第二讲 单自由度系统自由振动
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机械振动学_第二章单自由度振动系统
第二章单自由度系统振动§1-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。
(1)尽管实际的机械都是弹性体或多自由度系统，然而要掌握多自由度振动的基本规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。
此外，(2)许多工程技术上的具体振动系统在一定条件下，也可以简化为单自由度振动系统来研究。
[举例如下：]例如：(1)悬臂锤削镗杆；(2)外圆磨床的砂轮主轴；(3)安装在地上的床身等。
[力学模型的简化方法]若忽略这些零部件中的镗杆、主轴和转轴的质量，只考虑它们的弹性。
忽略那些支承在弹性元件上的镗刀头、砂轮、床身等惯性元件的弹性，只考虑它们的惯性。
把它们看成是只有惯性而无弹性的集中质点。
于是，实际的机械系统近似地简化为单自由度线性振动系统的动力学模型。
在实际的振动系统中必然存在着各种阻尼，故模型中用一个阻尼器来表示。
阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。
汽车轮悬置系统等等。
[以上为工程实际中的振动系统]单自由度振动系统——指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。
所有的单自由度振动系统经过简化，都可以抽象成单振子，即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m 称为当量质量，所有的弹性都集中到弹簧中，这个弹簧刚度k称为当量弹簧刚度。
以后讨论中，质量就是指当量质量，刚度就是指当量弹簧刚度。
在单自由度振动系统中，质量m、弹簧刚度k、阻尼系数C是振动系统的三个基本要素。
有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P。
应用牛顿运动定律，作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和该合力方向的加速度的乘积。
（牛顿运动定律）（达伦培尔原理）现取所有与坐标x 方向一致的力、速度和加速度为正，则：kx x C t P xm --= ωsin 0 (牛顿运动定律) （达伦培尔原理：在一个振动体上的所有各力的合力必等于零） （动静法分析：作用在振动体上的外力与设想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系）上式经整理得，t P kx x C xm ωsin 0=++ （2.1） 该式就是单自由度线性振动系统的运动微分方程式的普遍式。
2-单自由度自由振动
第2章 单自由度系统自由振动
2.5 具有黏性阻尼的振动系统
31
给出初始条件：t＝0时 x x0 , x v0
则可确定系数B和D B v0 ( 2 1)n x0 2n 2 1
D v0 ( 2 1)n x0 2n 2 1
第2章 单自由度系统自由振动
2.5 具有黏性阻尼的振动系统
不大，特别是当阻尼很小（<<1）时，可
以忽略阻尼对振动频率和周期的影响。
第2章 单自由度系统自由振动
2.5 具有黏性阻尼的振动系统
40
2.6 对数衰减率
振幅衰减的快慢程度可用相邻振幅 的比值来表示，称为衰减率或减幅率或 减缩率；也可以用衰减率的自然对数来 表示，称为对数衰减率。
第2章 单自由度系统自由振动
第2章 单自由度系统自由振动
2.3 能量法
22
P15例2-3-2 利用能量法求纯滚动圆盘 系统作微幅振动的固有频率。
第2章 单自由度系统自由振动
2.3 能量法
23
2.4 瑞利法
一般不考虑弹性元件的质量对振动系统的 影响，若这些质量不可忽略的时候，“瑞利法” 的思想，是将这些弹性元件所具有的多个集中 质量或分布质量简化到系统的集中质量上去， 从而变成典型的单自由度振动系统。
T 2 n
周期是系统振动一次所需要的时间，单位 为秒（s）。
周期的倒数称为频率，是系统每秒钟振动 的次数,单位为1/秒(1/s)或赫兹(Hz)。记作 f
f 1 n T 2
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
13
固有频率n和频率 f 只相差常数2，因
此经常通称为固有频率。是振动分析中极
已知质量为m，弹簧的刚 度系数为k。取质量的静平衡 位置为坐标原点,当重物偏离 x 时,利用牛顿定律可得到运 动微分方程：
第二章 单自由度系统振动的理论及应用
M t
则得
2 .. n 0
通解为:
A sin(n t 0 )
代入:
将振动的初始条件t= 0 ， 0 , . 0.
