宁夏银川一中高三上学期第三次月考试题 数学(理) Word
宁夏银川一中高三数学上学期第三次月考试卷理(含解析)
宁夏银川一中2015届高三上学期第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合M={x|2x≤4}，N={x|x（1﹣x）＞0}，则C M N=（）A．（﹣∞，0）∪[1，+∞] B．（﹣∞，0）∪[1，2] C．（﹣∞，0]∪[1，2] D．（﹣∞，0]∪[1，+∞]2．（5分）已知复数z=1+i+i2+i3+…+i2015，则化简得z=（）A．0 B．﹣1 C．1 D．1+i3．（5分）S n为等差数列{a n}的前n项和，a2+a8=6，则S9=（）A．B．27 C．54 D．1084．（5分）关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是（）A．B．C．D．5．（5分）在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．66．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，e x＞0”B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C．“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立”D．命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题7．（5分）能够把圆O：x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（）A．f（x）=4x3+x B． C．D．f（x）=e x+e﹣x8．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D．9．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=b1=1，，则数列的前10项的和为（）A．B．C．D．10．（5分）函数y=sin4x+cos4x是（）A．最小正周期为，值域为[，1]的函数B．最小正周期为，值域为[，1]的函数C．最小正周期为，值域为[，1]的函数D．最小正周期为，值域为[，1]的函数11．（5分）如图，矩形A n B n C n D n的一边A n B n在x轴上，另外两个顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上．若点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），记矩形A n B n C n D n的周长为a n，则a2+a3+…+a10=（）A．208 B．216 C．212 D．22012．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数 f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．（5分）在△ABC中，已知内角，边，则△ABC的面积S的最大值为．15．（5分）已知，数列的前n项和为S n，数列{b n}的通项公式为b n=n﹣8，则b n S n的最小值为．16．（5分）在技术工程中，经常用到双曲正弦函数shx=和双曲余弦函数chx=．其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似，比如关于正、余函数有cos（x+y）=cosxcosy﹣sinxsiny成立，而关于双曲正、余弦函数满足cb（x+y）=chxchy+shxshy．请你类比正弦函数和余弦函数关系式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个新关系式．三、解答题：本大题共5小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=．（1）求a n与b n；（2）设数列{c n}满足c n=|b n﹣a5|，求{c n}的前项和T n．18．（12分）已知函数（ω＞0，．其图象的最高点与相邻对称中心的距离为，且过点．（Ⅰ）求函数f（x）的达式；（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，，，角C为锐角．且满足2a=4asinC﹣csinA，求c的值．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，…．（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．20．（12分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．21．（12分）已知函数g（x）=x3+（a﹣2）x2，h（x）=2alnx，f（x）=g′（x）﹣h（x）．（1）当a∈R时，讨论函数f（x）的单调性．（2）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＜a．若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．一、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，△AB C是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．一、选修4-4；坐标系与参数方程．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D 依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．一、选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．宁夏银川一中2015届高三上学期第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合M={x|2x≤4}，N={x|x（1﹣x）＞0}，则C M N=（）A．（﹣∞，0）∪[1，+∞] B．（﹣∞，0）∪[1，2] C．（﹣∞，0]∪[1，2] D．（﹣∞，0]∪[1，+∞]考点：补集及其运算．专题：集合．分析：求出M与N中不等式的解集确定出M与N，根据全集M求出N的补集即可．解答：解：由M中不等式变形得：2x≤4=22，即x≤2，∴M=（﹣∞，2]，由B中不等式变形得：x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1，即N=（0，1），则∁M N=（﹣∞，0]∪[1，2]．故选：C．点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知复数z=1+i+i2+i3+…+i2015，则化简得z=（）A．0 B．﹣1 C．1 D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的周期性、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：∵i4=1，∴复数z=1+i+i2+i3+…+i2015===0．故选：A．点评：本题考查了复数的周期性、等比数列的前n项和公式，属于基础题．3．（5分）S n为等差数列{a n}的前n项和，a2+a8=6，则S9=（）A．B．27 C．54 D．108考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据所给的项a2，a8的下标特点，和所求和的下标特点，可以根据等差数列性质，利用a2+a8=2a5，求出a5，而S9=9a5，问题获解．解答：解：根据等差数列性质，可得a2+a8=2a5=6，∴a5=3，根据等差数列和的性质可得，S9=9a5=27．故选：B．点评：本题考查等差数列通项公式，求和计算．合理利用性质求解，应是本题的立意所在．4．（5分）关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则的最小值是（）A．B．C．D．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），利用根与系数的关系可得x1+x2，x1x2，再利用基本不等式即可得出．解答：解：∵关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），∴△=16a2﹣12a2=4a2＞0，又a＞0，可得a＞0．∴x1+x2=4a，，∴=4a+==，当且仅当a=时取等号．∴的最小值是．故选：C．点评：本题考查了一元二次不等式解集与相应的一元二次方程的实数根的关系、根与系数的关系、基本不等式的性质，属于基础题．5．（5分）在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足等于（）A．2 B．3 C．4 D．6考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由•=（）•，再利用向量和的夹角等于45°，两个向量的数量积的定义，求出•的值．解答：解：由题意得 AB=3，△ABC是等腰直角三角形，•=（）•=+=0+||•||cos45°=×3×3×=3，故选B．点评：本题考查两个向量的数量积的定义，注意向量和的夹角等于45°这一条件的运用．6．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x∈R，e x＞0”B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题C．“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（x2+2x）min≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立”D．命题“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题为真命题考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：A中全称命题的否定是特称命题，并且一真一假；B中原命题与逆否命题是同真同假，写出它的逆否命题再判定真假；C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”转化为“（）min≥a max在x∈[1，2]上恒成立”；D、写出原命题的逆命题再判定真假．解答：A、“∀x∈R，e x＞0”的否定是“∃x0∈R，e x≤0”；∴命题错误；B、∵x=2且y=1时，x+y=3是真命题；∴若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题；C、“x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立”⇔“（）min≥a max在x∈[1，2]上恒成立”，命题错误；D、“若a=﹣1，则函数f（x）=ax2+2x﹣1只有一个零点”的逆命题是：“f（x）=ax2+2x﹣1有一个零点时，a=﹣1”，∵f（x）有一个零点时，a=﹣1或a=0；∴命题错误．故选：B．点评：本题通过命题真假的判定考查了简单的逻辑关系的应用，是基础题．7．（5分）能够把圆O：x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（）A．f（x）=4x3+x B． C．D．f（x）=e x+e﹣x考点：奇偶性与单调性的综合．