2017年江苏省高考数学预测卷(2)含答案解析

2017年江苏省高考数学预测卷（2）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）．1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中所有元素之和是．2．已知复数z满足（1+2i）z=i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为．3．已知点M（﹣3，﹣1），若函数y=tan x（x∈（﹣2，2））的图象与直线y=1交于点A，则|MA|=．4．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9，则这组数据的标准差为．5．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S的值为．6．在区间[﹣1，2]内随机取一个实数a，则关于x的方程x2﹣4ax+5a2+a=0有解的概率是．7．如图，在平面四边形ABCD中，若AC=3，BD=2，则=．8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，M是AA1的中点，则三棱锥A1﹣MBC1的体积为．9．已知函数f（x）=x|x﹣2|，则不等式f（2﹣ln（x+1））＞f（3）的解集为．10．曲线f（x）=xlnx在点P（1，0）处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积是．11．设向量=（4sin x，1），=（cos x，﹣1）（ω＞0），若函数f（x）=•+1在区间[﹣，]上单调递增，则实数ω的取值范围为．12．设函数f（x）=x+cosx，x∈（0，1），则满足不等式f（t2）＞f（2t﹣1）的实数t的取值范围是．13．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，抛物线E：x2=4y的焦点B是双曲线虚轴上的一个顶点，若线段BF与双曲线C的右支交于点A，且=3，则双曲线C的离心率为．14．已知a，b，c，d∈R且满足==1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15．在△ABC中，已知三内角A，B，C成等差数列，且sin（+A）=．（Ⅰ）求tanA及角B的值；（Ⅱ）设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．17．如图所示的矩形是长为100码，宽为80码的足球比赛场地．其中PH是足球场地边线所在的直线，AB是球门，且AB=8码．从理论研究及经验表明：当足球运动员带球沿着边线奔跑时，当运动员（运动员看做点P）所对AB的张角越大时，踢球进球的可能性就越大．（1）若PH=20，求tan∠APB的值；（2）如图，当某运动员P沿着边线带球行进时，何时（距离AB所在直线的距离）开始射门进球的可能性会最大？18．平面直角坐标系xoy中，直线x﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．19．已知函数f（x）=alnx（a∈R）．（Ⅰ）若函数g（x）=2x+f（x）的最小值为0，求a的值；（Ⅱ）设h（x）=f（x）+ax2+（a2+2）x，求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）设函数y=f（x）与函数u（x）=的图象的一个公共点为P，若过点P 有且仅有一条公切线，求点P的坐标及实数a的值．20．已知数列{a n}，{b n}的首项a1=b1=1，且满足（a n+1﹣a n）2=4，|b n+1|=q|b n|，其中n∈N*．设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n．（Ⅰ）若不等式a n+1＞a n对一切n∈N*恒成立，求S n；（Ⅱ）若常数q＞1且对任意的n∈N*，恒有|b k|≤4|b n|，求q的值；（Ⅲ）在（2）的条件下且同时满足以下两个条件：（ⅰ）若存在唯一正整数p的值满足a p＜a p﹣1；（ⅱ）T m＞0恒成立．试问：是否存在正整数m，使得S m+1=4b m，若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．四.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．【选修4-1几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为线段OA上一点，BM的延长线交⊙O于点N，过点N的切线交CA的延长线于点P．求证：PM2=PA•PC．B．【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分0分）22．已知矩阵M=，N=，若MN=．求实数a ，b ，c ，d 的值．C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分0分）23．在极坐标系中，已知点A （2，），B （1，﹣），圆O 的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）求直线AB 的直角坐标方程；（Ⅱ）求圆O 的直角坐标方程．D ．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分0分）24．已知a ，b ，c 都是正数，求证：≥abc ．【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况，随机抽取了100名学生进行调查．如图是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图．