第十四章 实数
2024年冀教版八年级上册第十四章 实数第十四章 实数
一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“数与式”主题中的“实数”.二、单元学习内容分析1.课标分析《标准2022》指出初中阶段数与代数领域包括“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题,是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物的性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学的语言表达现实世界的重要载体.本章的主要内容是平方根、立方根的概念及其求法,实数的概念及其性质,近似数的概念及其应用.通过数的开方引入无理数的概念,进而将数的范围从有理数扩充到实数,并说明实数和数轴上的点一一对应.教材从实际问题出发,用图形拼接的问题来引入实数,让学生认识到数系的发展和扩充是现实生活的需要,同时也是数学发展的必然规律.2.本单元教学内容分析冀教版教材八年级上册第十四章“实数”,本章包括五个小节:14.1平方根;14.2立方根;14.3实数;14.4近似数;14.5用计算器求平方根与立方根.本章内容包括平方根、算术平方根和立方根,通过开平方和开立方,学生认识到不同于有理数的数,在此基础上引入无理数,使数的范围由有理数扩充到实数.在实数范围内,不仅能进行加、减、乘、除四则运算,还能对0和任意正数进行开平方运算,对任意实数进行开立方运算.本章教材在初中数学中具有重要的地位,是学习其他内容的理论基础和运算基础(如一元二次方程、解直角三角形、二次根式等).实数与数轴上的点具有一一对应关系:任意一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上任意一点都表示一个实数,这种对应关系使得“数”与“形”紧密结合起来,充分体现了“数形结合”的数学思想,为数学研究带来很大方便.三、单元学情分析本单元内容是冀教版教材数学八年级上册第十四章实数.本章包括平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数、用计算器求平方根与立方根等内容.在此之前学生已学习了加、减、乘、除、乘方五种运算,学习了有理数的概念,具备了学习数的开方和无理数的条件,大部分学生对后继知识的学习有较强的欲望,但也有个别学生由于对有理数的概念理解不透,对无理数的学习信心不足,产生畏难和厌学情绪,教学中要注意及时引导.四、单元学习目标1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根,会用平方运算求百以内整数的平方根,会用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根.2.了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,能求实数的相反数和绝对值.3.了解近似数的概念,能按要求取近似数.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.5.会用计算器求平方根和立方根.五、单元学习内容及学习方法概览六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.生活性原则:本节课的知识来源于生活,应回归于生活,体现数学的应用的价值.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。
2024年冀教版八年级上册第十四章 实数用计算器求平方根与立方根
课时目标1.会用计算器求一个数的平方根和立方根.2.体会和感受用计算器进行开方运算的优越性和使用计算器的程序化思想. 学习重点会用计算器求一个数的平方根和立方根. 学习难点体会和感受用计算器进行开方运算的优越性和使用计算器的程序化思想. 课时活动设计课前复习1.计算-√49= -23 ,±√925= ±35 ,√1.44= 1.2 . 2.计算-√-273= 3 ,√-1253433= -57,√-0.7293= -0.9 ,-√2163= -6 .如何计算√2,√3,√5,√6的值呢?设计意图:通过复习能直接开平方、开立方的数引出不能直接开平方、开立方的数,为学习新知作铺垫.探究新知如果遇到√2,√3,√5,√6,我们如何用计算器计算平方根呢?我们可以拿出计算器自己先试一试.按要求用计算器求下列各数的值,并将计算结果填在表格中:(结果精确到0.001)学生根据按键提示进行尝试.在估计一个正数的算术平方根的过程中,为方便计算,可借助计算器求一个正有理数a 的算术平方根(或其近似数).教师讲解开平方按键顺序:√ a =计算√18453,可以按照下面的步骤进行:2ndF √ 31 8 4 5 =设计意图:对于简单的计算器操作,学生自己可以试着执行,通过自己动手提升学生的学习主动性.典例精讲例 用计算器求下列各式的近似值:(精确到0.001)(1)√713; (2)√1203; (3)√-583; (4)√(78)3.提示:2ndF 是第二功能键,按下此键后,计算器将按键盘上红字所显示的功能进行计算.解:(1)按键顺序:√ 7 a b /c 1 3 = 显示结果:0.733 799 386 所以√713≈0.734.(2)按键顺序:2ndF √ 31 2 0 = 显示结果:4.932 424 149 所以√1203≈4.932.(3)按键顺序:2ndF √ 3- 5 a b /c 8 = 显示结果:-0.854 987 973所以√-583≈-0.855.