《概率论》课件：1-6独立性
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《概率论》第1章§6 独立性
2p p
2
4
思考： A和B独立与A和B不相容有什么关系？
P ( AB ) P ( A ) P ( B ) P ( BC ) P ( B ) P (C ) P (CA ) P (C ) P ( A )
必然事件 Ω 与任何事件 A 是否独立 不可能事件Φ 与任何事件 A 是否独立
结果A出现的概率保持不变。我们把这n次独立重复贝努
利试验总起来看成一个试验，称这种试验叫n重贝努利试 验。总之，n重贝努利试验有下面四个约定：
（1）每次试验的结果只能是两个可能的结果A和A之一, （2）A在每次试验中出现的概率p保持不变, （3）各次试验相互独立,
（4）共进行了n次.
P B | A P B
若
P A 0
则 事 件 A与 任 一 事 件 B相 互 独 立 。
例2 甲乙二人独立地对目标各射击一次，设甲射中 目标的概率为 0.5，乙射中目标的概率为 0.6，求目 标被击中的概率
解
设 A, B分别表示甲,乙击中目标， 则 A B表示目标被击中，由于 A, B独立
2 1 P B 4 2
P B | C 1
生的概率，而A发生不改 1 变B发生的概率，B 的发 P AB 1 4 P B | A P B 1 P A 2 生也不改变A发生的概率， 2 也就是说A与B互不影响， 1 P AB 1 P A | B 4 P A 它们是独立的. 1 P B 2
贝努利概型
考虑一个简单的试验，它只出现（或只考虑） 两种结果，如某产品抽样检查得合格或不合格，射 击命中或不命中，试验成功或失败，发报机发出信 号0或1。掷一次骰子点数“6”是否出现。一般地， 试验E只有两种结果A和A,而P(A)=p（0<p<1）,则
概率论第一章第六节
(2) P( A1 A2
An )
1 P(A1 A2
An )
1 P( A1 A2 An )
A1 A2 An独立
A1 A2 An独立
1 P( A1 )P( A2 ) P( An ).
9
例1 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的 概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将 密码译出的概率是多少？
2
2
P( AB) 0，P( A)P(B) 1 ,
4
由此可见两事件互斥但不独立.
二者之间没 有必然联系
B
AB
AS
B AS
若P( A) 0 , P(B) 0 , A，B相互独立与互不相容
不能同时成立.
20 返回
为p , p 1 2 . 问对甲而言, 采取三局二胜制有利,
还是五局三胜制有利. 设各局胜负相互独立. 解 采用三局二胜制 , 甲最终获胜 ,
胜局情况可能是 :
“甲甲”,“甲乙甲”;“乙甲甲”,
设Ai :“甲第i局胜”(i 1, 2, 3), 设A :“甲最终胜”,
则 A A1 A2 A1 A2 A3 A1 A2 A3
p pp
纯 纯纯
H1： 不纯 纯 纯
q pp
纯 纯纯
p 1 0.01 0.99,
q 1 0.95
H2：不纯 不纯 纯
q qp
纯 纯纯
H3： 不纯 不纯 不纯
q qq
纯 纯纯
0.05.
