2019届(易错题)青岛版九年级数学上《第三章对圆的进一步认识》单元试题(教师用)精校版

【易错题解析】青岛版九年级数学上册第三章对圆的进一步认识单元检测试题一、单选题（共10题；共30分）1.已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( )A. 2B. 8C. 2或8 D. 3【答案】C【考点】勾股定理，垂径定理【解析】【解答】当顶点A在优弧上时，根据垂径定理和勾股定理可以求出高为8.当顶点A 在劣弧上时可以得出高为2.【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理知识点，注意存在两种情况.2.已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为7，那么点P与⊙O的位置关系是（）A. 点P在⊙O上B. 点P在⊙O内C. 点P在⊙O外 D. 无法确定【答案】C【考点】点与圆的位置关系【解析】【分析】根据点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）即可求解．∵OP=7＞5，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．故选C．3.（2017•广安）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB= ，BD=5，则OH的长度为（）A. 2B.C. 1D. 7【答案】D【考点】圆周角定理，解直角三角形【解析】【解答】解：连接OD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，∴AB⊥CD，∴∠OHD=∠BHD=90°，∵cos∠CDB= = ，BD=5，∴DH= ，∴BH= 22=3，设OH=x，则OD=OB=x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42=（x+3）2，解得：x= 7，∴OH= 7；故选：D．【分析】连接OD，由垂径定理得出AB⊥CD，由三角函数求出DH=4，由勾股定理得出BH= 22=3，设OH=x，则OD=OB=x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．4.如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（）A. O是△AEB的外心，O是△AED的外心B. O是△AEB的外心，O不是△AED的外心C. O不是△AEB的外心，O是△AED的外心D. O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心【答案】B【考点】三角形的外接圆与外心【解析】【解答】如图，连接OA、OB、OD．∵O是△ABC的外心，∴OA=OB=OC，∵四边形OCDE是正方形，∴OA=OB=OE，∴O是△ABE的外心，∵OA=OE≠OD，∴O不是△AED的外心.综上分析可知：选项A、C、D中的距离都是错的，只有选项B的结论是正确的.故答案为：B．【分析】连接OA、OB、OD．根据三角形的外接圆的圆心的意义可得OA=OB=OC，由正方形的性质可得OA=OB=OE，所以O是△ABE的外心，而OA=OE≠OD，所以根据三角形的外接圆的圆心的意义可得O不是△AED的外心.。

5.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点O是边BC的中点，半圆O与△ABC相切于点D、E，则阴影部分的面积等于（）A. 1B.C. 1D.【答案】B【考点】切线的性质【解析】【解答】解：连接OD，OE，∵半圆O与△ABC相切于点D、E，∴OD⊥AB，OE⊥AC，∵在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，∴四边形ADOE是正方形，△OBD和△OCE是等腰直角三角形，∴OD=OE=AD=BD=AE=EC=1，∴∠ABC=∠EOC= °，∴AB∥OE，∴∠DBF=∠OEF，在△BDF和△EOF中，，∴△BDF≌△EOF（AAS），∴S阴影=S扇形DOE=90×π×12=．故选B．【分析】首先连接OD，OE，易得△BDF≌△EOF，继而可得S阴影=S扇形DOE，即可求得答案．6.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，连结AD、AC、BC，若∠CAB= °则∠D的度数为（）A. °B. 0°C. 2 °D. °【答案】C【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理【解析】【解答】因为直径所对圆周角是直角，∠CAB= °，所以∠B=90°－ °=2 °，根据同弧所对圆周角相等，可得∠D=∠B=2 °，故答案为：C.【分析】由直径所对圆周角是直角可得∠ACB=90°，在△ABC中先求得∠B，再根据同弧所对圆周角相等求得∠D即可。

