2014版高考数学(理)(人教A版,浙江省专用)一轮作业手册第65讲数学证明(基础热身+能力提升+挑战自我,

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2014版高考数学(理)(人教A版,浙江省专用)一轮作业手册第60讲n次独立重复试验与二项分布(基础热身+能

课时作业(六十) [第60讲 n 次独立重复试验与二项分布](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于( )A.12B.14C.16D.182．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.163．已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B ⎝⎛⎭⎫6，13，即P (ξ＝2)等于( ) A.316 B.1243 C.13243 D.802434．某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率为________．(用数值作答)．能力提升 5．[2012·九江模拟] 某人射击，一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )A.81125B.54125C.36125D.271256．甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的纪录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为( )A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.66 7．在4次独立重复试验中，事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( )A ．[0.4，1)B ．(0，0.4)C ．(0，0.6]D ．[0.6，1)8．[2012·济南一模] 位于直角坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为13，向右移动的概率为23，则质点P 移动五次后位于点(1，0)的概率是( )A.4243B.8243C.40243D.80243 9．[2012·广州调研] 箱中装有标号分别为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )A.16625B.96625C.624625D.462510．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P (ξ＝4)＝________．11．[2012·西安一模] 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．12．[2012·淄博一中模拟] 研究性学习小组要从6名成员(其中男生4人，女生2人)中任意选派3人去参加某次社会调查．在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率是________．13．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的序号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关． 14．(10分)[2012·粤西北九校联考] 某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是34，12，14，且各阶段通过与否相互独立．(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；(2)设该选手在竞赛中回答问题的个数为X ，求X 的分布列．15．(13分)某商场准备在国庆节期间举行促销活动，该商场决定从2种服装商品，2种家电商品和3种日用商品中，选出3种商品进行促销．(1)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；(2)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元．同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得数额为m 元的奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是12，请问：商场应将每次中奖奖金数额m 最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？难点突破16．(12分)[2012·安徽卷] 某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A 类型试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有n ＋m 道试题，其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题．以X 表示两次调题工作完成后，试题库中A 类型试题的数量．(1)求X ＝n ＋2的概率；(2)设m ＝n ，求X 的分布列和均值(数学期望)．课时作业(六十)【基础热身】1．A [解析] 方法一：利用条件概率公式P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1412＝12，故选A ；方法二：A 包括的基本事件为{正，正}，{正，反}，AB 包括的基本事件为{正，正}，因此P (B |A )＝12，故选A.2．B [解析] 设两个实习生每人加工一个零件为一等品分别为事件A ，B ，则P (A )＝23，P (B )＝34，于是这两个零件中恰有一个一等品的概率为P (AB ＋AB )＝P (AB )＋P (AB )＝23×⎝⎛⎭⎫1－34＋⎝⎛⎭⎫1－23×34＝512.3．D [解析] 已知ξ～B 6，13，P (ξ＝k )＝C k n p k q n －k，当ξ＝2，n ＝6，p ＝13时，有P (ξ＝2)＝C 261321－136－2＝C 26132234＝80243，故选D. 4.15128[解析] 每次投篮命中的概率相同，且相互独立，则恰好投进3个球的概率为P ＝C 3101231－127＝15128. 【能力提升】5．A [解析] 可看作是3次独立重复试验，则P ＝C 23×0.62×0.4＋0.63＝81125，故选A. 6．A [解析] 甲市为雨天记为事件A ，乙市为雨天记为事件B ，则P (A )＝0.2，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12，∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.120.2＝0.6，故选A.7．A [解析] 根据题意，C 14p (1－p )3≤C 24p 2(1－p )2，解得p ≥0.4.又0<p <1，∴0.4≤p <1. 8．D [解析] 依题意得，质点P 移动五次后位于点(1，0)，则这五次移动中必有某两次向左移动，另三次向右移动，因此所求的概率为C 25·132·233＝80243，故选D. 9．B [解析] 当摸的两个球中有标号为4的球时，此时两球的号码之积是4的倍数，有5种情况；当摸的两个球中有标号均不是4的球时，此时要使两球的号码之积是4的倍数，只有1种情况，故某人能够获奖的概率为6C 26＝25，因此所求概率等于C 34·253·1－25＝96625，故选B.10.10243[解析] 考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B 5，13，即有P (ξ＝k )＝C k 513k ×235－k，k ＝0，1，2，3，4，5. ∴P (ξ＝4)＝C 45134×231＝10243. 11．0.128 [解析] 依题意得，事件“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”即意味着“该选手在回答前面4个问题的过程中，要么第一个问题答对且第二个问题答错，第三、四个问题都答对了；要么第一、二个问题都答错，第三、四个问题都答对了”，因此所求事件的概率等于[0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)2]×0.82＝0.128.12.25[解析] 设男生甲被选中记为事件A ，女生乙被选中记为事件B ，∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝C 14C 36C 25C 36＝25.13．②④ [解析] 根据题意可得P (A 1)＝510，P (A 2)＝210，P (A 3)＝310，可以判断④是正确的；A 1，A 2，A 3为两两互斥事件，P (B )＝P (B |A 1)＋P (B |A 2)＋P (B |A 3)＝510×511＋210×411＋310×411＝922，则①是错误的； P (B |A 1)＝P （A 1B ）P （A 1）＝510×511510＝511，则②是正确的；同理可以判断出③和⑤是错误的．14．解：(1)记“该选手通过初赛”为事件A ，“该选手通过复赛”为事件B ，“该选手通过决赛”为事件C ，则P (A )＝34，P (B )＝12，P (C )＝14.那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率是P ＝P (AB )＝P (A )P (B )＝34×1－12＝38.(2)X 可能取值为1，2，3.P (X ＝1)＝P (A )＝1－34＝14，P (X ＝2)＝P (AB )＝P (A )P (B )＝34×1－12＝38，P (X ＝3)＝P (AB )＝P (A )P (B )＝34×12＝38.X 的分布列为15.解：(1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A ，则P (A )＝1－121－121－23＝112. (2)X 可能取值为0，1，2，3，4，5，且X ～B 5，12.P (X ＝0)＝C 051－125＝132， P (X ＝1)＝C 15·121－124＝532， P (X ＝2)＝C 25·1221－123＝516， P (X ＝3)＝C 35·1231－122＝516， P (X ＝4)＝C 451241－12＝532， P (X ＝5)＝C 55125＝132. 所以，随机变量X 的分布列如下表16．解：以A i 表示第i 次调题调用到A 类型试题，i ＝1，2.(1)P (X ＝n ＋2)＝P (A 1A 2)＝nm ＋n ·n ＋1 m ＋n ＋2＝n （n ＋1）（m ＋n ）（m ＋n ＋2）.(2)X 的可能取值为n ，n ＋1，n ＋2.P (X ＝n )＝P (A 1 A 2)＝n n ＋n ·n n ＋n ＝14，P (X ＝n ＋1)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝n n ＋n ·n ＋1n ＋n ＋2＋n n ＋n ·n n ＋n ＝12，P (X ＝n ＋2)＝P (A 1A 2)＝n n ＋n ·n ＋1n ＋n ＋2＝14，从而X 的分布列是E (X )＝n ×14＋(n ＋1)×12＋(n ＋2)×14＝n ＋1.。