（Ⅰ）根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数和众数m （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）已知样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生中，男生比女生多1人，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E （ξ）．26．已知数列{a n}的通项公式为a n=（n≥1，n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；（Ⅱ）求证：对任意的自然数n∈N*，不等式a1•a2…a n＜2•n!成立．2017年江苏省高考数学预测卷（2）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）．1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中所有元素之和是5．【考点】1D：并集及其运算．【分析】利用并集定义先求出A∪B，由此能求出集合A∪B中所有元素之和．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2，3}，∴A∪B={﹣1，0，1，1，2，3}，∴集合A∪B中所有元素之和是：﹣1+0+1+2+3=5．故答案为：5．2．已知复数z满足（1+2i）z=i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法运算化为a+bi（a，b∈R）的形式，则答案可求【解答】解：∵（1+2i）z=i，∴z===+，∴复数z的虚部为．故答案为3．已知点M（﹣3，﹣1），若函数y=tan x（x∈（﹣2，2））的图象与直线y=1交于点A，则|MA|=2．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】解方程求出函数y与直线y=1的交点A的横坐标，再求线段的长|MA|．【解答】解：令y=tan x=1，解得x=1+4k，k∈Z；又x∈（﹣2，2），∴x=1，∴函数y与直线y=1的交点为A（1，1）；又M（﹣3，﹣1），∴|MA|==2．故答案为：2．4．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9，则这组数据的标准差为．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】利用定义求这组数据的平均数、方差和标准差即可．【解答】解：数据12，8，10，11，9的平均数为：=×（12+8+10+11+9）=10，方差为：s2=×[（12﹣10）2+（8﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2+（9﹣10）2]=2；∴这组数据的标准差为s=．故答案为：．5．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S的值为﹣1．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=﹣1，n=2016时不满足条件n＜2016，退出循环，输出S的值为﹣1，即可得解．【解答】解：输入s=0，n=1＜2016，s=0，n=2＜2016，s=﹣1，n=3＜2016，s=﹣1，n=4＜2016，s=0，n=5＜2016，…，由2016=503×4+3得，输出s=﹣1，故答案为：﹣1．6．在区间[﹣1，2]内随机取一个实数a，则关于x的方程x2﹣4ax+5a2+a=0有解的概率是．【考点】CF：几何概型．【分析】根据几何概型计算公式，用符合题意的基本事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度，即可得到所求的概率．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4ax+5a2+a=0有解，∴16a2﹣20a2﹣4a≥0，∴﹣1≤a≤0时方程有实根，∵在区间[﹣1，2]上任取一实数a，∴所求的概率为P==．故答案为：7．如图，在平面四边形ABCD中，若AC=3，BD=2，则= 5．【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】先利用向量的加法把转化为，再代入原题整理后即可求得结论．【解答】解：因为=（+）+（+）=+（）=．∴（）•（）=（）•（）=﹣=32﹣22=5．故答案为58．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，M是AA1的中点，则三棱锥A1﹣MBC1的体积为4．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】推导出A1C1⊥平面A1MB，从而三棱锥A1﹣MBC1的体积=，由此能求出结果．【解答】解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，∴A1C1⊥AA1，AC2+AB2=BC2，∴A1C1⊥A1B1，∵AA 1∩A 1B 1=A 1，∴A 1C 1⊥平面A 1MB ，∵M 是AA 1的中点，∴===3，∴三棱锥A 1﹣MBC 1的体积：====4．故答案为：4．9．已知函数f （x ）=x |x ﹣2|，则不等式f （2﹣ln （x +1））＞f （3）的解集为 {x |﹣1＜x ＜﹣1} ．【考点】7E ：其他不等式的解法．【分析】由题意，f （x ）=，在（2，+∞）单调递增，x ＜2，f（x ）max =1＜f （3）=3．f （2﹣ln （x +1））＞f （3）化为2﹣ln （x +1）＞3，即可解不等式．【解答】解：由题意，f （x ）=，在（2，+∞）单调递增，x ＜2，f （x ）max =1＜f （3）=3．∵f （2﹣ln （x +1））＞f （3），∴2﹣ln （x +1）＞3，∴ln （x +1）＜﹣1，∴0＜x +1＜，∴﹣1＜x ＜﹣1，∴不等式f （2﹣ln （x +1））＞f （3）的解集为{x |﹣1＜x ＜﹣1}，故答案为{x |﹣1＜x ＜﹣1}．