2021版《九章方略》§9.2 两条直线的位置关系
两条直线的位置关系
两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ )对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、 k2，则有 l1∥l2?k1＝k2.(ⅱ)当直线 l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.②两条直线垂直：(ⅰ )如果两条直线 l1、 l2的斜率存在，设为k1、 k2，则有 l1⊥l2?k1·k2＝－ 1.(ⅱ )当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时， l1⊥l2.(2)两条直线的交点直线 l1：A1x＋B1y＋ C1＝0，l2：A2x＋ B2 y＋ C2＝ 0，则 l1与 l2的交点坐标就是方程组的解．2．几种距离(1)两点 P1(x1， y1 )， P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝ .(2)点 P0(x0， y0)到直线 l： Ax＋By＋ C＝0 的距离： d＝.(3)两条平行线 Ax＋By＋C1＝ 0 与 Ax＋By＋C2＝ 0(其中 C1≠C2)间的距离 d＝ .选择题：设 a∈ R，则“ a＝ 1”是“直线 l1：ax＋2y－1＝0 与直线 l2： x＋ (a＋1)y＋4＝ 0 平行”的 () A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析充分性：当 a＝1 时，直线 l1：＋－＝与直线2：＋＋＝0平行；x2y 1 0l x2y 4必要性：当直线 l1： ax＋2y－ 1＝ 0 与直线 l2：x＋ (a＋ 1)y＋ 4＝ 0 平行时有 a＝－ 2 或 1；所以“ a＝1”是“直线 l1： ax＋ 2y－1＝0 与直线 l2： x＋ (a＋1)y＋4＝0 平行”的充分不必要条件已知点 (a,2)(a>0)到直线 l ：x－y＋3＝0 的距离为 1，则 a 等于 ()A.B．2－C.－1D.＋1解析依题意得＝ 1，解得 a＝－ 1＋或 a＝－ 1－，∵a>0，∴ a＝－ 1＋.已知直线 l1： (3＋m)x＋ 4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝ 8 平行，则实数 m 的值为 ()A．－ 7B．－ 1C．－ 1 或－ 7D.解析l1的斜率为－，在 y 轴上的截距为， l2的斜率为－，在y 轴上的截距为 .又∵l1∥ l2，由－＝－得， m2＋8m＋7＝0，得 m＝－ 1 或－ 7.m ＝－ 1 时，＝＝ 2， l 1 与 l 2 重合，故不符合题意； m ＝－ 7 时，＝ ≠＝－ 4，符合题意已知两条直线 l 1：(a －1) ·x ＋ 2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋ 3＝0 平行，则 a 等于 ()A ．－ 1B ．2C ．0 或－ 2D ．－ 1 或 2解析若 a ＝0，两直线方程为－ x ＋2y ＋1＝ 0 和 x ＝－ 3，此时两直线相交，不平行，所以 a ≠0.当 a ≠0 时，若两直线平行，则有＝ ≠，解得 a ＝－ 1 或 a ＝2，选 D.已知点 O(0， 0)，A(0，b)， B(a ，a 3)．若 △OAB 为直角三角形，则必有 ()A ．b ＝ a 3B ． b ＝ a 3＋C ． (b －a 3)＝ 0D ． |b －a 3|＋＝ 0解析 若以 O 为直角顶点，则 B 在 x 轴上，则 a 必为 0，此时 O ，B 重合，不符合题意；若 ∠A ＝，则 ＝ 3≠0，若∠ B ＝，根据垂直关系可知 a 2·＝－ ，所以3－b) ＝－，即－ 3－＝ ，以上两b a 1 a(a1b a种情况皆有可能，故只有C 满足条件．已知过点 A(m ＋1，0)，B(－5，m)的直线与过点 C(－ 4，3)，D(0，5)的直线平行，则 m 的值为 ()A ．－ 1B ．－ 2C ． 2D ．1解析由题意得： k AB ＝＝， CD ＝＝ 由于 AB ∥ CD ，即 AB ＝ CD ，k . kk所以＝，所以 m ＝－ 2当 0＜ k ＜时，直线 l 1 ：kx －y ＝ k － 1 与直线 l 2：ky － x ＝ 2k 的交点在 ()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析解方程组得两直线的交点坐标为，因为 0＜ k ＜，所以＜ 0，＞ 0，故交点在第二象限．若直线 l 1： y ＝ k(x － 4)与直线 l 2 关于点 (2， 1)对称，则直线 l 2 经过定点 ()A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－ 2)解析直线 l 1： ＝ － 经过定点 ，其关于点 对称的点为 (0,2)，又直线 l 1： ＝ －y k(x 4) (4,0)(2,1) y k(x 4)与直线 l 2 关于点 (2,1)对称，故直线 l 2 经过定点 (0,2)．从点 (2，3)射出的光线沿与向量a ＝ (8，4)平行的直线射到 y 轴上，则反射光线所在的直线方程为()A ． x ＋2y － 4＝ 0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ． 6x ＋ y － 8＝0解析由直线与向量 a ＝ (8,4)平行知：过点 (2,3)的直线的斜率 k ＝，所以直线的方程为y －3＝(x －与 (0,2)，由两点式知 A 正确．