2014版高考数学(理)(人教A版,浙江省专用)一轮作业手册第15讲导数研究优化问题、方程与不等式(基础热

课时作业(十五) [第15讲导数研究优化问题、方程与不等式](时间：45分钟分值：100分)基础热身 1．[2012·韶关调研] 函数y ＝x e x 的最小值是( )A ．－1B ．－eC ．－1eD ．不存在2．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1，1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．43．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间关系可近似地用如下函数给出：y ＝－18t 3－34t 2＋36t －6294.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是( )A ．6时B ．7时C ．8时D ．9时4．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件能力提升5．一矩形铁皮的长为8 cm ，宽为5 cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，盒子容积的最大值是( )A ．12 cm 3B ．15 cm 3C ．18 cm 3D ．16 cm 3 6．[2011·湖南卷] 设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.227．[2012·全国卷] 已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( ) A ．－2或2 B ．－9或3 C ．－1或1 D ．－3或1 8．已知正四棱锥S －ABCD 中，SA ＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( ) A ．1 B. 3 C ．2 D ．3 9．[2012·辽宁卷] 若x ∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是( )A ．e x ≤1＋x ＋x 2 B.11＋x≤1－12x ＋14x 2C ．cos x ≥1－12x 2D ．ln(1＋x )≥x －18x 210．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为________．11．[2012·厦门质检] 设函数f (x )＝e 2x 2＋1x ，g (x )＝e 2xex ，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，不等式g （x 1）k ≤f （x 2）k ＋1恒成立，则正数k 的取值范围是________．12．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P 元，则销售量Q (单位：件)与零售价P (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2.则该商品零售价定为________时，毛利润L 最大，最大毛利润是________(毛利润＝销售收入－进货支出)．13．[2013·杭州萧山区模拟] 已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，对任意的x 1∈[－1，2]，存在x 0∈[－1，2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，则a 的取值范围是________．14．(10分)[2012·北京东城区一模] 已知x ＝1是函数f (x )＝(ax －2)e x 的一个极值点(a ∈R )．(1)求a 的值；(2)当x 1，x 2∈[0，2]时，证明：f (x 1)－f (x 2)≤e.15．(13分)[2013·吉林质检] 设函数f (x )＝(x －1)2＋m ln x ，其中m 为常数．(1)当m >12时，判断函数f (x )在定义域上的单调性；(2)若函数f (x )有极值点，求实数m 的取值范围及f (x )的极值点；(3)当n ≥3，n ∈N 时，证明不等式1n 2<ln(n ＋1)－ln n <1n.难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝ln x －ax.(1)当a >0时，判断f (x )在定义域上的单调性；(2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求实数a 的值；(3)试求实数a 的取值范围，使得在区间(1，＋∞)上，函数y ＝x 2的图象恒在函数f (x )的图象的上方．课时作业(十五)【基础热身】1．C [解析] y ′＝(x ＋1)e x ，令y ′＝0，得x ＝－1.因为x <－1时y ′<0；x >－1时y ′>0，所以x ＝－1时，y min ＝－1e.2．C [解析] f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0可得x ＝0或2(舍去)，当－1≤x <0时，f ′(x )>0，当0<x ≤1时，f ′(x )<0，所以当x ＝0时，f (x )取得最大值2.3．C [解析] y ′＝－38t 2－32t ＋36＝－38(t ＋12)(t －8)，令y ′＝0得t ＝－12(舍去)或t ＝8，当6≤t <8时，y ′>0，当8<t <9时，y ′<0，∴当t ＝8时，y 有最大值．4．C [解析] 因为y ′＝－x 2＋81，所以当x >9时，y ′<0；当0<x <9时，y ′>0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点．又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值．【能力提升】5．C [解析] 设小正方形的边长为x cm ，则盒子底面长为8－2x ，宽为5－2x .V ＝(8－2x )(5－2x )x ＝4x 3－26x 2＋40x ⎝⎛⎭⎫0<x <52，V ′＝12x 2－52x ＋40，由V ′＝0得x ＝1或x ＝103(舍去)，则V 极大值＝V (1)＝18，且在定义域内仅有一个极大值，∴V 最大值＝18. 6．D [解析] 用转化的思想：直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 图象分别交于M ，N ，而||MN 的最小值，实际是函数F (t )＝t 2－ln t (t >0)时的最小值．令F ′(t )＝2t －1t ＝0，得t ＝22或t ＝－22(舍去)．故t ＝22时，F (t )＝t 2－ln t 有最小值，即||MN 达到最小值，故选D.7．A [解析] 由f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0⇒x ＝±1，结合f (x )的图象可知只要f (－1)＝0或f (1)＝0即可，故解得c ＝－2或2，故选A.8．C [解析] 设底面边长为a ，则高h ＝SA 2－⎝⎛⎭⎫22a 2＝12－12a 2，所以体积V ＝13a 2h ＝1312a 4－12a 6.设y ＝12a 4－12a 6，则y ′＝48a 3－3a 5，当y 取最值时，y ′＝48a 3－3a 5＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝4，故a ＝4时体积最大，此时h ＝12－12a 2＝2.9．C [解析] 验证A ，当x ＝3时，e 3>2.73＝19.68>1＋3＋32＝13，故排除A ；验证B ，当x ＝12时，11＋12＝63，而1－12×12＋14×14＝1316＝3948＝ 1 52148< 1 53648＝16648，故排除B ；验证C ，令g (x )＝cos x －1＋12x 2，g ′(x )＝－sin x ＋x ，g ″(x )＝1－cos x ，显然g ″(x )>0恒成立，所以当x ∈[0，＋∞)时，g ′(x )≥g ′(0)＝0，所以x ∈[0，＋∞)时，g (x )＝cos x －1＋12x 2为增函数，所以g (x )≥g (0)＝0恒成立，即cos x ≥1－12x 2恒成立；验证D ，令h (x )＝ln(1＋x )－x ＋18x 2，h ′(x )＝1x ＋1－1＋x 4＝x （x －3）4（x ＋1），令h ′(x )<0，解得0<x <3，所以当0<x <3时，h (x )<h (0)＝0，显然不恒成立．故选C.10.34V [解析] 设底面边长为x ，则高为h ＝4V 3x 2，∴S ＝3×4V 3x 2·x ＋2×34x 2＝43V x ＋32x 2，∴S ′＝－43V x2＋3x ，令S ′＝0，得x ＝34V .当0<x <34V 时，S ′<0，当x >34V 时，S ′>0，故当x ＝34V 时，S 取得最小值． 11．k ≥1 [解析] ∵k 为正数，∴对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，不等式g （x 1）k ≤f （x 2）k ＋1恒成立⇒⎣⎡⎦⎤g （x ）k max ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）k ＋1min. 由g ′(x )＝e x ＋2（1－x ）e 2x＝0得x ＝1.x ∈(0，1)，g ′(x )>0，x ∈(1，＋∞)，g ′(x )<0，∴⎣⎡⎦⎤g （x ）k max＝g （1）k ＝e k .同理f ′(x )＝e 2x 2－1x 2＝0⇒x ＝1e ， x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e ，f ′(x )<0，x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，f ′(x )>0， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）k ＋1min ＝f⎝⎛⎭⎫1e k ＋1＝2e k ＋1，∴e k ≤2e k ＋1，k >0⇒k ≥1. 12．30 23 000 [解析] 由题意知L (P )＝P ·Q －20Q ＝Q (P －20)＝(8 300－170P －P 2)(P －20)＝－P 3－150P 2＋11 700P －166 000， ∴L ′(P )＝－3P 2－300P ＋11 700.令L ′(P )＝0，得P ＝30或P ＝－130(舍)．因为在P ＝30附近的左侧L ′(P )>0，右侧L ′(P )<0， ∴L (30)是极大值．根据实际意义知，L (30)是最大值，此时L (30)＝23 000.即零售价定为每件30元时，有最大毛利润为23 000元．13.⎝⎛⎦⎤0，12 [解析] 由题意，函数g (x )的值域为f (x )的值域的子集．由a >0，则g (x )＝ax ＋2在[－1，2]上的值域为[2－a ，2＋2a ]．又f (x )在[－1，2]上的值域为[－1，3]．所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，2－a ≥－1，2＋2a ≤3，解得0<a ≤12.14．解：(1)f ′(x )＝(ax ＋a －2)e x ，由已知得f ′(1)＝0，解得a ＝1.当a ＝1时，f (x )＝(x －2)e x ，在x ＝1处取得极小值．所以a ＝1.(2)证明：由(1)知，f (x )＝(x －2)e x ，f ′(x )＝(x －1)e x .当x ∈[0，1]时，f ′(x )＝(x －1)e x ≤0，f (x )在区间[0，1]单调递减；当x ∈(1，2]时，f ′(x )＝(x －1)e x >0，f (x )在区间(1，2]单调递增．所以在区间[0，2]上，f (x )的最小值为f (1)＝－e ，又f (0)＝－2，f (2)＝0，所以在区间[0，2]上，f (x )的最大值为f (2)＝0.对于x 1，x 2∈[0，2]，有f (x 1)－f (x 2)≤f (x )max －f (x )min . 所以f (x 1)－f (x 2)≤0－(－e)＝e.15．解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝2(x －1)＋m x ＝2x 2－2x ＋mx ＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋m －12x(x >0)，当m >12时，f ′(x )>0对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴函数f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数．(2)由(1)知，当m >12时，函数f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，没有极值点．当m ＝12时，f ′(x )＝2⎝⎛⎭⎫x －122x≥0，函数f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，没有极值点．当m <12时，令f ′(x )＝0得，x 1＝1－1－2m 2，x 2＝1＋1－2m 2.①当m ≤0时，x 1＝1－1－2m 2≤0∉(0，＋∞)，则x 2＝1＋1－2m2≥1∈(0，＋∞)，列表：②当0<m <12时，0<x 1<x 2<1，列表：综上，当m ≤0时，f (x )有唯一极小值点x 2＝1＋1－2m2，当0<m <12时，f (x )有极大值点x 1＝1－1－2m 2和极小值点x 2＝1＋1－2m 2.(3)由(2)知，m ＝－1时，函数f (x )＝(x －1)2－ln x ，此时，函数f (x )有唯一极小值点x ＝1＋1－2m 2＝1＋32，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋32时，f ′(x )<0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋32上是减函数． ∵n ≥3时，0<1<1＋1n <43<1＋32，∴f ⎝⎛⎭⎫1＋1n <f (1)，即1n2－ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n <0， ∴n ≥3时，1n2<ln(n ＋1)－ln n .令函数h (x )＝(x －1)－ln x (x >0)，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x.当x >1时，h ′(x )>0，h (x )在(1，＋∞)上是增函数，∵n ≥3，1<1＋1n ，∴h 1＋1n >h (1)，即1n －ln1＋1n>0，∴n ≥3时，ln(n ＋1)－ln n <1n.综上，当n ≥3，n ∈N 时，不等式1n 2<ln(n ＋1)－ln n <1n恒成立．【难点突破】16．解：(1)f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2(x >0)．当a >0时，f ′(x )>0恒成立，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数． (2)由f ′(x )＝0得x ＝－a .①当a ≥－1时，f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立，f (x )在[1，e]上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，得a ＝－32(舍)．②当a ≤－e 时，f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立，f (x )在[1，e]上为减函数，则f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，得a ＝－e2(舍)．③当－e<a <－1时，由f ′(x )＝0得x 0＝－a ，当1<x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )在(1，x 0)上为减函数；当x 0<x <e 时，f ′(x )>0，f (x )在(x 0，e)上为增函数．∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32，得a ＝－e ，综上知，a ＝－ e.(3)由题意得x 2>ln x －ax在(1，＋∞)上恒成立，即a >x ln x －x 3在(1，＋∞)上恒成立．设g (x )＝x ln x －x 3(x >1)，则g ′(x )＝ln x －3x 2＋1.令h (x )＝ln x －3x 2＋1，则h ′(x )＝1x－6x ，当x >1时，h ′(x )<0恒成立．∴h (x )＝g ′(x )＝ln x －3x 2＋1在(1，＋∞)上为减函数，则g ′(x )<g ′(1)＝－2<0，所以g (x )在(1，＋∞)上为减函数， ∴g (x )<g (1)＝－1，故a ≥－1.。

