第1章 算法问题求解基础

算法分析与设计
【程序1-2】 欧几里德迭代算法 int Gcd(int m,int n) { if (m==0)return n; if (n==0)return m; if (m>n) Swap(m,n); while(m>0){ int c=n%m;n=m;m=c; } return n; }
可以用所谓的递归树（recursive tree）来描述程 序1-4的函数Fib执行时的调用关系。
图1-2 计算Fib（4）的递归树
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递归数据结构
使用递归方式定义的数据结构称为递归数据 结构（recursive data structure）。
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1.4.2 递归算法示例

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【程序1-6】 汉诺塔问题
enum tower { A='X', B='Y', C='Z'}; void Move(int n,tower x,tower y) { //将第n个圆盘从塔座x移到塔座y的顶部 cout << "The disk "<<n<<" is moved from " << char(x) << " to top of tower " << char(y) << endl; }
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【程序1-3】 Gcd的连续整数检测算法 int Gcd(int m,int n) { if (m==0)return n; if (n==0)return m; int t=m>n?n:m; while (m%t || n%t) t--; return t; }
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1.1.2 为什么学习算法
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1.3.1 算法问题求解过程

算法分类 一个精确算法（exact algorithm）总能保 证求得问题的解。 一个启发式算法（heuristic algorithm）通 过使用某种规则、简化或智能猜测来减少 问题求解时间。 它常能发现很不错的解， 但也没办法证明它不会得到较坏的解；它 通常可在合理时间解出答案，但也没办法 知道它是否每次都可以这样的速度求解。
int fsum(){
int sum=0; for(i=1;i<=n;i++) { sum+=f(n,i); } return sum;
{
}
}
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证明：（归纳法证明） (1) 当n是1位数时，程 序显然是正确的。 证明：对于n≥0，程序1-5是正 (2)假定函数PrintDigit 对所有位数小于k（k 确的。 ＞1）的正整数都能正 【程序1-5】 确运行 void PrintDigit(unsigned int n) (3)当n的位数为k位时， { cout<<n%10; if(n>=10) PrintDigit(n/10);} 此时有n≥10，算法必 定先执行语句 cout<<n%10;然后执 行语句if(n>10) PrintDigit(n/10)
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1.3.5 如何分析算法
算法分析（algorithm analysis）活动是 指对算法的执行时间和所需空间的估算。 当然在算法写成程序后，便可使用样本 数据，实际测量一个程序所消耗的时间 和空间，这称为程序的性能测量 （performance measurement）。
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例：子集划分问题

给定正整数n，计算出n个元素的集合个 不同的非空子集{1,2, n }可以划分为 , 多少种不同的划分？
思路：对于n个元素的集合，可以划分成由 m(1<=m<=n)个子集构成的子集，如 {{1}，{2}， {3}，{4}}就是由4个子集构成的非空子集。假 设f(n,m)表示将n个元素的集合划分成由m个子 集构成的集合的个数，那么可以这样来看：
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1.2.2 问题求解过程
理解问题（understand the problem） 设计方案（devise a plan） 实现方案（carry out the plan） 回顾复查（look back）
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1.2.3 系统生命周期

一个计算机程序的开发过程就是使用计算 机求解问题的过程。软件工程（software engineering ）将软件开发和维护过程分成 若干阶段，称为系统生命周期（system life cycle）或软件生命周期。
个不同的划分如下： {{1，3}，{2，4}}， {{1，4}，{2，3}}， {{1，2，3}，{4}}， {{1，2，4}，{3}}， {{1，3，4}，{2}}， {{2，3，4}，{1}}， {{1，2，3，4}}
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{{1}，{2}，{3}，{4}}， {{1，2}，{3}，{4}}， {{1，3}，{2}，{4}}， {{1，4}，{2}，{3}}， {{2，3}，{1}，{4}}， {{2，4}，{1}，{3}}， {{3，4}，{1}，{2}}， {{1，2}，{3，4}}，
n>1
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递归算法 当一个算法采用递归方式定义时便成为递归算 法。一个递归算法是指直接或间接调用自身的 算法。 【程序1-4】 求Fn long Fib( long n) { if(n<=1) return n; else return Fib(n-2)+Fib(n-1); }
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例：子集划分问题
1 f(n,m)= (m==1||n==m)
f(n-1,m-1)+m*f(n-1,m) (m<n&&m!=1)
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例：子集划分问题

int f(int n,int m)
if(m==1||n==m) return 1; else return f(n-1,m-1)+f(n-1,m)*m;
算法设计与分析
Design and Analysis of Algorithms In C++
袁彩虹
yuanch@
算法设计与分析
课程简介
课程名称：算法设计与分析 Design and Analysis of Algorithms 先修课程： 面向对象程序设计语言C++，数据结构
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软件生命周期划分为:

分析（analysis） 设计（design） 编码（coding or programming） 测试（testing） 维护（maintenance） 等5个阶段。前4个阶段属于开发期，最后一 个阶段处于运行期。
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1.3 算法设计与分析
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算法具有下列5个特征：
输入（input）：算法有零个或多个输入量； 输出（output）：算法至少产生一个输出量； 确定性（definiteness）：算法的每一条指令都 有确切的定义，没有二义性； 能行性（effectiveness）：算法的每一条指令必 须足够基本，它们可以通过已经实现的基本运算 执行有限次来实现； 有穷性（finiteness）：算法必须总能在执行有 限步之后终止。
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例：子集划分问题


1)若m==1，则f(n,m)=1; 2)若n==m，则f(n,m)=1; 3)若非以上两种情况，f(n,m)可以由下面两种 情况构成 a.向n-1个元素划分成的m个集合里面添加一 个新的元素，则有m*f(n-1,m)种方法； b.向n-1个元素划分成的m-1个集合里添加一 个由一个元素形成的独立的集合，则有f(n1,m-1)种方法。
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第1部分 算法和算法分析
算法设计与分析
第1章 算法问题求解基础
1.1 1.2 1.3 1.4 算法概述 问题求解方法 算法设计与分析 递归和归纳
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1.1 算法概述
算法设计与分析
1.1.1 什么是算法

算法（algorithm）
一个算法是对特定问题求解步骤的一 种描述，它是指令的有限序列。

算法是计算机科学的基础，更是程序的基 石
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1.2 问题求解方法
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1.2.1 问题和问题求解
问题求解（problem solving）是寻找一种方法来 实现目标。 问题求解过程（problem solving process）是人 们通过使用问题领域知识来理解和定义问题，并 凭借自身的经验和知识去选择和使用适当的问题 求解策略、技术和工具，将一个问题描述转换成 问题解的过程。 计算机求解问题的关键

例1-2 逆序输出正整数的各位数 【程序1-5】 void PrintDigit(unsigned int n) cout<<n%10; //输出最后一位数dk if(n>=10) PrintDigit(n/10); //以逆序输出前k-1位数
{
}
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例1-3 汉诺塔问题（tower of Hanoi） 假定有三个塔座：X，Y，Z，在塔座X上有n个 直径大小各不相同，按圆盘大小从小到大编 号为1，2，…，n的圆盘。现要求将X塔座上 n个圆盘移到塔座Y上，并仍按同样顺序叠排。 圆盘移动时必须遵循下列规则： （1）每次只能移动一个圆盘； （2）圆盘可以加到塔座X，Y，Z中任意一个上； （3）任何时刻都不能将一个较大的圆盘放在较 小的圆盘之上。
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对于最优化问题，一个算法如果致力于寻找近 似解而不是最优解，被称为近似算法 （approximation algorithm）。 如果在算法中需做出某些随机选择，则称为随 机算法（randomized algorithm）。