填空题：已知 a，b 为正数，且直线 ax＋by－6＝0 与直线 2x＋ (b－3)y＋5＝0 互相平行，则 2a＋3b 的最小值为 _____解析由于直线 ax＋by－ 6＝ 0 与直线 2x＋ (b－3)y＋5＝0 互相平行，所以 a(b－3)＝2b，即＋＝ 1(a，b均为正数 )，所以 2a＋ 3b＝ (2a＋ 3b)＝ 13＋6≥13＋6×2＝ 25(当且仅当＝，即 a＝b＝5 时取等号 ) 若直线 (3a＋2)x＋(1－ 4a)y＋8＝0 与(5a－ 2)x＋ (a＋4)y－7＝0 垂直，则 a＝ ________解析由两直线垂直的充要条件，得 (3a＋ 2)(5a－2)＋ (1－4a)(a＋4)＝ 0，解得 a＝0 或 a＝1.已知两直线方程分别为 l1： x＋ y＝1， l2： ax＋ 2y＝ 0，若 l1⊥ l2，则 a＝________.解析∵l1⊥l2，∴12＝－，即＝－，解得＝－2.k k11a已知直线 y＝ kx＋ 2k＋1 与直线 y＝－ x＋2 的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是 ________解析由方程组解得 (若 2k＋ 1＝ 0，即 k＝－，则两直线平行 )，∴交点坐标为，又∵交点位于第一象限，∴解得－＜ k＜.直线 l 过点 P(－1，2)且到点 A(2，3)和点 B(－ 4， 5)的距离相等，则直线l 的方程为 ______解析当直线 l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y－ 2＝ k(x＋ 1)，即 kx－ y＋ k＋ 2＝0.由题意知＝，即 |3k－1|＝|－3k－ 3|，∴ k＝－ .∴直线 l 的方程为 y－ 2＝－ (x＋ 1)，即 x＋3y－5＝ 0.当直线 l 的斜率不存在时，直线l 的方程为 x＝－ 1，也符合题意．过点 P(0，1)作直线 l，使它被直线 l1：2x＋y－8＝0 和 l2： x－ 3y＋10＝ 0 截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为 ________________解析设 l1与l 的交点为－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－－在 2 上，A(a,8a,2a 6)l代入 l2的方程得－ a－ 3(2a－ 6)＋10＝0，解得 a＝4，即点 A(4,0)在直线 l 上，所以直线 l 的方程为x＋4y－4＝0与直线 l1：3x＋2y－6＝0 和直线 l2： 6x＋4y－3＝0 等距离的直线方程是 ________解析l2：6x＋ 4y－ 3＝0 化为 3x＋ 2y－＝ 0，所以 l1与 l2平行，设与 l1，l2等距离的直线 l 的方程为3x＋ 2y＋c＝0，则： |c＋ 6|＝|c＋|，解得 c＝－，所以 l 的方程为 12x＋ 8y－ 15＝ 0.已知两直线 l1：ax－by＋ 4＝ 0 和 l2：(a－ 1)x＋ y＋ b＝ 0，若 l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则 a＋ b＝ ________解析由题意得解得或经检验，两种情况均符合题意，∴ a＋b的值为0或已知直线 l1：ax＋y－1＝0，直线 l2：x－y－3＝0，若直线 l1的倾斜角为，则 a＝ ______；若 l1⊥l2，则 a＝ ________；若 l1∥l2，则两平行直线间的距离为 _______解析若直线 l1的倾斜角为，则－＝＝°＝，故＝－；若1⊥l2，则a × ＋×(－1)＝，a k tan451a1l 1 10故＝；若1∥l2，则＝－，1：－＋＝，两平行直线间的距离＝＝2.a 1l a 1 l x y 1 0d已知直线 l： 2x－ 3y＋1＝0，点 A(－ 1，－ 2)，则点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标为 ________解析设 A′(x， y)，由已知得解得故A′.解答题：已知两直线 l1： x＋ ysinα－ 1＝0 和 l2：2x·sinα＋y＋1＝0，求α的值，使得：(1)l1∥ l2；(2)l1⊥l2.解 (1)当 sinα＝ 0 时，直线 l1的斜率不存在， l2的斜率为 0，显然 l1不平行于 l2. 当sinα≠ 0 时， k1＝－， k2＝－ 2sinα，要使 l1∥l2，需－＝－ 2sinα，即 sinα＝±.所以α＝π±，∈Z ，此时两直线的斜率相等．故当α＝π±，∈时， 1∥l2.kk kk Z l(2)因为 A1A2＋ B1B2＝0 是 l1⊥l2的充要条件，所以 2sinα＋ sinα＝ 0，即 sinα＝ 0，所以α＝ kπ，k∈ Z.故当α＝ kπ， k∈Z 时， l1⊥l2.如图，设一直线过点 (－ 1,1)，它被两平行直线l1：x＋ 2y－1＝ 0，l2：x＋2y－ 3＝ 0 所截的线段的中点在直线 l3：x－ y－ 1＝ 0 上，求其方程．解与 l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋ 2y－2＝0.设所求直线方程为 (x＋ 2y－2)＋λ(x－ y－ 1)＝0，即 (1＋λ)x＋ (2－λ)y－2－λ＝ 0.又直线过 (－ 1,1)，∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－ 2－λ＝ 0，解得λ＝－ .∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.正方形的中心为点C(－ 1,0)，一条边所在的直线方程是x＋ 3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程解点 C 到直线 x＋3y－ 5＝ 0 的距离 d＝＝ .设与 x＋3y－ 5＝ 0 平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝ 0(m≠－5)，则点 C 到直线 x＋3y＋m＝0 的距离 d＝＝，解得 m＝－ 5(舍去 )或 m＝7，所以与 x＋ 3y－ 5＝ 0 平行的边所在直线的方程是x＋3y＋ 7＝ 0.