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：由“和谐函数”的定义及选项知，该函数若为“和谐函数”，其函数须为过原点的奇函数，由此逐项判断即可得到答案．解答：解：由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数．A中，f（0）=0，且f（x）为奇函数，故f（x）=4x3+x为“和谐函数”；B中，f（0）=ln=ln1=0，且f（﹣x）=ln=ln=﹣ln=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，所以f（x）=ln为“和谐函数”；C中，f（0）=tan0=0，且f（﹣x）=tan=﹣tan=﹣f（x），所以f（x）为奇函数，故f（x）=tan为“和谐函数”；D中，f（0）=e0+e﹣0=2，所以f（x）=e x+e﹣x的图象不过原点，故f（x））=e x+e﹣x不为“和谐函数”；故选D．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生对新问题的分析理解能力及解决能力，属中档题．8．（5分）已知sin2α=，则cos2（α+）=（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．解答：解：∵sin2α=，∴cos2（α+）=[1+cos（2α+）]=（1﹣sin2α）=×（1﹣）=．故选A点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．9．（5分）已知数列{a n}，{b n}满足a1=b1=1，，则数列的前10项的和为（）A．B．C．D．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题．分析：根据等差数列与等比数列的定义结合题中的条件得到数列{a n}与{b n}的通项公式，进而表达出的通项公式并且可以证明此数列为等比数列，再利用等比数列前n项和的公式计算出答案即可．解答：解：由题意可得，所以数列{a n}是等差数列，且公差是2，{b n}是等比数列，且公比是2．又因为a1=1，所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．所以=b 1•22n﹣2=22n﹣2．设c n=，所以c n=22n﹣2，所以，所以数列{c n}是等比数列，且公比为4，首项为1．由等比数列的前n项和的公式得：其前10 项的和为．故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的定义，以及它们的通项公式与前n项和的表示式．10．（5分）函数y=sin4x+cos4x是（）A．最小正周期为，值域为[，1]的函数B．最小正周期为，值域为[，1]的函数C．最小正周期为，值域为[，1]的函数D．最小正周期为，值域为[，1]的函数考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：利用平方关系与二倍角的正弦将y=sin4x+cos4x化为y=1﹣×sin22x，再利用降幂公式可求得y=+×cos4x，从而可求其周期和值域．解答：解：∵y=sin4x+cos4x=（sin2x+cos2x）2﹣2sin2xcos2x=1﹣×sin22x=1﹣×=+×cos4x，∴其周期T==，其值域为[，1]故选：C．点评：本题考查三角函数的周期性、值域及其求法，突出考查二倍角的正弦与余弦，降幂是关键，属于中档题．11．（5分）如图，矩形A n B n C n D n的一边A n B n在x轴上，另外两个顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上．若点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），记矩形A n B n C n D n的周长为a n，则a2+a3+…+a10=（）A．208 B．216 C．212 D．220考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：依题意，可求得C n（n，n+），D n（，n+）从而可求得a n=4n；继而可求得a2+a3+…+a10的值．解答：解：∵点B n的坐标（n，0）（n≥2，n∈N+），顶点C n，D n在函数f（x）=x+（x＞0）的图象上，∴C n（n，n+）；依题意知，D n（，n+）；∴|A n B n|=n﹣（n≥2，n∈N+），∴a n=2（n﹣）+2（n+）=4n．∴a n+1﹣a n=4，又a1=4，∴数列{a n}是首项为4，公差为4的等差数列，∴a2+a3+…+a10===216．故选：B．点评：本题考查数列的求和，求得a n=4n是关键，考查分析推理与运算能力，属于中档题．12．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数 f（x）=，则f（x）的“姊妹点对”有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4考点：函数的值．专题：压轴题；新定义．分析：首先弄清关于原点对称的点的特点，进而把问题转化为求方程的根的个数，再转化为求函数φ（x）=2e x+x2+2x零点的个数即可．解答：解：设P（x，y）（x＜0），则点P关于原点的对称点为P′（﹣x，﹣y），于是，化为2e x+x2+2x=0，令φ（x）=2e x+x2+2x，下面证明方程φ（x）=0有两解．由x2+2x≤0，解得﹣2≤x≤0，而＞0（x≥0），∴只要考虑x∈[﹣2，0]即可．求导φ′（x）=2e x+2x+2，令g（x）=2e x+2x+2，则g′（x）=2e x+2＞0，∴φ′（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，而φ′（﹣2）=2e﹣2﹣4+2＜0，φ′（﹣1）=2e﹣1＞0，∴φ（x）在区间（﹣2，0）上只存在一个极值点x0．而φ（﹣2）=2e﹣2＞0，φ（﹣1）=2e﹣1﹣1＜0，φ（0）=2＞0，∴函数φ（x）在区间（﹣2，﹣1），（﹣1，0）分别各有一个零点．也就是说f（x）的“姊妹点对”有两个．故选B．点评：本题考查了函数的零点，善于转化及熟练利用导数判断方程的根的个数是解决问题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为8．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即A（5，2）将A的坐标代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．即z=2x﹣y的最大值为8．故答案为：8点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14．（5分）在△ABC中，已知内角，边，则△ABC的面积S的最大值为．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：根据余弦定理结合三角形的面积公式以及基本不等式，即可求出结论．解答：解：由余弦定理，得12=b2+c2﹣bc．又S=bcsinA=bc；而b2+c2≥2bc⇒b c+12≥2bc⇒bc≤12，（当且仅当b=c时等号成立）所以S=bcsinA=bc≤3．即△ABC的面积S的最大值为：3．故答案为：3．点评：本题为三角函数公式的应用题目，属于中档题．解决本题的关键在于根据余弦定理以及基本不等公式得到bc≤12．15．（5分）已知，数列的前n项和为S n，数列{b n}的通项公式为b n=n﹣8，则b n S n的最小值为﹣4．考点：定积分；数列的函数特性；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意，先由微积分基本定理求出a n再根据通项的结构求出数列的前n项和为S n，然后代入求b n S n的最小值即可得到答案解答：解：a n=（2x+1）dx=（x2+x）=n2+n∴==﹣∴数列{ }的前n项和为S n=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=又b n=n﹣8，n∈N*，则b n S n=×（n﹣8）=n+1+﹣10≥2 ﹣10=﹣4，等号当且仅当n+1=，即n=2时成立，故b n S n的最小值为﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题考查微积分基本定理及数列的求和，数列的最值等问题，综合性强，知识转换快，解题时要严谨认真，莫因变形出现失误导致解题失败．16．（5分）在技术工程中，经常用到双曲正弦函数shx=和双曲余弦函数chx=．其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似，比如关于正、余函数有cos（x+y）=cosxcosy﹣sinxsiny成立，而关于双曲正、余弦函数满足cb（x+y）=chxchy+shxshy．请你类比正弦函数和余弦函数关系式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个新关系式sh2x﹣ch2=﹣1，ch2x﹣sh2x=1．考点：类比推理．专题：计算题；推理和证明．分析：注意到双曲正弦函数和双曲余弦函数平方后的相同项，即可得到新的关系式．解答：解：sh2x=（e2x+﹣2）ch2x=（e2x++2）∴sh2x﹣ch2=﹣1∴ch2x﹣sh2x=1故答案为：sh2x﹣ch2=﹣1，ch2x﹣sh2x=1点评：本题为开放题型，考查类比推理，考查分析问题、解决问题的能力．三、解答题：本大题共5小题，共计70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=．（1）求a n与b n；（2）设数列{c n}满足c n=|b n﹣a5|，求{c n}的前项和T n．考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，由已知条件，列出方程组，分别求出等差数列的公差和等比数列的公比，由此能求出a n与b n．（2）由（1）及c n=|b n﹣a5|，推导出c n=|3n﹣1﹣15|=，由此利用分组求和法能求出{c n}的前项和T n．解答：（本题满分14分）解：（1）∵等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，q=，等差数列{a n}中，a1=3，∴，即，解得q=3，或q=﹣4（舍），d=3，∴a n=3n，（7分）（2）∵c n=|b n﹣a5|，∴c n=|3n﹣1﹣15|=，∴当n≤3时，=，当n≥4时，T n=﹣15n+2T3=．∴．（14分）点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意公组求和法的合理运用．18．（12分）已知函数（ω＞0，．其图象的最高点与相邻对称中心的距离为，且过点．（Ⅰ）求函数f（x）的达式；（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，，，角C为锐角．且满足2a=4asinC﹣csinA，求c的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，根据函数的周期求ω，把所给的点的坐标代入求出Φ的值，从而确定出函数的解析式．（Ⅱ）根据条件2a=4asinC﹣csinA，由正弦定理求得sinC的值，可得cosC的值，再由余弦定理求得c的值．解答：解：（Ⅰ）由于．（2分）∵最高点与相邻对称中心的距离为=，则，即T=π，（3分）∴，∵ω＞0，∴ω=2．（4分）又f（x）过点，∴，即，∴．（5分）∵，∴，∴．（6分）（Ⅱ）2a=4asinC﹣csinA，由正弦定理可得 2sinA=4sinAsinC﹣sinCsinA，解得．