2014版高考数学(理)(人教A版,浙江省专用)一轮作业手册第14讲导数在研究函数中的应用(基础热身+能力提

课时作业(十四)A [第14讲导数在研究函数中的应用](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的单调减区间为( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(－∞，0) D ．(0，2)2．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0，3) C ．(1，4) D ．(2，＋∞) 3．若函数y ＝f (x )的导函数．．．在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )4．[2012·潍坊模拟] 函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5能力提升5．设a ∈R ，若函数f (x )＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a >－3 B ．a <－3C ．a >－13D ．a <－136．[2012·陕西卷] 设函数f (x )＝x e x ，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点 7．[2012·重庆卷] 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图K14－2所示，则下列结论中一定成立的是( )图K14－2A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)8．对函数f (x )＝2x ＋1x 2＋2，下列选项正确的是( )A ．函数有极小值f (－2)＝－12，极大值f (1)＝1B ．函数有极大值f (－2)＝－12，极小值f (1)＝1C ．函数有极小值f (－2)＝－12，无极大值D ．函数有极大值f (1)＝1，无极小值9．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，若f (x )在区间(－1，0)上单调递减，则a 2＋b 2的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫94，＋∞B.⎝⎛⎦⎤0，94C.⎣⎡⎭⎫95，＋∞D.⎝⎛⎦⎤0，95 10．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．11．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________．12．函数f (x )＝x ln x 的单调递增区间是________．13．函数f (x )＝sin x2＋cos x的单调递增区间是________．14．(10分)[2012·昌平二模] 已知函数f (x )＝4ln x ＋ax 2－6x ＋b (a ，b 为常数)，且x ＝2为f (x )的一个极值点．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若函数y ＝f (x )有3个不同的零点，求实数b 的取值范围．15．(13分)设a >0，求函数f (x )＝x －ln(x ＋a )，x ∈(0，＋∞)的单调区间．难点突破16．(12分)[2012·宁波十校联考] 已知函数f (x )＝(x 3＋2x 2＋5x ＋t )e －x ，t ∈R ，x ∈R . (1)当t ＝5时，求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若存在实数t ∈[0，1]，使对任意的x ∈[－4，m ]，不等式f (x )≤x 成立，求整数m 的最大值．课时作业(十四)B [第14讲导数在研究函数中的应用](时间：45分钟分值：100分)基础热身 1．[2012·合肥质检] 已知函数f (x )的导函数的图象如图K14－3所示，若△ABC 为锐角三角形，则一定成立的是( )图K14－3A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos A )<f (cos B )2．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)<2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)≥2f (1) D ．f (0)＋f (2)>2f (1)3．若f (x )＝－12(x －2)2＋b ln x 在(1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1)4．设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点能力提升 5．[2012·瑞安质检] 已知函数f ′(x )，g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图(x )－g (x )，则( )图K14－4A ．h (1)<h (0)<h (－1)B ．h (1)<h (－1)<h (0)C ．h (0)<h (－1)<h (1)D ．h (0)<h (1)<h (－1)6．函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 所示，则x 21＋x 22等于( )A.89B.109C.169D.457．[2012·吉林质检] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则a b的值为( )A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．不存在8．[2012·绥化一模] 已知函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立(其中f ′(x )是f (x )的导函数)，若a ＝(30.3)·f (30.3)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝⎝⎛⎭⎫log 319·f ⎝⎛⎭⎫log 319，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >a >b C ．c >b >a D ．a >c >b 9．[2012·太原三模] 已知函数f (x ＋1)是偶函数，且x >1时，f ′(x )<0恒成立，又f (4)＝0，则(x ＋3)f (x ＋4)<0的解集为( )A ．(－∞，－2)∪(4，＋∞)B ．(－6，－3)∪(0，4)C ．(－∞，－6)∪(4，＋∞)D ．(－6，－3)∪(0，＋∞)10．已知函数f (x )的自变量取值区间为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．若g (x )＝x ＋m －ln x 的保值区间是[2，＋∞)，则m 的值为________．11．[2013·安徽示范高中联考] 若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1对任意x 1，x 2∈R 满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则实数m 的取值范围是________．12．函数f (x )＝xln x的单调递减区间是________．13．若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是________．14．(10分)[2012·浙江名校研究联盟联考] 已知a >0，函数f (x )＝ax＋|ln x －a |，x ∈[1，e 2]．(1)当a ＝3时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程；(2)若f (x )≤32恒成立，求实数a 的取值范围．15．(13分)[2012·朝阳二模] 设函数f (x )＝a ln x ＋2a 2x(a ≠0)．(1)已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线l 的斜率为2－3a ，求实数a 的值； (2)讨论函数f (x )的单调性；(3)在(1)的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x ，都有f (x )≥3－x .难点突破16．(12分)[2012·镇海模拟] 设x ＝m 和x ＝n 是函数f (x )＝ln x ＋12x 2－(a ＋2)x 的两个极值点，其中m <n ，a ∈R .(1)求f (m )＋f (n )的取值范围；(2)若a ≥e ＋1e－2，求f (n )－f (m )的最大值．注：e 是自然对数的底数．课时作业(十四)A【基础热身】1．D [解析] 令f ′(x )＝3x 2－6x <0，解得0<x <2，故选D. 2．D [解析] f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，3．A [解析] 因为函数y ＝f (x )的导函数．．．y ′＝f ′(x )在区间[a ，b ]上是增函数，即在区间[a ，b ]上各点处的斜率k 是递增的，由图易知选A. 4．D [解析] 因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，且f (x )在x ＝－3时取得极值，所以f ′(－3)＝3×9＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5，故选D.【能力提升】5．B [解析] f ′(x )＝3＋a e ax ，若函数在x ∈R 上有大于零的极值点，即f ′(x )＝3＋a e ax ＝0有正根．当有f ′(x )＝3＋a e ax ＝0成立时，由于e ax >0，显然有a <0，此时x ＝1a ln ⎝⎛⎭⎫－3a .由x >0得到参数a 的范围为a <－3.6．D [解析] f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，因为e x >0恒成立，当f ′(x )>0时，x >－1，函数f (x )为单调增函数；当f ′(x )<0时，x <－1，函数f (x )为单调减函数．所以x ＝－1为极小值点．故选D.7．D [解析] 在x ＝－2左侧附近时，由图象知，y ＝(1－x )·f ′(x )＞0，则f ′(x )＞0，在x ＝－2右侧附近时，由图象知，y ＝(1－x )f ′(x )＜0，则f ′(x )＜0，所以函数在x ＝－2处取得极大值；在x ＝1左侧附近时，由图象知，y ＝(1－x )f ′(x )＜0，f ′(x )＜0，在x ＝1右侧附近时，由图象知，y ＝(1－x )f ′(x )＞0，则f ′(x )＜0，所以函数在x ＝1处没有极值；在x ＝2左侧附近时，由图象知，y ＝(1－x )f ′(x )＞0，则f ′(x )＜0，在x ＝2右侧附近时，由图象知，y ＝(1－x )f ′(x )＜0，则f ′(x )＞0，所以函数在x ＝2处取得极小值．8．A [解析] 令f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 2＋2′＝－2（x ＋2）（x －1）（x 2＋2）2＝0，得x ＝－2或x ＝1.当x <－2时f ′(x )<0，当－2<x <1时f ′(x )>0，当x >1时f ′(x )<0，故x ＝－2是函数的极小值点且f (－2)＝－12，x ＝1是函数的极大值点且f (1)＝1.9．C [解析]根据三次函数的特点，函数f (x f (x )的导数f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 在区间(－1，0)上小于或等于零恒成立，即3－2a ＋b ≤0且b ≤0，把点(a ，b )看作点的坐标，则上述不等式组表示的区域如图．根据a 2＋b 2的几何意义得，最小值就是坐标原点到直线3－2a ＋b ＝0的距离的平方，即(a 2＋b 2)min ＝95.10．(－1，11) [解析] f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，由(x －11)(x ＋1)<0得f (x )的单调减区间为(－1，11)．11．3 [解析] f ′(x )＝2x （x ＋1）－（x 2＋a ）（x ＋1）2，f ′(1)＝3－a4＝0⇒a ＝3. 12.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ [解析] 由f ′(x )＝ln x ＋1>0得x >1e，故f (x )的增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞. 13.⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) [解析] f ′(x )＝（2＋cos x ）cos x －sin x （－sin x ）（2＋cos x ）2＝2cos x ＋1（2＋cos x ）2>0，即cos x >－12，结合三角函数图象或单位圆中的三角函数线知道，2k π－2π3<x <2k π＋2π3(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋2π3(k ∈Z )．14．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．∵f ′(x )＝4x＋2ax －6，∴f ′(2)＝2＋4a －6＝0，则a ＝1. (2)由(1)知f (x )＝4ln x ＋x 2－6x ＋b ，∴f ′(x )＝4x ＋2x －6＝2x 2－6x ＋4x ＝2（x －2）（x －1）x，由f ′(x )>0可得x >2或0<x <1，由f ′(x )<0可得1<x <2. ∴函数f (x )的单调递增区间为(0，1)和(2，＋∞)，单调递减区间为(1，2)．(3)由(2)可知，函数f (x )在(0，1)单调递增，在(1，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，且当x ＝1或x ＝2时，f ′(x )＝0.∴f (x )的极大值为f (1)＝4ln1＋1－6＋b ＝b －5，f (x )的极小值为f (2)＝4ln2＋4－12＋b ＝4ln2－8＋b ，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝b －5>0，f （2）＝4ln2－8＋b <0.则5<b <8－4ln2.15．解：f ′(x )＝12x －1x ＋a(x >0)．当a >0，x >0时，f ′(x )>0⇔x 2＋(2a －4)x ＋a 2>0，f ′(x )<0⇔x 2＋(2a －4)x ＋a 2<0. (1)当a >1时，Δ＝(2a －4)2－4a 2＝16－16a <0，对∀x >0，有x 2＋(2a －4)x ＋a 2>0，即f ′(x )>0，此时f (x )在(0，＋∞)内单调递增．