设与 x＋3y－5＝0 垂直的边所在直线的方程是3x－ y＋ n＝ 0，则点 C 到直线 3x－ y＋n＝0 的距离 d＝＝，解得 n＝－ 3 或 n＝9，所以与 x＋3y－ 5＝ 0 垂直的两边所在直线的方程分别是 3x－y－3＝0 和 3x－y＋9＝0.已知直线 l：2x－ 3y＋ 1＝ 0，求直线 m： 3x－ 2y－ 6＝0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程解在直线 m 上任取一点，如 M(2,0)，则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M ′必在直线 m′上．设对称点 M ′ (a，b)，则解得∴ M ′.设直线 m 与直线 l 的交点为 N，则由得 N(4,3)．又∵m′经过点 N(4,3)．∴由两点式得直线 m′的方程为 9x－46y＋102＝0.求与直线 3x＋4y＋ 1＝ 0 平行且过点 (1， 2)的直线 l 的方程．解依题意，设所求直线方程为3x＋ 4y＋c＝0(c≠1)，又因为直线过点 (1，2)，所以 3× 1＋ 4× 2＋ c＝0，解得 c＝－ 11.因此，所求直线方程为3x＋4y－ 11＝0.求经过两直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2： x＋ y－2＝0 的交点 P，且与直线 l3：3x－4y＋ 5＝ 0 垂直的直线 l 的方程．解解方程组得 P(0，2)．因为 l3的斜率为，且 l⊥ l3，所以直线 l 的斜率为－，由斜截式可知 l 的方程为 y＝－ x＋ 2，即 4x＋3y－ 6＝ 0.已知△ ABC 的顶点 A(5， 1)，AB 边上的中线 CM 所在直线方程为2x－y－5＝0，AC 边上的高BH所在直线方程为x－ 2y－5＝0，求直线 BC 的方程．解依题意知： k AC＝－ 2，A(5，1)，∴l AC为 2x＋ y－11＝ 0，联立 l AC、 l CM得∴C(4， 3)．设 B(x0，y0)， AB 的中点 M 为(， )，代入 2x－y－ 5＝ 0，得 2x0－ y0－ 1＝ 0，∴∴ B(－1，－ 3)，∴k BC＝，∴直线 BC 的方程为 y－3＝(x－4)，即 6x－5y－ 9＝ 0.已知直线 l 经过直线 l1：2x＋ y－5＝0 与 l2： x－ 2y＝ 0 的交点．(1)若点 A(5， 0)到 l 的距离为 3，求 l 的方程；(2)求点 A(5， 0)到 l 的距离的最大值．解(1)易知 l 不可能为 l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋－＋λ －＝，即y5) (x 2y)0(2＋λ)x＋ (1－2λ)y－ 5＝ 0，∵点 A(5,0)到 l 的距离为 3，∴＝3，2即 2λ－5λ＋2＝0，∴λ＝ 2，或λ＝，∴ l 的方程为 x＝2 或 4x－3y－ 5＝ 0.(2)由解得交点 P(2,1)，如图，过 P 作任一直线 l，设 d 为点 A 到 l 的距离，则 d≤PA(当 l⊥ PA 时等号成立 )．∴d max＝PA＝＝ .专项能力提升若点 (m，n)在直线 4x＋3y－10＝ 0 上，则 m2＋ n2的最小值是 ()A．2B．2C．4D．2解析因为点 (m， n)在直线 4x＋ 3y－10＝0 上，所以 4m＋ 3n－10＝0.欲求 m2＋ n2的最小值可先求的最小值，而表示 4m＋3n－ 10＝ 0 上的点 (m，n)到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m＋3n－10＝ 0 垂直时，原点到点 (m，n)的距离最小为 2.所以 m2＋ n2的最小值为 4.已知直线 l： y＝ x－ 1，(1)求点 P(3,4)关于 l 对称的点 Q；(2)求 l 关于点 (2,3)对称的直线方程．解 (1)设 Q(x0， y0)，由于 PQ⊥ l，且 PQ 中点在 l 上，有解得∴Q.(2)在 l 上任取一点，如 M (0，－ 1)，则 M 关于点 (2,3)对称的点为 N(4,7)．∵当对称点不在直线上时，关于点对称的两直线必平行，∴所求直线过点N 且与 l 平行，∴所求方程为 y－7＝(x－4)，即为 x－ 2y＋ 10＝ 0.。
课件5：9.2 两条直线的位置关系
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[填一填] (1)两条平行直线 5x－12y－2＝0 与 5x－12y＋24 ＝0 之间的距离等于 2 .
(2)与直线 3x＋4y＝5 平行，并且距离等于 3 的直线方程是 3x＋4y＋10＝0，或 3x＋4y－20＝0.
第九章 第2讲
第23页
·高三一轮总复习 ·新课标 ·数学
抓住2个必备考点 突破3个热点考向
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[学以致用]
1. (1)若直线 ax＋2y－6＝0 与 x＋(a－1)y＋a2－1＝0 平行，
则 a＝________.
(2)已知经过点 A(－2,0)和点 B(1,3a)的直线 l1 与经过点 P(0， －1)和点 Q(a，－2a)的直线 l2 互相垂直，则实数 a 的值为 ________．
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[解] (1)由已知可得 l2 的斜率存在，∴k2＝1－a. 若 k2＝0，则 1－a＝0，a＝1. ∵l1⊥l2，直线 l1 的斜率 k1 必不存在，即 b＝0.
又∵l1 过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即 a＝43(矛盾)．
第九章 第2讲
第11页
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[填一填] (1)已知两条直线 l1：x＋2y＋1＝0，l2：x＋my＝0， 若 l1∥l2，则实数 m＝ 2 .
(2)过点 A(2,6)，且垂直于直线 x－y－2＝0 的直线方程 为 x＋y－8＝0 .