P(H0)
C936 , C3
100
P(H3 )
C43 C3
100
,
P( H1 )
C926C41 C3
100
,
P( H2 )
第四节独立性和全概率课件
解析
由于随机变量$X_1, X_2, X_3, X_4$相互独 立，根据独立事件的概率乘法原则，有
$P(X_1+X_2 > X_3+X_4) = P(X_1 > X_3) times P(X_2 > X_4)$。根据泊松分布的概 率质量函数和独立性，计算得$P(X_1+X_2
> X_3+X_4) = frac{e^{-2}}{2} times frac{e^{-2}}{2} = frac{e^{-4}}{4}$。
概率质量函数，计算得$P(X+Y=2) = frac{1}{4} + frac{1}{4} + frac{e^{-2} times 2}{4} = frac{e^{-2} + 3}{4}$。
习题三及解析
题目
设随机变量$X_1, X_2, X_3, X_4$相互独立 且均服从参数为$lambda = 2$的泊松分布 ，求$P(X_1+X_2 > X_3+X_4)$。
独立性是概率论的基本概念之一
在概率论中，独立性是一个重要的概念，它决定了事件之间是否相互影响。
全概率公式是概率论中的基本公式之一
全概率公式是概率论中用于计算复杂事件发生的概率的基本公式之一，它基于独 立事件的乘积原则。
独立性和全概率在现实生活中的应用
金融预测
在金融领域中，股票价格的变化通常 被视为独立事件，通过全概率公式可 以计算股票价格在未来某个时间点的 预期值。
全概率公式的应用场景
风险评估
全概率公式可以用于风险评估， 通过分析各种可能的风险因素，
计算出事件发生的总概率。
决策制定
全概率公式可以帮助决策者综合考 虑各种可能的情况，从而制定出更 加科学合理的决策。
第1.6节 事件的独立性
第1.6节事件的独立性复习：一批产品由男女生共同完成，男生28人，女生2人。
男生做出的次品率为10％，女生做出的次品率为5％，求产品的的次品率；若抽出一产品是次品，问是男生还是女生做的可能性大些？（每人生产产品数相等）一、事件的独立性设A，B是两个事件，一般而言(BPP≠，这表示事件B的发生AA)|()对事件A的发生的概率有影响，只有当APAP=时才可以认为B的发)(B|)(生与否对A的发生毫无影响，这是就称两事件是独立的。
这时，由条件概率可知，()()()|()()(P A P B P B A P B P AB P ===由此，我们引出下面的定义1:若两事件A ，B 满足)()()(B P A P AB P =,则称A ，B 相互独立。
Theorem 1 若四对事件},{},,{},,{},,{B A B A B A B A 中有一对是相互独立的，则另外三对也是相互独立的.Proof:若B A 与相互独立，则)()()(B P A P AB P =而)()(AB A P B A P -==)()(AB P A P -=)()()(B P A P A P -=)()(B P A P 故B A 与也相互独立。
由此可知，其它也相互独立。
在实际问题中，我们一般不用定义来判断两事件A ，B 是否相互独立，而是相反，从试验的具体条件以及试验的具体本质分析去判断它们有无关联，是否独立？如果独立，就可以用定义中的公式来计算积事件的概率了。
Example 1 两门高射炮彼此独立的射击一架敌机，设甲炮击中敌机的概率为0.9，乙炮击中敌机的概率为0.8，求敌机被击中的概率？Solution 设A ={甲炮击中敌机}，B ={乙炮击中敌机}，那么{敌机被击中}=B A ；因为A 与B 相互独立，所以，有=)(B A P )()()(AB P B P A P -+=)()()()(B P A P B P A P -+=98.08.09.08.09.0=⨯-+Note ：事件的独立性与互斥是两码事，互斥性表示两个事件不能同时发生，而独立性则表示他们彼此不影响。
概率论-事件的独立性
P( Ai Aj Ak )
P( Ai )P( Aj )P( Ak ),(1
i
j
k
n)
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 )P( An ).
则称事件 A1 , A2 ,, An
为相互独立的.
共 2n n 1
个式子．
n 个事件相互独立
n个事件两两独立
显然，如果n个事件相互独立，则它们中任何
机事件序列 A1, A2 ,, An 为相互独立的．
例21 甲、乙、丙三三名射手，他们命中他们命 中目标的概率分别是0.9,0.8,0.6，现三人独立地 向目标各射击一次，求命中目标的可能性有多大？
解 记A=“甲命中目标”, B=“乙命中目 标”, C=“丙命中目标”, D=“命中目标”, 显然A,B,C 相互独立，并且D=A+B+C ,则
NEXT
习题一：22、23、25
作业
例补充 设A,B,C三事件独立，试证A+B与C相互
独立． 证明:因为
P[(A B)C] P( AC BC) P( AC) P(BC) P( ABC)
P( A)P(C) P(B)P(C) P( A)P(B)P(C) (P( A) P(B) P( A)P(B))P(C) P( A B)P(C)
P(A) P(B) P(A)P(B)
0.7 0.8 0.70.8 0.94
例补充 甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一 密码，设甲译出的概率0.8,乙译出的概率 0.7,丙 译出的概率0.6,求密码能译出的概率.