(2)当a ＝1时，对x ≠1，有x 2＋(2a －4)x ＋a 2>0，即f ′(x )>0，仅仅在x ＝1处导数等于零，故函数f (x )在(0，＋∞)内单调递增．(3)当0<a <1时，令f ′(x )>0，即x 2＋(2a －4)x ＋a 2>0，解得x <2－a －21－a 或x >2－a ＋21－a .而在0<a <1时，2－a －21－a >0，因此，函数f (x )在区间(0，2－a －21－a )内单调递增，在区间(2－a ＋21－a ，＋∞)内也单调递增，在区间(2－a －21－a ，2－a ＋21－a )内单调递减．综上，当a ≥1时，函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)；当0<a <1时，函数的单调递增区间是(0，2－a －21－a )和(2－a ＋21－a ，＋∞)，单调递减区间是(2－a －21－a ，2－a ＋21－a )．【难点突破】16．解：(1)当t ＝5时，f (x )＝(x 3＋2x 2＋5x ＋5)e －x ，f ′(x )＝(3x 2＋4x ＋5)e －x －(x 3＋2x 2＋5x ＋5)e －x＝－(x 3－x 2＋x )e －x ＝－x (x 2－x ＋1)e －x .令f ′(x )>0，因为x 2－x ＋1>0，得x <0；令f ′(x )<0，得x >0；故函数y ＝f (x )的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)．(2)不等式f (x )≤x ，即(x 3＋2x 2＋5x ＋t )e －x ≤x ，即t ≤x e x －x 3－2x 2－5x .转化为存在实数t ∈[0，1]，使对任意的x ∈[－4，m ]，不等式t ≤x e x －x 3－2x 2－5x 恒成立．即不等式0≤x e x －x 3－2x 2－5x 对于x ∈[－4，m ]恒成立．当m ≤0时，则有不等式e x －x 2－2x －5≤0对于x ∈[－4，m ]恒成立．设g (x )＝e x －x 2－2x －5，则g ′(x )＝e x －2x －2，又m 为整数，则当m ＝－1时，则有－4≤x ≤－1，此时g ′(x )＝e x －2x －2>0，则g (x )在[－4，－1]上为增函数，∴g (x )≤g (－1)<0恒成立．m ＝0时，当－1<x ≤0时，因为[g ′(x )]′＝e x －2<0，则g ′(x )在(－1，0]上为减函数，g ′(－1)＝e －1>0，g ′(0)＝－1<0，故存在唯一x 0∈(－1，0]，使得g ′(x 0)＝0，即e x 0＝2x 0＋2.当－4≤x <x 0，有g ′(x )>0；当x 0<x ≤0，有g ′(x )<0，故函数g (x )在区间[－4，x 0)上为增函数，在区间(x 0，0]上为减函数，则函数g (x )在区间[－4，0]上的最大值为g (x 0)＝e x 0－x 20－2x 0－5.又e x 0＝2x 0＋2，则g (x 0)＝(2x 0＋2)－x 20－2x 0－5＝－x 20－3<0，故不等式0≤x e x －x 3－2x 2－5x 对于x ∈[－4，0]恒成立．而当m ＝1时，不等式0≤x e x －x 3－2x 2－5x 对于x ＝1不成立．故使命题成立的整数m 的最大值为0.课时作业(十四)B【基础热身】1．A [解析] 由导函数图象可知，x >0时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增，又△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，即π2>A >π2－B >0，故sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B >0，即sin A >cos B >0，故f (sin A )>f (cos B )，选A.2．C [解析] 依题意，当x >1时，f ′(x )≥0，函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数(或常数函数)；当x <1时，f ′(x )≤0，f (x )在(－∞，1)上是减函数(或常数函数)，故f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，故f (0)＋f (2)≥2f (1)．3．C [解析] 由题意可知f ′(x )＝－(x －2)＋bx≤0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，即b ≤x (x－2)在x ∈(1，＋∞)上恒成立，由于φ(x )＝x (x －2)＝x 2－2x 在(1，＋∞)上的值域是(－1，＋∞)，故只要b ≤－1即可．4．D [解析] 由题得f ′(x )＝13－1x ＝x －33x，令f ′(x )>0得x >3；令f ′(x )<0得0<x <3；f ′(x )＝0得x ＝3，故函数f (x )在区间(0，3)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数，在点x ＝3处有极小值1－ln3<0.又f (1)＝13，f (e)＝e3－1<0，f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13e ＋1>0.故选D. 【能力提升】5．D [解析] 取特殊值，令f (x )＝12x 2，g (x )＝13x 3，则h (0)<h (1)<h (－1)．6．C [解析] 从函数图象上可知x 1，x 2为函数f (x )的极值点，根据函数图象经过的三个特殊点求出b ，c ，d .根据函数图象d ＝0，且f (－1)＝－1＋b －c ＝0，f (2)＝8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－1，c ＝－2，故f ′(x )＝3x 2－2x －2.x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根，则x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝49＋43＝169.7．A [解析] 由题f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23，选A.8．B [解析] 因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，所以f (x )关于(0，0)中心对称，为奇函数，所以xf (x )为偶函数．又当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，故xf (x )在(－∞，0)上为减函数．由偶函数的性质得函数xf (x )在(0，＋∞)上为增函数，又⎪⎪⎪⎪log 319>30.3>log π3>0，所以c >a >b .9．D [解析] 函数f (x ＋1)是偶函数，其图象关于y 轴对称，这个函数图象向右平移1个单位得函数y ＝f (x )的图象，可得函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，x >1时，f ′(x )<0恒成立，说明函数在(1，＋∞)上单调递减，根据对称性可得函数在(－∞，1)上单调递增．根据f (4)＝0可得当x >4时，f (x )<0，根据对称性可得当x <－2时，f (x )<0，当－2<x <1或1<x <4时，f (x )>0.不等式(x ＋3)f (x ＋4)<0等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，f （x ＋4）<0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，f （x ＋4）>0.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，f （x ＋4）<0时，⎩⎪⎨⎪⎧x >－3，x ＋4>4或x ＋4<－2，解得x >0；当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，f （x ＋4）>0时，⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，－2<x ＋4<1或1<x ＋4<4，解得－6<x <－3.故不等式(x ＋3)f (x ＋4)<0的解集为(－6，－3)∪(0，＋∞)．10．ln2 [解析] g ′(x )＝1－1x ＝x －1x，当x ≥2时，函数g (x )为增函数，因此g (x )的值域为[2＋m －ln2，＋∞)，因此2＋m －ln2＝2，故m ＝ln2.11.13，＋∞ [解析] 由题意知，函数f (x )是R 上的单调增函数，∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ≥0在R 上恒成立，即Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13.12．(0，1)，(1，e) [解析] 令f ′(x )＝ln x －1ln 2x<0，解得0<x <e ，但函数的定义域是x >0且x ≠1，故函数f (x )＝xln x的单调递减区间是(0，1)，(1，e)．13.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ [解析] f ′(x )＝2mx ＋1x－2，函数f (x )在其定义域(0，＋∞)内为增函数的充要条件是2mx ＋1x －2≥0在(0，＋∞)内恒成立，即2m ≥－1x 2＋2x在(0，＋∞)内恒成立，由于函数φ(x )＝－1x 2＋2x ＝－⎝⎛⎭⎫1x －12＋1≤1，故只要2m ≥1即可，即m ≥12. 14．解：(1)当a ＝3时，f (x )＝3x＋3－ln x ，∴f ′(x )＝－3x 2－1x ，f ′(3)＝－23，又f (3)＝4－ln3，∴曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))处的切线方程为y －(4－ln3)＝－23(x －3)，即y ＝－23x ＋6－ln3.(2)由x ∈[1，e 2]，得ln x ∈[0，2]． ①当a ≥2时，f (x )＝a x ＋a －ln x ，f ′(x )＝－a x 2－1x<0，∴f (x )在[1，e 2]上递减，∴f (x )max ＝f (1)＝2a ≤32，∴a ≤34，此时a 不存在．②当0<a <2时，若1≤x ≤e a 时，f (x )＝ax ＋a －ln x ；由①得f (x )在[1，e a ]上递减，∴f (x )max ＝f (1)＝2a ≤32，∴a ≤34，此时0<a ≤34.若e a <x ≤e 2时，f (x )＝a x ＋ln x －a ，∴f ′(x )＝－a x 2＋1x.令f ′(x )＝0得x ＝a .又g (x )＝e x－x 在(0，2)递增，故e x －x >g (0)＝1. ∴a <e a ，当e a <x <e 2时f ′(x )>0，∴f (x )在(e a ，e 2]递增，∴f (x )max ＝f (e 2)＝a e 2＋2－a ≤32.a ≥e 22（e 2－1），e 22（e 2－1）<2，∴e 22（e 2－1）≤a <2，又e 22（e 2－1）＝12＋12（e 2－1）<34，∴e 22（e 2－1）≤a ≤34. 综上知，实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤e 22（e 2－1），34.15．解：(1)f (x )的定义域为{x |x >0}，f ′(x )＝a x －2a 2x2.根据题意，f ′(1)＝2－3a ，所以a －2a 2＝2－3a ，即a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.(2)f ′(x )＝a x －2a 2x 2＝a （x －2a ）x 2.①a <0时，因为x >0，所以x －2a >0，a (x －2a )<0，所以f ′(x )<0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②当a >0时，若0<x <2a ，则a (x －2a )<0，f ′(x )<0，函数f (x )在(0，2a )上单调递减；若x >2a ，则a (x －2a )>0，f ′(x )>0，函数f (x )在(2a ，＋∞)上单调递增．综上所述，当a <0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a >0时，函数f (x )在(0，2a )上单调递减，在(2a ，＋∞)上单调递增．(3)由(1)可知f (x )＝ln x ＋2x.设g (x )＝f (x )－(3－x )，即g (x )＝ln x ＋2x＋x －3.g ′(x )＝1x －2x 2＋1＝x 2＋x －2x 2＝（x －1）（x ＋2）x 2(x >0)．当xx ＝1是g (x )(x )的最小值点．可见g (x )最小值＝g (1)＝0，所以g (x )≥0，即f (x )－(3－x )≥0，所以对于定义域内的每一个x ，都有f (x )≥3－x . 【难点突破】16．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋x －(a ＋2)＝x 2－（a ＋2）x ＋1x.依题意，方程x 2－(a ＋2)x ＋1＝0有两个不等的正根m ，n (其中m <n )，故 ⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋2）2－4>0，a ＋2>0⇒a >0，并且m ＋n ＝a ＋2，mn ＝1.所以，f (m )＋f (n )＝ln mn ＋12(m 2＋n 2)－(a ＋2)(m ＋n )＝12[(m ＋n )2－2mn ]－(a ＋2)(m ＋n )＝－12(a ＋2)2－1<－3，故f (m )＋f (n )的取值范围是(－∞，－3)．(2)当a ≥e ＋1e－2时，(a ＋2)2≥e ＋1e ＋2. 若设t ＝n m(t >1)，则 (a ＋2)2＝(m ＋n )2＝（m ＋n ）2mn ＝t ＋1t ＋2≥e ＋1e＋2. 于是有t ＋1t ≥e ＋1e⇒(t －e)⎝⎛⎭⎫1－1t e ≥0⇒t ≥e ， f (n )－f (m )＝ln n m ＋12(n 2－m 2)－(a ＋2)(n －m ) ＝ln n m ＋12(n 2－m 2)－(n ＋m )(n －m ) ＝ln n m －12(n 2－m 2)＝ln n m －12⎝⎛⎭⎫n 2－m 2mn ＝ln n m －12⎝⎛⎭⎫n m －m n ＝ln t －12⎝⎛⎭⎫t －1t . 构造函数g (t )＝ln t －12⎝⎛⎭⎫t －1t (其中t ≥e)，则g ′(t )＝1t －12⎝⎛⎭⎫1＋1t 2＝－（t －1）22t 2<0. 所以g (t )在[e ，＋∞)上单调递减，g (t )≤g (e)＝1－e 2＋12e. 故f (n )－f (m )的最大值是1－e 2＋12e.。