(江苏专用)高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.2 两条直线的位置关系教师用书 理 苏教版
第九章 平面解析几何 9.2 两条直线的位置关系教师用书 理 苏教版1.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解.2.几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离P 1P 2＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.【知识拓展】 1.直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C ). (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0(n ∈R ). 2.两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0. 3.两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 4.过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.5.点到直线与两平行线间的距离的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( × ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1、B 1、C 1、A 2、B 2、C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( √ )(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( × ) (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )(6)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB 的中点在直线l 上.( √ )1.(2016·某某模拟)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是______________. 答案 x －2y －1＝0解析 直线x －2y －2＝0可化为y ＝12x －1，所以过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程可设为y ＝12x ＋b ，将点(1,0)代入得b ＝－12.所以所求直线方程为x －2y －1＝0.2.(教材改编)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝____________. 答案2－1解析 依题意得|a －2＋3|1＋1＝1.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.3.已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是____________. 答案 x －y ＋3＝0解析 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)， 又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直， 所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.4.(2016· 某某模拟)已知两点A (1,2)，B (5,5)到直线l 的距离分别是3和2，则满足条件的直线共有______条. 答案 3解析 以A (1,2)为圆心，3为半径的圆A ：(x －1)2＋(y －2)2＝9，以B (5,5)为圆心，2为半径的圆B ：(x －5)2＋(y －5)2＝4，根据题意所要满足的条件，则l 是圆A 与圆B 的公切线，因为A (1,2)，B (5,5)两点间的距离d ＝5，即d ＝r 1＋r 2，所以圆A 与圆B 相外切，所以有3条公切线.5.(教材改编)若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________. 答案 0或1解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.题型一 两条直线的平行与垂直例1 (1)(2017·苏北四市联考)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为________. 答案 25解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a b －3＝2b >0，a >0，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >3，所以a ＝2bb －3. 所以2a ＋3b ＝4b b －3＋3b ＝4＋12b －3＋3(b －3)＋9 ≥13＋212b －3·3b －3＝25(当且仅当12b －3＝3(b －3)，即b ＝5时取等号).(2)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. ①试判断l 1与l 2是否平行； ②当l 1⊥l 2时，求a 的值.解 ①方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)， l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a，－3≠－a ＋1，解得a ＝－1.综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2. 方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0， 得a (a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧aa －1－1×2＝0，a a 2－1－1×6≠0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a a 2－1≠6⇒a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2.②方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1与l 2不垂直； 当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由(－a 2)·11－a ＝－1⇒a ＝23.方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0⇒a ＝23.思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，求α的值，使得： (1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.解 (1)方法一 当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α. 要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22.所以α＝k π±π4，k ∈Z ，此时两直线的斜率相等.故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得2sin 2α－1＝0， 所以sin α＝±22，所以α＝k π±π4，k ∈Z . 又B 1C 2－B 2C 1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1. 故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)因为A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件，所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝k π，k ∈Z . 故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2. 题型二 两条直线的交点与距离问题例2 (1)(2016·宿迁模拟)求经过两条直线l 1：x ＋y －4＝0和l 2：x －y ＋2＝0的交点，且与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为________________.(2)直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为_______. 答案 (1)x ＋2y －7＝0 (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1 解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，∴l 1与l 2的交点坐标为(1,3).设与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为x ＋2y ＋c ＝0， 则1＋2×3＋c ＝0，∴c ＝－7. ∴所求直线方程为x ＋2y －7＝0.(2)方法一 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|， ∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意. 故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 方法二 当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 的中点时，AB 的中点为(－1,4). ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法：求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等.(1)(2016·某某模拟)若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，则P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是________.答案 5 2解析 设P 1P 2的中点为P (x ，y )， 则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.∵x 1－y 1－5＝0，x 2－y 2－15＝0. ∴(x 1＋x 2)－(y 1＋y 2)＝20，即x －y ＝10. ∴y ＝x －10，∴P (x ，x －10)， ∴P 到原点的距离d ＝x 2＋x －102＝2x －52＋50≥50＝5 2.(2)如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y －3＝0所截的线段的中点在直线l 3：x －y －1＝0上，求其方程.解 与l 1、l 2平行且距离相等的直线方程为x ＋2y －2＝0. 设所求直线方程为(x ＋2y －2)＋λ(x －y －1)＝0， 即(1＋λ)x ＋(2－λ)y －2－λ＝0.又直线过点(－1,1)， ∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0. 解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x ＋7y －5＝0.题型三 对称问题命题点1 点关于点中心对称例3 (2016·某某模拟)过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________. 答案 x ＋4y －4＝0解析 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 命题点2 点关于直线对称例4 如图，已知A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是________.答案 210解析 直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0).则光线经过的路程为CD ＝62＋22＝210.命题点3 直线关于直线的对称问题例5 (2016·某某模拟)已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程.解 在直线m 上任取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上. 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013. 设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3).又∵m ′经过点N (4,3).∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 思维升华 解决对称问题的方法 (1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程； (3)直线l 关于(1,2)的对称直线.解 (1)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)， ∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95， ③y ′＝3x ＋4y ＋35. ④把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7). (2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ， 得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.(3)在直线l ：3x －y ＋3＝0上取点M (0,3)关于(1,2)的对称点M ′(x ′，y ′)， ∴x ′＋02＝1，x ′＝2，y ′＋32＝2，y ′＝1，∴M ′(2,1).l 关于(1,2)的对称直线平行于直线l ，∴k ＝3，∴对称直线方程为y －1＝3×(x －2)， 即3x －y －5＝0.20.