(4)按键顺序:√ ( 7 a b /c 8 ) y x 3 = 显示结果:0.818 487 553所以√(78)3≈0.818.设计意图:通过具体例题,老师带领学生一起进行操作,让学生学会使用计算器求平方根与立方根.巩固训练1.用计算器求下列各式的值:(结果精确到0.001)(1)√50; (2)√53; (3)√(54)3; (4)√(-157)53.解:(1)√50≈7.071. (2)√53≈1.710.(3)√(54)3≈1.398. (4)√(-157)53≈-3.562.2.某喷水池中央的顶端放置了一大理石球,已知球的质量公式为m =43πr 3ρ.其中,m (kg)表示球的质量,r (m)表示球的半径,ρ(kg/m 3)为大理石的密度.如果球的质量m 为400 kg,大理石的密度ρ为2 600 kg/m 3,那么这个大理石球的半径r 是多大?(π取3.14,结果精确到0.01 m)解:由公式m =43πr 3ρ,得r =√3m4πρ3. 因为m =400 kg,ρ=2 600 kg/m 3,π=3.14,所以r =√3m4πρ3=√3×4004×3.14×26003≈0.332 460 015≈0.33(m). 答:这个大理石球的半径约为0.33 m .设计意图:强化训练,巩固新知,让学生体验成功解决数学问题的喜悦,增强学生的合作意识,增加熟练度.让学生了解计算器在日常生活中的广泛应用,体会数学知识与生活的密切联系以及它的应用价值,使学生进一步熟悉使用计算器求平方根和立方根的方法,并在探求数学规律的活动中,发展合情推理的能力,增加在生活中的应用意识.课堂小结1.今天我们学习的内容是什么?2.我们学到哪些呢?设计意图:通过小结,学生梳理本节课所学内容,同学们互帮互助,解决困惑,充分发挥学生的主体意识,培养学生的语言概括能力和发散思维能力.课堂8分钟.1.教材第84页习题A组第1,2,3题,习题B组第1,2题.2.七彩作业.14.5用计算器求平方根与立方根1.开方运算要用到√键和√3键.2.求算术平方根的按键顺序是先按√,再输入被开方数,最后按=.3.求立方根的按键顺序是先按2ndF,再按√3,然后输入被开方数,最后按=.教学反思。
2024八年级数学上册第十四章实数14.3实数第2课时实数的性质习题课件新版冀教版
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利用实数的性质解新定义问题
14. [新考法·阅读定义法]对于任何实数 a ，可用[ a ]表示不超
过 a 的最大整数，如[4]＝4，[ ]＝1，现对72进行如下
操作：
72
第一次
[ ]＝8
第二次
[ ]＝2
第三次
位于原点的两侧，且与原点的距离相等，则点 B 表示的数
是
－
.
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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知识点2 实数的性质
3. [2023·武汉]实数3的相反数是(
)
B.
A. 3
C. －
D
D. －3
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4.
实数－ 的绝对值是(
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6. 求下列各数的相反数、绝对值和倒数.
(1) ；
(2)－π；
(3)
−
.
【解】(1) ＝4，所以 的相反数为－4，绝对值
为4，倒数为 .
(2)－π的相反数是π，绝对值是π，倒数是－ .
2024八年级数学上册第十四章实数14.4近似数习题课件新版冀教版
152.7万人，将101 527 000用科学记数法(精确到十万位)
表示为( C )
A. 1.02×108
B. 0.102×109
C. 1.015×108
D. 0.101 5×109
【点拨】
101 527 000＝1.015 27×108≈1.015×108.
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(2)4.603 0(精确到百分位)；
4.603 0≈4.60.
(3)4.762×107(精确到百万位)；
4.762×107≈4.8×107.
(4)13.052亿(精确到百万位).
13.052亿＝1.305 2×109≈1.305×109.
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利用近似数的精确度说理 10. [情境题·生活应用]小华和小丽用不同的刻度尺测量自己
5. [母题·教材P81练习T2]用四舍五入法取近似值，将数
0.015 8精确到0.001的结果是( B )
A. 0.015
B. 0.016
C. 0.01
D. 0.02
【点拨】 精确到0.001，也就是精确到千分位，故
0.0158≈0.016.
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6. 第七次全国人口普查数据显示，山东省常住人口约为10
7. [母题·教材P81练习T2]用四舍五入法将数3.141 59精确到
千分位的结果是( C )
A. 3.1
B. 3.14
C. 3.142
D. 3.141
【点拨】
精确到千分位就是精确到0.001.
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冀教版八年级数学上册第十四章《实数》PPT课件
也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数;
负数不存在算术平方根，即当 a 0时， a 无意义.