2014版高考数学(理)(人教A版,浙江省专用)一轮作业手册第52讲圆锥曲线的热点问题(基础热身+能力提升+

课时作业(五十二)A [第52讲圆锥曲线的热点问题](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．[教材改编试题] 过抛物线y ＝2x 2的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝( )A ．－2B ．－12C ．－4D ．－1162．圆x 2＋y 2＋ax ＋ay ＝0经过的定点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．43．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点的坐标是( ) A ．(1，2) B ．(0，0) C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1，4)4．已知椭圆x 29＋y 24＝1的焦点为F 1，F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标x 0的取值范围是________．能力提升5．若直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 2a ＝1有且只有一公共点，则( )A ．a ∈(0，1]，k ∈⎝⎛⎭⎫－12，12B ．a ∈(0，1)，k ∈⎝⎛⎭⎫－12，12C ．a ∈(0，1]，k ∈⎣⎡⎦⎤－12，12D ．a ∈(0，1)，k ∈⎣⎡⎦⎤－12，12 6．[2012·德化一中模拟] 双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(5，＋∞)C ．(1，3)D ．(1，5)7．已知椭圆C 1：x 2m ＋2＋y 2n＝1与双曲线C 2：x 2m －y 2n ＝1共焦点，则椭圆C 1的离心率e的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫22，1B.⎝⎛⎭⎫0，22C ．(0，1) D.⎝⎛⎭⎫0，12 8．过点P (－3，0)的直线l 与双曲线x 216－y 29＝1交于点A ，B ，设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，弦AB 的中点为M ，OM 的斜率为k 2(O 为坐标原点)，则k 1·k 2＝( )A.916B.34C.169D ．16 9．若AB 为过椭圆x 225＋y 216＝1中心的弦，F 1为椭圆的焦点，则△F 1AB 面积的最大值为( )A ．6B ．12C ．24D ．4810．若A 为抛物线y ＝14x 2的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B ，C 两点，则AB →·AC→等于________．11．[2012·江西六校联考] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)一条渐近线的倾斜角为π3，离心率为e ，则a 2＋eb的最小值为________．12．[2012·咸阳三模] 设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的中心、右焦点、右顶点依次分别为O ，F ，G ，且直线x ＝a 2c 与x 轴相交于点H ，则|FG ||OH |最大时椭圆的离心率为________．13．已知曲线x 2a －y 2b＝1与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →·OQ →＝0(O 为原点)，则1a －1b的值为________．14．(10分)[2012·西安质检] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设P (4，0)是x 轴上一点，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点Q .15．(13分)已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1，0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．难点突破16．(12分)[2012·佛山二模] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 1(－3，0)，而且过点H ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的上下顶点分别为A 1，A 2，P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点，直线P A 1，P A 2分别交x 轴于点N ，M ，若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切，切点为T .证明：线段OT 的长为定值，并求出该定值．图K52－1课时作业(五十二)B [第52讲圆锥曲线的热点问题](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．已知椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到两个焦点的距离之积是m ，则m 的最大值是( )A ．25B ．34C ．9D ．162．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0，2) C ．(1，＋∞) D ．(0，1)3．在椭圆x 216＋y 24＝1中，以点(1，1)为中点的弦的斜率是( )A ．4B ．－4 C.14 D ．－144．[2012·济宁模拟] 设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交于不同两点，则y 0的取值范围是( )A ．(0，2)B ．[0，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)能力提升5．已知椭圆C ：x 24＋y 2b＝1，直线l ：y ＝mx ＋1，若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．[1，4)B ．[1，＋∞)C ．[1，4)∪(4，＋∞) B ．(4，＋∞) 6．对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P (a ，0)都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，2] C ．[0，2]D ．(0，2)7．[2012·哈尔滨六中三模] 过椭圆x 29＋y 24＝1上一点M 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，点A ，B 为切点．过A ，B 的直线l 与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点，则△POQ 的面积的最小值为( )A.12B.23 C ．1 D.438．[2012·黄冈模拟] 若点O 和点F (－2，0)分别是双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞D.⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 9．已知双曲线x 29－y216＝1，过其右焦点F 的直线交双曲线于P ，Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |的值为( )A.53B.56C.54D.58 10．[2012·日照二模] 过双曲线的左焦点F 1且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，若在双曲线虚轴所在直线上存在一点C ，使AC →·BC →＝0，则双曲线离心率的取值范围是________．11．若直线l ：tx －y ＋6＝0与曲线C ：x 2－y 2＝2有两个不同交点，则实数t 的取值范围是________．12．[2012·镇海模拟] 若点P 在曲线C 1：y 2＝8x 上，点Q 在曲线C 2：(x －2)2＋y 2＝1上，点O 为坐标原点，则|PO ||PQ |的最大值是________．13．过抛物线y 2＝x 的焦点F 的直线m 的倾斜角θ≥π4，m 交抛物线于A ，B 两点，且A 点在x 轴上方，则|F A |的取值范围是________．14．(10分)[2012·北京西城区二模] 已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．15．(13分)[2012·东北四校一模] 已知椭圆M 的中心为坐标原点，且焦点在x 轴上，若M 的一个顶点恰好是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 的离心率e ＝12，过M 的右焦点F 作不与坐标轴垂直的直线l ，交M 于A ，B 两点．(1)求椭圆M 的标准方程；(2)设点N (t ，0)是一个动点，且(NA →＋NB →)⊥AB →，求实数t 的取值范围．难点突破 16．(12分)[2012·北京朝阳区二模] 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－2，0)，B (2，0)，E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为－12.(1)求动点E 的轨迹C 的方程；(2)设过点F (1，0)的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N ，若点P 在y 轴上，且|PM |＝|PN |，求点P 的坐标的取值范围．课时作业(五十二)A【基础热身】1．D [解析] 抛物线的焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，18，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋18，代入抛物线方程得2x 2－kx －18＝0，根据韦达定理得x 1x 2＝－116.2．B [解析] 方程x 2＋y 2＋ax ＋ay ＝0化为a (x ＋y )＋(x 2＋y 2)＝0，令x ＋y ＝0且x 2＋y 2＝0，得x ＝y ＝0，即圆x 2＋y 2＋ax ＋ay ＝0经过定点(0，0)．3．C [解析] 抛物线上的点到直线y ＝4x －5的距离是d ＝|4x －y －5|17＝|4x －4x 2－5|17＝4⎝⎛⎭⎫x －122＋417，显然这个函数当x ＝12时取得最小值，此时y ＝1.4．－355<x 0<355[解析] 方法一：以c ＝5为半径，O 为圆心的圆为x 2＋y 2＝5，求得该圆与椭圆的交点横坐标为x ＝±35，易知当∠F 1PF 2为钝角时，对应点的横坐标满足条件－355<x 0<355.方法二：设P (x 0，y 0)，已知a 2＝9，b 2＝4，∴c ＝5，|PF 1|＝a －ex 0＝3－53x 0，|PF 2|＝3＋53x 0，由余弦定理，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝59x 20－19－59x 20，∵∠F 1PF 2是钝角，∴－1＜cos ∠F 1PF 2＜0，即－1<59x 20－19－59x 20<0，解得－35<x 0<35.【能力提升】5．A [解析] 直线过定点(0，－1)知a ∈(0，1]，椭圆的左、右顶点是(±2，0)，结合图形可知k ∈⎝⎛⎭⎫－12，12. 6．D [解析] 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，由于点(1，2)在上区域，故2>ba，所以e＝c a＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2< 5.又e >1，所以所求的范围是(1，5)．7．A [解析] 根据已知只能m >0，n >0，且m ＋2－n ＝m ＋n ，即n ＝1，所以椭圆的离心率为e ＝m ＋1m ＋2＝1－1m ＋2，由于m >0，所以1－1m ＋2>12，所以22<e <1.8．A [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 的中点M 的坐标是⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，AB的斜率k 1＝y 2－y 1x 2－x 1，OM 的斜率k 2＝y 1＋y 2x 1＋x 2，故k 1·k 2＝y 22－y 21x 22－x 21，根据双曲线方程y 2＝916(x 2－16)，故y 22－y 21＝916(x 21－x 22)，故k 1·k 2＝916.正确选项A. 9．B [解析] 设AB 的方程为x ＝my ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得16m 2y 2＋25y 2＝400⇒y 1，2＝±2016m 2＋25，S △ABF 1＝12c |y 1－y 2|＝32·22016m 2＋25≤3×4＝12. 10．－3 [解析] 抛物线方程为x 2＝4y ，其顶点是坐标原点，焦点坐标是(0，1)，设直线BC 的方程为y ＝kx ＋1，代入抛物线方程整理得x 2－4kx －4＝0，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则AB →·AC →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，根据韦达定理代入得结果是－3.11.263 [解析] 由已知得b a ＝3，此时b ＝3a 且双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2，所以a 2＋e b ＝a 2＋23a ≥22a 3a＝263，等号当且仅当a ＝2时成立．12.12[解析] 根据已知O (0，0)，F (c ，0)，G (a ，0)，H ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0，所以|FG ||OH |＝a －c a 2c＝ac －c 2a 2＝e －e 2＝－⎝⎛⎭⎫e －122＋14≤14，所以当|FG ||OH |最大时e ＝12.13．2 [解析] 将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b ＝1得，(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2aa －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b.OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.所以2a ＋2ab a －b －2a a －b＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b ＝2.14．解：(1)由题意知e ＝c a ＝12，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，即a 2＝43b 2.又∵b ＝61＋1＝3，∴a 2＝4，b 2＝3.故所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为y ＝k (x －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －4），x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0.① 设点B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则A (x 1，－y 1)．直线AE 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)．令y ＝0，得x ＝x 2－y 2（x 2－x 1）y 2＋y 1.将y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)代入整理，得 x ＝2x 1x 2－4（x 1＋x 2）x 1＋x 2－8.②由①得x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3代入②整理，得x ＝1.∴直线AE 与x 轴相交于定点Q (1，0)．15．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，2·b 2a＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故所求的椭圆方程为y 24＋x 2＝1.(2)不妨设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )，则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y '|x ＝t＝2t ，直线MN 的方程为y ＝2tx －t 2＋h ，将上式代入椭圆C 1的方程中，得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，所以x 1＋x 2＝yt （t 2－h ）1＋t2Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0. 设线段MN 的中点的横坐标是x 3，则x 3＝x 1＋x 22＝t （t 2－h ）2（1＋t 2）.设线段P A 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12.由题意得x 3＝x 4，即有t 2＋(1＋h )t ＋1＝0，其中Δ2＝(1＋h )2－4≥0，∴h ≥1或h ≤－3.当h ≤－3时，h ＋2<0，4－h 2<0，因此不等式Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0不成立，因此h ≥1.当h ＝1时，代入方程t 2＋(1＋h )t ＋1＝0得t ＝－1，将h ＝1，t ＝－1代入不等式Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0成立，因此h 的最小值为1.【难点突破】16．解：(1)方法一：由题意得a 2－b 2＝3，3a 2＋14b2＝1，解得a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x24＋y 2＝1.方法二：椭圆的两个焦点分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，由椭圆的定义可得2a ＝|HF 1|＋|HF 2|＝72＋12＝4，所以a ＝2，b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x24＋y 2＝1.(2)方法一：由(1)可知A 1(0，1)，A 2(0，－1)，设P (x 0，y 0)，直线P A 1：y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1；直线P A 2：y ＋1＝y 0＋1x 0x ，令y ＝0，得x M ＝x 0y 0＋1.设圆G 的圆心为⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫x 0y 0＋1－x 0y 0－1，h ，则r 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎫x 0y 0＋1－x 0y 0－1－x 0y 0＋12＋h 2＝14⎝⎛⎭⎫x 0y 0＋1＋x 0y 0－12＋h 2，|OG 2|＝14⎝⎛⎭⎫x 0y 0＋1－x 0y 0－12＋h 2，|OT |2＝|OG |2－r 2＝14⎝⎛⎭⎫x 0y 0＋1－x 0y 0－12＋h 2－14⎝⎛⎭⎫x 0y 0＋1＋x 0y 0－12－h 2＝x 201－y 20. 而x 204＋y 20＝1，所以x 20＝4(1－y 20)，所以|OT |2＝4（1－y 20）1－y 20＝4，所以|OT |＝2，即线段OT 的长度为定值2.方法二：由(1)可知A 1(0，1)，A 2(0，－1)，设P (x 0，y 0)，直线P A 1：y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1；直线P A 2：y ＋1＝y 0＋1x 0x ，令y ＝0，得x M ＝x 0y 0＋1；则|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－x 0y 0－1·x 0y 0＋1＝⎪⎪⎪⎪x 20y 20－1，而x 204＋y 20＝1，所以x 20＝4(1－y 20)，所以|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪x 20y 20－1＝4，由切割线定理得|OT |2＝|OM |·|ON |＝4，所以|OT |＝2，即线段OT 的长度为定值2.课时作业(五十二)B【基础热身】1．A [解析] 设椭圆焦点为F 1，F 2，则|PF 1|＋|PF 2|＝10，故m ＝|PF 1||PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25.2．D [解析] 原方程可变为x 22＋y 22k＝1，因为是焦点在y 轴的椭圆，所以⎩⎪⎨⎪⎧k >0，2k >2，解得0<k <1，因而选D.3．D [解析] 设弦的端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，作差得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）16＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）4＝0，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－14. 4．C [解析] 圆心到准线的距离为4，由题意只要|FM |>4即可，而|FM |＝y 0＋2，∴y 0>2. 【能力提升】5．C [解析] 直线恒过定点(0，1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b ≥1且b ≠4.6．B [解析] 设点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，由|PQ |≥|a |，得y 20＋⎝⎛⎭⎫y 204－a 2≥a 2，整理，得y 20(y 20＋16－8a )≥0.∵y 20≥0，∴y 20＋16－8a ≥0，即a ≤2＋y 208恒成立．而2＋y 208的最小值为2，所以a ≤2.选B.7．B [解析] 设M (x 0，y 0)，根据圆的切线知识可得过A ，B 的直线l 的方程为x 0x ＋y 0y＝2，由此得P ⎝⎛⎭⎫2x 0，0，Q ⎝⎛⎭⎫0，2y 0，故△POQ 的面积为12×⎪⎪⎪⎪2x 0·⎪⎪⎪⎪2y 0＝2|x 0y 0|.点M 在椭圆上，所以x 209＋y 204＝1≥2⎪⎪⎪⎪x 03·⎪⎪⎪⎪y 02，由此得|x 0y 0|≤3，所以2|x 0y 0|≥23，等号当且仅当|x 0|3＝|y 0|2时成立． 8．B [解析] 因为F (－2，0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)，则有x 203－y 20＝1(x 0≥3)，解得y 20＝x 23－1(x 0≥3)．因为FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x 0＝－34.因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值，为43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)，选B.9．B [解析] 右焦点F 的坐标是(5，0)，设直线PQ 的方程是x ＝my ＋5，代入双曲线方程得(16m 2－9)y 2＋160my ＋162＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－160m16m 2－9，y 1y2＝16216m 2－9，则|PQ |＝1＋m 2⎝⎛⎭⎫160m 16m 2－92－4·16216m 2－9＝96（1＋m 2）|16m 2－9|. 设PQ 的中点N (x 0，y 0)，则y 0＝－80m 16m 2－9，x 0＝－80m 216m 2－9＋5＝－4516m 2－9. 设M (t ，0)，则y 0x 0－t ＝－m ，即t ＝y 0m ＋x 0＝－12516m 2－9，故|MF |＝|t －5|＝⎪⎪⎪⎪－12516m 2－9－5＝80（1＋m 2）|16m 2－9|. 所以|MF ||PQ |＝8096＝56.10.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5＋12，＋∞ [解析] 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b 2a ，C (0，t )，由AC →·BC →＝0，得t 2＝b 4a 2－c 2≥0，e ≥5＋12.11．(－2，－1)∪(－1，1)∪(1，2) [解析] 消掉y 得(1－t 2)x 2－26tx －8＝0，直线与双曲线交于不同两点的充要条件是1－t 2≠0且(26t )2－4(1－t 2)×(－8)>0，解得t 2<2且t 2≠1.12.477[解析] 设P ⎝⎛⎭⎫t 28，t ，则|PO |＝⎝⎛⎭⎫t 282＋t 2，|PQ |＝t 28＋2－1＝t 28＋1.|PO ||PQ |＝⎝⎛⎭⎫t 282＋t 2t 28＋1＝t 2＋t 282⎝⎛⎭⎫1＋t 282 ＝m 2＋8m （1＋m ）2＝（1＋m ）2＋6（1＋m ）－7（1＋m ）2＝－7（1＋m ）2＋6（1＋m ）＋1 ＝－7⎝⎛⎭⎫11＋m －472＋167≤167＝477其中m ＝t 28>0.13.⎝⎛⎦⎤14，1＋22 [解析] 取值范围的左端点是p 2＝14，右端点是当直线的倾斜角等于π4时，此时直线方程是y ＝x －14，代入抛物线方程得x 2－32x ＋116＝0，根据题意点A 的横坐标是x＝32＋⎝⎛⎭⎫322－142＝34＋22，根据抛物线定义该点到焦点的距离等于其到准线的距离，故这个距离是34＋22＋14＝1＋22.14．解：(1)依题意F (1，0)，设直线AB 方程为x ＝my ＋1.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.①因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.②联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24.所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB .因为2S △AOB ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝41＋m 2，所以m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.15．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．抛物线焦点坐标(2，0)，所以a ＝2，c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆M 的标准方程为x 24＋y23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设l ：x ＝my ＋1(m ∈R ，m ≠0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1⇒(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，由韦达定理得y 1＋y 2＝－6m3m 2＋4.①(NA →＋NB →)⊥AB →⇒|NA |＝|NB |⇒(x 1－t )2＋y 21＝(x 2－t )2＋y 22⇒(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2t )＋(y 21－y 22)＝0，将x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1代入上式整理得(y 1－y 2)[(m 2＋1)(y 1＋y 2)＋m (2－2t )]＝0，由y 1≠y 2知 (m 2＋1)(y 1＋y 2)＋m (2－2t )＝0，将①代入得t ＝13m 2＋4所以实数t ∈⎝⎛⎭⎫0，14 【难点突破】16．解：(1)设动点E 的坐标为(x ，y )，依题意可知y x ＋2·y x －2＝－12，整理得x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．所以动点E 的轨迹C 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2)． (2)当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1并整理得， (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.Δ＝8k 2＋8>0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1. 设MN 的中点为Q ，则x Q ＝2k 22k 2＋1，y Q ＝k (x Q －1)＝－k 2k 2＋1，所以Q ⎝⎛⎭⎫2k 22k 2＋1，－k 2k 2＋1. 由题意可知k ≠0，又直线MN 的垂直平分线的方程为y ＋k 2k 2＋1＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 22k 2＋1. 令x ＝0，解得y P ＝k 2k 2＋1＝12k ＋1k. 当k >0时，因为2k ＋1k ≥22，所以0<y P ≤122＝24；当k <0时，因为2k ＋1k ≤－22，所以0>y P ≥－122＝－24. 综上所述，点P 纵坐标的取值范围是⎣⎡⎦⎤－24，24.。