A
.0 2 0 2 n
2
n 0 0 arctan . 0
例: 已知：质量为m＝0.5kg的物体沿光滑斜面无初速度滑下。 当物块下落高度h=0.1m时，撞于无质量的弹簧上， 并与弹簧不再分离，弹簧刚度系数k=0.8kN/m。 倾角 30 求：此系统振动的固有频率和振幅并给出物块的运动方程。
计算固有频率的能量法
无阻尼自由振动系统没有能量的损失,振动将永远持续下去. 在振动过程中,系统的动能与弹簧的势能不断转换,但总的机械能 守恒.因此,可以利用能量守恒原理计算系统的固有频率. 如图所示无阻尼振动系统 当系统作自由振动时，运动规律为:
x A sin(0t )
速度为:
dx v 0 A cos(0t ) dt
称为单自由度线性纵向振动系统的运动微分方程式,又称单 自由度有粘性阻尼的受迫振动方程.
可分为如下几种情况进行研究:
(1)当c=0,F(t)=0时, 该方程为单自由度无阻尼自由振动方程.
(2)当F(t)=0时, mx cx kx 0 该方程为单自由度有拈性阻尼的自由振动方程.
.. .
mx .. kx 0
由机械能守恒定律有
Tmax Vmax
即
1 1 2 2 J 0 Φ ( k1l 2 k 2d 2 )Φ 2 2 2
解得固有频率
0
k1 l 2 k 2 d 2 J
例: 已知：如图表示一质量为m，半径为r的圆柱体，在一半 径为R的圆弧槽上作无滑动的滚动。 求：圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。
第2章单自由度的自由系统
这就是应用于振动系统的能量守恒原理。对时 间求导，得
以具体振动系统的能量表达式代人上式，化简后 即可得出描述振动系统自由振动的微分方程。
如果取平衡位置为势能零点，根据自由振动 的特点，系统在平衡位置时，系统的势能为零， 其动能的极大值Tmax就是全部机械能，而在振 动系统的极端位置时，系统的动能为零，其势能 的极大值Umax等于其全部的机械能。由机械能 守恒定律，有
式中，k为梁的弹簧刚度，对于简支梁带有中间集中 质量时
下面证明一个等截面悬臂梁(如图)在自由端的
等效质量为
。假定梁自由振动时的振动形式
则系统的最大动能为
系统的最大势能为
则得固有频率ωn同前。
例2.2-2细杆OA可绕水平轴O转动，如图所示，
在静平衡时成水平。杆端锤的质量为m，杆与弹
簧的质量均可略去不计，求自由振动的微分方程
及周期。
解：在杆有微小偏角φ时，
弹簧的伸长以及锤的位移与
速度可以近似地表示为aφ，
lφ与 。故振动系统的动能
与势能可以表示为
因为mg=kδs，上式仍可简化为
。
可见前面关于物体沿光滑平面运动的讨论，同样适
用于对物体沿铅垂方向的振动，只要取物体的静平
衡位置为坐标原点。
从弹簧的静变形可以方便地计算出振动系统
的固有频率。
因为由式
得
又
则
例2.1-1 均匀悬臂梁长为l，弯曲刚度为EJ，重量 不计，自由端附有重为P=mg的物体，如图所示。 试写出物体的振动微分方程，并求出频率。
只要振动系统的自由振动是简谐振动，则由该 方程可以直接得出系统的固有频率。不需要列出振 动微分方程。
例2.2-1有一个重量为W，半径为r的实心圆柱体， 在半径为R的圆柱形面上无滑动地滚动，如图所 示。假设该滚动的圆柱体进行简谐运动，试求它 绕平衡位置作微小摆动时的固有频率ωn。
以具体振动系统的能量表达式代人上式，化简后 即可得出描述振动系统自由振动的微分方程。
如果取平衡位置为势能零点，根据自由振动 的特点，系统在平衡位置时，系统的势能为零， 其动能的极大值Tmax就是全部机械能，而在振 动系统的极端位置时，系统的动能为零，其势能 的极大值Umax等于其全部的机械能。由机械能 守恒定律，有
式中，k为梁的弹簧刚度，对于简支梁带有中间集中 质量时
下面证明一个等截面悬臂梁(如图)在自由端的
等效质量为
。假定梁自由振动时的振动形式
则系统的最大动能为
系统的最大势能为
则得固有频率ωn同前。
例2.2-2细杆OA可绕水平轴O转动，如图所示，
在静平衡时成水平。杆端锤的质量为m，杆与弹
簧的质量均可略去不计，求自由振动的微分方程
及周期。
解：在杆有微小偏角φ时，
弹簧的伸长以及锤的位移与
速度可以近似地表示为aφ，
lφ与 。故振动系统的动能
与势能可以表示为
因为mg=kδs，上式仍可简化为
。
可见前面关于物体沿光滑平面运动的讨论，同样适
用于对物体沿铅垂方向的振动，只要取物体的静平
衡位置为坐标原点。
从弹簧的静变形可以方便地计算出振动系统
的固有频率。
因为由式
得
又
则
例2.1-1 均匀悬臂梁长为l，弯曲刚度为EJ，重量 不计，自由端附有重为P=mg的物体，如图所示。 试写出物体的振动微分方程，并求出频率。