（8分）又∵，∴．（9分）又，，∴b=6，（11分）由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=21，∴．（12分）点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式、正弦定理和余弦定理的应用，两个向量的数量积的定义，属于中档题．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，…．（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．考点：数列递推式；等比关系的确定；数列的求和．专题：计算题；压轴题．分析：（1）化简构造新的数列，进而证明数列是等比数列．（2）根据（1）求出数列的递推公式，得出a n，进而构造数列，求出数列的通项公式，进而求出前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）由已知：，∴，（2分）∴，又，∴，（4分）∴数列是以为首项，为公比的等比数列．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，∴．（8分）设，①则，②由①﹣②得：，（10分）∴．又1+2+3+…．（12分）∴数列的前n项和：．（14分）点评：此题主要考查通过构造新数列达到求解数列的通项公式和前n项和的方法．20．（12分）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．专题：导数的综合应用．分析：（1）令f′（x）=0，即可求得a值；（2）f（x）=﹣x+b在区间[0，2]上有两个不同的实根，即b=ln（x+1）﹣x2+x在区间[0，2]上有两个不同的实根，问题可转化为研究函数g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上最值和极值情况．利用导数可以求得，再借助图象可得b的范围．解答：解：（1）f′（x）=﹣2x﹣1，∵f′（0）=0，∴a=1．（2）f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x所以问题转化为b=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上有两个不同的解，从而可研究函数g（x）=ln（x+1）﹣x2+x在[0，2]上最值和极值情况．∵g′（x）=﹣，∴g（x）的增区间为[0，1]，减区间为[1，2]．∴g max（x）=g（1）=+ln2，g min（x）=g（0）=0，又g（2）=﹣1+ln3，∴当b∈[﹣1+ln3，+ln2）时，方程有两个不同解．点评：本题考查函数在某点取得极值的条件及方程根的个数问题，注意函数与方程思想、数形结合思想的运用．21．（12分）已知函数g（x）=x3+（a﹣2）x2，h（x）=2alnx，f（x）=g′（x）﹣h（x）．（1）当a∈R时，讨论函数f（x）的单调性．（2）是否存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＜a．若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）通过讨论a的范围，从而得出函数的单调性；（2）先假设存在实数a，满足题意，通过讨论x1，x2的大小，得不等式组，求出a无解，从而得出结论．解答：解：（1）f（x）=x2+（a﹣2）x﹣2alnx（x＞0），f′（x）=x+a﹣2﹣=（x＞0），①当a＞0时，f（x）在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数．②当﹣2＜a≤0时，f（x）在（0，﹣a）上是增函数；在（﹣a，2）是减函数；在（2，+∞）上是增函数．③当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．④当a＜﹣2时，f（x）在（0，2）上是增函数；在（2，﹣a）上是减函数；在（﹣a，+∞）上是增函数．（2）假设存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有＜a恒成立，当x1＞x2时，等价于 f（x2）﹣f（x1）＜a（x1﹣x2）即f（x2）+ax2＜f（x1）+ax1恒成立．令g（x）=f（x）+ax=x2﹣2alnx﹣2x+2ax，只要g（x）在（0，+∞）上恒为增函数，所以g′（x）≥0恒成立即可．又g′（x）=x﹣﹣2+2a=，只要x2+（2a﹣2）x﹣2a≥0在（0，+∞）恒成立即可．设h（x）=x2+（2a﹣2）x﹣2a，则由△=4（a﹣1）2+8a=4a2+4＞0及得，a∈∅，当x1＜x2时，等价于 f（x2）﹣f（x1）＞a（x1﹣x2）即f（x2）+ax2＞f（x1）+ax1恒成立，g（x）在（0，+∞）上恒为增函数，所以g′（x）＞0恒成立即可，a∈∅，综上所述，不存在实数a，对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2时，都有＜a．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了求参数的范围问题，考查了导数的应用，是一道综合题．一、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题；直线与圆．分析：（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM•AC+DM•AB成立．解答：解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED=∠OBD=90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=，∴，化简得2DE2=DM•AC+DM•AB．点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．一、选修4-4；坐标系与参数方程．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D 依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．考点：椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：综合题；压轴题．分析：（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．解答：解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]点评：本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．一、选修4-5：不等式选讲24．已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．②如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．考点：函数零点的判定定理；带绝对值的函数．专题：计算题．分析：①当a=1时，f（x）=，把和的解集取并集，即得所求．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5，作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a的取值范围．解答：解：①当a=1时，f（x）=|2x﹣1|+x﹣5=．由解得x≥2；由解得x≤﹣4．∴f（x）≥0的解为{x|x≥2或x≤﹣4}．②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5．作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，函数y=f（x）有两个不同的零点．故a的取值范围是（﹣2，2）．点评：本题考查函数零点的判定定理，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于基础题．- 21 -。
宁夏银川一中2014届高三上学期第三次月考试卷 数学(理) word版含答案
银川一中2014届高三年级第三次月考数 学 试 卷（理）命题人：西林涛、张德萍第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数(2)12i i i+-等于A ．iB ．i -C ．1D ．—12．设全集U ＝R ，集合A ＝｛x ｜12x x +-0≥｝，B ＝｛x ｜1＜2x＜8｝，则（C U A ）∩B 等于A ．[－1，3）B ．（0，2]C ．（1，2]D ．（2，3）3．在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()()p q ⌝∨⌝B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∨4．设{n a }是公比为正数的等比数列，若a 3＝4，a 5＝16，则数列{n a }的前5项和为A ．41B ．15C ．32D ．315. 函数321()2f x x x =-+的图象大致是6．曲线ln y x x =在点),(e e 处的切线与直线1x ay +=垂直，则实数a 的值为A ．2B.-2C.12D.12-7．如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是孤AB 的三等分点，M 、N是线段AB 的三等分点，若OA=6，则MD NC ⋅的值是A ．2B ．5C ．26D ．29 8．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则8967a a a a ++等于A.21+B.21-C.223+D.223-xy OA. B CD xyOxyOxyO19．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为 A ．2sin 2cos 2αα-+B ．sin 3αα+C ．3sin 1αα+D ．2sin cos 1αα-+10．函数)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 部分图象如图所示,若2||=⋅,则ω等于 A ．3π B ．4π C ．6π D ．12π11．已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan,75cos ,72sin πππf c f b f a ，则A ．c a b << B. a b c << C. a c b << D. c b a <<12．定义域为[,a b ]的函数()y f x =图像的两个端点为A 、B ，M(x ，y )是()f x 图象上任意一点，其中[]1,0,)1(∈-+=λλλb a x ．已知向量()λλ-+=1，若不等式k MN ≤||恒成立，则称函数f (x )在[a ，b ]上“k 阶线性近似”．若函数xx y 1-=在 [1，2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为A. [0,)+∞B. 1[,)12+∞ C. 3[)2+∞ D. 3[)2+∞ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数)(',sin cos )(')(x f x x f x f +=π是)(x f 的导函数，则⎰π)(dx x f = 。
宁夏回族自治区银川一中高三数学上学期第三次月考试题理