2014版高考数学一轮总复习第65讲二项式定理课件理新人教A版

2
1 n 4.若(x ＋x2) 的展开式中只有第 6 项的系数最大，则不含 x
3
的项为( A．462 C．210
) B．252 D．10
【解析】由题意，n＝10，
－－－ r 3 10－r 1 r Tr＋1＝C10(x ) · 2) ＝Cr ·30 3r· 2r＝Cr ·30 5r， ( x x x 10 10
2013
a1 a2 a3 a2013 ，则 2 ＋22＋23＋…＋22013的值为__________．
【分析】此题考查的二次项的系数，赋值法是解题的关键，所求的是奇次项系数的和， f(1)， f(－1)差的一半即为所求．
【解析】（1）设 f(x)＝(1－x＋x2)3(1－2x2)4. 令 x 分别取 1，－1，则 f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a13＋a14＝1； f(－1)＝a0－a1＋a2－…－a13＋a14＝27. f1－f－1 1－27 a1＋a3＋a5＋…＋a13＝＝ 2 ＝－13. 2
Cr 3r≥Cr－13r－1 5 5 则 r r ＋＋ C53 ≥Cr 13r 1 5
3 ≥ 1 r 6－r ，即 3 1 5－r≥r＋1
，
7 9 所以2≤r≤2，又 r∈Z，所以 r＝4，所以系数最大的项是 T4＋1＝C4x3(3x2)4＝405x 3 . 5
2
3
【分析】先明确展开式中的有理项，即 x 的指数为整数的项．
【解析】（1）
1 9－r 1r r r r 27－r Tr＋1＝C9· ) · (x (－x ) ＝(－1) · 9· C x . 2 3 6
27－r 3－r 令 6 ∈Z，即 4＋ 6 ∈Z，且 0≤r≤9，所以 r＝3 或 r＝9. 27－r 当 r＝3 时， 6 ＝4，T4＝(－1)3· 3·4＝－84x4， C9 x 27－r 当 r＝9 时， 6 ＝3，T4＝(－1)9· 9·3＝－x3. C9 x

高考数学复习知识点讲解教案第65讲二项分布与超几何分布、正态分布

正态曲线： =
1
2π
−
⋅e
− 2
22
, ∈ ，其中 ∈ ， > 0为参数，称
正态密度曲线
为正态密度函数，函数的图象为_________________,简称正态曲线.
（2）
正态曲线的特点
=
①曲线是单峰的，它关于直线________对称.
②
=
1
曲线在________处达到峰值
3
［思路点拨］（1）由题可求出一次试验成功的概率，设试验成功的次数为，可
知服从二项分布，再利用方差的性质即可求解.
[解析] 由题意得，启动一次出现的数字为 = 1010的概率 =
设试验成功的次数为，则～
所以的方差 = 54 ×
2
27
×
25
27
2
54,
27
=
2
1
3
2
3
× =
2
.
记选出女生的人数为，则服从超几何分布，③满足题意；
盒中有4个白球和3个黑球，每次从中随机摸出1个球且不放回，
记第一次摸出黑球时摸取的次数为，
则不服从超几何分布，④不满足题意.故填③.
5.已知随机变量 ∼
2
2,
0.35
, ≤ 0 = 0.15,则 2 ≤ ≤ 4 =______.
0 < < 1 ,用表示事件发生的次数,则的分布列为( = ) =