练一练
1．若一个数的算术平方根是 7 ，那么这个数
是7 ；
2． 9 的算术平方根是 3
；
3．( 2)2 的算术平方根是 3
2 3
；
4．若 m 2 2 ，则(m 2)2 16 ．
当堂练习
1.若 a 的算术平方根是3，则a =___8_1____.
（D）
B.一个数的立方根不是正数，就是负数 C.一个数的立方根等于它本身，这个数一定是0 D.一个非负数的立方根和这个数同好，0的立方根是0
2.已知a2=4，b3=27，则ab的值为__8_或__-_8_____.
3.求下列各式的值 ：
1 3 8;
2 3 0.064;
3 3 8 ;
3
4 3 9 .
36
4
面积/dm2
25
正方形的
边长/dm
1
3
2
4
6
5
你能指出它们的共同特点吗？ 都是已知一个正数的平方，求这个正数.
讲授新课
一 平方根的概念及性质
问题1 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
解析：
由于3 2 =9，
所以这个数是3或-3.
想一想 3和-3有什么特征？
问题2 根据上面的研究过程填表：
因为(
1 2
)3 =0.125,所以0.125的立方是（
1 2
）；
3
因为( 0 ) ＝０，所以０的立方根是（ 0）；
因为 ( -2)3＝－8，所以－8的立方根是（ -2）；
因为(
2 3
3
) ＝
第十四章 实数 思维图解+项目学习 借助计算器解决实数运算规律探究题(课件)冀教版数学八年级上册
律？
（3）试运用发现的规律猜想下式的值，并通过计算器的
计算验证你的猜想：
+ =_______．
项目学习
［答案］解：（1）用计算器计算：
① + =5；
② + =55；
③ + =555；
项目学习
项目学习
借助计算器解决实数运算规律探究题
通过项目式学习，让学生自己动手计算，通过计算结果
探究一般规律，形成数学的方法与策略.感悟数学抽象对于
数学产生与发展的作用，感悟用数学的眼光观察现实世界
的意义，形成数学想象力，提高学习数学的兴趣.
例 1
用计算器计算：
（1） × + =________；
第十四章 实数
本章内容要点
6 个关键概念：平方根，算术平方根，立方根，无理数
，实数，近似数
3 个重要性质：平方根的性质，立方根的性质，实数的
性质
2 种常用关系：开方与乘方的关系，实数与数轴的关系
1 种重要分类：实数的分类
4 种常见运算：开平方，开立方，无理数的估算，用计
算器求平方根和立方根
3 个核心素养：抽象能力，运算能力，模型观念
（2） × + =________；
（3） × + =________；
（4） × + =_______；
（5）观察上面计算结果的规律，用你发现的规律直接写
出下题的结果：
项目学习
［解析］利用计算器分别计算，根据计算规律，可知所
得结果为被开方数算式中相乘的因数加 1.
［答案］（1）10 （2）100 （3）1 000
2024八年级数学上册第十四章实数14.3实数课件新版冀教版
到有分数线的数，就认为是有理数 .
知2－讲
感悟新知
知2－讲
(2) 按性质分类：
0 既不是正实数也
不是负实数 .
正有理数
正实数 ቊ
正无理数
实数
0
负有理数
负实数 ቊ
负无理数
例2
知2－练
把下列各数填入相应的大括号内：
1
2 9
119
3
－ ，－ 3， ， ，－ －8，0，－π，－
.
7
解题秘方：根据无理数的三种常见形式去辨析 .
感悟新知
解：∵ 3.141 59 是有限小数， ∴ 3.141 59 是有理数 .知1－练
∵ － 3 8 = － 2， ∴ － 3 8是有理数 .
∵ 0.131 131 113…(每相邻两个 3 之间依次多一个 1)是
无限不循环小数， ∴ 0.131 131 113…(每相邻两个 3 之
2，3
知2－练
..
44 π
27 ， ， ，0.21，0，－3 2，
7 3
0.202 002 000 200 002…(每相邻两个2之间0的个数逐
次加1).
3
..
44
·
·
27，
，0.2
1
(1)正有理数：_________________
；
7
3
(2)负无理数： __________________；
－ 2
5 ，…；
1
1
(2)含有 π 的一类数，如 π， π， π +1，…；
3
5
(3) 以无限不循环小数的形式出现的具有特定结构的数，如
2023八年级数学上册第十四章实数14
16 4
=
25 5
答案
2.B
16 4
=
25 5
B.±
D.
16
4
=±
25
5
16
4
=±
25
5
)
知识点1 平方根的概念及求法
1
3. 教材P65习题A组T4变式2是一个数的一个平方根,则这个数是(
A.1
B.2
1
1
C.±4
D.4
答案
1
2
1
4
1
4
3.D ∵( )2= ,∴这个数是 .