银川一中2016届高三年级第三次月考数 学 试 卷（理）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．不等式（1+x ）(1-|x|）>0的解集是 A ．{}11<<-x x B. {}1<x x C. {}11>-<x x x 或 D. {}11-≠<x x x 且 2．等差数列}{n a 中，24321-=++a a a ，78201918=++a a a ，则此数列前20项和等于 A ．160B ．180C ．200D ．2203．已知向量)2,1(-=x a，()1,2=b , 则“0>x ”是“a 与b 夹角为锐角”的A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．对一切实数x ，不等式012≥++x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．（-∞，-2） B ．[-2，+∞) C ．[-2,2] D ．[0，+∞) 5．命题2:,10p x R ax ax ∀∈++≥，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是 A ．(0,4] B ．[0,4] C ．(][)+∞⋃∞-,40, D ．()()+∞⋃∞-,40, 6．设点P ()00,x y 是函数tan y x =与()0y x x =-≠的图象的一个交点，则()()2011cos2xx ++的值为D. 因为0x 不唯一，故不确定7．已知x 、y 为正实数，且x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则21221)(b b a a +的取值范围是A ．RB ．(]4,0C ．[)∞+,4D ．(][)∞+⋃∞-,40, 8．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为A ．0422=++x y x B ．03222=--+x y x C ．0422=-+x y x D ．03222=-++x y x 9．已知数列{}n a 的通项公式为n a =cbn an+，其中a 、b 、c 均为正数，那么n a 与1+n a 的大小是A ．n a >1+n aB ． n a <1+n aC ． n a =1+n a D. 与n 的取值有关10．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=,则c的最大值是A.1B.2C.2D.22 11. 函数()12sin 1f x x xπ=--在区间[]2,4-上的所有零点之和等于 A. 2 B. 6 C. 8 D. 1012．已知函数()f x 的周期为4，且当(]1,3x ∈-时，()12f x x ⎧⎪=⎨--⎪⎩(](]1,11,3x x ∈-∈，，其中0m >．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为 A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛38,315 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7,315 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛38,34 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛7,34 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
宁夏银川一中2020届高三第三次月考数学(理)试卷Word版含答案
银川一中2018届高三年级第三次月考数 学 试 卷（理）命题人：第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数412-=x y 的定义域为(){}11log |,2<-=x x N M ，全集R U =，则图形中阴影部分表示的集合是A.{}12|<≤-x x B . {}22|≤≤-x x C. {}21|≤<x x D. {}2|<x x2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z （1﹣i ）=1+i ，则z 的共轭复数是 A ．1B ．﹣1C ．iD ．﹣i3．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 A ．x x f 2)(=B ．x x x f sin )(=C ．xx f 1)(=D ．||)(x x x f -= 4．在等差数列{}n a 中，5225,3S a ==，则=7aA ．13B ．12C ．15D ．145．已知R y x ∈、，且0>>y x ，则 A. 011>-yxB. 02121<⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛yxC. 0log log 22>+y xD.0sin sin >-y x6．下列四个结论：①若0>x ，则x x sin >恒成立；②命题“若0sin =-x x ，则0=x ”的逆否命题为“若0≠x ，则0sin ≠-x x ”； ③在△ABC 中，“A >B ”是“sinA >sinB ”的充要条件.；④命题“R x ∈∀，0ln >-x x ”的否定是“0ln ,000<-∈∃x x R x ”． 其中正确结论的个数是 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个7．设曲线11-+=x x y 在点)3,2(处的切线与直线01=++y ax 平行，则=aA ．2B ．12-C ．2-D ．128．已知函数()()1221,1log 3,1x x f x x x -⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，若()()11f a f a =-=，则A. 2B. 2-C. 1D. 1- 9．函数ax xy +=2的图象不可能是10．设方程1|ln |2=x x 有两个不等的实根1x 和2x ，则 A ．021<x xB ．121=x xC ．121>x xD ．1021<<x x11．将函数)0)(3sin(2)(>-=ωπωx x f 的图象向左平移ωπ3个单位，得到函数)(x g y =的图象．若)(x g y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上为增函数，则ω的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．412．函数()f x 为R 上的奇函数，且当x ≥0时，2()f x x =,对任意的x ∈[t,t 十2]，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是A ．，+∞） B ．（0,2] C ．[,-1]⋃[0] D ．[2,+∞）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量,夹角为 60，且72|2|,2||=-=b a a ，则=||b ．14．已知函数3)(x e x f x +=，若)23()(2-<x f x f ，则实数x 的取值范围是__________． 15．已知O 为ABC ∆内一点，且1()2AO OB OC =+，AD t AC =，若,,B O D 三点共线，则t 的值为_________．16．已知)(x f 是定义在R 上的函数，)('x f 是)(x f 的导函数，给出如下四个结论：①若0)()('>+xx f x f ，且e f =)0(，则函数)(x xf 有极小值0；②若0)(2)('>+x f x xf ，则()n n f f 2)2(41<+，*∈N n ； ③若0)()('>-x f x f ，则)2016()2017(ef f >；④若0)()('>+x f x f ，且1)0(=f ，则不等式x e x f -<)(的解集为()+∞,0. 所有正确结论的序号是 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知向量)sin ,(),,(cos αα21=-=n m ，其中),(20πα∈，且n m ⊥．（1）求α2cos 的值； （2）若1010=-)sin(βα，且),(20πβ∈，求角β的值． 18．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1122log ,S n n n n n b a a b b b ==+++，求使6221>⋅++n n n S 成立的正整数n 的最小值？19．（本小题满分12分）在△ABC 中，角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足22266cos A cos B cos(A )cos(A )ππ-=-+.（1）求角B 的值；（2）若a b ≤=3，求c a -2的取值范围.20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N ）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设14(1)2(n an n n b λλ-=+-⋅为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n b b >+1成立．21.（本小题满分12分）已知a >0，函数2(),()ln f x ax x g x x =-=.(1)若12a =，求函数()2()y f x g x =-的极值， (2)是否存在实数a ，使得()()f x g ax ≥成立？若存在，求出实数a 的取值集合；若不存在，请说明理由．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。
宁夏银川一中高三数学第三次月考 理
数 学 试 卷（理）姓名_________ 班级_________ 学号____ 2010.10第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合M={4,5,7,9},N={3,4,7,8,9}，全集U=M ∪N,则集合C U (M ∩N) 中的元素共有( ) A. 3个 B . 4个 C . 5个 D . 6个 2．已知a 、b 为实数，则b a 22>是22log log a b >的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．复数ii+1在复平面中所对应的点到原点的距离为( ) A ．21 B ．1 C ．22 D ．24．已知向量a =(－2,1)，b =(－3，0)，则a 在b 方向上的投影为( ) A ．－2 B ．5 C ．2 D 55．如图，已知正六边形ABCDEF ，下列向量的数量积中最大的是( ) A ． AB AE ⋅ B. AB AD ⋅ C. AB AF ⋅ D. AB AC ⋅.6．等比数列｛a n ｝，已知对于任意的自然数n ， a 1+a 2+a 3+…+a n =2n-1，则a 12+a 22+a 32+…+a n 2等于( ) A ．31(4n -1) B. 31(2n -1) C. 4n-1 D. (2n-1)27．在△ABC 中,若cosA ·cosB ＞sinA ·sinB,则△ABC 为( ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形C. 直角三角形 D. 不能确定8．已知点O 是△ABC 所在平面内的一定点，P 是平面ABC 内一动点，若1(),(0,)2OP OA AB BC λλ=++∈+∞,则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( ) A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心9．使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为( )A ．π45B ．π25 C ．πD ．π2310．定义在R 上的函数f(x)满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2011）的值为( )A ．0B ．1C ．-1D ．211．︒︒-︒+︒50tan 70tan 350tan 70tan 的值为( )3..A 33.B 3.-C 33.-D 12．定义：若数列{}n a 对任意的正整数n ，都有1||||n n a a d ++=（d 为常数），则称{}n a 为“绝对和数列”，d 叫做“绝对公和”，已知“绝对和数列”1{},2n a a =中，“绝对公和”2d =，则其前2010项和2010S 的最小值为( )A ．—2010B ．—2009C ．—2006D ．—2011第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．⎰--2224dx x =________.14．在ABC ∆中，若,,a b c 成等差数列,30,B =ABC ∆的面积为32，则b =____。