解 记A=“甲译出密码”, B=“乙译出密
码”,
C=“丙译出密码”, D=“密码被译 显然出A”,B,,C相互独立，并且D=A+B+C ,则
概率论与数理统计课件1-6
P( A) = P(B) = P(C ) = 4 = 1 82
P( ABC ) = 1 = P( A)P(B)P(C ) 8
P( AB) = 3 ≠ 1 = P( A)P(B) 84
(3)设 A1, A2 , , An 相互独立，则它们中的 任意一部分事件也相互 独立.
(4)设 A1, A2 , , An 相互独立，则它们中的 任意一部分事件换成各 自事件的对立事件后，
所得的 n个事件也是相互独立的 .
如A, B,C 相互独立 , 则A, B,C 相互独立 , A, B,C
也相互独立 . A1, , An 相互独立，则
P( A1 + + An ) = 1 − P( A1)
P( An )
(5)设 A1, A2 , , An 相互独立，则将它们分 成 分成若干组，各组内的 运算结果间 也相互独立 .
于是 P(C1)=P(A1A2A3)+P(B1B2B3) -P(A1A2A3B1B2B3)
=p3+p3-p6=p3(2-p3),
P(C2)=(p+p-p2 )3=p3(2-p)3,
当0<p<1时, P(C2)>P(C1).
例6 甲、乙、丙同时向一架飞机射击，命中率各 为 0.4，0.5，0.7，一人和二人击中时，飞机坠毁的 概率分别为 0.2与0.6，三人击中时飞机一定坠毁.现 飞机坠毁了，计算是由三人同时击中的概率. 解 设 B =“飞机坠毁”注： (1)相互独立Fra bibliotek两两独立
袋内有4个球,全红、全黑、全白各一 个，另一个
涂有红、黑、白三色 ,从中任取一个， A、B、C分别表
示取到红、黑、白球
P( A) = P(B) = P(C ) = 2 = 1
P( ABC ) = 1 = P( A)P(B)P(C ) 8
P( AB) = 3 ≠ 1 = P( A)P(B) 84
(3)设 A1, A2 , , An 相互独立，则它们中的 任意一部分事件也相互 独立.
(4)设 A1, A2 , , An 相互独立，则它们中的 任意一部分事件换成各 自事件的对立事件后，
所得的 n个事件也是相互独立的 .
如A, B,C 相互独立 , 则A, B,C 相互独立 , A, B,C
也相互独立 . A1, , An 相互独立，则
P( A1 + + An ) = 1 − P( A1)
P( An )
(5)设 A1, A2 , , An 相互独立，则将它们分 成 分成若干组，各组内的 运算结果间 也相互独立 .
于是 P(C1)=P(A1A2A3)+P(B1B2B3) -P(A1A2A3B1B2B3)
=p3+p3-p6=p3(2-p3),
P(C2)=(p+p-p2 )3=p3(2-p)3,
当0<p<1时, P(C2)>P(C1).
