三角形的面积公式 探索
巧借梯形和三角形面积公式探索规律
∙ ∙ ∙ ∙∙∙
（100层）
总数=（顶层数+底层数）×层数÷2
• • • • •
（1+100）×100÷2 =101×100÷2 =10100÷2 =5050 从1开始的n个连续自然数的和可以用如下 的式子表示： • (1+n)×n÷2
100以内所有奇数的和是多少？
• • • • • 1+3+5+∙∙∙ +95+97+99 =（1+99）×50÷2 =100×50÷2 =5000÷2 =2500
田忌赛马
想一想：什么变了，什么没变？
田忌的马还是那三匹马，只是改变 了马匹出场的顺序，便反败为胜。
• 我们的整数和小数四则混合运算中同样蕴 含着这样的智慧。我们可以运用计算法则 和运算定律适当改变一个算式的运算顺序 或结构，就可以使计算简便。
• 用简便算法计算 • 11 × 9.9 - 3.6 - 6.3 • 98 × 99 ÷ 2
•
•
• 0+1+2+3+4+5+∙∙∙+97+98=？（条）
1
0
2
3
4
5 6 99
（99层）
（98条）
∙ ∙ ∙ ∙∙∙
在同一平面内，任意三点都不在同一条 直线上的99个点，能确定多少条直线？
• 直线总数=底层数×层数÷2
•
• • • • • •
C总数=(n-1)×n÷2
=（99-1）×99÷2 =98×99÷2 =98×（100-1）÷2 =（9800-98）÷2 =9702÷2 =4851（条）
孙膑的智慧 • 四两拨千斤 • 例.1（小组合作，说一说，摆一摆，算一算） • 1+2+3+4+5+∙∙∙+98+99+100 • 先找到撬动千斤大石的杠杆和 支点
北师大版五年数学上册第四单元探索活动三角形的面积教案
学生在小组内说一说自己的想法后汇报：我们把两个完全一样中的一个三角形倒过来，就可合拼成一个平行四边形。
拼成的平行四边形的底与高分别是原来三角形的底与高，平行四边形的面积是原来三角形面积的2倍。
（让学生一起观察转化过程）
3．仔细观察。
教师用让学生一起观察下面的方格纸和三角形：
先让学生仔细观察，再在小组内说一说：这三角形的面积是多少？这个长方形方格的面积是多少？
引导学生观察发现：这个三角形是长方形的面积的一半。
长方形的面积是12c㎡，所以三角形的面积是6c㎡。
提问：这个长方形的长和宽与这个三角形的底和
高有什么关系？
学生仔细观察后发现：长方形的长和三角形的底一样都是4cm，长方形的宽和三角形的高一样都是3cm。
《三角形的面积》小学数学公开课教案(优秀10篇)
《三角形的面积》小学数学公开课教案（优秀10篇）角形的面积教学设计篇一【教学目标】1、探索并掌握三角形的面积公式，能正确计算三角形的面积，并能应用公式解决简单的实际问题。
2、使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会转化方法的价值，发展学生的空间观念和初步的推理能力。
3、让学生在探索活动中获得积极的情感体验，进一步培养学生学习数学的兴趣。
【教学重点】探索并掌握三角形的面积公式，能正确计算三角形的面积。
【教学难点】理解三角形面积公式的推导过程。
【教学准备】每小组各两个完全一样的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形，每小组各一个长方形、正方形和平行四边形的纸模型；一条红领巾；多媒体课件。
【教学过程】一、动手操作，发现规律1、师：同学们，我们来玩一个游戏好吗？（好）。
请大家拿出信封内的长方形、正方形和平行四边形，听好了，既然是游戏当然就有游戏规则，请想一想，如何在每个图形上折一次，使折痕两边的形状、大小完全一样，先思考或讨论有几种折法，再开始折，并用彩色笔画出折痕。
2、小组学生代表上台汇报操作结果。
3、师根据汇报有选择地在黑板上贴出以下四种折法：4、让学生观察后提问。
师：这三个图形分别折成了两个形状、大小完全一样的什么图形？生：这三个图形分别折成了两个形状，大小完全一样的三角形。