妙用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系.典例1 求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程.思想方法指导 因为所求直线与3x ＋4y ＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠1). 规X 解答解 依题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠1)， 又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11. 因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0. 二、垂直直线系由于直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件为A 1A 2＋B 1B 2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系.可以考虑用直线系方程求解. 典例2 求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程. 思想方法指导 依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解. 规X 解答解 因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋C 1＝0，又直线过点(2,1)，所以有2－2×1＋C 1＝0，解得C 1＝0，即所求直线方程为x －2y ＝0. 三、过直线交点的直线系典例3 求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程.思想方法指导 可分别求出直线l 1与l 2的交点及直线l 的斜率k ，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解. 规X 解答解 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0,2).因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－43，由斜截式可得l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.方法二 设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.1.(2016·某某模拟)过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为______. 答案 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0解析 ①若直线过原点，则k ＝－43， 所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0. ②若直线不过原点，设直线方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a ，则a ＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0.2.(2016·某某模拟)已知直线l 1：x －2my ＋3＝0，直线l 2的方向向量为a ＝(1,2)，若l 1⊥l 2，则m 的值为______.答案 －1解析 由直线l 2的方向向量是a ＝(1,2)，知直线l 2的斜率为k 2＝2.∵l 1⊥l 2，∴直线l 1的斜率存在，且k 1＝12m. 由k 1·k 2＝－1，即12m·2＝－1，得m ＝－1. 3.(2016·某某省实验中学质检)从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为____________________.答案 x ＋2y －4＝0解析 由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式求得方程为x ＋2y －4＝0.4.一只虫子从点O (0,0)出发，先爬行到直线l ：x －y ＋1＝0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1，1)，则虫子爬行的最短路程是________.答案 2解析 点O (0,0)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为O ′(－1,1)，则虫子爬行的最短路程为O ′A ＝1＋12＋1－12＝2.5.若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则PQ 的最小值为______. 答案 2910 解析 因为36＝48≠－125，所以两直线平行， 由题意可知PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910，所以PQ 的最小值为2910. 6.(2016·某某模拟)将一X 坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________.答案 345解析 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋n 2＝2×7＋m 2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345. 7.(2016·某某模拟)正方形的中心为点C (－1,0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，其他三边所在直线的方程分别为____________、____________、____________. 答案 x ＋3y ＋7＝0 3x －y －3＝0 3x －y ＋9＝0解析 点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105. 设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)，则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离d ＝|－1＋m |1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7， 所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0.设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0，则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n |1＋9＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0.8.(2016·某某模拟)已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________.答案 －1 1 2 2解析 若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan π4＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－－3|1＋1＝2 2. 9.如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的距离分别为3和2，点B 是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为________.答案 6解析 以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设B (a ，－2)，C (b,3).∵AC ⊥AB ，∴ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a. Rt△ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9 ＝12a 2＋4·36a 2＋9＝1272＋9a 2＋144a 2 ≥1272＋72＝6. 10.在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________.答案 (2,4)解析 如图，设平面直角坐标系中任一点P ，P 到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和为PA ＋PB ＋PC ＋PD ＝PB ＋PD ＋PA ＋PC ≥BD ＋AC ＝QA ＋QB ＋QC ＋QD ，故四边形ABCD 对角线的交点Q 即为所求距离之和最小的点.∵A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，直线BD 的方程为y －5＝－(x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧ y －2＝2x －1，y －5＝－x －1，得Q (2,4).11.已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2，2).(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.证明 (1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线. ∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2).(2)过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知PQ ≤PM ，当且仅当Q 与M 重合时，PQ ＝PM ，k PM ＝－1，直线与PM 垂直，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴M 与Q 不可能重合，而PM ＝42，∴PQ <42，故所证成立.12.已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点.(1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值.解 (1)易知l 不可能为l 2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，∵点A (5,0)到l 的距离为3，∴|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或λ＝12， ∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤PA (当l ⊥PA 时等号成立).∴d max ＝PA ＝5－22＋0－12＝10.*13.已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510. (1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12； ③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由.解 (1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋－12＝7510， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72， 又a ＞0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0).若点P 满足条件②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116， 所以直线l ′的方程为2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0； 若点P 满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0； 由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝12(舍去)；联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝19，y 0＝3718.所以存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件.。
课件4：9.2 两直线的位置关系
线 l1，l2 间的距离为
.
解析：两条平行直线 l1：x－y＋1＝0 与 l2：x－y－3＝0 之间的距离为|1－－2 3|＝2 2.
一 两直线的位置关系
【例 1】已知直线 l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m ＝0，求 m 的值，使得：
(1)l1 和 l2 相交； (3)l1∥l2；
由题意得，λλ＋－12＝－2λλ＋＋11，解得 λ＝31， 此时，所求直线方程为：5x＋5y＋4＝0. 综上所述，所求直线方程为：x－3y＝0 或 5x＋5y＋4＝0.
【题后总结】 当题目中出现直线在两坐标轴上的“截距 相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐 标轴上的截距的 m 倍(m>0)”等条件时，采用截距式就会漏 掉“零截距”的情况，从而丢解．而应用直线系方程，可以 避免对直线的截距的分类讨论，确保求解的完整性和正确性．
(2)假设存在符合条件的点 P，因为点 P 到点 F(1，0)的距 离等于到直线 l：x＝－1 的距离，
所以由抛物线的定义可知，点 P 在抛物线 y2＝4x 上， 又因为点 P 在直线 l2 上， 所以由xy－2＝34yx＋5＝0 ，消去 x 得，y2－12y＋20＝0， 解得 y1＝2，y2＝10，则 x1＝1，x2＝25， 所以存在符合条件的点 P，其坐标为 P(1,2)或(25,10)．
4.过点 P(2,3)且与直线 2x＋y－1＝0 垂直的直线方程
是
.
解析：因为与直线 2x＋y－1＝0 垂直的直线的斜率 k＝12， 所以过点 P(2,3)与直线 2x＋y－1＝0 垂直的直线方程为： y－3＝21(x－2)， 整理，得 x－2y＋4＝0.