例6 甲、乙、丙同时向一架飞机射击，命中率各 为 0.4，0.5，0.7，一人和二人击中时，飞机坠毁的 概率分别为 0.2与0.6，三人击中时飞机一定坠毁.现 飞机坠毁了，计算是由三人同时击中的概率. 解 设 B =“飞机坠毁”注： (1)相互独立Fra bibliotek两两独立
袋内有4个球,全红、全黑、全白各一 个，另一个
涂有红、黑、白三色 ,从中任取一个， A、B、C分别表
示取到红、黑、白球
P( A) = P(B) = P(C ) = 2 = 1
概率事件的相互独立性ppt
临床试验
在医学领域的应用
在社会科学领域的应用
在社会科学领域，相互独立性在民意调查中非常重要。当调查人员对大量人群进行投票或调查时，每个受访者都应该被视为独立的个体，其投票或回答不应该受到其他人的影响。通过确保受访者的相互独立性，可以获得更准确的结果。
民意调查
在实验设计中，相互独立性意味着实验组之间不存在相互影响或交互作用。为了确保实验结果的可靠性，实验设计需要确保每个受试者或观察对象都有相同的机会受到实验处理或暴露于实验条件，并且每个受试者或观察对象的反应是独立的。
事件用符号表示
事件的定义及表示方法
定义
如果事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响，则称事件A与事件B相互独立。
数学表示
P(B/A) = P(B)
相互独立性的数学定义
相互独立性的性质
相互独立的事件互不影响。
如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件A'与B'也相互独立。
如果事件A与事件B相互独立，那么它们的和事件A∪B也相互独立。
多个事件的相互独立性
如果事件A1,A2,...,An相互独立，那么P(A1∩A2∩...∩An)=P(A1)P(A2)...P(An)。
多个事件的相互独立性可以用于解决复杂概率问题，例如在保险、金融等领域的应用。
如果多个事件相互独立，那么这些事件组合的概率可以通过乘法原理计算。
相互独立性的应用
04
相互独立性的判定
02
定义法事件A和事件B的相互独立性定义为：$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$即事件A和事件B的联合概率等于它们各自的概率的乘积。公式法若$P(A) \times P(B) = P(A \cap B)$，则事件A和事件B相互独立。特征函数法如果两个事件的特征函数满足$\varphi{A}(t) \cdot \varphi{B}(t) = \varphi_{A+B}(t)$，则事件A和事件B相互独立。
在医学领域的应用
在社会科学领域的应用
在社会科学领域，相互独立性在民意调查中非常重要。当调查人员对大量人群进行投票或调查时，每个受访者都应该被视为独立的个体，其投票或回答不应该受到其他人的影响。通过确保受访者的相互独立性，可以获得更准确的结果。
民意调查
在实验设计中，相互独立性意味着实验组之间不存在相互影响或交互作用。为了确保实验结果的可靠性，实验设计需要确保每个受试者或观察对象都有相同的机会受到实验处理或暴露于实验条件，并且每个受试者或观察对象的反应是独立的。
事件用符号表示
事件的定义及表示方法
定义
如果事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响，则称事件A与事件B相互独立。
数学表示
P(B/A) = P(B)
相互独立性的数学定义
相互独立性的性质
相互独立的事件互不影响。
如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件A'与B'也相互独立。
如果事件A与事件B相互独立，那么它们的和事件A∪B也相互独立。
多个事件的相互独立性
如果事件A1,A2,...,An相互独立，那么P(A1∩A2∩...∩An)=P(A1)P(A2)...P(An)。
多个事件的相互独立性可以用于解决复杂概率问题，例如在保险、金融等领域的应用。
如果多个事件相互独立，那么这些事件组合的概率可以通过乘法原理计算。
相互独立性的应用
04
相互独立性的判定
02
定义法事件A和事件B的相互独立性定义为：$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$即事件A和事件B的联合概率等于它们各自的概率的乘积。公式法若$P(A) \times P(B) = P(A \cap B)$，则事件A和事件B相互独立。特征函数法如果两个事件的特征函数满足$\varphi{A}(t) \cdot \varphi{B}(t) = \varphi_{A+B}(t)$，则事件A和事件B相互独立。
概率论教学课件第一章1.7事件的独立性与伯努利概型
1 P( A)
P( AB) P( A)P(B) A与B相互独立 8
P( A) 0 A与任何事件B都相互独立； 2º
P( A) 1 A与任何事件B都相互独立.
和 都与任何事件相互独立． 证 关于第一个蕴涵式．由 P( A) 0 及概率的 单调性知 P( AB) 0 , 从而
P(AB) P(A)P B .
1
一、事件的独立性
两个事件相互独立是指: 其中一个事件的发现正面”，B=“第二次出现反面”.
显然，A的发生不影响B的发生，反之亦然. 因此，A与B相互独立．
2
上述意思翻译成概率语言即为
P B A P(B) 且 P A B P(A).