师：如果我们知道长方形长为30厘米，宽为20厘米，它的面积是多少？每个三角形的面积是多少？你是怎样求出来的？生1：长方形的面积是30×20=600（平方厘米）每个三角形的面积是600÷2=300（平方厘米）师：如果我们知道正方形边长为30厘米，它的面积是多少？每个三角形的面积又是多少呢？为什么？生2：正方形的面积是30×30=900（平方厘米）每个三角形的面积是900÷2=450（平方厘米）师：如果我们知道平行四边形的底为40厘米，高为20厘米，它的面积是多少？每个三角形的面积呢？为什么？生3：平行四边形的面积是40×20=800（平方厘米）每个三角形的面积是800÷2=400（平方厘米）【设计意图】：通过动手操作，即做到复习旧知，又让学生初步理解三角形的面积与平行四边形之间的联系，为新知的探索做好铺垫。
三角形的面积公式和高度
三角形的面积公式和高度三角形是几何学中最基本的图形之一，它的面积公式和高度计算方法对于解决各类几何问题至关重要。
在本文中，我们将介绍三角形的面积公式以及如何计算其高度。
一、三角形的面积公式三角形的面积可以通过以下公式来计算：面积 = 底边长度 ×高 ÷ 2 （公式1）其中，底边长度表示三角形的任意一边的长度，高代表从底边垂直向上的直线距离。
也可以使用以下公式计算面积：面积 = (a × b × sin C) ÷ 2 （公式2）其中，a和b代表两条边的长度，C代表它们之间的夹角。
需要注意的是，无论是使用公式1还是公式2，计算得到的三角形面积都是相同的。
因此，根据实际情况和所掌握的信息，可以选择合适的公式进行计算。
二、三角形高度的计算方法三角形的高度指的是从底边上某一顶点到与底边垂直相交的线段长度。
由于三角形的形状各异，高度的计算方法也因三角形类型的不同而有所差异。
1. 直角三角形的高度计算直角三角形是其中最简单的一种情况。
在直角三角形中，高度恰好是与直角相邻的两条边之一。
假设直角点为C，底边为a，另一边为b，则可以通过以下公式计算高度：高度 = a 或 b2. 等边三角形的高度计算等边三角形的特点是三条边长度相等。
在等边三角形中，由于三条边互为平行边，因此高度也是三角形内部垂直于底边的线段，且高度可以通过以下公式计算：高度= √3 × 边长 ÷ 23. 一般情况下三角形的高度计算对于一般情况下的三角形，可以通过以下步骤计算高度：步骤一：选择底边上的一个顶点，假设为A；步骤二：通过过顶点A并平行于另外两边的直线，找到与底边B垂直的交点，假设为D；步骤三：连接点D和底边的另一顶点C，可以得到高度。
在计算三角形高度时，可以使用勾股定理、相似三角形等几何知识辅助计算高度。
综上所述，三角形的面积公式和高度的计算方法是解决几何问题中必不可少的工具。
三角形的面积计算公式推导过程
掌握公式的变形和扩展
变形
根据需要，可以将公式中的参数进行替 换或变形，以适应不同情况下的计算需 求。
VS
扩展
可以将三角形面积计算公式与其他几何公 式结合使用，以解决更复杂的问题，例如 计算多边形面积、求解几何问题等。
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CATALOGUE
三角形面积计算公式的实际应用
在几何问题求解中的应用
求解几何图形的面积
三角形面积计算公式是求解几何图形面积的基础，特别是对于一些不规则的几何图形， 可以通过将其分割为三角形来计算面积。
判断几何图形的形状
通过比较不同形状的三角形面积，可以判断几何图形的形状，例如判断一个四边形是否 为平行四边形。
在日常生活和工作中的应用
土地测量
在土地测量中，常常需要计算土地的面积， 三角形面积计算公式是常用的工具之一。
图形的形状等题目。
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CATALOGUE
三角形面积计算公式的进一步探索
探索其他推导方法
除了传统的“底乘高的一半”方法外，还可以通过其他方法推导三角形的面积计算公式。例如，可以 使用向量积、行列式等数学工具进行推导。
另一种常见的方法是通过三角形与平行四边形的面积关系来推导。平行四边形的面积公式为底乘高， 而三角形的面积是平行四边形面积的一半，因此可以通过平行四边形的面积公式推导出三角形的面积 公式。
建筑设计
在建筑设计时，需要计算建筑物的各个面的 面积，三角形面积计算公式可以用于计算建 筑物的屋顶、墙面等部分的面积。
