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为( )A ．22132x y +=B ．2214x y +=C ．22142x y +=D ．22163x y +=【答案】(1)C(2)D【解析】(1)设点()11,A x y 、()22,B x y ，由已知可得121211x x y y +=⎧⎨+=⎩，因为点A 、B 都在椭圆上，则221122221919x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差可得()()()()1212121209x x x x y y y y -++-+=，即()121209x x y y -+-=，所以，直线AB 的斜率为121219AB y y k x x -==--，因此，直线AB 的方程为111292y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即950x y +-=. 故选：C.(2)直线0x y -过点F ，令0y =则x =()F，即c =设()()1122,,,A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b +=+=，两式相减并化简得2121221212y y y y b a x x x x +--=⋅+-，所以222222111222b b a b a a ⎛⎫-=-⋅⇒=⇒= ⎪⎝⎭，22223,c a b b b a =-====所以椭圆C 的方程为22163x y +=.故选：D 【一隅三反】1．(2021·浙江嘉兴·高二期中)已知点P Q M ，，是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上的三点，坐标原点O 是PQM的重心，若点M ⎫⎪⎪⎝⎭，直线PQ 的斜率恒为12-，则椭圆C 的离心率为( ) ABCD【答案】D【解析】设()()1122,,,P x y Q x y，又,M ⎫⎪⎪⎝⎭由原点O 是PQM的重心，得1212220,033x x y y ++==，即1212,x x y y +=+=，又P Q ，是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的点，2222112222221,1x y x y a b a b∴+=+=，作差可得：()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=-，即()()2212122121212b b x x y y x x a y y ⎛⎫⋅ ⎪+-=-=-=-+⎝⎭，即12b a =，∴c e a===，故选：D2．(2021·河南新乡·高二期末(理))已知椭圆()2222:10x y G a b a b+=>>的右焦点为()F ，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB的中点坐标为，则G 的方程为( )A ．2213214+=x yB ．2213820+=x yC ．2214830+=x yD ．2213618x y +=【答案】D【解析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两个等式作差得22221212220x x y y a b --+=，整理可得2221222212y y b x x a-=--，设线段AB的中点为M，即2121221212AB OMy y y y b k k x x x x a-+⋅=⋅=--+，另一方面12AB MFk k ==，1OM k =-，所以，()2211122b a -=⨯-=-，所以，22222182c a b a b ⎧=-=⎨=⎩，解得223618a b ⎧=⎨=⎩，因此，椭圆G 的方程为2213618x y +=.故选：D.3．(2021·江苏)已知椭圆C 的方程为2214x y +=，直线AB 与椭圆C 交于A ，B 点，且线段AB 的中点坐标为1(1,)2，则直线AB 的方程为( )A ．3220x y --=B ．4230--=x yC ．2230x y +-=D ．+220x y -=【答案】D【解析】设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则有221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得12121212()()()()04x x x x y y y y -++-+=， ∴121212124()y y x xx x y y -+=--+．又12122,1x x y y +=+=， ∴121221412y y x x -=-=--⨯，即直线AB 的斜率为12-， ∴直线AB 的方程为11(1)22y x -=--，即+220x y -=．故选：D.4．(2021·河北辛集中学高二期中)过椭圆216x ＋24y ＝1内一点M (2，1)引一条弦，使弦被M 点平分．(1)求此弦所在的直线方程； (2)求此弦长．【答案】(1)x ＋2y －4＝0；【解析】(1)设所求直线方程为y －1＝k (x －2)．代入椭圆方程并整理，得 (4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0，① 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程的两个根，于是x 1＋x 2＝228(2)41k k k -+.又M 为AB 的中点，∴122x x +＝224(2)41k k k -+＝2，解得k ＝－12，直线方程为11(2)2y x -=--，即x ＋2y －4＝0.(2)由(1)将k ＝－12代入①得，x 2－4x ＝0， ∴120,4x x ==， ∴|AB |12|x x -＝考点六最值【例6】(1)(2021·浙江高二期末)点P 、Q 分别在圆(222x y +=和椭圆2214x y +=上，则P 、Q 两点间的最大距离是( )A ．B ．C ．D ．(2)(2021·江苏高二开学考试)已知椭圆22:194x y C +=的右顶点为2A ，直线:l x m =与椭圆C 相交于A ，B 两点，当2∠AA B 为钝角时，m 的取值范围是( )． A ．150,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．15,313⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1515,00,1313⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．15153,,31313⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】(1)C(2)B【解析】(1)圆(222x y +=的圆心为(C ，半径为r =设点(),Q x y ，则2244x y =-且11y -≤≤，CQ ==，当且仅当3y =-时，等号成立，所以，max max PQ CQ r =+=故选：C.(2)易知33m -<<，x m=代入22194x y +=得y =±AB =由对称性知2AA B 是等腰三角形，AB 是底，设AB 与x 轴交点为M ，如图， 2∠AA B 为钝角，则24AA M π∠>，∴2AM MA >，即3m >-，解得15313m <<．故选：B ．【一隅三反】1．(【新东方】高中数学20210429—004【2020】【高二上】)已知P 为椭圆22221x y a b+=上一点，12,F F 是焦点，12F PF ∠取最大值时的余弦值为13，则此椭圆的离心率为_______．【解析】依题意12122,2PF PF a F F c +==，222a b c =+，当12F PF ∠取最大值时，即12cos F PF ∠最小，即12cos F PF ∠的最小值为13.而()222221212121212121224cos 22PF PF PF PF c PF PF F F F PF PF PF PF PF +-⋅-+-∠==⋅⋅222121212424212a PF PF c b PF PF PF PF -⋅-==-⋅⋅，而()2122124PF PF PF PF a +⋅≤=，当且仅当12PF PF a ==时等号成立，故21222cos 1b F PF a∠≥-，当且仅当12PF PF a ==时等号成立，所以12cos F PF ∠的最小值为222113b a -=，即2223ba =，故c e a ===2．(2021·重庆西南大学附中高二期末)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点为1F ､2F ，离心率为12，过2F 的直线l 交C于A ､B 两点，若1AF B △的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆上存在两点关于直线4y x m =+对称，求m 的取值范围.【答案】(1)22143x y +=；(2)m <<【解析】(1)1AF B △周长为8，即48a =，2a ∴=.又因为12e =，1c ∴=，b =椭圆方程22143x y C +=：，(2)设椭圆上两点11(,)A x y ，22(,)B x y 关于4y x m =+对称，则AB 的方程为14y x t =-+，由2214143y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 有：2213816480x tx t -+-= 由22(8)413(1648)0.t t ∆=--⨯⨯->得213,4t <① 又1212128124,()213413t tx x y y x x t +=+=-++=因为AB 的中点在直线4y x m =+上，所以1212422y y x x m ++=+，即12441313t tm =⨯+ 所以1340m t +=②，由①②得：2413m <，即m <<。