只要振动系统的自由振动是简谐振动，则由该 方程可以直接得出系统的固有频率。不需要列出振 动微分方程。
例2.2-1有一个重量为W，半径为r的实心圆柱体， 在半径为R的圆柱形面上无滑动地滚动，如图所 示。假设该滚动的圆柱体进行简谐运动，试求它 绕平衡位置作微小摆动时的固有频率ωn。
第二章 单自由度系统的自由振动
位转角所需的力矩 (N m / rad)
k
I
在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作 为角位移的起点位置
由牛顿第二定律：
I&& k 0
&& 02 0
扭振固有频率
0
k I
第二章 单自由度系统的自由振动
由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振动的数学描述 完全相同。如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚度，则弹 簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质 量系统是广义的 。
对时间求导 取平衡位置为势能零点，根据自由振动的特点，系统在平衡位置时，系统的势能 为零，其动能的极大值就是全部机械能；而在振动系统的极端位置时，系统的动 能为零，其势能的极大值等于全部的机械能，即有：
例题讲解3 均匀悬臂梁长为 l， 弯曲刚度为EJ，重量不计， 自由端附有重为Ｐ＝ｍg的物体，如图所示。试 写出物体的振动微分方程，并求出频率。 梁的自由端将有静挠度： 物体的振动微分方程为：
8
第二章 单自由度系统的自由振动
例题讲解3 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞
梁长 L，抗弯刚度 EJ m
h
第二章 单自由度系统的自由振动
2.1 简谐振动
由牛顿定律，有 设系统固有频率为 二阶常系数线性齐次常微分方程
通解形式为
1
第二章 单自由度系统的自由振动
根据三角关系式
改 写
由此可以知道：该系统以 固有频率作简谐振动。
振动周期：
振动频率：
2
第二章 单自由度系统的自由振动
设在初始时刻t=0，物体有初位移
弹簧原长位置
m&x& kx 0
k
I
在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作 为角位移的起点位置
由牛顿第二定律：
I&& k 0
&& 02 0
扭振固有频率
0
k I
第二章 单自由度系统的自由振动
由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振动的数学描述 完全相同。如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚度，则弹 簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质 量系统是广义的 。
对时间求导 取平衡位置为势能零点，根据自由振动的特点，系统在平衡位置时，系统的势能 为零，其动能的极大值就是全部机械能；而在振动系统的极端位置时，系统的动 能为零，其势能的极大值等于全部的机械能，即有：
例题讲解3 均匀悬臂梁长为 l， 弯曲刚度为EJ，重量不计， 自由端附有重为Ｐ＝ｍg的物体，如图所示。试 写出物体的振动微分方程，并求出频率。 梁的自由端将有静挠度： 物体的振动微分方程为：
8
第二章 单自由度系统的自由振动
例题讲解3 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞
梁长 L，抗弯刚度 EJ m
h
第二章 单自由度系统的自由振动
2.1 简谐振动
由牛顿定律，有 设系统固有频率为 二阶常系数线性齐次常微分方程
通解形式为
1
第二章 单自由度系统的自由振动
根据三角关系式
改 写
由此可以知道：该系统以 固有频率作简谐振动。
振动周期：
振动频率：
2
第二章 单自由度系统的自由振动
设在初始时刻t=0，物体有初位移
弹簧原长位置
m&x& kx 0
第二章(第2,3节)单自由度系统的自由振动
2
R r 2 2
圆柱体的势能为相对于最低位置O的重力势能。 若选圆柱体中心C在运动过程中的最低点为零势能 点，则系统的势能为 2 U W ( R r )( 1 cos ) 2W ( R r ) sin
2
2.2 能量法
例题：用能量法求解系统的振动微分方程与固有频率（例2.2-1）
2.2 能量法
例题：用能量法求解系统的振动微分方程与固有频率（例2.2-1）