5.已知直线 l1：x－y＋1＝0，l2：x－y－3＝0 则两平行直
9.2 两条直线的位置关系
1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 【知识拓展】 1．直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0(n ∈R )． 2．两直线平行或重合的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行或重合的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0.3．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 4．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2. 5．点到直线与两平行线间的距离的使用条件： (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( × ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1、B 1、C 1、A 2、B 2、C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( √ )(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( × )(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ )(6)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB 的中点在直线l 上．( √ )1．(2016·天津模拟)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0答案 A解析 直线x －2y －2＝0可化为y ＝12x －1，所以过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程可设为y ＝12x ＋b ，将点(1,0)代入得b ＝－12.所以所求直线方程为x －2y －1＝0.2．(教材改编)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1 答案 C解析 依题意得|a －2＋3|1＋1＝1.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.3．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0 D ．x －y ＋3＝0答案 D解析 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)， 又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直， 所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.4．(2017· 朝阳调研)已知过点A (－2，m )和点B (m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3，若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( ) A ．－10 B ．－2 C ．0 D ．8 答案 A解析 ∵l 1∥l 2，∴k AB ＝4－mm ＋2＝－2，解得m ＝－8. 又∵l 2⊥l 3，∴(－1n )×(－2)＝－1，解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10.5．(教材改编)若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________. 答案 0或1解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.题型一 两条直线的平行与垂直例1 (1)设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0.则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 当m ＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2m ＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不合要求， 故必要性成立，故选C.(2)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. ①试判断l 1与l 2是否平行； ②当l 1⊥l 2时，求a 的值．解 ①方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3， l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2. 方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0， 得a (a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6⇒a ＝－1， 故当a ＝－1时，l 1∥l 2.②方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0， l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2； 当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由(－a 2)·11－a ＝－1⇒a ＝23.方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0⇒a ＝23.思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，求α的值，使得：(1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.解 (1)方法一 当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在， l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2. 当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α.要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22.所以α＝k π±π4，k ∈Z ，此时两直线的斜率相等．故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得2sin 2α－1＝0， 所以sin α＝±22，所以α＝k π±π4，k ∈Z .又B 1C 2－B 2C 1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1. 故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)因为A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件，所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝k π，k ∈Z . 故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2. 题型二 两条直线的交点与距离问题例2 (1)(2016·长沙模拟)求经过两条直线l 1：x ＋y －4＝0和l 2：x －y ＋2＝0的交点，且与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为________________．(2)直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________________．答案 (1)x ＋2y －7＝0 (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，x －y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，∴l 1与l 2的交点坐标为(1,3)．设与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为x ＋2y ＋c ＝0， 则1＋2×3＋c ＝0，∴c ＝－7. ∴所求直线方程为x ＋2y －7＝0.(2)方法一 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|， ∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 方法二 当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 的中点时，AB 的中点为(－1,4)． ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．(1)如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y －3＝0所截的线段的中点在直线l 3：x －y －1＝0上，求其方程．解 与l 1、l 2平行且距离相等的直线方程为x ＋2y －2＝0.设所求直线方程为(x ＋2y －2)＋λ(x －y －1)＝0， 即(1＋λ)x ＋(2－λ)y －2－λ＝0.又直线过(－1,1)， ∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0.解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x ＋7y －5＝0.(2)(2016·济南模拟)若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，则P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( ) A.52 2 B ．5 2 C.152 2 D ．15 2 答案 B解析 设P 1P 2的中点为P (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.∵x 1－y 1－5＝0，x 2－y 2－15＝0. ∴(x 1＋x 2)－(y 1＋y 2)＝20，即x －y ＝10. ∴y ＝x －10，∴P (x ，x －10)， ∴P 到原点的距离d ＝x 2＋(x －10)2 ＝2(x －5)2＋50≥50＝5 2. 题型三 对称问题命题点1 点关于点中心对称例3 过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________． 答案 x ＋4y －4＝0解析 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 命题点2 点关于直线对称例4 如图，已知A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．3 3B ．6C ．210D ．2 5 答案 C解析 直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)．则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.命题点3 直线关于直线的对称问题例5 (2016·泰安模拟)已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．解 在直线m 上任取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0， 得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)．∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 思维升华 解决对称问题的方法 (1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程； (3)直线l 关于(1,2)的对称直线．解 (1)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)， ∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－y x ′－x ×3＝－1. ①又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②得⎩⎨⎧x ′＝－4x ＋3y －95， ③y ′＝3x ＋4y ＋35. ④把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)． (2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ， 得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.