第1章 算法初步

第一章 1.1 1.1.1
A级基础巩固
一、选择题
1．下面是解决问题的算法的是(A)
A．打开计算机需先插好电源，再打开显示器，打开主机
B．斜二测画法需将平行于x轴的线段，长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为的一半
C．求方程x2－1＝0的解先移项
D．新中国成立60周年
[解析]算法是方法与步骤，B与D仅陈述事件，C虽然是步骤，但并不能达到目的，也不是解这个方程的算法．
2．以下关于算法的说法正确的是(A)
A．描述算法可以有不同的方式，可用形式语言也可用其他语言
B．算法可以看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列只能解决当前问题
C．算法过程要一步一步执行，每一步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且经过有限步或无限步后能得出结果
D．算法要求按部就班地做，每一步可以有不同的结果
[解析]算法可以看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或计算序列能够解决一类问题．算法过程要求一步一步执行，每一步执行的操作，必须确切，只能有唯一结果，而且经过有限步后，必须有结果输出后终止，描述算法可以有不同的语言形式，如自然语言、框图语言及形式语言等．
3．使用计算机解题的步骤由以下哪几部分构成：
①寻找解题方法；②调试运行；③设计正确算法；④正确理解题意；⑤编写程序．
正确的顺序为(B)
A．④①③②⑤B．④①③⑤②
C．④③②①⑤D．④①②③⑤
[解析]根据题意知，应先进行④，然后是①，再就是③⑤，最后是②，故顺序为④①③⑤②.
4．下列描述不是解决问题的算法的是(C)
A．从中山到北京先坐汽车，再坐火车
B．解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
C ．方程x 2－4x ＋3＝0有两个不等的实根
D ．解不等式ax ＋3＞0时，第一步移项，第二步讨论
[解析] A 选项：从中山到北京，先坐汽车，再坐火车，解决了怎样去的问题，所以A 是解决问题的算法；B 选项：解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解决了怎样解一元一次方程的问题，所以B 是解决问题的算法；D 选项；解不等式ax ＋3＞0时，第一步移项化为ax ＞－3，第二步讨论a 的符号，进而根据不等式的基本性质，求出不等式的解集，解决了怎样求不等式解集的问题，所以D 是解决问题的算法．故选C ．
5．一个算法的步骤如下： 第一步，输入x 的值． 第二步，计算y ＝x 2. 第三步，计算z ＝2y －log 2y . 第四步，输出z 的值．
若输入x 的值为－2，则输出z 的值为( D ) A ．2 B ．4 C ．12
D ．14
[解析] 第一步，输入x 的值为－2，第二步，计算得y ＝(－2)2＝4；第三步，计算得z ＝24－log 24＝16－2＝14.
6．使用配方法解方程x 2－4x ＋3＝0的算法的正确步骤是( B )
①配方得(x －2)2＝1；②移项得x 2－4x ＝－3；③解得x ＝1或x ＝3；④开方得x －2＝±1. A ．①②③④ B ．②①④③ C ．②③④①
D ．④③②①
[解析] 使用配方法的步骤应按移项、配方、开方、得解的顺序进行，故选B ． 二、填空题
7．已知直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，设计计算三角形周长的算法如下： 第一步，输入a ，b . 第二步，计算c ＝a 2＋b 2. 第三步，计算_______________. 第四步，输出L .
将算法补充完整，横线处应填__L ＝a ＋b ＋c __.
[解析] 根据“已知两直角边长分别为a ，b ，计算三角形周长”的要求，可知三角形的周长L ＝a ＋b ＋c .
8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
0(x ＞0)－5(x ＝0)，
x 2＋2(x ＜0)，写出求f (f (f (3)))的值的算法时，下列步骤的正确顺序
是__③①②__.
①由f (0)＝－5，得f (f (3))＝－5；②由－5＜0，
得f (－5)＝25＋2＝27，即f (f (f (3)))＝27； ③由3＞0，得f (3)＝0.
[解析] 按由里到外的顺序求值，即先求f (3)，再求f (f (3))，最后求f (f (f (3)))． 三、解答题
9．写出求过两点M (－2，－1)、N (2,3)的直线与坐标轴围成的图形的面积的一个算法． [解析] 第一步，取x 1＝－2，y 1＝－1，x 2＝2，y 2＝3. 第二步：计算y －y 1y 2－y 1＝x －x 1
x 2－x 1
.
第三步：在第二步结果中令x ＝0得到y 的值为m ，得直线与y 轴交点为(0，m )． 第四步：在第二步结果中令y ＝0得到x 的值为n ，得直线与x 轴交点为(n,0)． 第五步：计算S ＝1
2|m |·|n |.