在数学教育和竞赛中的应用
数学教育
三角形面积计算公式是中学数学教育中的重 要内容之一，是学生学习几何学的基础。
数学竞赛
在数学竞赛中，常常会涉及到三角形面积的 计算，例如求解几何图形的面积、判断几何
三角形面积公式的五种推导方法
三角形面积公式的五种推导方法三角形是几何学中最基本的形状之一，其面积是在解决许多几何问题时必不可少的一个概念。
在推导三角形面积公式时，有许多不同的方法。
在本文中，将介绍五种常用的方法来推导三角形的面积公式。
方法1：平行四边形法首先，将三角形和一个高相同的平行四边形拼接在一起，使得两个三角形组成一个平行四边形。
在平行四边形中，两个相邻的边分别为平行于原三角形的两边，而底边等于两边的距离。
由于平行四边形的面积公式为底边乘以高，因此可以得出三角形的面积公式为底边乘以高的一半。
方法2：高中线法在三角形中，假设有一条高，可以将三角形划分为两个全等的直角三角形。
而直角三角形的面积公式为底边乘以高的一半。
因此，可以得出三角形的面积公式为底边乘以高的一半。
方法3：海伦公式海伦公式是一种应用于已知三角形三边长度的公式，用于计算三角形的面积。
假设三角形的三边分别为a、b和c，半周长为s（s=(a+b+c)/2），则根据海伦公式，可以得出三角形的面积公式为√(s(s-a)(s-b)(s-c))。
方法4：矩形边法我们可以将一个三角形拆分为一个矩形和两个全等的直角三角形。
其中，矩形的一条边等于三角形的底边，另一条边等于三角形的高。
底边乘以高的一半即为直角三角形的面积，因此可以通过直角三角形面积公式计算出三角形的面积。
方法5：向量法假设三角形的顶点坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)和C(x3,y3)，可以通过向量的法向量公式计算三角形的面积。
法向量公式为：S=1/2*，x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)总结：通过以上五种方法1.平行四边形法：底边乘以高的一半。
2.高中线法：底边乘以高的一半。
3.海伦公式：√(s(s-a)(s-b)(s-c))。
4.矩形边法：底边乘以高的一半。
5.向量法：1/2*，x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2)。
这五种推导方法分别从不同的角度解释了三角形的面积公式，给出了多种计算三角形面积的途径。
《探索活动：三角形的面积(2)》教案北师大版五年级数学上册
另外，我发现学生们在解决实际问题时，对于等腰三角形和等边三角形面积的计算方法掌握得不够熟练。这可能是因为他们在之前的学习中对这部分内容掌握得不够扎实。因此，我需要在课后加强个别辅导，帮助学生巩固这方面的知识。
4.探索三角形的面积与底和高的关系；
5.通过实际操作，感受三角形面积在实际生活中的应用。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强数学应用意识；
2.发展学生空间观念和几何直观，提高对图形面积的理解和计算技能；
3.培养学生动手操作和合作交流的能力，激发探究精神；
4.培养学生运用三角形面积公式进行推理和论证的能力，提高逻辑思维能力；
注意：由于字数限制，此处无法达到2000字，但已尽可能详细地列举了教学难点与重点，并在举例中解释了每个细节。在实际教案撰写中，可以根据需要进一步扩展和深化每个点的内容。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《探索活动：三角形的面积（2）》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算三角形面积的情况？”比如，计算三角形的桌面大小。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形面积的奥秘。
5.引导学生发现数学规律，培养创新意识和数学审美。
三、教学难点与重点
1.教学重点
三角形的面积公式推导过程
我们常用的三角形面积公式是s=1/2ah。