宁夏回族自治区银川一中2025届高三上学期第三次月考数学试卷
宁夏回族自治区银川一中2025届高三上学期第三次月考数学试卷一、单选题1．i 是虚数单位，复数2i12i-=+（）A ．1-B ．1C ．i-D ．i2．若数列{}n a 的前n 项和(1)n S n n =+，则6a 等于（）A ．10B ．11C ．12D ．133．已知函数为()()2,0e ln 1,0x ax a xf x x x ⎧-<⎪=⎨++≥⎪⎩在上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(),0∞-B ．[)1,0-C ．[)1,-+∞D ．0,+∞4．已知()5cos 2cos 22παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（）A ．7-B ．7C ．1D ．1-5．已知数列{}n a 为等比数列，2462461118,2a a a a a a ++=++=，则4a =（）A．B．±C ．2D ．2±6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2822a a +=-，11110S =-，则n S 取最小值时，n 的值为（）A ．15或16B ．13或14C ．16或17D ．14或157．我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ABC V 的面积S =()cos 3cos 0c B b a C ++=，且222 4c a b --=，则ABC V 的面积为（）AB ．CD ．8．已知函数()2ln ,021,0x x x f x x x x >⎧=⎨--+≤⎩函数()()()()21g x f x a f x a =---⎡⎤⎣⎦，则下列结论正确的是（）A ．若1e<-a ，则()g x 恰有2个零点B ．若()g x 恰有2个零点，则a 的取值范围是()1,2,e ∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭C ．若()g x 恰有3个零点，则a 的取值范围是[)0,1D ．若12a ≤<，则()g x 恰有4个零点二、多选题9．已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,π0)ωϕ>-<<的部分图象如图所示，则（）A ．65ω=B ．π3ϕ=-C ．56ω=D ．(2π)2f =-10．下列说法正确的是（）A ．函数1cos 2y x =+的最小正周期是πB ．函数tan 2y x =的图像的对称中心是π,04k ⎛⎫⎪⎝⎭，Zk ∈C ．函数()ln 2cos 21y x =+的递增区间是ππ,π3k k ⎛⎤- ⎥⎝⎦，Zk ∈D ．函数sin 2y x =的图像可由函数πcos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向右平移π6个单位而得到11．正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 中点，如图，点P 是以AB 为直径的半圆上任意点，AP AD AE λμ=+，则（）A ．μ最大值为1B ．λ最大值为2C ．存在P 使得1λμ+=D ．AP AD ⋅最大值是8三、填空题12．已知单位向量a b ，满足1a b -= ，则a b 在方向上的投影向量为.13．已知323a b =+，则2a b -的最小值为．14．设函数22()log ||f x x x -=-，则不等式(2)(22)f x f x -≥+的解集为.四、解答题15．已知数()2π24cos 24f x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭．(1)求()f x 的最小正周期和对称轴方程；(2)求()f x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值．16．已知数列{}n a 满足112,32n n a a a +==+.(1)证明：数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设()1n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .17．在锐角ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22222tan tan c A B a c b+=+-．(1)求角A 的大小；(2)若2BC =，点D 是线段BC 的中点，求线段AD 长的取值范围．18．已知函数()e xf x ax =-和()()ln R g x ax x a =-∈(1)若函数()y g x =是定义域上的严格减函数，求a 的取值范围.(2)若函数()e x f x ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值，求a 的值(3)若1a =，是否存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列19．定义：若数列{}n a 满足()21,n n n a pa qa p q ++=+∈R ，则称数列{}n a 为“线性数列”.(1)已知{}n a 为“线性数列”，且12342,8,24,64a a a a ====，证明：数列{}12n n a a +-为等比数列.(2)已知11(1(1n n n a --=+.（i ）证明：数列{}n a 为“线性数列”.（ii ）记21n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明：18n S <.。
宁夏银川一中2014届高三上学期第三次月考数学(理)试题(附答案)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数(2)12i i i+-等于A ．iB ．i -C ．1D ．—12．设全集U ＝R ，集合A ＝｛x ｜12x x +-0≥｝，B ＝｛x ｜1＜2x＜8｝，则（C U A ）∩B 等于A ．[－1，3）B ．（0，2]C ．（1，2]D ．（2，3）3．在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次,设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()()p q ⌝∨⌝B ． ()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∨4．设{n a }是公比为正数的等比数列，若a 3＝4，a 5＝16，则数列{n a }的前5项和为A ．41B ．15C ．32D ．315. 函数321()2f x x x =-+的图象大致是6．曲线ln y x x =在点),(e e 处的切线与直线1x ay +=垂直，则实数a 的值为A ．2B.-2C.12D.12-7．如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是孤AB 的三等分点，M 、N是线段AB 的三等分点，若OA=6，则MD NC ⋅的值是A ．2B ．5C ．26D ．29 8．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则8967a a a a ++等于A.21+B.21-C.223+D.223-9．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为 A ．2sin 2cos 2αα-+ B ．sin 3αα+ C．3sin 1αα+ D ．2sin cos 1αα-+10．函数)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 部分图象如图所示,若2||AB BC AB =⋅,则ω等于 A ．3π B ．4π C ．6π D ．12π11．已知函数()x f 是R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数.令⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=75tan,75cos,72sinπππf c f b f a ，则 A ．c a b << B. a b c << C. a c b << D. c b a <<12．定义域为[,a b ]的函数()y f x =图像的两个端点为A 、B ，M(x ，y )是()f x 图象上任意一点，其中[]1,0,)1(∈-+=λλλb a x ．已知向量()ON λλ-+=1，若不等式k ≤||恒成立，则称函数f (x )在[a ，b ]上“k 阶线性近似”．若函数xx y 1-=在 [1，2]上 “k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为 A. [0,)+∞ B. 1[,)12+∞C. 3[)2++∞D. 3[)2+∞ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数)(',sin cos )(')(x f x x f x f +=π是)(x f 的导函数，则⎰π)(dx x f = 。
2021届宁夏银川一中高三上学期第三次月考理科数学试卷
