(名师整理)人教版数学中考《圆与圆的对称性》专题复习精品教案

中考数学人教版专题复习：圆与圆的对称性一、考点突破1. 掌握圆及与圆有关的定义，对某些易混定义加以区分。

2. 理解圆的对称性，应用相关知识解决问题。

二、重难点提示重点：区分定义，理解相似与不同的定义。

难点：应用有关知识解决相关问题。

考点精讲1. 圆的有关概念（1）定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。

固定点O叫做圆心；线段OA叫做半径；圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；反之，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（另一定义）；以O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。

注意：圆心确定了圆的位置，半径确定了圆的大小。

（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

直径：经过圆心的弦叫直径。

注意：直径为圆最大的弦。

（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。

（4）圆弧：① 圆上任意两点间的部分，也可简称为“弧”。

以A ，B 两点为端点的弧，记作⋂AB ，读作“弧AB ”。

② 小于半圆的弧叫做劣弧，记作⋂AB （用两个字母）；大于半圆的弧叫作优弧，记作ACB ⋂（用三个大写字母）。

③ 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中每一条弧都叫半圆。

④ 能够重合的两个圆叫作等圆。

注意：半径相等的圆也是等圆。

⑤ 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧。

2. 圆的对称性及特性：（1）圆是轴对称图形，圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线。

（2）圆也是中心对称图形，它的对称中心就是圆心。

（3）一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。

这是圆特有的一个性质：圆的旋转不变性。

注意：圆有无数条对称轴。

典例精析例题1 如图所示，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO 均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则a、b、c的大小是。

思路分析：连接OA，OD，OM，根据矩形的对角线相等，即可证明a，b，c 都等于圆的半径。

答案：解：连接OA，OD，OM，∵四边形ABOC、DEOF、HMON均为矩形，∴OA＝BC，OD＝EF，OM＝HN∴BC＝EF＝HN即a＝b＝c，故答案是：a＝b＝c。

技巧点拨：本题考查了圆的认识和矩形的性质。

技巧性较强，要把分散的条件集中到一点或一个图形中。

例题2 如图，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是（）A. 15B. 15＋52C. 20D. 15＋55思路分析：连接AD，BP，PA，由于弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，可得到△ABD为等腰直角三角形，则AD＝2BD，由于△ABC 为等边三角形，所以AC＝BC＝AB＝5，BD＝BP＝5，当点P与点D重合时，AP最大，四边形ACBP周长的最大值为AC＋BC＋BD＋AD＝15＋52。

答案：解：连接AD，BP，PA，∵弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，∴∠ABD＝90°，∴AD＝2AB，∵△ABC为等边三角形，∴AC＝BC＝AB＝5，∴BD＝BP＝5，当点P与点D重合时，四边形ACBP周长的最大值，最大值为AC＋BC＋BD ＋AD＝5＋5＋5＋52＝15＋52，故选B。

技巧点拨：本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等），也考查了等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质。

提分宝典【综合拓展】圆是一个很完美的几何图形，从其基本概念，我们不难看出，圆包含了有关线段，角度，位置关系，数量关系等很多几何问题，因此一些综合性较强的几何题，经常以圆为载体进行探究，所以熟练地掌握圆的基本概念及性质，会为我们解决几何综合题拓宽思路，打开视野。

例题如图，扇形OAB的半径OA＝3，圆心角∠AOB＝90°，点C是 AB上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H 在线段DE上，且DG＝GH＝HE。

（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；（2）当点C 在⋂AB 上运动时，在CD 、CG 、DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：CD 2＋3CH 2是定值。

思路分析：（1）连接OC ，容易根据已知条件证明四边形ODCE 是矩形，然后利用其对角线互相平分和DG ＝GH ＝HE 可以知道，四边形CHOG 的对角线互相平分，从而判定其是平行四边形；（2）由于四边形ODCE 是矩形，而矩形的对角线相等，所以DE ＝OC ，而CO 是圆的半径，这样DE 的长度不变，也就DG 的长度不变；（3）过C 作CN⊥DE 于N ，设CD ＝x ，然后利用三角形的面积公式和勾股定理用x 表示CN ，DN ，HN ，再利用勾股定理，就可以求出CD 2＋3CH 2的值了。

答案：（1）证明：连接OC 交DE 于M ， 由矩形得OM ＝CM ，EM ＝DM ， ∵DG＝HE ，∴EM－EH ＝DM －DG ， ∴HM＝GM ，∴四边形OGCH 是平行四边形； （2）解：DG 不变，在矩形ODCE 中，∵DE＝OC ＝3， ∴DG＝1；（3）证明：设CD ＝x ，则CE ＝29x -，过C 作CN⊥DE 于N ，由DE•CN＝CD•EC 得CN ＝293x x -，∴DN ＝2229()3x x x --＝23x ， ∴HN＝3－1－23x ＝263x -，∴3CH 2＝3[（263x -）2＋（29x x -）2]＝12－x 2，∴CD 2＋3CH 2＝x 2＋12－x 2＝12。