本文总结了计算三角形面积公式的七种方法，以及三角形面积公式的推导过程，以供参考。
三角形面积公式1如果已知三角形的底面积为a/s，则a/s为三角形的底面。
2如果我们知道三角形a，B，C，那么s=√P（P-a）（P-B）（P -C）[P=（a+B+C）/2]三。
给定三角形两边的a，B和两边之间的夹角c，则s=（a*B *sinc）/24如果三角形的三条边是a、B和C，且内切圆的半径为r，则三角形面积s=[（a+B+C）r]/25如果三角形的三条边是a、B和C，外切圆的半径为r，则三角形的面积为s=ABC/4R6海仑-秦九韶三角中心线面积公式S=√[（MA+MB+MC）*（MB+MC-MA）*（MC+MA-MB）*（MA+MB-MC）]/3其中MA、MB和MC是三角形的中线长度7如果三角形的三条边是a，B，C，并且三角形的角是a，B，C，那么三角形的面积是S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA三角形面积公式的推导如上图所示：两个相同的三角形可以组合成平行四边形。
平行四边形的面积等于两个三角形面积的和。
底部等于三角形的底部，高度等于三角形的高度。
因此，三角形的面积是平行四边形面积的一半，因为平行四边形的面积等于底部×高度，三角形的面积×2=底部×高度。
因此，三角形面积=底×高△2，即s=ah△2。
三角形面积公式推导过程：三角形的面积=底×高÷2，即S=ah÷2。
三角形面积公式是指使用算式计算出三角形的面积，同一平面内，且不在同一直线的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形，符号为△。
常见的三角形按边分有等腰三角形（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）、不等腰三角形；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。
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探索三角形的面积公式
教学过程：
一、检查预习、
师：你们通过预习知道了一堂课要学习三角形的什么知识吗？
生：知道了三角形的面积计算公式为：底×高÷2；用字母表示为a ×h÷2。
教学反思：教学时教师不是轻易地把学生当成零起点而从头进行探步就班的教学，而尊重学生的知识经验（学生事先的预习符合高年级学生具有一定的自学能力，能够发挥课本的作用），并在此基础上组织教学，才能有效地调动学生研究的积极性。
本环节教师正是创造性地使使用教材。
尊重学生的认知发展需要，学生预习的基础上提出本课的学习内容并为下面进一步探索知识的形成过程（知识的生成）提出研究目标。
二、学生猜想
师：对，那你们有没有发现这个公式和求什么图形的面积公式相似呢？
生（快速地回答）：求平行四边形的面积相似，只是多了÷2。
师（肯定学生回答）：你们说说“÷2”可能表示什么？
生：“可能表示一半”。
教学反思：教师不可轻易忽略学生的创新思维，他们的思维的灵敏性可能会超过你的意料。
通过教师的“导”可以在很大程度上激发他们学习的自信度，通过对
平行四边形面积认知及对“÷2”的理解，可以轻易地让学生猜到点子上了。
三、探究新知
师：那你们能够用准备的三角形或平形四边形的纸板探究一下他们之间的关系吗？
生动手操作，并用自己的发现告诉同桌。
（一段时间后）生汇报研究方法与结果
生1：我把一个平行四边行延着对角剪下去后，发现可以剪成两个三角形，所以三角形的面积是平行四边形面积的一半。
生2：我把两个三角形拼起来组成一个平行四边形。
（师追问：任意的两个三角形吗？）
生2补充：两个相同的三角形可以拼成一个平行四边形，所以三角形面积是平行四边形面积的一半。
教学反思：“一半”两个字变成了本堂课的关系词，也是联系了学生知识点的关键。
学生围绕探究“一半”这个目标很轻易的再现了知识的形成过程。
四、完善知识结构
师：同学们的表现非常好，能够发现他们之间的联系。
你们认为“平形四边形的面积是三角形面积的2倍”，这句话有没有毛病？
生：思考
师：有何条件限制吗？
生：底和高要相等。