2021年宁夏银川一中高三上学期第三次月考理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．不等式（1+x ）（1-|x|）>0的解集是 （ ） A ．{}11x x -<< B ．{}1x x <C ．{}11x x x <->或 D ．{}11x x x <≠-且2．等差数列}{n a 中，24321-=++a a a ，78201918=++a a a ，则此数列前20项和等于 （ ）A ．160B ．180C ．200D ．2203．已知向量(12)(21)a x b ＝－，，＝，，则“x ＞0”是“a 与b 的夹角为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．对一切实数x ，不等式210x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞-B ．[)2,-+∞C ．[]2,2-D ．[)0,+∞ 5．命题p ：x R ∀∈，210ax ax ++≥，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,4] B ．[0,4]C ．(,0][4)-∞⋃+∞D ．(,0)(4)-∞⋃+∞6．设点P()00,x y 是函数tan y x =与()0y x x =-≠的图象的一个交点，则()()2011cos2xx ++的值为 （ ）A ．2B ．C ．D ．因为0x 不唯一，故不确定7．7．已知x 、y 为正实数，且x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则的取值范围是 （ ）A ．RB ．C ．D ．8．已知圆C 的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C 相切，则圆C 的方程为 （ ） A ． B ．C ．D ．9．已知数列{}n a 的通项公式为n a =anbn c+，其中a 、b 、c 均为正数，那么n a 与1n a +的大小是 （ ）A ．n a >1n a +B ．n a <1n a +C ．n a =1n a +D ．与n 的取值有关 10．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是 （ ）A ．1B ．2C ．D ．11． 函数()12sin 1f x x xπ=--在区间[]2,4-上的所有零点之和等于 （ ） A ． 2 B ． 6 C ． 8 D ． 1012．已知以4T=为周期的函数(1,1](){12,(1,3]x f x x x ∈-=--∈，其中0m >．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．8)3B ．C ．48(,)33D ．4(3二、填空题13．直线ax ＋y ＋1＝0与连接A (2,3)、B (－3,2)的线段相交，则a 的取值范围是__________ 14．过点(1,2)M 的直线l 与圆C ：22(3)(4)25x y -+-=交于A 、B 两点，当ACB ∠最小时，直线l 的方程是 .15．已知、满足约束条件，若目标函数的最大值为7，则的最小值为 ．16．已知M m 、分别是函数2224()2cos x x xf x x x π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=+的最大值、最小值，则M m += ．三、解答题 17．知函数f(x)=√32sin2x −cos 2x −12,(x ∈R)（1）当x ∈[−π12,5π12]时，求函数f(x)的值域.（2）设ΔABC 的内角A,B,C 的对应边分别为a,b,c ，且c =√3,f(C)=0，若向量m ⃗⃗ =(1,sinA).与向量n ⃗ =(2,sinB)共线，求a,b 的值.18．（本小题满分12分）设数列{}n a 的各项均为正数，它的前n 项的和为n S ，点(,)n n a S 在函数2111822y x x =++的图像上；数列{}n b 满足1111,()n n n n b a b a a b ++=-=．其中n N *∈．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设n n n a c b =，求证：数列{}n c 的前n 项的和59n T >（n N *∈）． 19．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-,设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 20．已知圆C 过点P （1，1），且与圆M ：(x+2)2+(x+2)2=r 2(r>0)2关于直线x+y+2=0对称．⑴求圆C 的方程；⑵设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值；⑶过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）设，求的单调区间；（Ⅱ） 设，且对于任意，．试比较与的大小．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，正方形ABCD 边长为2，以D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连结CF 并延长交AB 于点E ．（1）求证：； （2）求的值．23．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为12{ 42x y t=-=-（t 为参数）．再以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy 有相同的长度单位．在该极坐标系中圆C 的方程为4sin ρθ=． （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点M 的坐标为()2,1-，求MA MB +的值． 24．选修4—5：不等式选讲 已知()352244f x x x =-++． （1）关于x 的不等式()2f x a a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设,R m n +∈，且1m n +=参考答案1．D 【解析】试题分析：当0x ≤时，原不等式为2(1)0x +>，1x ≠-，所以01x x ≤≠-且，当0x >时，原不等式为(1)(1)0x x +->，即(1)(1)0x x -+<，11x -<<，所以01x <<，综上原不等式的解为11x x <≠-且，故选D ． 考点：解绝对值不等式． 2．B 【解析】 试题分析：由等差数列的性质知1202193181231819201()3a a a a a a a a a a a a +=+=+=+++++1(2478)3=-+18=，所以1202020()1802a a S +==，故选B ． 考点：等差数列的性质，等差数列的前n 项和． 3．C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义以及向量的数量积的应用，进行判断即可. 【详解】充分性：当x ＞0时，2(1)220a b x x ⋅=-+=>；但是当x ＝5时，(42)a ＝，，与b 共线，a 与b 夹角为0°，故充分性不成立， 必要性：a 与b 夹角为锐角，则2(1)220a b x x ⋅=-+=>， 解得x ＞0，故必要性成立， 故选C. 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理及坐标表示、平面向量的数量积以及充分条件和必要条件. 4．B 【解析】 【详解】当0x =时，得任意实数a 均满足题意，当0x ≠时，211x a x x x--≥=--，又12x x ⎛⎫--≤- ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当1x =±取得等号，故2a ≥- 5．D 【解析】试题分析：若p ⌝是真命题，即2,10x R ax ax ∃∈++<，当0a <时显然满足题意，当0a =时，不满足题意，当0a >时，240a a ∆=->，解得04a a 或，综上有04a a 或，故选D ．考点：二次函数的性质，一元二次不等式问题． 6．A【解析】试题分析：由题意00tan x x =-，所以()()()222000011cos2tan 12cos x x x x ++=+⋅()22002sin cos 2x x =+=，故选A ．考点：同角三角函数的关系． 7．C【解析】试题分析：由已知12a a x y +=+， 12b b xy =，所以()()221212a a x yb b xy++=224x y y x =++≥=，当且仅当x y =时取等号，故选C ． 考点：等差数列与等比数列的性质，基本不等式． 8．C 【解析】试题分析：设圆心为(,0)C a （0a >）2=，2a =或7a =-（舍去），所以圆C 的方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-=，故选C ． 考点：圆的方程． 9．B【解析】试题分析： ()()111n n a n ana ab n cbn c ++-=-+++ ()()0ac bn b c bn c =>+++，所以1n n a a +>，故选B ．考点：比较大小，数列的单调性． 10．C 【解析】试题分析：设a b +与c 的夹角为θ，由于，是平面内两个互相垂直的单位向量，所以2a b +=，由得2()0a b a b c c ⋅-+⋅+=，即2()cos c a b c a b c θ=+⋅=+⋅，所以2cos c θ=，最大值为2，故选C ．考点：向量的数量积． 11．C 【解析】试题分析：作出函数11y x=-与2sin y x π=的图象，如图，由于这两个函数的图象都关于点(1,0)对称，因此它们的交点也关于点(1,0)对称，由图象知它们在[1,4]上有四个交点，因此在[2,1]-上也有四个交点，且对应点的横坐标之和为2，所以()f x 在[2,4]-上的所有零点之和为248⨯=，故选C ．考点：函数的零点．【名师点晴】本题考查函数的零点问题，解题的关键是把函数零点转化为函数图象的交点，从而利用函数图象的对称性，把零点两两配对，它们的和为2，再根据图象（函数的周期性与单调性）确定出在给定区间内零点的个数，最终求得结论． 12．B 【详解】因为当(1,1]x ∈-时，将函数化为方程2221(y 0)y x m+=≥，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当(1,3]x ∈得图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线3x y =与第二个椭圆222(4)1(y 0)y x m -+=≥相交，而与第三个半椭圆222(8)1(y 0)y x m-+=≥无公共点时，方程恰有5个实数解，将3x y =代入222(4)1(y 0)y x m-+=≥得2222(91)721350,m x m x m +-+=令29(0)t m t =>，则有2(1)8150t x tx t +-+=由22(8)415(1)0,15,915,0t t t t m m m ∆=-⨯+>>>>>得由且得同样由3x y =与第三个半椭圆222(8)1(y 0)y x m-+=≥无交点，由∆<0可计算得m <综上知m ∈．13．a ≤－2或a ≥1. 【解析】试题分析：直线ax +y +1=0过定点P(0,−1)，k PA =3−(−1)2−0=2，k PB =2−(−1)−3−0=−1，−3<0<2，所以−a ≥2或−a ≤−1，即a ≤−2或a ≥1． 考点：直线的斜率． 14．30x y +-= 【解析】试题分析：由于点(1,2)M 在圆C ：22(3)(4)25x y -+-=的内部，由于直线AB 和圆相交的性质可得，当ACB ∠最小时，圆心C 到直线AB 的距离最大，此时直线AB 与直线MC 垂直，由于直线MC 的斜率42131-=-，则所求直线的斜率为1-，由直线的点斜式方程得2(1)y x -=--，即30x y +-=.考点：直线与圆的位置关系. 15．7 【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:0l ax by +=，把直线l 向上平移时z 增大，即l 过点(3,4)A 时，z 取最大值7，所以347a b +=，因此34134(34)()7a b a b a b+=++112121(25)(25777b a a b =++≥+=，当且仅当1212a b b a =时等号成立，故所求最小值为7．