技巧点拨：本题主要考查圆、矩形、平行四边形、直角三角形等基础图形的性质与判定，考查计算能力、推理能力和空间观念。

同步测试（答题时间：40分钟）*1. 如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（）A. 4B. 5C. 6D. 10*2. 如图，在半圆的直径上依次作4个正三角形，如果这半圆周长为C1，这4个正三角形的周长和为C2，则C1和C2的大小关系是（）A. C1＞C2B. C1＜C2C. C1＝C2D. 不能确定*3. 如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在⋂MN上，且不与M，N重合，当P点在⋂MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2＋PB2的值（）A. 逐渐变大B. 逐渐变小C. 不变D. 不能确定*4. 如图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线交于点C，且有DC＝OE，若∠C＝20°，则∠EOB的度数是（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 80°*5. 如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠AOD＝50°，AD∥OC，则∠BOC＝度。

**6. 如图①是半径为1的圆，在其中挖去2个半径为1的圆得到图②，挖去2）2的圆得到图③……，则第n（n＞1）个图形阴影部分的面积22个半径为（12是。

*7. 如图，点A、B、C是⊙O上的三点，BO平分∠ABC，求证：BA＝BC。

**8. 如图，AB是半圆O的直径，四边形CDEF是其内接正方形。

（1）求证：OC＝OF。

（2）在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK，点G在AB上，H在半圆上，K在EF上。

若正方形CDEF的边长为2，求正方形FGHK的面积。

试题答案1. C 解析：因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所以小圆在每一边上正好滚动一周，在五条边上共滚动了5周。

另外五边形的外角和是360°，所以小圆在五个角处共滚动一周。

因此，总共是滚动了6周。

故选C 。

2. B 解析：设半圆的直径为a ，则半圆周长C 1为：12aπ， 4个正三角形的周长和C 2为：3a ， ∵12aπ＜3a ，∴C 1＜C 2 故选B 。

3. C 解析：∵在直角△PAB 中，AB 2＝PA 2＋PB 2， 又∵在矩形PAOB 中，OP ＝AB ， ∴PA 2＋PB 2＝AB 2＝OP 2， 故选C 。

4. C 解析：∵CD＝OD ＝OE ， ∴∠C＝∠DOC＝20°， ∴∠EDO＝∠E＝40°，∴∠EOB＝∠C＋∠E＝20°＋40°＝60°， 故选C 。

5. 65 解析：∵OD＝OA ， ∴∠D＝∠A， 而∠AOD＝50°，∴∠A＝12（180°－50°）＝65°， 又∵AD∥OC，∴∠BOC＝∠A＝65°， 故答案为65。

6. （1－112n ）π 解析：图②中阴影部分的面积为：π×12－π×（12）2×2＝π－12π＝（1－12）π＝12π； 图③中阴影部分的面积为：[π×12－π×[（12）2]2×22＝π－212π＝（1－212）π＝34π； 图④是半径为1的圆，在其中挖去23个半径为（12）3的圆得到的，则图④中阴影部分的面积为：π×12－π×[（12）3]2×23＝π－312π＝（1－312）π＝78π；…， 则第n （n ＞1）个图形阴影部分的面积为：π×12－π×[（12）n －1]2×2n －1＝π－112n -π＝（1－112n -）π， 故答案为：（1－112n -）π。

7. 证明：连接OA 、OC ，如图，∵OA＝OB ，OB ＝OC ，∴∠ABO＝∠BAO，∠CBO＝∠BCO， ∵B0平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠CBO， ∴∠BAO＝∠BCO， ∴△OAB≌△OCB， ∴AB＝BC 。

8.（1）证明：连接OD ，OE ，则OD ＝OE ， ∵四边形CDEF 为正方形∴CD＝FE ，∠DCO＝∠EFO＝90°， ∴在Rt△DOC 和Rt△EOF 中： OD ＝OE ，CD ＝FE∴Rt△DOC≌Rt△EOF， ∴OC＝OF 。

（2）解：连接OH ，设正方形FGHK 的边长为x ， 由已知及（1）可得EF ＝2，OF ＝1，在Rt△OEF 中，OE 2＝OF 2＋EF 2＝12＋22＝5，[ 在Rt△OHG 中，OH 2＝OG 2＋GH 2，OE ＝OH ， ∴5＝（1＋x ）2＋x 2， 整理得x 2＋x －2＝0，解得x 1＝－2（不合题意，舍去），x 2＝1， ∴x 2＝1∴正方形FGHK的面积为1。

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