7.如图，△ABC内接于圆O，∠A= 0°，∠ABC= 0°，BD是圆O的直径，BD交AC于点E，连接DC，则∠AEB等于( )A. 0°B. 0°C. 70°D. 110°【答案】D【考点】圆周角定理【解析】【分析】因为∠A= 0°，∠ABC= 0°，所以利用三角形的内角和可得∠ACB=70°，利用同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D= 0°，又因为∠BCD是直径所对的圆周角，所以等于90°，因此可得∠ECD=20°，利用内角和与对顶角相等可得∠AEB等于110°．【解答】∵∠A= 0°，∠ABC= 0°∴∠ACB=70°∵BD是圆O的直径∴∠BCD=90°∴∠ACD=20°∴∠ABD=∠ACD=20°∴∠AEB=1 0°-（∠BAE+∠ABE)=1 0°-（ 0°+20°)=110°．故选D．【点评】本题重点考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形的内角和等知识点．本题是一道难度中等的题目．8.圆内接四边形ABCD ，∠A ，∠B ，∠C的度数之比为3：4：6，则∠D的度数为（）A. 60B. 80C. 100D. 120【答案】C【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】∵内接四边形的对角互补，∴∠A：∠B：∠C：∠D＝3：4：6：5设∠A的度数为3x ，则∠B ，∠C ，∠D的度数分别为4x ，6x ，5x∴ x＋4x＋6x＋5x＝ 0°∴x＝20°∴∠D＝100°故选：C【分析】根据圆内接四边形的对角互补和四边形的内角和为360度进行求解．9.如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，下列结论一定正确的有（）个：①AF=BG；②CG=CH；③AB+CD=AD+BC；④BG＜CG．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【考点】切线的性质【解析】【解答】解：∵⊙O是四边形ABCD的内切圆，∴AF=AE，BF=BG，CG=CH，DH=DE，∴AB+CD=AF+BF+CH+DH=AE+BG+CG+DE=AD+BC．①AF=BG；④BG＜CG无法判断．正确的有②③故选B．【分析】根据切线长定理得到AF=AE，BF=BG，CG=CH，DH=DE，则AB+CD=AF+BF+CH+DH=AE+BG+CG+DE=AD+BC．10.下列命题中，正确命题的序号是（）①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形②一组邻边相等的平行四边形是正方形③对角线互相垂直且相等的四边形是菱形④任何三角形都有外接圆，但不是所有的四边形都有外接圆A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④【答案】D【考点】平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，三角形的外接圆与外心【解析】【分析】根据平行四边形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以②错误；对角线互相垂直且相等的四边形可以是一般的四边形，所以③错误。

①④正确。

【点评】本题考查平行四边形的判定定理，熟悉其定理内容是解答本题的关键。

二、填空题（共10题；共30分）11.如图，已知∠BPC= 0°，则∠BAC=________【答案】 0°【考点】圆周角定理【解析】【解答】在同圆中，同弧所对的圆周角度数相等，本题中圆周角∠BPC和圆周角∠BAC 所对弧都是弧BC，则说明两个角的度数相等.【分析】根据圆周角定理在同圆中，同弧所对的圆周角相等可求解。

12.如果一个正多边形每一个内角都等于1 °，那么这个正多边形的边数是________．【答案】10【考点】正多边形和圆，正多边形的性质【解析】【解答】设这个多边形的边数为n，则有180（n-2）=144n，解得：n=10，故答案为：10.【分析】根据正多边形的性质可直接进行求解。

13.圆心角是 0°的扇形的半径为6，则这个扇形的面积是________．【答案】6π【考点】扇形面积的计算【解析】【解答】解：该扇形的面积S= 0 2=6π．故答案为：6π．【分析】直接利用扇形的面积公式代入计算.扇形的面积=π2.14.已知在⊙O中, ,且,则________.【答案】144°【考点】圆心角、弧、弦的关系【解析】【解答】因为弧AB=弧BC，设弧AB=弧BC=3，那么弧AMC=4，则3+3+4=10，360度分成10份，每份36度，那么4份为144度.【分析】此题考查了圆心角、弧、弦，要灵活运用所给的比例条件.15.如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧BC上，且OA=AB，则∠ABC=________．【答案】1 °【考点】圆周角定理【解析】【解答】解：∵OA=OB，OA=AB，∴OA=OB=AB，即△OAB是等边三角形，∴∠AOB= 0°，∵OC⊥OB，∴∠COB=90°，∴∠COA=90°- 0°= 0°，∴∠ABC=1 °，故答案为：1 °【分析】首先判断出△OAB是等边三角形，根据等边三角形的性质及垂直的定义，角的和差得出∠COA的度数，根据圆周角定理即可得出∠ABC的度数。