−
C 1 −
_________________________，
= 0,1,2,⋯ ,,称随机变量服从二项分布,记作
∼ , .
（2）
1 −

2014版高考数学(理)(人教A版,浙江省专用)一轮作业手册第63讲数系的扩充与复数的引入(基础热身+能力提

课时作业(六十三) [第63讲数系的扩充与复数的引入](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．[2012·天津卷] i 是虚数单位，复数7－i 3＋i＝( ) A ．2＋i B ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i2．[2012·大连模拟] 复数（1－i ）22i＝( ) A ．1 B ．－1C ．iD ．－i3．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－14．[2012·吉林模拟] 设ω＝－12＋32i ，则1＋ω等于( ) A ．－ω B ．ω2C.1ω2 D ．－1ω能力提升5．[2012·河南示范性高中检测] 已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝3－i ，其中i 是虚数单位，则复数z 1z 2的实部与虚部之和为( ) A ．0 B.12C ．1D ．26．若i 为虚数单位，图K63－1中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i的点是( )图K63－1A ．EB ．FC ．GD ．H7．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2 B. 3C. 2 D ．18．[2012·河南示范性高中检测] 若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( )A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i9．[2012·长春调研] 复数1＋i （1－i ）2的共轭复数为( ) A ．－12＋12i B ．－12－12i C.12－12i D.12＋12i 10．[2012·上海卷] 计算：3－i 1＋i＝________(i 为虚数单位)． 11．若复数z ＝cos θ－sin θ·i 所对应的点在第四象限，则θ为第________象限角．12．[2012·哈尔滨模拟] 已知M ＝{1，2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1，3}，M ∩N ＝{3}，则实数a ＝________．13．[2013·大连模拟] 若(1＋a i)2＝－1＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则|a ＋b i|＝________．14．(10分)已知复数z 1＝3＋i ，|z 2|＝2，z 1×z 22是虚部为正数的纯虚数．(1)求z 1×z 22的模；(2)求复数z 2.15．(13分)已知复数z ＝(m 2＋m －1)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．难点突破16．(12分)已知z ∈C ，且z ＝1＋t i 1－t i(t ∈R )，求复数z 对应的点的轨迹．课时作业(六十三)【基础热身】1．B [解析] 本题考查复数的运算，考查运算求解能力，容易题．7－i 3＋i ＝（7－i ）（3－i ）（3＋i ）（3－i ）＝（7×3－1）－（3＋7）i 32＋12＝2－i. 2．B [解析] 由复数的代数运算，得(1－i)2＝－2i ，故原式＝－1.3．D [解析] 由(a ＋i)i ＝b ＋i 得－1＋a i ＝b ＋i ，根据复数相等的充要条件，得a ＝1，b ＝－1，故选D.4．D [解析] 1＋ω＝12＋32i ，－ω＝12－32i ，ω2＝－12－32i ，1ω2＝1－12－32i ＝－12＋32i ，－1ω＝－－12－32i ⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫－12－32i ＝12＋32i.故选D. 【能力提升】5．C [解析] z 1z 2＝2＋i 3－i ＝（2＋i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝5＋5i 10＝12＋12i ， ∴其实部与虚部之和为12＋12＝1. 6．D [解析] 由点Z (x ，y )的坐标知z ＝3＋i ，故z 1＋i ＝3＋i 1＋i＝（3＋i ）（1－i ）2＝2－i ，因此表示复数z 1＋i的点是H . 7．B [解析] ⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝1＋a 2＝2，由于a 为正实数，所以a ＝3，故选B. 8．A [解析] 本题考查复数的概念及运算，考查运算能力，容易题．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(2－i)＝(2a ＋b )＋(2b －a )i ＝11＋7i ，即 ⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝11，2b －a ＝7，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝5.∴z ＝3＋5i. 9．B [解析] 1＋i （1－i ）2＝1＋i －2i ＝（1＋i ）×i －2i ×i＝i －12＝－12＋12i ，其共轭复数为－12－12i. 10．1－2i [解析] 考查复数的除法运算，是基础题，复数的除法运算实质就是分母实数化运算．原式＝（3－i ）（1－i ）1－i 2＝1－2i. 11．一 [解析] 由条件知cos θ>0，－sin θ<0，即cos θ>0，sin θ>0，故θ为第一象限角．12．－1 [解析] 由题意知3∈M ，故(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，解得a ＝－1. 13.10 [解析] ∵(1＋a i)2＝－1＋b i ，∴1－a 2＋2a i ＝－1＋b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2＝－1，2a ＝b ，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝22或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－22，∴|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝2＋8＝10.14．解：(1)|z 1×z 22|＝|z 1||z 22|＝|z 1||z 2|2＝8.(2)z 1×z 22是虚部为正数的纯虚数，∴z 1×z 22＝8i ，z 22＝8i 3＋i ＝8i （3－i ）4＝2＋23i. 设复数z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴a 2－b 2＋2ab i ＝2＋23i ，⎩⎨⎧a 2－b 2＝2，2ab ＝23，解之得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.∴z 2＝±(3＋i)．15．解：由题意得z ＝(m 2＋m －1)－(4m 2－8m ＋3)i.因为z 对应的点位于第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1>0，－（4m 2－8m ＋3）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1>0，4m 2－8m ＋3<0，解得⎩⎨⎧m <－5－12或m >5－12，12<m <32，所以5－12＜m ＜32，所以m 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪5－12<m <32. 【难点突破】16．解：设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∴x ＋y i ＝1＋t i 1－t i ＝（1＋t i ）21＋t 2＝1－t 2＋2t i 1＋t 2. 据复数相等，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2，①y ＝2t 1＋t 2，② ①2＋②2得x 2＋y 2＝1.③由①②可知，x ，y 是③的解，但是否是曲线上的点呢？我们可通过求x 或y 的范围来考虑．由①得t 2＝1－x 1＋x≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x ＋1）≤0，x ＋1≠0，∴－1＜x ≤1. 而由③得y 2＝1－x 2≥0，∴－1≤x ≤1.综上，所求轨迹应是单位圆，除去(－1，0)点．。

2014版高考数学(理)(人教A版,浙江省专用)一轮作业手册第22讲正弦定理和余弦定理(基础热身+能力提升+

课时作业(二十二) [第22讲正弦定理和余弦定理](时间：45分钟分值：100分)基础热身 1．[2012·山西大学附中检测] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，又a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.14B.34C.24D.232．△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B＝( )A.53B.54C.55D.563．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形4．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°能力提升5．△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，∠B＝30°，△ABC 的面积为12，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 36．[2012·湖北卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4 7．[2012·大连检测] 在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋3948．[2012·哈师大检测] 在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定9．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝( )A.145B.1213C.513D.5665 10．[2012·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①若ab >c 2，则C <π3；②若a ＋b >2c ，则C <π3；③若a 3＋b 3＝c 3，则C <π2；④若(a ＋b )c <2ab ，则C >π2；⑤若(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，则C >π3.11．在直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－1，0)，C (1，0)，顶点B 在椭圆x 24＋y23＝1上，则sin A ＋sin C sin B的值为________． 12．[2012·石家庄检测] 在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________．13．[2012·天津检测] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________．14．(10分)△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝⎝⎛⎭⎫cos2B ，2cos 2B2－1且m ∥n . (1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值． 15．(13分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C .(1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．难点突破16．(12分)[2012·绍兴一中模拟] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，a 2－c 2＝b 2－8bc5，a ＝3，△ABC 的面积为6，D 为△ABC 内任一点，点D 到三边距离之和为d .(1)求角A 的正弦值； (2)求边b ，c ；(3)求d 的取值范围．课时作业(二十二)【基础热身】1．B [解析] ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .又由c ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋4a 2－ac 2ac ＝5a 2－2a 24a 2＝34.2．B [解析] 由正弦定理sin A a ＝sin B b ，又∵a ＝52b ，A ＝2B ，∴sin2B 52b ＝sin B b ，又∵b ≠0，sin B ≠0，∴2cos B 52＝1，∴cos B ＝54.故选B.3．A [解析] ∵2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－14<0.所以△ABC 是钝角三角形．故选A.4．A [解析] 依题意由正弦定理得sin C ＝3sin A ，又B ＝30°，∴sin C ＝3sin(150°－C )＝32cos C ＋32sin C ，即－12sin C ＝32cos C ，∴tan C ＝－ 3.又0°<C <180°，因此C ＝120°.【能力提升】5．C [解析] ∵12ac sin B ＝12，∴ac ＝2，又2b ＝a ＋c ，∴a 2＋c 2＝4b 2－4，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b ＝3＋33.6．D [解析] 因为a ，b ，c 为连续的三个正整数，且A >B >C ，可得a ＝c ＋2，b ＝c ＋1①.又因为3b ＝20a cos A ，由余弦定理可知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，则3b ＝20a ·b 2＋c 2－a22bc②，联立①②，化简可得7c 2－13c －60＝0，解得c ＝4或c ＝－157(舍去)，则a ＝6，b ＝5.又由正弦定理可得，sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.故选D.7．B [解析] 先用余弦定理求出边c 的长度，再直接解直角三角形．由余弦定理得7＝c 2＋22－2×2c ×cos60°，解得c ＝3，再由BC 边上的高构成的直角三角形中，得h ＝c ×sin B＝3×32＝332，故选B.8．C [解析] 考查正弦定理和判断三角形的形状，考查考生的转化思想，关键是利用正弦定理，把角转化成边，再利用边之间的关系，判断三角形的形状．由正弦定理可把不等式转化为a 2＋b 2<c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，所以△ABC 为钝角三角形．故选C.9．A [解析] 因为cos A ＝35，cos B ＝513，所以sin A ＝45，sin B ＝1213，因为sin C ＝sin[180°－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665，由正弦定理知c sin C ＝bsin B，即c 5665＝31213，解得c ＝145. 10．①②③ [解析] 本题考查命题真假的判断，正、余弦定理，不等式的性质，基本不等式等．对于①，由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C <ab 得2cos C ＋1>a 2＋b 2ab ＝b a ＋a b ≥2，则cos C >12，因为0<C <π，所以C <π3，故①正确；对于②，由4c 2＝4a 2＋4b 2－8ab cos C <a 2＋b 2＋2ab 得ab (8cos C ＋2)>3(a 2＋b 2)，即8cos C ＋2>3⎝⎛⎭⎫a b ＋b a ≥6，则cos C >12，因为0<C <π，所以C <π3，故②正确；对于③，a 3＋b 3＝c 3可变为⎝⎛⎭⎫a c 3＋⎝⎛⎭⎫b c 3＝1，可得0<a c <1，0<b c<1，所以1＝⎝⎛⎭⎫a c 3＋⎝⎛⎭⎫b c 3<⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2，所以c 2<a 2＋b 2，故C <π2，故③正确；对于④，(a ＋b )c <2ab 可变为2×1c >1a ＋1b ≥2ab，可得ab >c ，所以ab >c 2，因为a 2＋b 2≥2ab >ab >c 2，所以C <π2，④错误；对于⑤，(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2可变为1a 2＋1b 2<2c 2，即1c 2>1ab ，所以c 2<ab ≤a 2＋b 22，所以cos C >a 2＋b 222ab ≥12，所以C <π3，故⑤错误．故答案为①②③.11．2 [解析] 由题意知△ABC 中，AC ＝2，BA ＋BC ＝4，由正弦定理得sin A ＋sin C sin B ＝BC ＋BAAC＝2.12．4 [解析] cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－14，可得cos B ＝4＋（c －b ）（c ＋b ）4c ＝－14，4＋7（c －b ）c＝－1，8c －7b ＋4＝0，结合b ＋c ＝7，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，c ＝3答案为4.13.2π3[解析] 由已知条件(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，化简得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12.又C 是三角形的内角，则C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.14．解：(1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝⎛⎭⎫2cos 2B2－1＝－3cos2B ， ∴sin2B ＝－3cos2B ，即tan2B ＝－ 3. 又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(2)∵B ＝π3，b ＝2，∴由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac得，a 2＋c 2－ac －4＝0，又∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)．S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)，∴S △ABC 的最大值为 3.15．解：(1)方法一：由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B .因为sin B ≠0，所以cos A ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.方法二：由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc.于是b 2＋c 2－a 2＝bc .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由于0<A <π，故A ＝π3.(2)方法一：因为AD →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋AC →22＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝14⎝⎛⎭⎫1＋4＋2×1×2×cos π3＝74，所以|AD →|＝72.从而AD ＝72.方法二：因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝1＋34＝72.【难点突破】16．解：(1)a 2－c 2＝b 2－8bc 5⇒b 2＋c 2－a 22bc ＝45⇒cos A ＝45⇒sin A ＝35.(2)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ·35＝6，∴bc ＝20，由b 2＋c 2－a 22bc ＝45及bc ＝20与a ＝3，解得b ＝4，c ＝5或b ＝5，c ＝4.(3)设D 到三边的距离分别为x ，y ，z ，则S △ABC ＝12(3x ＋4y ＋5z )＝6，d ＝x ＋y ＋z ＝125＋15(2x ＋y )，又x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ≤12，x ≥0，y ≥0，由线性规划知识得125≤d ≤4.。