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准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．
例7 已知椭圆，（ 1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为 2的平行弦的中点轨迹方程；（ 3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（ 4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，
求线段中点的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则
因此且从而．
说明： (1)由椭圆的标准方程知，，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在轴上，知，． (3)求的取值范围时，应注意题目中的条件．
例 12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过和两点的椭圆方程．分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，
可设其方程为 (，)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．
（ 1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（ 2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．解：（ 1）把直线方程代入椭圆方程得，即．，解得．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（ 1）得，．
根据弦长公式得：．解得．方程为．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ区别．
解：设所求椭圆方程为 (，)．由和两点在椭圆上可得即所以，．故所求的椭圆方程为．
例知圆，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，求线段中点的轨 13 迹．分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量 (相关点 )求轨迹方程或轨迹．解：设点的坐标为，点的坐标为，则，．因为在圆上，所以．将，代入方程得．所以点的轨迹是一个椭圆．
，⑨
将⑧⑨代入⑦得：
，
⑩
再将代入⑩式得：，即．
此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用
其它方法解决．
例8 已知椭圆及直线．
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点关于直线的对称点的坐标为（－ 9， 6），直线的方程为．解方程组得交点的坐标为（－ 5，4）．此时最小．所求椭圆的长轴：，∴，又， ∴．因此，所求椭圆的方程为．
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从而由这些等式关系求出和代入已知的轨迹方程，就可以求出关于，的方程，
化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．
例14 已知长轴为 12，短轴长为 6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．分析：可以利用弦长公式求得，
也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解： (法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．
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（教师版）椭圆标准方程典型例题
例1 已知椭圆的一个焦点为（ 0， 2）求的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值．
解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得．又，所以，适合．故．
例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设
分析：关键是根据题意，列出点 P满足的关系式．解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即．∴点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为 4，半短轴长为的椭圆的方程：．说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标
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说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为，
设已知轨迹上的点的坐标为，然后根据题目要求，使，与，建立等式关系，
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这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．
用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．
例9 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．解：如图所示，椭圆的焦点为，．
①－②得．由题意知，则上式两端同除以，有，将③④代入得．⑤
（1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为：． ⑥
将⑥代入椭圆方程得，符合题意，为所求．
（ 2）将代入⑤得所求轨迹方程为：
．（椭圆内部分）
（ 3）将代入⑤得所求轨迹方程为：
．（椭圆内部分）
（4）由①＋②得：， ⑦，将③④平方并整理得
， ⑧，
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分析：（ 1）由已知可得，再利用椭圆定义求解．（2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方
程．解：（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，故其方程为．（2）设，，则． ①
由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．例4 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即．
条件，运用待定系数法，求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．
解：当焦点在轴上时，设其方程为．由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为．当焦点在轴上时，设其方程为．由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为．
例3 的底边，和两边上中线长之和为 30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．