)
知识点1 平方根的概念及求法
B.13
C.25
)
D.-25
答案
6.B ∵2x-1的平方根是±5,∴2x-1=(±5)2=25,∴x=13.
知识点1 平方根的概念及求法
1
7. [2021秦皇岛期末]24的平方根是
.
答案
3
2
7.±
1 9
4 4
3
2
9
4
9
4
3
2
由2 = ,(± )2= ,知 的平方根为± .
知识点1 平方根的概念及求法
4. (-0.7)2的平方根是 (
A.-0.7
B.0.7
)
C.±0.7 D.0.49
答案
4.C (-0.7)2=0.49,0.49的平方根为± 0.49=±0.7.
知识点1 平方根的概念及求法
5. 下列说法错误的是 (
)
A.4是16的一个平方根
B.16的平方根是±4
1
8
1
64
C.- 是 的一个平方根
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第十四章实数
教学目标：1.了解平方根、算数平方根、立方根的概念并会用根号表示。
2了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能求实数的相反数，倒数和绝对值。
3、能用有理数估计无理数的大致范围
4、了解近似数的概念，能按要求取近似数。
教学过程
问题情境：如图，展厅地面是正方形，其面积为50 m2，它的边长应是多少？怎样求？
一、1、判断题
（1）25的平方根是±5，这句话用数学式子表示为（）
A、25=±5；
B、±25=±5；
C、25=5；
D、- 25=-5
（2 ）0的平方根是0；（）
（3）1的平方根是1；（）
（4）-1 = -1 （）
（5）16=±4；（）
（6）若x2=16，则x= 16=4；（）
（7）(-9)2=-9 （）
（8）0.01是0.1的算数平方根（）
2.填空：（1）平方根等于本身的数有______；立方根等于本身的数______。
（2）64 的立方根是_______，的平方根是________
(3)一个正数的平方根是x+3与2x-6，则x=________
3.
＝3－k，那么k的取值范围是（）
A．k≤3B．k≥3C．0≤k≤3D．k为任意数
二、1、判断下列数哪些是有理数？哪些是无理数？
有理数是：
无理数是：
2、填空：
（1）
的相反数是__________
（2）_______的相反数是
（3）
______
（4）绝对值等于的数是_________
3、有下列说法：
（1）任何无理数都是无限小数；
（2）有理数与数轴上的点一一对应；
（3）在1和3之间的无理数有且只有 2 3
5 7这四个
（4）是分数，它是有理数
其中正确的个数是( )
A .1 B.2 C.3 D.4
4、比7小，比—3大的整数的个数是（）
A .2 B.3 C.4 D.5
5、比较大小
（1）3 _____ 10 —15 _______— 3.8
三、近似数
1．下列叙述中，出现近似数的是 ( )
A．八年级(1)班有46名学生 B．小李买了5支笔
C．晶晶向希望工程捐款200元 D．小芳体重为46千克
2．用四舍五入法，按要求对下列各数取近似值．
(1 )0.851 49(保留三位小数)；
(2)47 600(精确到千位)；
(3)0.298(精确到0.01)；
(4)8 903 000(精确到万位)．
3
π
-
=
-5
36
,
7
22
,3
2.1
,
2
,6-
∙
∙
π
)2
3
(
232232223
.1之间依次多一个
两个
3
π
-
3 ．2011年3月，国家统计局公布我国人口约为129 533万人．如果以亿为单位保留两位小数，可以写成约为 __________亿人．
4.2013年某市参加中考的学生人数约为6.01 104 对于这个近似数,下列说法正确的是( )
A 精确到百分位
B 精确到百位
C 精确到千位
D 精确到十位 5、如果实数用四舍五入法得到的近似数是38，那么的取值范围是（ ） （A ）37.5<a<38.5 (B) 37.5<a<38.5 (C)37.5<a<38.5 (D)37.5<a<38.5
四、1、计算
（1
）(3 （2） 0.09+ 2.52 — -0.08
2、求x
（1）(3x+2 )2 =16 （2）8)12(3-=-x
3、若 x —1 + （3x+y-1）2 =0, 求 x+2y 2 的值
4、两个正方体摞在一起，大正方体的体积为1331立方厘米，小正方体的体积为125立方厘米，求这个物体的最高点离地面的距离
5、如图 已知实数a 在数轴上的对应点，如图所示，则 化简所得结果为
6、在如图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 两点对应的实数分别是和﹣1，则点C 所对应的实数是【 】
A ．1+
B ．2+
C ．2﹣1
D ．2+1
7
、当 4a+1的值为最小值时，a 的取值为________。