例2.2-1 有一个重量为W，半径为r的实心圆柱体， 在半径为R的圆柱形面上无滑动地滚动，如图2.2-1所示。 假设该滚动的圆柱体进行简谐运动，试求它绕平衡位置作 微小摆动时的固有频率n。 解：圆柱体在摆动时 有两种运动：移动和滚动。 设坐标如图2.2-1示。 摆动时圆柱体中心C点的速度 及圆柱体的角速度分别为
1 k 1 k1 1 k2 1 kn
图 2.3-2
k
i 1
n
1
i
(2.3-2)
2.3 等效刚度系数
串、并联弹簧的等效刚度的计算
图2.3-2(b)是两个并联弹簧，刚度系 数分别为k1和k2。两个弹簧所受的力分别 为k1xB、k2xB 根据静力平衡条件得： F k 1 x B k 2 x B
2.3 等效刚度系数
串、并联弹簧的等效刚度的计算
图2.3-2(a)是两个串联弹簧，刚度系数分 别为k1和k2。B点的位移及等效刚度系数为
xB F k1 F k2
k
F xB
k1k 2 k1 k 2
串联弹簧的作用使系统中的弹簧刚度降低。
如果有n个弹簧串联，刚度系数分别为k1, k2, …, kn，则等效刚度系数k应满足关系式
第二章单自由度系统的自由振动
f=1/T。
n
n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有 参数有关。
8
无阻尼自由振动的特点是： (1) 振动规律为简谐振动；
(2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)； (3)周期T 和固有频率 n 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,I )。
重物匀速下降时处于静 平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所 在位置，则t=0时有:
x0 0 x0 v
其振动规律为： x x0 cos nt
n
x0
sin nt
13
解：
x0 0 x0 v
根据：
x x0 cos nt
n
x0
sin nt
1 ( 3 M m) x 2 2 2
以平衡位置为计算势能的零位置， 并注意轮心位移x时，弹簧伸长2x
U k [( st 2 x) 2 st 2 ] ( M m) gx 2 2kx2 2k st x ( M m) gx
因平衡时
2k st x (M m) gx
O l C mg
16
解：取图示坐标系，将直升机桨叶视为一物 理摆，根据绕固定铰的动量矩定理得到其 摆动微分方程
J 0 mgl sin
O l C mg
sin
n
mgl , J0
J0 mgl 0
J0 Tn 2 mgl
mgl J0 2 Tn2 4
m Tn 2 n k 2
固有周期
k / m g / s
10
固有频率及固有周期
k g wn m s
第二讲单自由度系统自由振动
m
k/2
k/2
l a
单自由度系统自由振动
解法1：
广义坐标
平衡位置1
零平衡位置1
m
k/2
k/2
动能 势能
T 1 I2 1 ml22
2
2
V 2 1 1 k a2 mgl 1 cos
22
1 ka2 2 1 mgl 2 sin 2
静平衡位置
W
W
振动解：
x(t)
x0
cos(0t)
x0
0
sin(
0t)
x
x(t)
v
0
s in(0t )
1.28
sin(19.6t)
(cm)
单自由度系统自由振动
振动解：
x(t)
v
0
s in(0t )
1.28
sin(19.6t)
( cm)
v
绳中的最大张力等于静张力与因振动引起
(t
)
0
c
os0t
0 0
sin
0t
单自由度系统自由振动
由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线
振动的数学描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将 m 、k 称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论
完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是
广义的 。
弹簧原长位置
x
k xdx
0
mgx 1 kx2
k
2
0
静平衡位置
x
mxx mgx kxx 0
mx kx mg
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(t ) f s (t ) kv(t ) 向上 f D (t ) c v
p (t )
W
向下