16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．以点A为圆心、AC长为半径作圆弧，交边AB于点D．若∠B= °，AC=6，则的长为________．【答案】π【考点】弧长的计算【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠B= °，∴∠A=2 °，∵AC= ，∴ 的长为2= π，1 0故答案为：π．【分析】根据直角三角形两锐角互余求得∠A度数，由弧长公式可得答案．17.已知，如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，OD交AC 的延长线于E，OA=1，AE=3．则下列结论正确的有________．①∠B=∠CAD；②点C是AE的中点；③ = ；④tan B= 101．【答案】①③④【考点】圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形【解析】【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠DAB=90°，∵∠CAD+∠DAB=90°，∴∠B=∠CAD，故①正确；∵∠CAD=∠B=∠ODB=∠CDE，∠E=∠E，∴△ECD∽△EDA，∴ = ，∵OA=1，AE=3，∴OE= 10，ED= 10﹣1，= 101，101∴CE= 11210≠ 1AE，即点C不是AE的中点，故②不正确；由△ECD∽△EDA，得= ，在Rt△ABC中，AD⊥BC，∴△ACD∽△BAD，∴ = ，∴ = ，故③正确；tanB= = = = 101，故④正确．故答案为：①③④．【分析】①依据同角的余角相等即可得出结论；②依据△ECD∽△EDA，求得CE= 11210≠1AE，即可得出点C不是AE的中点；③由△ECD∽△EDA，得= ，根据△ACD∽△BAD，2可得= ，进而得出= ；④根据tanB= = = ，即可得出结论．18.如图，PA、PB切⊙O于A、B，∠ 0，点C是⊙O上异于A、B的任意一点，则∠ ＝________．【答案】 °或11 °【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的性质【解析】【解答】分两种情况：（1）当C在优弧AB上；（2）当C在劣弧AB上；连接OA、OB，在四边形PAOB中，∠OAP=∠OBP=90°，由内角和求得∠AOB的大小，然后根据圆周角定理即可求得答案（1）如图（1），连接OA、OB．在四边形PAOB中，由于PA、PB分别切⊙O于点A、B，则∠OAP=∠OBP=90°；由四边形的内角和定理，知∠APB+∠AOB=1 0°；又∵∠P= 0°，∴∠AOB=1 0°；又∵∠ACB= 1∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），2∴∠ACB= °（2）如图（2），连接OA、OB，作圆周角∠ADB．在四边形PAOB中，由于PA、PB分别切⊙O于点A、B，则∠OAP=∠OBP=90°；由四边形的内角和定理，知∠APB+∠AOB=1 0°；又∠P= 0°，∴∠AOB=1 0°；∴∠ADB= 1∠AOB= °，2∴∠ACB=1 0°﹣∠ADB=11 °．∴∠ACB= °或11 °【分析】图上没有标出C的位置，需考虑C在优弧AB上或C在劣弧AB上，∠ACB的大小不同，利用圆内接四边形性质可分别求出.19.在同圆中，若=2，则AB________2CD（填＞，＜，=）【答案】＜【考点】圆心角、弧、弦的关系【解析】【解答】解：找出的中点E，连接AE、BE，∵的中点E，∴∵，∴∴AE=EB=CD，∵AE+EB＞AB，∴AB＜2CD，故答案为：＜．【分析】首先找出的中点E，连接AE、BE，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等可得AE=EB=CD，再根据三角形的三边关系可得AE+EB＞AB，进而可得AB＜2CD．20.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长”．根据题意可得CD的长为________．【答案】26【考点】垂径定理的应用【解析】【解答】解：连接OA，AB⊥CD，AB=5，OE=OC﹣CE=OA﹣CE，由垂径定理知，点E是AB的中点，AE= 12设半径为r，由勾股定理得，OA2=AE2+OE2=AE2+（OA﹣CE）2，即r2=52+（r﹣1）2，解得：r=13，所以CD=2r=26，即圆的直径为26．【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．三、解答题（共8题；共60分）21.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，分别以A、B、C为圆心，以1AC为半2径画弧，求三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积．【答案】解：∵∠C=90°，CA=CB=4，∴ 12AC=2，S△ABC= 12× × = ，∵三条弧所对的圆心角的和为1 0°，三个扇形的面积和= 1 0 22=2π，∴三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC﹣三个扇形的面积和=8﹣2π【考点】三角形的面积，扇形面积的计算【解析】【分析】阴影部分的面积=Rt△ABC的面积-三个扇形的面积，由题意可知三条弧所对的圆心角的和为1 0°，半径都为12AC.22.如图⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10，BC=12，求⊙O 的半径．【答案】解：如图，连接OB．∵AD是△ABC的高．∴BD= 12BC=6在Rt△ABD中，AD= 22= 100=8．设圆的半径是R．则OD=8﹣R．在Rt△OBD中，根据勾股定理可以得到：R2=36+（8﹣R）2解得：R= 2 ．【考点】勾股定理，垂径定理【解析】【分析】连接OB，根据垂经定理求出BD的长，在Rt△ABD中由勾股定理求得AD=8，设圆的半径是R，则OD=8-R，在Rt△OBD中由勾股定理可求得R的值.解答此题的关键是作出辅助线OB.注意：垂径定理和勾股定理常常在一起中应用.23.如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．求所在⊙O的半径DO．【答案】解：∵OE⊥弦CD于点F，CD为8米，EF为2米，∴EO垂直平分CD，DF=4m，FO=DO﹣2，在Rt△DFO中，DO2=FO2+DF2，则DO2=（DO﹣2）2+42，解得：DO=5．答：弧CD所在⊙O的半径DO为5m．【考点】垂径定理【解析】【分析】根据垂径定理得出EO垂直平分CD，DF=4m，然后利用勾股定理建立方程，求解即可得出OD的长。