第六步：输出运算结果S .
B 级 素养提升
一、选择题 1．给出下列算法：
第一步，输入正整数n (n >1)．
第二步，判断n 是否等于2，若n ＝2，则输出n ；若n >2，则执行第三步．
第三步，依次从2到n －1检验能不能整除n ，若不能整除n ，则执行第四步；若能整除n ，则执行第一步．
第四步，输出n .
则输出的n 的值是( C ) A ．奇数 B ．偶数 C ．质数
D ．合数
[解析] 根据算法可知n ＝2时，输出n 的值2；若n ＝3，输出n 的值3；若n ＝4,2能整除4，则重新输入n 的值…，故输出的n 的值为质数．
2．阅读下面的算法： 第一步，输入两个实数a ，b .
第二步：若a ＜b ，则交换a ，b 的值，否则执行第三步． 第三步，输出a .
这个算法输出的是( A ) A ．a ，b 中的较大数 B ．a ，b 中的较小数 C ．原来的a 的值
D ．原来的b 的值
[解析] 第二步中，若a ＜b ，则交换a ，b 的值，那么a 是a ，b 中的较大数；否则a ＜b 不成立，即a ≥b ，那么a 也是a ，b 中的较大数．
3．小明中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水2 min ；②洗菜6 min ；③准备面条及佐料2 min ；④用锅把水烧开10 min ；⑤煮面条3 min.以上各道工序，除了④之
外，一次只能进行一道工序．小明要将面条煮好，最少要用的分钟数为( C )
A ．13
B ．14
C ．15
D ．23
[解析] ①洗锅盛水2 min 、②用锅把水烧开10 min(同时②洗菜6 min 、③准备面条及佐料2 min)、⑤煮面条3 min ，共为15 min.
4．如下算法： 第一步，输入x 的值．
第二步，若x ≥0，则y ＝x ；否则，y ＝x 2. 第三步，输出y 的值．
若输出y 的值是9，则x 的值是( D ) A ．3 B ．－3 C ．3或－3
D ． －3或9
[解析] 由题意可知，此算法是求分段函数y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x (x ≥0)
x 2(x ＜0)中，y ＝9时，x 的值．当x ≥0
时，x ＝9；
当x ＜0时，x 2＝9，∴x ＝－3，故选D ． 二、填空题 5．给出下列算法： 第一步，输入x 的值．
第二步，当x >4时，计算y ＝x ＋2；否则执行下一步． 第三步，计算y ＝4－x . 第四步，输出y .
当输入x ＝0时，输出y ＝__2__.
[解析] 由于x ＝0>4不成立，故计算y ＝4－x ＝2，输出y ＝2.
6．“三分损益法”是中国古代采用数学运算研究乐律的方法，即确定音乐体系中各音的绝对高度及其相互关系的乐律理论，相传春秋时期管仲所作的《管子·地员篇》对其已有明确记载，它奠定了中国古代五声音阶的基础，其算法步骤如下，然后根据所给的条件填空．
1×34＝9×9＝81＝宫；
81×4
3＝108＝徵(由宫益其三分之一而得)；
__108×2
3__＝__72__＝商(由徵损其三分之一而得)；
__72×4
3
__＝__96__＝羽(由商益其三分之一而得)．
[解析] 按其规律，两行分别为108×23＝72＝商(由徵损其三分之一而得)；72×4
3＝96＝
羽(由商益其三分之一而得)．
三、解答题
7．设计一个算法，找出闭区间[20,25]上所有能被3整除的整数． [解析] 第一步，用20除以3，余数不为0，故20不能被3整除； 第二步，用21除以3，余数为0，故21能被3整除； 第三步，用22除以3，余数不为0，故22不能被3整除； 第四步，用23除以3，余数不为0，故23不能被3整除； 第五步，用24除以3，余数为0，故24能被3整除； 第六步，用25除以3，余数不为0，故25不能被3整除； 第七步，指出在闭区间[20,25]上能被3整除的整数为21和24. 8．下面给出一个问题的算法： 第一步，输入x .
第二步，若x ≥4，则执行第三步，否则执行第四步． 第三步，输出2x －1结束． 第四步，输出x 2－2x ＋3结束． 问：
(1)这个算法解决的问题是什么？
(2)当输入的x 的值为多少时，输出的数值最小？
[解析] (1)这个算法解决的问题是求分段函数y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x －1 (x ≥4)
x 2－2x ＋3 (x <4)的函数值的问题．
(2)本问的实质是求分段函数最小值的问题． 当x ≥4时，y ＝2x －1≥7；
当x <4时，y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2. ∴函数最小值为2，当x ＝1时取到最小值． ∴当输入x 的值为1时，输出的数值最小．。