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课时作业(六十五) [第65讲数学证明](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．下列符合三段论推理形式的为( ) A ．如果p ⇒q ，p 真，则q 真 B ．如果b ⇒c ，a ⇒b ，则a ⇒c C ．如果a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c D ．如果a ＞b ，c ＞0，则ac ＞bc 2．[2012·郑州检测] 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是( )①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等．A ．①B ．②C ．①②③D ．③ 3．[2012·太原检测] 已知p 是q 的充分不必要条件，则綈q 是綈p 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．[2012·石家庄模拟] 已知a i ，b i ∈R (i ＝1，2，3，…，n )，a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，b 21＋b 22＋…＋b 2n ＝1，则a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的最大值为( )A ．1B ．2C ．n 2D ．2n能力提升 5．[2013·泰州模拟] 设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＞b ，a ＜b 及a ＝b 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中正确判断的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知c >1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A ．a >b B ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 大小关系不定7．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a ，b ∈R ＋，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A <B <C C ．A ≥B ≥CD ．A >B >C8．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个是偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个是偶数9．观察数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则数26将出现在此数列的第( )A ．21项B ．22项C ．23项D ．24项 10．[2012·河南示范性高中检测] 如图K65－1，对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”：图K65－1仿此，52的“分裂”中最大的数是________，53的“分裂”中最小的数是________．11．[2012·哈尔滨模拟] 已知等比数列{a n }中，a 2＞a 3＝1，则使不等式⎝⎛⎭⎫a 1－1a 1＋⎝⎛⎭⎫a 2－1a 2＋⎝⎛⎭⎫a 3－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫a n －1a n ≥0成立的最大自然数n 是________． 12．如图K65－2所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N )个点，每个图形总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 010a 2 011＝________．图K65－213．[2012·开封模拟] 如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n ≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．14．(10分)已知a ＞0，b ＞0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .15．(13分)[2012·湖北卷] (1)已知函数f (x )＝rx －x r ＋(1－r )(x >0)，其中r 为有理数，且0<r <1.求f (x )的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数．若b 1＋b 2＝1，则ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2； (3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式(x α)′＝αx α－1.难点突破 16．(12分)[2012·湖南卷] 已知数列{a n }的各项均为正数，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2，n ＝1，2，….(1)若a 1＝1，a 2＝5，且对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．课时作业(六十五)【基础热身】1．B [解析] 由三段论的推理规则可以得到B 为三段论． 2．C [解析] 由类比原理和思想，①②③都是合理、恰当的．3．A [解析] 反证法的原理：“原命题”与“逆否命题”同真假，即：若p ⇒q ，则綈q ⇒綈p .4．A [解析] 此结论为“a ，b ，c ，d ∈R ，a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，则ac ＋bd ≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝1”的推广，类比可得a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ≤a 21＋b 212＋a 22＋b 222＋…＋a 2n ＋b 2n2＝1. 【能力提升】5．B [解析] ①②正确；③中，a ≠b ，b ≠c ，a ≠c 可以同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3，故正确的判断有2个．6．B [解析] 假设a ≥b ，即c ＋1－c ≥c －c －1， ∴c ＋1＋c －1≥2c ，平方得2c ＋2c 2－1≥4c ，2c ≤2c 2－1，c ≤c 2－1，即c 2≤c 2－1， 0≤－1，这不可能，∴假设不成立，故a <b .7．A [解析] a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上是单调减函数，∴f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎫2aba ＋b .8．B [解析] 至少有一个的否定是一个也没有，即假设a ，b ，c 都不是偶数．9．C [解析] 数列中各项的分子是按照(1)，(1，2)，(1，2，3)，(1，2，3，4)，…的规律呈现的，分母是按照(1)，(2，1)，(3，2，1)，(4，3，2，1)，…的规律呈现的，显然前五组不可能出现26，我们不妨再写几个对应的数组(1，2，3，4，5，6)，(1，2，3，4，5，6，7)，(6，5，4，3，2，1)，(7，6，5，4，3，2，1)，可以发现第六组也不可，故只能是第七组的第二个．故这个数是第(1＋2＋…＋6＋2)项，即第23项．10．9 21 [解析] 由已知中“分裂”可得，故“52”的“分裂”中最大的数是9，53的“分裂”中最小的数是21.11．5 [解析] ∵a 2＞a 3＝1，∴0＜q ＝a 3a 2＜1，a 1＝1q2＞1，⎝⎛⎭⎫a 1－1a 1＋⎝⎛⎭⎫a 2－1a 2＋⎝⎛⎭⎫a 3－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫a n －1a n＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝a 1（1－q n）1－q －1a 1⎝⎛⎭⎫1－1q n 1－1q＝a 1（1－q n ）1－q －q （1－q n ）a 1（1－q ）q n ≥0，∴a 1（1－q n ）1－q ≥q （1－q n ）a 1（1－q ）q n.因为0＜q ＜1，所以，化简得a 21≥1qn －1，即q 4≤q n －1， ∴4≥n －1，n ≤5，所以n 的最大值为5. 12.2 0092 010[解析] a n ＝3(n －1)，a n a n ＋1＝9n (n －1)，裂项求和即可． 13.332 [解析] sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.14．证明：b 2a ＋a 2b－(a ＋b )＝⎝⎛⎭⎫b 2a －a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b －b ＝（b ＋a ）（b －a ）a ＋（a ＋b ）（a －b ）b＝(a －b )(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1b －1a ＝1ab (a －b )2(a ＋b )， ∵a ＞0，b ＞0，∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .15．解：(1)f ′(x )＝r －rx r －1＝r (1－x r －1)，令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，1)内是减函数；当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(1，＋∞)内是增函数．故函数f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝0.(2)由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )≥f (1)＝0，即x r ≤rx ＋(1－r )． ① 若a 1，a 2中有一个为0，则ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2成立；若a 1，a 2均不为0，又b 1＋b 2＝1，可得b 2＝1－b 1，于是在①中令x ＝a 1a 2，r ＝b 1，可得⎝⎛⎭⎫a 1a 2b 1≤b 1·a 1a 2＋(1－b 1)，即ab 11a 1－b 12≤a 1b 1＋a 2(1－b 1)，亦即ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2.综上，对a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数且b 1＋b 2＝1，总有ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2.② (3)(2)中命题的推广形式为：若a 1，a 2，…，a n 为非负实数，b 1，b 2，…，b n 为正有理数．若b 1＋b 2＋…＋b n ＝1，则ab 11ab 22…ab nn ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .③ 用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，b 1＝1，有a 1≤a 1，③成立．②假设当n ＝k 时，③成立，即若a 1，a 2，…，a k 为非负实数，b 1，b 2，…，b k 为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＝1，则ab 11ab 22…ab kk ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k .当n ＝k ＋1时，已知a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1为非负实数，b 1，b 2，…，b k ，b k ＋1为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1＝1，此时0＜b k ＋1＜1，即 1－b k ＋1＞0，于是ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1＝(ab 11ab 22…ab kk )ab k ＋1k ＋1＝(a b 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k1－b k ＋1k)1－b k ＋1ab k ＋1k ＋1. 因b 11－b k ＋1＋b 21－b k ＋1＋…＋b k1－b k ＋1＝1，由归纳假设可得 a b 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k 1－b k ＋1k ≤a 1·b 11－b k ＋1＋a 2·b 21－b k ＋1＋…＋a k ·b k 1－b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k1－b k ＋1，从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－b k ＋1ab k ＋1k ＋1. 又因(1－b k ＋1)＋b k ＋1＝1，由②得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋11－bk ＋1ab k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋1·(1－b k ＋1)＋a k ＋1b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1，从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1. 故当n ＝k ＋1时，③成立．由①②可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立．说明：(3)中如果推广形式中指出③式对n ≥2成立，则后续证明中不需讨论n ＝1的情况．【难点突破】16．解：(1)对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )是等差数列，所以B (n )－A (n )＝C (n )－B (n )，即a n ＋1－a 1＝a n ＋2－a 2，亦即a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝4.故数列{a n }是首项为1，公差为4的等差数列．于是a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.(2)①必要性：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则对任意n ∈N *，有a n ＋1＝a n q .由a n＞0知，A (n )，B (n )，C (n )均大于0，于是B （n ）A （n ）＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1a 1＋a 2＋…＋a n ＝q （a 1＋a 2＋…＋a n ）a 1＋a 2＋…＋a n＝q ，C （n ）B （n ）＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q （a 2＋a 3＋…＋a n ＋1）a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q ，即B （n ）A （n ）＝C （n ）B （n ）＝q .所以三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列． ②充分性：若对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列，则B (n )＝qA (n )，C (n )＝qB (n )．于是C (n )－B (n )＝q [B (n )－A (n )]，得a n ＋2－a 2＝q (a n ＋1－a 1)，即a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－qa 1. 由n ＝1有B (1)＝qA (1)，即a 2＝qa 1，从而a n ＋2－qa n ＋1＝0.因为a n ＞0，所以a n ＋2a n ＋1＝a 2a 1＝q .故数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列．综上所述，数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．。