( t ) c v ( t ) k v( t ) p ( t ) w mv
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2. 重力影响单自由度（续）
考虑重力影响单自由度计算图式
振动方程：m v ( t ) c v ( t ) k v( t ) p ( t ) w
∵ k st W ∴
( t ) c v (t ) k v (t ) p (t ) mv
(t ) (t ) , v (t ) v (t ) v
( t ) c v (t ) k v (t ) p (t ) mv v (t ) v (t ) st
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1. 阻尼自由振动解
微分方程： m v (t ) c v (t ) kv(t ) 0 初始条件： v t 0 v (0); v t 0 v (0); 通解形式： u (t ) Ae st 特征方程： ms 2 cs k 0
f D (t ) —Damping force阻尼力 f D (t ) cv (t )
f s (t ) —Spring force弹性力
f s (t ) kv(t )
p (t ) —Applied force强迫力
p (t ) 0
(t ) c v (t ) kv(t ) 0 mv
D 1 2
v (t ) [G1 exp( i D t ) G 2 exp( i D t )] exp( t )
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3. 低阻尼状态（续）
基本方程通解 指数形式： v (t ) [G1 exp( i D t ) G 2 exp( i D t )] exp( t ) 三角函数： v (t ) A cos D t B sin D t exp( t )
初始条件： v t 0 v (0); v t 0 v (0); 特征方程： m s k 0
2
s1, 2
k i m
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2. 方程求解
常微分方程的解具有如下形式：
u ( t ) Ae st
代入方程可得： ( ms 2 k ) Ae st 0
考虑如下关系：
e ix cos x i sin x ; e ix cos x i sin x
方程解的三角函数形式： v(t ) A cos ωnt B sin ωnt 式中A、B为常数，由初始条件确定
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3. 初始条件解
由： v
v
t 0 t 0
阻尼力是由相对速度贡献的 弹性力是由相对位移贡献的
f s (t ) kv(t )
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3. 支座激励单自由度（续）
t ( t ) c v ( t ) k v( t ) 0 mv
∵ v t (t ) v (t ) v g (t )
( t ) m v g ( t ) c v ( t ) k v( t ) 0 ∴ mv
2
s1, 2
c c 2 2m 2m
2
0 临界阻尼状态 c 2 决定因素： 0 低阻尼的状态 2m 0 高阻尼的状态
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2. 临界阻尼状态
c 2 0 系统处于发生振动的临界点 2m
( t ) c v ( t ) k v( t ) m v g ( t ) p eff ( t ) mv
实际应用： 地震地面运动输入作用
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第二节 无阻尼自由振动
f I (t ) f D (t ) f s (t ) p (t )
f I (t ) —Inertial force惯性力
2. 方程求解（续）
方程解的复数形式：
v (t ) G exp( st ) G1 exp( i t ) G 2 exp( i t )
G G R iG I
G1 G1 R iG1 I ， G 2 G 2 R iG 2 I
v ( t ) ( G R iG I ) exp( i t ) ( G R iG I ) exp( i t )
A v (0); B (0) v (0) v D
1
三角函数： v (t ) cos( D t ) exp( t )
v (0) v (0) 2 v ( 0 ) D