(3)在直线l ：3x －y ＋3＝0上取点M (0,3)关于(1,2)的对称点M ′(x ′，y ′)， ∴x ′＋02＝1，x ′＝2，y ′＋32＝2，y ′＝1，∴M ′(2,1)． l 关于(1,2)的对称直线平行于l ，∴k ＝3， ∴对称直线方程为y －1＝3×(x －2)， 即3x －y －5＝0.20．妙用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．典例1 求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程．思想方法指导 因为所求直线与3x ＋4y ＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠1)． 规范解答解 依题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0(c ≠1)， 又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11. 因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0. 二、垂直直线系由于直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件为A 1A 2＋B 1B 2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系．可以考虑用直线系方程求解． 典例2 求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程． 思想方法指导 依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解． 规范解答解 因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋C 1＝0，又直线过点(2,1)，所以有2－2×1＋C 1＝0，解得C 1＝0，即所求直线方程为x －2y ＝0. 三、过直线交点的直线系典例3 求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．思想方法指导 可分别求出直线l 1与l 2的交点及直线l 的斜率k ，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解． 规范解答解 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0,2)．因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.方法二 设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.1．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 (1)充分性：当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行；(2)必要性：当直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行时有a ＝－2或1. 所以“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充分不必要条件，故选A.2．(2016·济南模拟)“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0，∴m ＝3或m ＝－2.∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件．3．(2016·山东省实验中学质检)从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝0 答案 A解析 由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确．4．(2017·兰州月考)一只虫子从点O (0,0)出发，先爬行到直线l ：x －y ＋1＝0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1，1)，则虫子爬行的最短路程是( ) A. 2 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 点O (0,0)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为O ′(－1,1)，则虫子爬行的最短路程为|O ′A |＝(1＋1)2＋(1－1)2＝2.故选B.5．(2016·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295答案 C解析 因为36＝48≠－125，所以两直线平行， 由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910， 所以|PQ |的最小值为2910，故选C. 6．(2016·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( ) A.345 B.365 C.283 D.323答案 A解析 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋n 2＝2×7＋m 2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧ m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345，故选A. 7．(2016·忻州训练)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a ＋b ＝________.答案 0或83 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b (a －1)＝0，4a 2＋(－b )2＝|b |(a －1)2＋1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝2.经检验，两种情况均符合题意，∴a ＋b 的值为0或83. 8．已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________． 答案 －1 1 2 2解析 若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan π4＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－(－3)|1＋1＝2 2.9.如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的距离分别为3和2，点B 是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为________．答案 6解析 以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设B (a ，－2)，C (b,3)．∵AC ⊥AB ，∴ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a. Rt △ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9 ＝12a 2＋4·36a 2＋9＝12 72＋9a 2＋144a21≥272＋72＝6.。
两条直线的位置关系
l1与l2相交 A1B2 A 2 B1 0
或 A
A B A B 0而B C C B 0 2 1 1 2 1 2 1 2 l1与l2平行 或ＡＣ －ＡＣ ０； ２ １ １ ２ Ａ Ｂ Ｃ １ １ ＝ １ （ＡＢＣ ０） ２ ２ ２ Ａ Ｂ Ｃ ２ ２ ２
思考与讨论
k1 , k2存在
y l1
k1和k2都不存在且x1 x2
y
l2
l1 l 2
0
1
0
2
x
x1 x2
x
l1 //l2 k1 k2或k1、k2都不存在 k1 k2 l1 //l2或l1、l2重合
例2：求过点A（2，1），且与直线 2 x y 10 0 平行 的直线 l 的方程。
与y kx b平行的直线设y kx b1 (b1 b) 与Ax By C 0平行的直线设Ax By C1 0 (C1 C)
课后练习
1、判断下列各对直线是否平行 (1) y 3x 4与2 y 6 x 1 0 (2) y x与3x 3 y 10 0 (3)3x 4 y 5与6 x 8 y 7 2、求过A（2，3）且分别适合下列条件的直线的方程： (1)平行于直线2 x y 5 0 (2)平行于直线x y 2 0 3、已知两条直线l1和l，其中一条没有斜率，求这两条直线 2 平行时的充要条件： 4、讨论下列各对直线是否平行： (1)l1 : Ax By C1 0与l2 : Ax By C2 0 (2)l1 : Ax By C1 0与l2 : Bx Ay C2 0
(1) B2 (2) B1 , 得
因此，当A1B2 A2 B1 0时，方程组有唯一解
高考数学(理)一轮资源库 第九章 9.2两直线的位置关系
－by＋4＝0 和 l2：(a－1)x＋y
＋b＝0，求满足下列条件的 a，时，不仅要考虑到斜率存在的
b 的值.
一般情况，也要考虑到斜率不
(1)l1⊥l2，且 l1 过点(－3，－1)；存 在的特 殊情况 .同 时还要 注
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条 意 x、y 的系数不能同时为零这
b 的值.
又∵l1 过点(－3，－1)，∴－3a＋b
(1)l1⊥l2，且 l1 过点(－3，－1)； ＋4＝0.
②
由①②联立，解得 a＝2，b＝2.
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条 (2)∵l2 的斜率存在，l1∥l2，∴直线
直线的距离相等.
l1 的斜率存在，
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对应.
相交⇔方程组有 唯一解 ，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组 无解 ；
重合⇔方程组有 无数个解 .
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基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
3.三种距离公式
(1)点 A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离：
AB＝
x2－x12＋y2－y12
.
(2)点 P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离：
|Ax0＋By0＋C|
d＝
A2＋B2
(3)两平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0 与 l2：Ax＋By＋C2＝0 (C1≠C2)
|C2－C1|
间的距离为 d＝ A2＋B2 .
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两条直线的位置关系ppt
判定方法
斜率相等且截距相等
如果两条直线的斜率和截距都相等， 则它们重合。
平行且距离为零
如果两条直线平行且它们之间的距离 为零，则它们重合。
性质
重合直线具有相同的 方向和倾斜角。
重合直线的方程可以 表示为相同的线性方 程或点斜式方程。
重合直线上的任意两 点都位于同一直线上， 且该直线与其它直线 无交点。
交点唯一性
在同一平面内，任意两条直线要么相交于一点，要么平行或 重合，不存在第三种情况。
因此，两条直线的交点是唯一的，也就是说，两条相交的直 线只能有一个交点。
03
两条直线重合
定义
两条直线重合是指两条直线完全重合，没有距离，且在平 面内无限延伸。
重合直线具有相同的斜率、截距和方向，它们在平面内占 据相同的点集。
02
两条直线相交
定义
两条直线相交是指两条直线在同一平 面内有一个公共点。
当两条直线在平面内只有一个公共点 时，我们称这两条直线为相交线。
交点求法
交点的求法可以通过联立两直线的方程来求解。
具体来说，设两条直线的方程分别为 $y = k_1x + b_1$ 和 $y = k_2x + b_2$，联 立这两个方程即可求出交点的坐标。
两条直线的位置关系
• 两条直线平行 • 两条直线相交 • 两条直线重合 • 两条直线的斜率关系
目录
01
两条直线平行
定义
01
两条直线平行是指两条直线在同 一平面内，且不相交。
02
平行线是具有相同方向或相反方 向的直线，它们之间没有交点。
判定方法
01
02
03
同位角相等
如果两条直线被第三条直 线所截，且同位角相等， 则这两条直线平行。
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§9.2 两条直线的位置关系
当两条平行直线与 A，B 两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．因为 A(1,1)， B(0，－1)，所以 kAB＝－0－1－11＝2，所以当 l1，l2 间的距离最大时，直线 l1 的斜率为 k＝－12，所 以当 l1，l2 间的距离最大时，直线 l1 的方程是 y－1＝－12(x－1)，即 x＋2y－3＝0.最大距离为|AB| ＝ 5.