考点：简单的线性规划问题，基本不等式．【名师点晴】本题把简单的线性规划问题与基本不等式结合在一起，考查简单线性规划中已知目标函数的最值反求参数的值得出的关系，巧妙利用整体代换思想把最值问题转化为基本不等式，是一道典型的知识交汇题，考查了我们的分析问题解决问题的能力． 16．2 【解析】试题分析：222sin cos 2sin ()12cos cos 2x x x x x x f x x x x x ++++==+++，显然函数2sin ()cos 2x xg x x x +=+是奇函数，设其最大值为A ，则其最小值为A -，所以1M A =+，1m A =-+，从而2M m +=．考点：函数有奇偶性与最值．【名师点晴】本题考查函数的最值，求函数的最值一般方法有：一是利用函数的单调性，如二次函数，指、对数函数，三角函数等，二是利用不等式的性质，三是利用导数确定函数的单调性，确定最值．而本题的关键是构造奇函数，利用奇函数的的最大最小值互为相反数，从而求得题中函数的最大与最小值之和． 17．（1）最小值是，最大值是0；（2）．【解析】试题分析：（1）利用三角恒等变形将f(x)化成形如y =Asin(ωx +φ)的性质，再根据三角函数的性质即可求解；（2）利用平面向量共线的坐标表示结合正弦定理可得到a ，b 所满足的一个方程，再结合余弦定理可得到a ，b 所满足的另一个方程，联立即可求解． 试题解析：（1）f(x)=√32sin2x −1+cos2x2−12=√32sin2x −12cos2x −1=sin(2x −π6)−1，∵−π12≤x ≤5π12，∴−π3≤2x −π6≤2π3，∴−√32≤sin(2x −π6)≤1，从而−1−√32≤sin(2x −π6)−1≤0，即值域为[−1−√32,0]；（2）f(C)=sin(2C −π6)−1=0，则sin(2C −π6)=1，∵0<C <π，∴−π6<2C −π6<11π6，∴2C −π6=π2⇒C =π3，又∵向量m ⃗⃗ =(1,sinA)与向量n ⃗ =(2,sinB)共线，∴sinB =2sinA ，由正弦定理得，b =2a ①，由余弦定理得，c 2=a 2+b 2−2abcos π3，即a 2+b 2−ab =3②，联立①②解得a =1，b =2．考点：1．三角恒等变形；2．y =Asin(ωx +φ)的图象和性质；3．平面向量共线坐标表示；4．．正余弦定理解三角形．18．（1）42n a n =-，112()4n n b -=⋅；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）由已知得2111822n n n S a a =++，这是n S 与n a 的关系，求通项的方法是利用1n n n a S S -=-把此关系式转化为n a 与1n a -的关系，从而求得通项，数列{}n b 的关系式实质上是11114n n n n b b a a ++==-，是一个等比数列；（2）由（1）知1(21)4n n n n a c n b -==-⋅，它是一个等差数列与等比数列相乘构成的新数列，其前n 项和用错位相减法可求和n T ，可证得结论．试题解析：（1）由已知条件得2111822n n n S a a =++， ① 当2n ≥时，2111111822n n n S a a ---=++， ②①－②得：221111()()82n n n n n a a a a a --=-+-，即1111()()4n n n n n n a a a a a a ---+=+-，∵数列{}n a 的各项均为正数，∴14n n a a --=（2n ≥）， 又12a =，∴42n a n =-；∵1111,()n n n n b a b a a b ++=-=， ∴1112,4n n b b b +==，∴112()4n n b -=⋅； （2）∵1(21)4n nn na c nb -==-， ∴22113454(23)4(21)4n n n T n n --=+⋅+⋅++-⋅+-⋅，2214434(25)4(23)4(21)4n n n n T n n n --=+⋅++-⋅+-⋅+-⋅，两式相减得21555312(444)(21)4(2)4333n n n n T n n --=++++--=---⋅<-，∴59n T >． 考点：等差数列与等比数列的通项公式，错位相减法． 19．（1）3=y 或者01243=-+y x ；（2【解析】试题分析：（1）求圆的切线方程，首先要求出圆的方程，本题已知圆的半径为1，因此要求出圆心坐标，由已知把两直线方程联立方程组可解得圆心坐标，得圆方程，由此可知过点A 的切线斜率一定存在，故可设其方程为3y kx =+，由圆心到切线距离等于圆的半径可求得k 值；（2）平面上满足2MA MO =的点M 的轨迹是圆4)1(22=++y x ，因此题设就变为圆C 与圆4)1(22=++y x 有公共点，由两圆位置关系可得圆心C 的横坐标a 的取值范围． 试题解析：（1）由⎩⎨⎧-=-=142x y x y 得圆心C 为（3,2），∵圆C 的半径为1∴圆C 的方程为：1)2()3(22=-+-y x （1分）显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ，即03=+-y kx∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者∴所求圆C 的切线方程为：3=y 或者即3=y 或者01243=-+y x （3分）（2）解：∵圆C 的圆心在在直线42:-=x y l 上，所以，设圆心C 为（a,2a-4） 则圆C 的方程为：[]1)42()(22=--+-a y a x （2分）又∵MO MA 2=∴设M 为（x,y ）整理得：4)1(22=++y x 设为圆D （3分）∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即圆C 和圆D 有交点2分）解得，a 的取值范围为：1分） 考点：直线和圆的位置关系，圆与圆的位置关系．20．（1）222x y +=；（2）－4；（3）平行．【解析】试题分析：（1）由于两圆关于某直线对称，则两圆的圆心关于该直线对称且半径相等；所以可先由圆C 与圆M ：(x+2)2+(x+2)2=r 2(r>0)2关于直线x+y+2=0对称，求出圆Ｃ的圆心Ｃ的坐标（x 0,y 0），进而写出圆C 的方程，再由圆C 过点P （1，1）就可求出半径r 的值，从而得圆Ｃ的方程；其中求圆心Ｃ的坐标（x 0,y 0）这样进行：因为圆M 的圆心M(-2,-2),所以有MC 的中点在直线x+y+2=0上，且MC 与直线x+y+2=0垂直，可列出关于x 0,y 0的方程组，解此方程组就可求得x 0,y 0的值；（2）设出点Q 的坐标,则可用点Q 的坐标表示出来,再由点Q 在圆C 上,可考虑用三角换元或用数形结合法来求的最小值;（3）由于直线PA 和直线PB 的倾斜角互补且PA 与PB 是两条相异直线,所以两直线的倾斜角均不为900,从而两直线的斜率都存在,若设PA 的斜率为k ，则PB 的斜率就为-k,从而就可写出两直线的方程，与圆C 的方程结合起来就可用k 的式子表示出A ，B 两点的从标，从而就可求出直线AB 的斜率，又OP 的斜率可求，从而就可判断直线OP 和AB 是否平行了． 试题解析：（1）设圆Ｃ的圆心Ｃ的坐标为(x 0,y 0）,由于圆M 的圆心M(-2,-2),则有:,所以圆C 的方程为:,又因为圆C 过点P（1，1）,所以有,故知:⊙C 的方程为：（2）设Q （x 、y ），则，从而可设则(1)(2)(1)(2)22sin()24PQ MQ x x y y x y πθ⋅=-++-+=+-=+-所以PQ MQ ⋅的最小值为-4. （3）设PA 的方程为：，则PB 的方程为：由得，同理可得：OP ∥AB ．考点：１．圆的方程；２．向量的数量积；３．直线和圆的位置关系． 21．（Ⅰ）当，时，函数的单调递减区间是，当，时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）函数定义域为，求出导函数，由于，分两种情况，和，时，，当时，恒成立，当时，的解为，可得单调区间，当时，有两根，可得（或）的解集，即单调区间；（Ⅱ）由已知得是的极小值，由（1）得，即，因此问题为比较与的大小，为此研究函数，通过导数得绵最大值为且，因此得．试题解析：（Ⅰ）由，得．（1）当时，①若，当时，恒成立，所以函数的单调递减区间是②若，当时，，函数的单调递减，当时，，函数的单调递增，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是．（2）当时，，得，由得显然，当时，，函数的单调递减，当时，，函数的单调递增，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，综上所述当，时，函数的单调递减区间是当，时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是．（Ⅱ）由，且对于任意，，则函数在处取得最小值，由（Ⅰ）知，是的唯一的极小值点，故，整理得即．令，则令得，当时，单调递增；当时，单调递减．因此，故，即，即．考点：导数与函数的单调性、极值，比较大小．【名师点晴】本题主要考查导数与函数单调性、函数的极值，比较大小等基础知识，属于难题，解答此题关键在于第（Ⅰ）问要准确求出的导数后，要对其中的参数进行分类讨论，首先对的系数分和两类，在时，对的正负也要分类，当时，由于有两不等实根，故不需要再对分类了，第（Ⅱ）小题一是由已知得是的极小值，二是比较大小是通过构造新函数，研究的单调性来确定两数的大小关系． 22．（1）证明见解析；（2）45． 【解析】试题分析：（1）由切割线定理有2=EF EA EC ⋅，再由射影定理有2EB EF EC =⋅，从而AE EB =（2）因为BF EC ⊥，由射影定理得245EF FC BF ⋅==试题解析：解：（1）由以D 为圆心DA 为半径作圆，而ABCD 为正方形，∴EA 为圆D 的切线依据切割线定理得2=EF EA EC ⋅，另外圆O 以BC 为直径，∴EB 是圆O 的切线，同样依据切割线定理得2EB EF EC =⋅，故AE EB =（2）连结BF ，∵BC 为圆O 直径，∴BF EC ⊥，由1122BCE S BC BE CE BF ∆=⋅=⋅得5BF == 又在BCE Rt ∆中，由射影定理得245EF FC BF ⋅== 考点：切割线定理，射影定理【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等． 23．（1）()2224x y +-=；（2）【解析】试题分析：（1）利用极坐标与直角坐标互化公式；（2）写出过点M 的直线l 的标准参数方程为22{12x y =-+=+，代入圆的方程，得：210t -=，利用参数的几何意义表示MA MB +，从而求解．试题解析：（1）由极坐标与直角坐标互化公式得圆的直角坐标方程式为()2224x y +-=，（2）直线l 的普通方程为3y x =+，点M 在直线上l的标准参数方程为22{ 12x y =-+=+．代入圆方程得：210t -=．设A B 、对应的参数分别为12t t 、，则12t t +=，121t t =．于是1212MA MB t t t t +=+=+=考点：1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、参数方程与普通方程的互化；3、参数的几何意义．24．（1）12a -≤≤；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）不等式()2f x a a ≥-恒成立，不等式或两个字母x 与a 是分离的，因此有2a a -小于或等于()f x 最小值，由绝对值的几何意义可求得()f x 的最小值（()f x 表示数轴上的点(2)P x 与点3()4A 和点5()4B -的距离之和，最小值为2），解不等式22a a -≤即得a 的取值范围；（2≤12m n ==时，等号成立，由此我们凑出基本不等式，即22122133342222m n m n m n +++++=+++=++=，结论得证．试题解析：（1）依据绝对值的几何意义可知函数()352244f x x x =-++表示数轴上点P （2x ）到点A （34）和B （54-）两点的距离，其最小值为()min 2f x =∴不等式恒成立只需22a a ≥-，解得12a -≤≤（2）∵()min 2f x=∴≤()221322m m ++≤=+()221322n n ++=+．333422m n m n≤+++=++=≤故要证明的不等式成立．考点：不等式恒成立问题，不等式的证明．。