证 假设 A 与 B 相互独立，则 P(AB) P( A)P B ， 从而 P(AB) P(A) P AB P(A) P A P B P(A)[1 P B] P A P(B)
这证明了 A 与 B 相互独立. 由已证明结论可证: A 与 B ， A 与 B 也分别相互独立．
12
例1.28 甲、乙两射手彼此独立地向同一目标 各射击一次，甲射中目标的概率为0.8，乙射中目 标的概率为0.7，问目标被击中的概率是多少?
而A与B互不相容 AB , 前者的定义与概率
有关，后者的定义没有借助概率．
10
事件相互独立与互不相容的关系
P(A) 0, P(B) 0
若事件A与B互不相容，则事件A与B一定不相互独立. 换句话说，若事件A与B相互独立，则事件A与B一定不是互不相容.
11
4º 若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 亦相互独立.
7
(0 P(A) 1,0 P(B) 1)
A与B相互独立 P B A P B A
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四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立. 此定义可以推广到任意有限多个事件的情形:
概率论
定义 设 A1, A2, , An 为 n 个事件 ,如果对于任意
的 k 1 k n ,和任意的1 i1 i2 ik n 有等式 P Ai1 Ai2 Aik P Ai1 P Ai2 P Aik 则称 A1, A2, , An 为相互独立的事件.
概率论
第六节 独立性
两个事件的独立性 多个事件的独立性 独立性的概念在计算概率中的应用 小结 布置作业
一、两事件的独立性
概率论
两事件独立的定义
若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B)
(1)
则称A、B相互独立，简称A、B独立.
定理 1 事件 A、B 独立的充要条件为
PA | B PA , PB 0
概率论
定理 2 若两事件A、B独立, 则A与B, A与B, A与B
也相互独立.
证明 仅证A与 B 独立
A、B独立
概率的性质 P(AB )= P(A - A B)
= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B)
=P(A)[1- P(B)]= P(A) P(B) 故 A与 B独立
概率论
2 3
1 P( A1A2 A3) 1 P( A1)P( A2 )P( A3)
=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]
1 4 2 3 3 0.6 534 5
概率论
三、小结
这一讲，我们介绍了事件独立性的概念. 不 难发现，当事件相互独立时，乘法公式变得十分 简单，因而也就特别重要和有用. 如果事件是独 立的，则许多概率的计算就可大为简化.
PAB PA | BPB PAPB
由定义可知,事件 A、B 相互独立.
概率论
请问：如图的两个事件是独立的吗？
我们来计算： P(AB)=0
而P(A) ≠0, P(B) ≠0
A
B即
P(AB) ≠ P(A)P(B)
故 A、B不独立
即 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0, 则A与B不独立.
反之，若A与B独立，且P(A)>0, P(B)>0, 则A 、B不互斥.
二、多个事件的独立性
定义 设 A、B、C 为三事件,如果满足等式
PAB PAPB PAC PAPC PBC PBPC
则称三事件 A、B、C 为两两独立的事件 .
当事件A、B、C 两两独立时, 等式
PABC PAPBPC
不一定成立 .
概率论
例如 S 1,2 ,3 ,4,A 1,2, B 1,3,
或
PB | A PB, PA 0
概率论
证 先证必要性 . 设事件 A、B 独立 ,由独立定义知
PAB PA PB
所以 ,当
PB
0时
,
PA |
B
PPABB
PAPB PB
P A
或者 ,当
PA
0时 ,
PB |
A
PPAAB
PAPB PA
PB
再证充分性 : 设 PA | B PA 成立 ,则有
解 将三人编号为1，2，3，
记 Ai={第i个人破译出密码} i=1 , 2 , 3
所求为 P A1 A2 A3
已知, P(A1)=1/5 , P(A2)=1/3 , P(A3)=1/4
P A1 A2 A3 1 P A1 A2 A3
概率论
1 P A1 A2 A3 1 P A1 A2 A3
概率论
四、 布置作业
《概率统计》习题册
定理 若n个事件A1，…，An相互独立，则将其中任 意k个事件换成其对立事件后所得到的n个事件仍相的区别与联系
对 n (n > 2)个事件
相互独立
两两独立
?
