秋冀教版数学九上26.1《锐角三角函数》word导学案

课堂探究
能力点1求锐角三角函数值
题型导引1.当一个锐角在一个直角三角形中时，只要求出相应边的长度即可求出相应的三角函数值．
2．在有些问题中，可以把求一个角的锐角三角函数值转化为与它相等的角的锐角三角函数值．
3．如果这个锐角不在直角三角形中时，应作辅助线构造包含这个角的直角三角形，然后再求相应边的长度．
【例1】如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，CD ⊥AC 于点C ，且tan ∠BCD ＝13
，求si n A ，c osA ，tan A 的值．
分析：解答本题的突破口是将∠BCD 转化为直角三角形中的角，通过作辅助线DE ⊥CD ，∠BCD 是直角三角形CDE 中的角．
解：过点D 作DE ⊥CD 于点D ，交BC 于点E.
∵CD ⊥AC ，∴DE ∥AC.
∵D 为AB 的中点，
∴E 为BC 的中点，DE ＝12
AC. 设DE ＝x ，∴AC ＝2DE ＝2x .
在R t △CDE 中，∵tan ∠BCD ＝13
， ∴DE CD ＝13
，即CD ＝3x . 在R t △ACD 中，∠ACD ＝90°，AC ＝2x ，CD ＝3x ，∴AD ＝AC 2＋CD 2＝4x 2＋9x 2＝13x . ∴si n A ＝CD AD ＝3x 13x
＝31313，
c osA＝AC
AD＝
2x
13x
＝
213
13
tan A＝CD
AC＝
3x
2x＝
3
2
规律总结如果所求角不在直角三角形中，需将它转化到直角三角形中去，结合已知条件合理地构造直角三角形来解答
变式训练
如图所示，在R t△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，AC＝2，BD为AD边上的中线，求
tan∠ABD的值．
分析：求tan∠ABD必须想办法把∠ABD放到直角三角形中，而△ABD不是直角三角形，可考虑过点D作DE⊥AB于E，再求出R t△BDE的边DE，BE的长．
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，∠A＝45°，AC＝2，
∴BC＝2，AB＝2 2.
∵BD为AD边上的中线，
∴AD＝CD＝1.
在R t△ADE中，si n A＝DE AD，
∴DE＝AD·si n A＝1×
2
2＝
2
2.
∴AE＝
2
2，BE＝22－
2
2＝
3
2 2.
∴tan∠ABD＝DE
BE＝
2
2
3
22
＝
1
3.
能力点2利用特殊角的三角函数值进行计算
题型导引特殊角的三角函数值经常应用在计算中，它会与求代数式的值结合起来，由特殊的三角函数值，确定某些字母的取值，然后代入求值即可．
【例2】先化简，再求值：⎝
⎛⎭⎫a －2ab －b 2a ÷a －b a ，其中a ＝si n 30°，b ＝tan 45°. 分析：先将括号内的部分通分，并将分式的除法转化为乘法，然后根据特殊角的三角函数值求出a ，b 的值，再代入进行解答．
解：原式＝a 2－2ab ＋b 2a ×a a －b
＝（a －b ）2a ×a a －b
＝a －b . 当a ＝si n 30°＝12
，b ＝tan 45°＝1时， 原式＝a －b ＝12－1＝－12
. 规律总结对于分式的化简求值与特殊角的三角函数值结合的问题，解题的关键是利用分解因式的方法化简分式，将已知量与未知量联系起来．
变式训练
先化简，再求代数式a a ＋2－1a －1÷a ＋2a 2－2a ＋1的值，其中a ＝6tan 60°－2. 分析：除式的分子利用完全平方公式分解因式，同时将除法变乘法，然后用同分母分式的减法法则计算，再利用特殊角的三角函数值求出a 的值代入进行计算即可．
解：原式＝a a ＋2－1a －1·（a －1）2a ＋2
＝a a ＋2－a －1a ＋2＝1a ＋2
. ∵a ＝6tan 30°－2
＝6×33
－2 ＝23－2，
∴原式＝
1a ＋2＝123－2＋2＝36
.。