不等式的解法

第五节 不等式的解法【目录】题型1 一元一次不等式、一元二次不等式的解法 题型2 分式不等式、高次不等式的解法 题型3 无理不等式的解法题型4 指数不等式、对数不等式的解法 题型5 解不等式中的综合问题三．解答题题型1 一元一次不等式、一元二次不等式的解法1．解下列不等式：（1）x 2-2|x|-15≥0； （2）|x 2-x-3|<1. 解：（1）∵x 2=|x|2(x ∈R ),∴原不等式是(|x|-5)(|x|+3)≥0.∴|x|≥5.原不等式的解集是： (-∝,-5), ∪[5,+∝].（2）原不等式等价于-1<x 2-x-3<1，即⎪⎩⎪⎨⎧<-->--.04,0222x x x x 不等式①的解集是{x|x<-1|, 或x>2},不等式②的解集是⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<2171217-1|x x . ∴原不等式的解集是.2171x 2 ,12171|⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+<<-<<-或x x 2．（1）若不等式ax 2ax-1<0对一切x ∈R 恒成立，求a 的取值范围；（2）若不等式mx 2-mx+1<0的解集为ф，求m 的取值范围。

解：（1）∵ax 2-ax-1<0对一切x ∈R 恒成立，∴当a=0时，-1<0恒成立．当a ≠0时，必须⎩⎨⎧<∆<00a 即⎩⎨⎧<+<.04,02a a a ，∴-4<a<0,∴使ax 2-ax-1<0恒成立的a 的范围是-4<a ≤0． （2）∵mx 2-mx+1<0的解集为ф，∴当m=0时，1<0不成立．当m>0，且Δ≤0时原不等式无解．即⎩⎨⎧≤->,04,02m m m ，∴0<m ≤4.∴使mx 2-mx+1<0解集为ф的m 的范围是0≤m ≤4. 3．解不等式56x 2+ax-a 2<0.解：∵Δ=a 2+4×56×a 2=225a 2≥0,方程56x 2+ax-a 2=0的解是x 1=-7a , x 2=8a ,∴当a>0时，原不等式变形为56x 2<0．∴原不等式的解集是ф；当a<0时，原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<78|a x a x . 4．已知不等式ax 2+bx+c>0的解集为(α,β)，且0<α<β,求不等式cx 2+bx+a<0的解集． 解：由已知不等式可得a<0．∵α、β为方程ax 2+bx+c=0的两根，∴由韦达定理可得① ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+-=.00)(αββαac a b ∵a<0，∴由②得c<0. 由cx 2+bx+a<0,得x 2+c bx+c a >0. ①÷②得cb =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+-βααββα11)(<0. 由②得c a =αβ1=βα11⋅>0．∴βα1,1为x 2+c bx+c a =0的两根． 又∵0<α<β, ∴0<αβ11<.∴不等式x 2+cb x+ca >0的解集为x<β1，或x>α1，即不等式cx 2+bx+a<0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ1,1|x x x 或. 解法二：∵a<0，由cx 2+bx+a<0，得012>++x ab x ac ，将①、②代入得αβx 2-(α+β)x+1>0．即(αx-1)(βx-1)>0.∵0<α<β, ∴0<β1<α1.∴不等式的解集为{x|x<β1，或x>α1}.5．设a ≠b ,解关于x 的不等式a 2x ＋b 2（1－x ）≥［ax ＋b (1－x )］2．解：将原不等式化为（a 2－b 2）x ＋b 2≥（a －b ）2x 2＋2（a －b ）bx ＋b 2，∴（a －b ）2（x 2－x ）≤0， ∵a ≠b ，即（a －b ）2＞0，∴x 2－x ≤0，∴0≤x ≤1．∴不等式的解集为｛x |0≤x ≤1｝6．解关于x 的不等式：(m+1)x 2-4x+1≤0(m ∈R )。

解：（1）当m=-1时，原不等式变为x ≥41。

（2）当m>-1时，∵△=12m-4.故有：①若△<0，即m>3时，恒有(m+1)x 2-4x+1>0，此时不等式无解； ②若△=0，即m=3时，原不等式变形为(2x-1)2≤0，其解为：x=21；③若△>0，即-1<m<3时，不等式有解为：132132+-+≤≤+--m mx m m .（3）当m<-1时，△=12-4m>0恒成立，不等式有解：x ≤132+-+m m，或x ≥132+--m m。

综上所得，原不等式的解集如下：m=-1时，{x|x ≥41}；m<-1时，{x|x ≤132+-+m m 或x ≥132+--m m}；-1<m<3时，{x|132+--m m≤x ≤132+-+m m ；m=3时，{21}；m>3时，φ。