§9.2 两条直线的位置关系
(2020·福建模拟) 已知直线 l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m 与 l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“l1 ∥l2”是“m<－1”的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A 若 l1∥l2，则(3＋m)(5＋m)＝4×2，得 m＝－1 或 m＝－7，经检验，当 m＝－1 时，l1 与 l2 重合，所以 m＝－7.故“l1∥l2”是“m<－1”的充分不必要条件，故选 A.
C．5
D．1
AC
§9.2 两条直线的位置关系
由两直线平行得，当 k－3＝0 时，两直线的方程分别为 y＝－1 和 y＝32，显然两直线 平行；
当 k－3≠0 时，由2kk－－33＝4－－2k≠13，可得 k＝5. 综上，k 的值是 3 或 5，故选 AC.
§9.2 两条直线的位置关系
若直线 l1：x＋3y＋m＝0 与直线 l2：2x＋6y－3＝0 的距离为 10，则 m 可以是( )
∴d＝ |3kk2＋＋11| ＝3，∴k＝43， ∴l 方程为：y－1＝43(x－2)， 即 4x－3y－5＝0. ∴综上，l 方程为：x＝2 或 4x－3y－5＝0. (2)可知当 l 与线段 AB 垂直时距离最大，最大距离 d＝AB＝ 10.
§9.2 两条直线的位置关系
如图 9.2-1 所示，已知 A(4,0)，B(0,4)，从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射 到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是________系
如图 9.2-2 所示，直线 AB 的方程为 x＋y＝4，点 P(2,0)关于直线 AB 的对称点为 D(4,2)， 关于 y 轴的对称点为 C(－2,0)．则光线经过的路程为|CD|＝ 62＋22＝2 10.
§9.2 两条直线的位置关系
(2020·平顶山模拟)已知点 A(1，－2)，B(m,2)，若线段 AB 的垂直平分线的方程是 x＋
2y－2＝0，则实数 m 的值为( )
A．－2
B．－7
C．3
D．1
C 因为 A(1，－2)和 B(m,2)的中点1＋2 m，0在直线 x＋2y－2＝0 上，所以1＋2 m＋2×0 －2＝0，所以 m＝3.故选 C.
2
§9.2 两条直线的位置关系
由题意可知曲线 y＝ax(a>0 且 a≠1)恒过点(0,1)，所以 A(0,1)，点 A(0,1)到直线 x＋y－ 3＝0 的距离 d＝|0＋12－3|＝ 2.
§9.2 两条直线的位置关系
(2020·江苏模拟)l1，l2 是分别经过点 A(1,1)，B(0，－1)的两条平行直线，当 l1，l2 间的 距离最大时，直线 l1 的方程是________，此时，两条直线间的距离为________．
A．7
17 B. 2
C．－223
D．－223
BC
§9.2 两条直线的位置关系
直线 l1：x＋3y＋m＝0，即 2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线 l2：2x＋6y－3＝0 的距离 为 10，所以|24m＋＋336|＝ 10，求得 m＝127或－223，故选 BC.
§9.2 两条直线的位置关系
三、填空题 (2019·上海卷)已知平行直线 l1：2x＋y－1＝0，
图 9.2-2
§9.2 两条直线的位置关系
四、解答题 已知直线 l 经过直线 l1：2x＋y－5＝0 与 l2：x－2y＝0 的交点 B，
(1)若 A(5,0)到 l 的距离为 3，求 l 的方程； (2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值．
(1)x＝2 或 4x－3y－5＝0 (2) 10
§9.2 两条直线的位置关系
§9.2 两条直线的位置关系 §9.2 两条直线的位置关系
§9.2 两条直线的位置关系
【A 组】 基础篇
一、单项选择题
若直线 ax＋2y＋1＝0 与直线 x＋y－2＝0 互相垂直，那么 a 的值等于( )
A．1
B．－13
C．－23 D
D．－2
由 a×1＋2×1＝0 得 a＝－2.故选 D.
l2：2x＋y＋1＝0，则 l1 与 l2 的距离是________． 25 5 由两平行线间距离公式得，l1 与 l2 的距离 d＝|－212＋－112|＝25 5.
§9.2 两条直线的位置关系
(2020·上海模拟)已知曲线 y＝ax(a>0 且 a≠1)恒过点 A(m，n)，则点 A 到直线 x＋y－3 ＝0 的距离为________．
§9.2 两条直线的位置关系
若直线 3x＋2y－2m－1＝0 与直线 2x＋4y－m＝0 的交点在第四象限，则实数 m 的取
值范围是( )
A．(－∞，－2)
B．(－2，＋∞)
C.－∞，－23
D.－23，＋∞
D
§9.2 两条直线的位置关系
联立两直线的方程得32xx＋ ＋24yy－ －2mm＝－0，1＝0，
解得xy＝＝－3mm4＋8－22，，
∵交点在第四象限，∴3－mm4＋8－2>2<0，0，
解得 m>－23，故选 D.
§9.2 两条直线的位置关系
二、多项选择题
已知直线 l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0 与直线 l2： 2(k－3)x－2y＋3＝0 平行，则 k 的值可能是( )
A．3
B．0
§9.2 两条直线的位置关系
(1)如图 9.2-3 所示，由2xx－＋2yy－＝50＝0， 得xy＝＝12，， ①l 斜率不存在时，l 方程为 x＝2，点 A(5,0)到 l 距离为 3，符合题意． ②l 斜率存在时，设 l 方程：y－1＝k(x－2)，即 kx－y＋1－2k＝0，
图 9.2-3
§9.2 两条直线的位置关系