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银川一中2015届高三年级第三次月考数 学 试 卷（理）命题人：曹建军第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合}0)1(|{},42|{>-=≤=x x x N x M x ，则= A. B. C.D.2．已知复数2320151...z i i i i =+++++，则化简得= A ．0B ．C ．1D ． 3.为等差数列的前项和，，则 A ． B ．C ．D ．4. 已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是 A.63B. 233 C. 236D. 4335．在中，，且，点满足2,BM MA CM CB =⋅则等于 A ．3B ．2C ．4D ．66. 下列说法正确．．的是 A ．命题“，”的否定是“，”B ．命题 “已知，若，则或”是真命题C ．“在上恒成立” “在上恒成立”D ．命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题7．能够把圆:的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“和谐函数”,下列函数不是．．圆的“和谐函数”的是 A ． B ．C ．D ．8. 已知，则A. B. C. D. 9．已知数列满足11111,2,,n n n nb a b a a n N b +++==-==∈，则数列的前10项和为 A. B. C. D.10．函数是A．最小正周期为，值域为2⎤⎥⎣⎦的函数B．最小正周期为，值域为⎤⎥⎣⎦的函数C ．最小正周期为，值域为的函数D ．最小正周期为,值域为的函数11．如图，矩形的一边在x 轴上，另外两个顶点C n ,D n 在函数的图象上.若点B n 的坐标 ，记矩形的周长为a n ， 则a 2+a 3+…+a 10=A ．208 B.216 C.212 D.22012．若直角坐标平面内A 、B 两点满足①点A 、B 则点（A,B ）是函数的一个“姊妹点对”。
点对（A,B ）与（B,A ”，已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=)0( 2)0( 2)(2x ex x x x f x ，则的“姊妹点对”有A. 2个B. 1个C. 0个D. 3个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为 .14．在中，已知内角，边，则的面积的最大值为 ．15. 已知，数列的前项和为，数列的通项公式为，则的最小值为 . 16．在技术工程中，经常用到双曲正弦函数和双曲余弦函数.其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似，比如关于正、余函数有y x y x y x sin sin cos cos )cos(-=+成立，而关于双曲正、余弦函数满足shxshy chxchy y x ch +=+)(.请你类比正弦函数和余弦函数关系式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个新关系式 . 三、解答题:本大题共5小题，共计70分。
解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，. （1）求与；（2）设数列满足，求的前项和. 18. (本小题满分12分)函数2sin 2cos2sin3)(2ϕωϕωϕω++++=x x x x f ,.其图象的最高点与相邻对称中心的两点．．间．距离为,且过点. （1）求函数的周期及其表达式; （2）在△中，、、分别是角、、的对边, , ,角C 为锐角且满足A c C a a sin sin 42-=,求的值. 19. (本小题满分12分)已知数列的首项1122,,1,2,3, (31)n n n a a a n a +===+. （1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和． 20．（本小题满分12分）已知函数()()2ln f x x a x x =+--在处取得极值.（1）求实数的值；（2）关于的方程在区间上有两个不同的实数根,求实数的取值范围； 21. （本小题满分12分）已知函数23)2(2161)(x a x x g -+=，。
（1）当a ∈R 时，讨论函数的单调性．（2）是否存在实数a ，对任意的，且，都有. 若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由.请考生在第22、23、24三题中任选一题．．．．做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，是直角三角形，， 以为直径的圆交于点，点是 边的中点，连接交圆于点. （1）求证：、、、四点共圆；（2）求证：AB DM AC DM DE ⋅+⋅=2223.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程．已知曲线的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标系方程是，正方形的顶点都在上， 且依逆时针次序排列，点的极坐标为 （1）求点的直角坐标；（2）设为上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围。
24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知512)(-+-=ax x x f (a 是常数，a ∈R) （1）当a=1时求不等式的解集；（2）如果函数恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．宁夏银川一中2015届高三第三次月考数学（理）参考答案13．8 14． 15．-416．122)(22=-=+=+x sh x ch shchx x sh chxshy shxchy y x sh 或或 三、解答题：17．(本小题满分12分)解：（1）因为222212b s s q b +=⎧⎪⎨=⎪⎩,所以6126q d dq q ++=⎧⎪+⎨=⎪⎩,得3,4(3q q d ==-=舍），, , 6分（2）因为，所以111153(3)315315(4)n n n n n c n ---⎧-≤⎪=-=⎨-≥⎪⎩得3115(3)22312715(4)22n n nn n T n n ⎧-++≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩ 12分 18. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)21)6sin()]cos(1[21)sin(23)(+-+=+-++=πϕωϕωϕωx x x x f . ∵最高点与相邻对称中心的距离为,则,即, ∴,∵,∴,又过点,∴121)632sin(=+-+πϕπ, 即,∴.∵,∴,∴21)62sin()(++=πx x f . (6分)(Ⅱ)A c C a a sin sin 42-=,由正弦定理可得, ∵,∴,又,10cos ==⋅C ab CB CA ,∴,由余弦定理得21cos 2222=-+=C ab b a c ,∴. (12分)19. (本小题满分12分) 解：（Ⅰ）∵，111111222n n n na a a a ++==+⋅， ∴ ，又，，∴ 数列是以为首项，为公比的等比数列．……… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1111111222n n n a -+-=⋅=，即，． 设…， ①则…，②由①②得 (111)11(1)1122112222212n n n n n n n n n +++-+-=-=---， ．又…．∴ 数列的前项和 22(1)4222222n n n n n n n n n S +++++=-+==………12分20．（本小题满分12分） 解:(1)()'121,f x x x a=--+ 0x =时,()f x 取得极值, ()'00,f ∴=故12010,0a -⨯-=+解得 1.a = 经检验1a =符合题意. （2）由1a =知()()2ln 1,f x x x x =+-- 由()52f x x b =-+,得()23ln 10,2x x x b +-+-= 令()()23ln 1,2x x x x b ϕ=+-+-则()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根等价于()0x ϕ=在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根.()()()()'451132,1221x x x x x x ϕ-+-=-+=++ 当[]0,1x ∈时,()'0x ϕ>,于是()x ϕ在[)0,1上单调递增; 当(]1,2x ∈时,()'0x ϕ<,于是()x ϕ在(]1,2上单调递减.依题意有()()()()()0031ln 111022ln 12430b b b ϕϕϕ=-≤⎧⎪⎪=+-+->⎨⎪⎪=+-+-≤⎩, 解得,1ln 31ln 2.2b -≤<+21.解: (1) 21()(2)2ln ,(0)2f x x a x a x x =+--2(2)()()2,(0)a x x a f x x a x x x-+'=+--=,①当a ＞0时，f （x ）在（0，2）上是减函数，在在上是增函数。
②当-2＜a ≤0时，f （x ）在（0，-a ）上是增函数；在（-a ，2）是是减函数；在上是增函数。
③当a=-2时，f （x ）在（0，+上是增函数。
④当a ＜-2时，f （x ）在（0，2）上是增函数；在（2，-a ）上是减函数；在上是增函数。
（2）假设存在实数a ，对任意的，且，都有恒成立，当时，等价于 2112()()()f x f x a x x --即2211()()f x ax f x ax ++ 恒成立.令g （x ）=f （x ）+ax=ax x x a x 22ln 2212+--，只要g （x ）在（0，+上恒为增函数,所以恒成立即可.又xa x a x a x a x x g 2)22(222)(2--+=+--=' ，只要2(22)20x a x a +--≥在（0，+恒成立即可.设2()(22)2h x x a x a =+--，则由224(1)8440a a a ∆=-+=+及(0)202202h a a =-⎧⎪⎨--≤⎪⎩得，当时，等价于 2112()()()f x f x a x x --即2211()()f x ax f x ax ++ 恒成立. g （x ）在（0，+上恒为增函数,所以恒成立即可.综上所述，不存在实数a ，对任意的，且时，都有.22.（本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲证明：（1）连接、，则 又是BC 的中点，所以 又，所以 所以︒=∠=∠90OBD OED 所以、、、四点共圆 。