7．解关于x 的不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧+-<++-≤-)2.(2)1.(122222a a x ax x a ax x解：原不等式组⎩⎨⎧+-<<-+≤≤-⇔.1,11a x a a x a 令a-1=-a, a+1=-a, a-1=-a+1, a+1=-a+1，得a=21, a=-a1, a=1,① ②a=0。

A 的四个取值将数轴分成五个区间，分别讨论解集如下：（1）当a ≤-21时，因a-1<a+1≤-a<-a+1，所以解集为φ；（2）当-21<a ≤0时，因a-1<-a<a+1≤-a+1，所以解集为{x|-a<x ≤a+1}；（3）当0<a ≤21时，因a-1≤-a<-a+1<a+1，所以解集为{x|-a<x<-a+1}；（4）当21<a ≤1时，因-a<a-1≤-a+1<a+1，所以解集为{x|a-1≤x<-a+1}；（5）当a>1时，因-a<-a+1<a-1<a+1，所以解集为φ。

8．解关于x 的不等式：2ax a x --＜0（a ∈R ）．解：原式⇒（x －a ）（x －a 2）＜0，∴x 1＝a ，x 2＝a 2当a=a 2时，a=0或a=1，x ∈∅；当a ＜a 2时，a ＞1或a ＜0，a ＜x ＜a 2，当a ＞a 2时，0＜a ＜1，a 2＜x ＜a ，∴当a ＜0时a ＜x ＜a 2；当0＜a ＜1时，a 2＜x ＜a ；当a ＞1时，a ＜x ＜a 2；当a=0或a=1时，x ∈∅。

9．已知a 是实数，试解关于x 的不等式：122---≥x ax x x .解：原不等式同解于,01≥-+x a x 当1->a 时，原不等式的解集为(]);,1(,+∞⋃-∞-a当1-=a 时，原不等式的解集1};,1|{-<∈≠a x x x 当R 时，原不等式的解集为),()1,(+∞-⋃-∞a .10. 解关于x 的不等式22)1(>--x x a （其中1≤a ）.解：022402)4()2(022)1(22)1(<----⇔>----⇔>---⇔>--x a a x x a x a x x a x x a （由1≤a 知02<-a ），又由2224--=---a a a a 知：当10≥<a 时，224>--a a ，则集合};242|{--<<=a a x x A 当0=a 时，原不等式解集A 为空集；当0<a 时，224<--a a ，则集合}224|{<<--=x a a x A题型2 分式不等式、高次不等式的解法1．解不等式(x-3)(x+2)(x-1)2(x-4)>0.解：首先将x 的最高次幂的系数化为正数，设y=(x-3)(x+2)(x-1)2(x-4).函数y 的各因式的根是-2，1，2，3，4．四个根的值，把x 的取值范围分为五个区间：x<-2, -2<x<1, 1<x<3, 3<x<4, x>4.函数y 在上述区间取值时，函数值符号可知，∵y>0，∴原不等式的解集是{x|-2<x<1, 或1<x<3，若x>4}．2．解不等式063222<++--+x x x x解：原不等式的解是由下面两个不等式组的解集的并集构成．1）⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+,06,03222x x x x （2）⎪⎩⎪⎨⎧<--<-+,06,03222x x x x由①解得{x|x<-3，或x>1}，由②解得{x|x<-2，或x>3}，∴不等式组（1）的解集是{x|x<-3，或x>3}． 由③解得{x|-3<x<1}, 由④解得{x|-2<x<3}，∴不等式组（2）的解集是{x|-2<x<1}． 综上，由不等式组（1）、（2）的解集可得原不等式的解集是{x|x<-3, 或-2<x<1, 或x>3}． 解法二：原不等式可化为)3)(2()1)(3(-+-+x x x x ，令y=)3)(2()1)(3(-+-+x x x x .函数y 的分子、分母各因式的根（从小到大排列）是-3，-2，1，3．现用四个根将x 的取值范围分为五个区间：x<-3, -3,x<-2, -2<x<1, 1<x<3, x>3.函数y 在上述区间取值时，函数值的符号在x 轴上方为正，在x 轴下方为负．∵y>0，∴原不等式的解集是{x|x<-3, 或-2<x<1, 或x>3}．3．已知不等式02<++q px x 的解集为（2，5），试求不等式1)(4≤x f x 的解集.解：由韦达定理得⎩⎨⎧⨯=+=-5252q p ，解得10,7=-=q p 。

1)(4≤∴x f x，即为110724≤+-x x x ，0107101122≤+--+-x x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧≠+-≥+-+-01070)107)(1011(222x x x x x x ，⎩⎨⎧≠≠≥----520)10)(5)(2)(1(x x x x x x 且，解得；10521≥<<≤x x x 或或。