概率论
例 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译 出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人 能将密码译出的概率是多少？
C 1,4,则
PA PB PC 1 , 并且 ,
2
PAB 1 PAPB ,
4
PAC 1 P A P C ,
4
PBC 1 PBPC .
4
即事件 A、B、C 两两独立 .
但是 PABC 1 PAPBPC .
4
概率论
对于三个事件A、B、C，若
P(AB)= P(A)P(B) P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C)
概率论
定义 设 A1, A2, , An 为 n 个事件 ,如果对于任意
的 k 1 k n ,和任意的1 i1 i2 ik n 有等式 P Ai1 Ai2 Aik P Ai1 P Ai2 P Aik 则称 A1, A2, , An 为相互独立的事件.
概率论
第六节 独立性
两个事件的独立性 多个事件的独立性 独立性的概念在计算概率中的应用 小结 布置作业
一、两事件的独立性
概率论
两事件独立的定义
若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B)
(1)
则称A、B相互独立，简称A、B独立.
定理 1 事件 A、B 独立的充要条件为
PA | B PA , PB 0
概率论
定理 2 若两事件A、B独立, 则A与B, A与B, A与B
也相互独立.
证明 仅证A与 B 独立
A、B独立
概率的性质 P(AB )= P(A - A B)
= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B)
=P(A)[1- P(B)]= P(A) P(B) 故 A与 B独立
概率论
2 3
1 P( A1A2 A3) 1 P( A1)P( A2 )P( A3)
=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]
1 4 2 3 3 0.6 534 5
概率论
三、小结
这一讲，我们介绍了事件独立性的概念. 不 难发现，当事件相互独立时，乘法公式变得十分 简单，因而也就特别重要和有用. 如果事件是独 立的，则许多概率的计算就可大为简化.
PAB PA | BPB PAPB
由定义可知,事件 A、B 相互独立.
概率论
请问：如图的两个事件是独立的吗？
我们来计算： P(AB)=0
而P(A) ≠0, P(B) ≠0
A
B即
P(AB) ≠ P(A)P(B)
故 A、B不独立
即 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0, 则A与B不独立.
反之，若A与B独立，且P(A)>0, P(B)>0, 则A 、B不互斥.
二、多个事件的独立性
定义 设 A、B、C 为三事件,如果满足等式
PAB PAPB PAC PAPC PBC PBPC
则称三事件 A、B、C 为两两独立的事件 .
当事件A、B、C 两两独立时, 等式
PABC PAPBPC
不一定成立 .
概率论
例如 S 1,2 ,3 ,4,A 1,2, B 1,3,
或
PB | A PB, PA 0
概率论
证 先证必要性 . 设事件 A、B 独立 ,由独立定义知
PAB PA PB
所以 ,当
PB
0时
,
PA |
B
PPABB
PAPB PB
P A
或者 ,当
PA
0时 ,
PB |
A
PPAAB
PAPB PA
PB
再证充分性 : 设 PA | B PA 成立 ,则有
解 将三人编号为1，2，3，
记 Ai={第i个人破译出密码} i=1 , 2 , 3
所求为 P A1 A2 A3
已知, P(A1)=1/5 , P(A2)=1/3 , P(A3)=1/4
P A1 A2 A3 1 P A1 A2 A3
概率论
1 P A1 A2 A3 1 P A1 A2 A3
概率论
四、 布置作业
《概率统计》习题册
定理 若n个事件A1，…，An相互独立，则将其中任 意k个事件换成其对立事件后所得到的n个事件仍相的区别与联系
对 n (n > 2)个事件
相互独立
两两独立
?
概率论
例 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译 出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人 能将密码译出的概率是多少？
C 1,4,则
PA PB PC 1 , 并且 ,
2
PAB 1 PAPB ,
4
PAC 1 P A P C ,
4
PBC 1 PBPC .
4
即事件 A、B、C 两两独立 .
但是 PABC 1 PAPBPC .
4
概率论
对于三个事件A、B、C，若
P(AB)= P(A)P(B) P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C)