2
2
v (0) v (0) tan D
v (0) A v (0) n B
(0) v
得： A v (0),
B v (0)
n
形式1：v ( t ) A cos t B sin t
v (t ) v ( 0 ) cos t
f
1 2 2
k , T 1 2 m f
f I (t ) f D (t ) f s (t ) p (t )
f I (t ) —Inertial force惯性力
(t ) f I (t ) m v
(t ) f D (t ) —Damping force阻尼力 f D (t ) c v
f s (t ) —Spring force弹性力
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1. 基本方程
自由振动: 结构振动不是由于外部能量输入 而是由于初始干扰能量输入。
p(t) = 0； v t 0 v (0);
v t 0 v (0);
c = 0。
无阻尼： 不考虑能量耗散阻尼机制
( t ) k v( t ) 0 微分方程： m v
2
(0) v tan v ( 0 )
1
无阻尼自由振动解
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第三节 阻尼自由振动
f I (t ) f D (t ) f s (t ) p (t )
f I (t ) —Inertial force惯性力
(t ) f I (t ) m v
∵
∴
实际应用：车辆振动作用＝静位移＋动位移 桥梁风振作用＝平均风＋脉动风
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3. 支座激励单自由度
考虑支座激励单自由度计算图示
f I (t ) f D (t ) f s (t ) 0
t (t ) f I (t ) m v
惯性力是由总加速度贡献的
(t ) f D (t ) c v
2
临界阻尼：
c cc 2 m 2 mk 2m
特征方程重根：s1 s2
cc 2m
基本方程通解：v (t ) (G1 G 2 t ) exp( t )
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2. 临界阻尼状态（续）
初始条件解： v (t ) v ( 0 )(1 t ) v ( 0 )t exp( t ) 临界阻尼条件下的自由振动
f s (t ) kv(t )
p (t ) —Applied force强迫力
( t ) c v ( t ) k v( t ) p ( t ) mv
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1. 水平运动单自由度
水平运动单自由度计算图式
(t ) 质体受力：f I (t ) m v
(t ) f s (t ) kv(t ) 向左 f D (t ) c v
向右
p (t )
( t ) c v ( t ) k v( t ) p ( t ) mv
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2. 重力影响单自由度
考虑重力影响单自由度计算图式
(t ) 质体受力：f I (t ) m v
1
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3. 高阻尼状态
c 2 0 系统从初始位置直接到平衡位置 2m
2
高阻尼条件：
c cc 2 m 2 mk 2m
2 ˆ 特征方程根： s1, 2 1
ˆ 2 1
(t ) f I (t ) m v
f D (t ) —Damping force阻尼力 f D (t ) 0
f s (t ) —Spring force弹性力
f s (t ) kv(t )
p (t ) —Applied force强迫力
p (t ) 0
( t ) k v( t ) 0 mv
(0) v (0) v sin D t exp( t ) D
频率比与阻尼比： 阻尼衰减振动：
D c cc
同济大学土木工程学院桥梁工程系
3. 低阻尼状态
c 2 0 系统处于围绕平衡位置的振动 2m
2
c cc 2 m 2 mk 2m c c 阻尼比定义： cc 2 m
低阻尼条件：
特征方程根： s1, 2 i D 基本方程通解：
sin t
单自由度系统无阻尼自由振动为以ω为频率的简谐振动。
(0) v 振动峰值为： v (0) 2
2
同济大学土木工程学院桥梁工程系
3. 初始条件解（续）
形式2： v ( t ) cos( t )