椭圆练习题(经典归纳)

初步圆锥曲线

感受：已知圆O 以坐标原点为圆心且过点12? ??

,,M N 为平面上关于原点对称的两点,已知N 的坐

标为0,?

??

,过N 作直线交圆于,A B 两点 （1）求圆O 的方程; （2）求ABM ?面积的取值范围

二. 曲线方程和方程曲线

（1）曲线上点的坐标都是方程的解； （2）方程的解为坐标的点都在曲线上. 三. 轨迹方程

例题：教材P.37 A 组.T3 T4 B 组 T2

练习1.设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A 的距离之比为3

，则动点P 的轨迹方程是____

练习2.已知两定点的坐标分别为()()1,0,2,0A B -，动点满足条件2MBA MAB ∠=∠，则动点M 的轨迹方程为___________

总结：求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系

（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示） （3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 四. 设直线方程

设直线方程：若直线方程未给出，应先假设.

（1）若已知直线过点00(,)x y ，则假设方程为00()y

y k x x ；

（2）若已知直线恒过y 轴上一点()t ，0，则假设方程为t kx y +=； （3）若仅仅知道是直线，则假设方程为b kx y +=

【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论；

（4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ，且水平线不满足条件（斜率为0），可以假设 直线为x

my t 。

【反斜截式，1

m k

】不含垂直于y 轴的情况（水平线） 例题：圆C 的方程为：.0222=-+y x

（1）若直线过点）（4,0且与圆C 相交于A,B 两点，且2=AB ,求直线方程. （2）若直线过点）（3,1且与圆C 相切，求直线方程. （3）若直线过点）

（0,4且与圆C 相切，求直线方程. 附加：4)4(3:22

=-+-y x C ）（

. 若直线过点）

（0,1且与圆C 相交于P 、Q 两点，求CPQ S ?最大时的直线方程.

椭圆

1、椭圆概念

平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离c 2叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有

21||||2MF MF a +=.

注意：212F F a >表示椭圆；212F F a =表示线段21F F ；212F F a <没有轨迹； 2、椭圆标准方程

椭圆方程为12

2

222=-+c a y a x ，设2

2c a b -=，则化为()012222>>=+b a b

y a x 这就是焦点在x 轴上的椭圆的标准方程,这里焦点分别是1F ()0,c -，2F ()0,c ，且22c a b -=.

类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆的

标准方程()22

2210y x a b a b

+=>>．

椭圆标准方程：22

221x y a b

+=（0a b >>）（焦点在x 轴上）

或122

22=+b

x a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。 注：（1）以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b a c =-；

（2）要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小，“谁大焦点在谁上”

一、求解椭圆方程

1已知方程1232

2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为__________.

2.椭圆63222=+y x 的焦距是（） A ．2

B ．)23(2-

C ．52

D ．)23(2+

3.若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)2

3,2

5(-，则椭圆方程是（）

A ．14822=+x y

B ．161022=+x y

C ．18

422=+x y D ．16

10

2

2

=+

y x

4.过点(3, －2)且与椭圆4x 2+9y 2

=36有相同焦点的椭圆的方程是（）

A.

2211510x y += B.221510x y += C.2211015x y += D.22

12510

x y += 5.椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆方程是. ( ) A.16x 2＋9y 2＝1 B.16x 2＋12y 2＝1 C.4x 2＋3y 2＝1 D.3x 2

＋4

y 2＝1

二、椭圆定义的应用

1.椭圆

116

252

2=+y x 上的一点P,到椭圆一个焦点的距离为３,则P 到另一焦点距离为 ( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7

2．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(9

21>+=+a a

a PF PF ，则点P 的轨迹是（）

A ．椭圆

B ．线段

C ．不存在

D ．椭圆或线段

3．过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点2

F 构成2ABF ?，那么2ABF ?的周长是（）

A ．22

B ． 2

C ．2

D ． 1

4．椭圆

22

1259

x y +=上的点M 到焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |为（） A. 4 B . 2 C. 8 D .

23

5．椭圆13

122

2=+y x 的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF

的

A ．4倍

B ．5倍

C ．7倍

D ．3倍

三、求椭圆轨迹方程

1．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是 A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．圆

2.设A ，B 的坐标分别为()5,0-，()5,0．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为49

-，求点M 的轨迹方程

3.已知圆Q A y x C ),0,1(25)1(:22及点=++为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于M ，则点M 的轨迹方程为

4.P 是椭圆592

2y x +=1上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，则PM 中点的轨迹方程为 A 、159422=+y x B 、154922=+y x C 、12092

2=+y x D 、5

3622y x +=1

5.动圆与圆O ：122=+y x 外切，与圆C ：08622=+-+x y x 内切，那么动圆的圆心M 的轨迹是： A.抛物线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线一支

6.设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程．

四、焦点三角形

1．椭圆19

252

2=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（） A ．9 B ．12 C ．10 D ．8

2．21,F F 是椭圆17

92

2=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则Δ12AF F 的面积为

A ．7

B ．

47 C ．2

7

D ．257

3．若点P 在椭圆12

22

=+y x 上，1F 、2F 分别是椭圆的两焦点，且 9021=∠PF F ，则21PF F ?的面积是

A. 2

B. 1

C.

23 D. 2

1