10．曲线f （x ）=xlnx 在点P （1，0）处的切线l 与两坐标轴围成的三角形的面积是．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，计算切线与坐标轴的交点坐标，即可得出三角形面积．【解答】解：f′（x）=lnx+x•=lnx+1，∴在点P（1，0）处的切线斜率为k=1，∴在点P（1，0）处的切线l为y﹣0=x﹣1，即y=x﹣1，∵y=x﹣1与坐标轴交于（0，﹣1），（1，0）．∴切线y=x﹣1与坐标轴围成的三角形面积为S=×1×1=．故答案为：．11．设向量=（4sin x，1），=（cos x，﹣1）（ω＞0），若函数f（x）=•+1在区间[﹣，]上单调递增，则实数ω的取值范围为（0，2] ．【考点】9R：平面向量数量积的运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】化简f（x）=sinωx，根据正弦函数的单调性得出f（x）的单调增区间，从而列出不等式解出ω的范围．【解答】解：f（x）=+1=2sin xcos x=sinωx，令﹣+2kπ≤ωx≤+2kπ，解得﹣+≤x≤+，k∈Z，∵ω＞0，∴f（x）的一个单调增区间为[﹣，]，∴，解得0＜ω≤2．故答案为（0，2]．12．设函数f（x）=x+cosx，x∈（0，1），则满足不等式f（t2）＞f（2t﹣1）的实数t的取值范围是＜t＜1．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】求导，求导函数的单调性，将不等式转化为具体不等式，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=x+cosx，x∈（0，1），∴f′（x）=1﹣sinx＞0，函数单调递增，∵f（t2）＞f（2t﹣1），∴1＞t2＞2t﹣1＞0，∴＜t＜1，故答案为＜t＜1．13．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，抛物线E：x2=4y 的焦点B是双曲线虚轴上的一个顶点，若线段BF与双曲线C的右支交于点A，且=3，则双曲线C的离心率为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由题意可知b=1，求出A点坐标，代入双曲线方程化简即可得出a，c 的关系，从而得出离心率的值．【解答】解：F（c，0），B（0，1），∴b=1．设A（m，n），则=（m，n﹣1），=（c﹣m，﹣n），∵=3，∴，解得，即A（，），∵A在双曲线﹣y2=1的右支上，∴﹣=1，∴=．∴e==．故答案为：．14．已知a，b，c，d∈R且满足==1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为ln．【考点】4H：对数的运算性质．【分析】根据题意可将（a，b），（c，d）分别看成函数=x+3lnx与y=2x+3上任意一点，然后利用两点的距离公式，结合几何意义进行求解．【解答】解：因为==1，所以可将P：（a，b），Q：（c，d）分别看成函数y=x+3lnx与y=2x+3上任意一点，问题转化为曲线上的动点P与直线上的动点Q之间的最小值的平方问题，设M（t，t+3lnt）是曲线y=x+3lnx的切点，因为y′=1+，故点M处的切斜的斜率k=1+，由题意可得1+=2，解得t=3，也即当切线与已知直线y=2x+3平行时，此时切点M（3，3+3ln3）到已知直线y=2x+3的距离最近，最近距离d==，也即（a﹣c）2+（b﹣d）2==ln，故答案为：ln二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15．在△ABC中，已知三内角A，B，C成等差数列，且sin（+A）=．（Ⅰ）求tanA及角B的值；（Ⅱ）设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）根据等差数列的性质可得B=，再根据诱导公式和同角的三角函数的关系即可求出tanA．（Ⅱ）根据正弦定理求出b，再根据余弦定理求出c．【解答】解：（Ⅰ）∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，则B=，∵sin（+A）=，∴cosA=，∴sinA==，∴tanA==；（Ⅱ）由正弦定理可得=，∴b==7，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，即25=49+c2﹣11c，解得c=3或c=8，∵cosA=＞cos，∴A＜，∴C＞，∴c=3舍去，故c=8．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．【考点】L Y：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF ⊄平面PCE，AF∥平面PCE；（Ⅱ）由（Ⅰ）得EG∥AF，只需证明AF⊥面PDC，即可得到平面PEC⊥平面PCD．【解答】证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，∴FG为△CDP的中位线，FG∥CD，FG=CD．∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，∴AE∥CD，AE=CD．∴FG=AE，FG∥AE，∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，∴AF∥平面PCE；（Ⅱ）∵PA=AD．∴AF⊥PDPA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又因为CD⊥AB，AP∩AB=A，∴CD⊥面APD∴CD⊥AF，且PD∩CD=D，∴AF⊥面PDC由（Ⅰ）得EG∥AF，∴EG⊥面PDC又EG⊂平面PCE，∴平面PEC⊥平面PCD．17．如图所示的矩形是长为100码，宽为80码的足球比赛场地．其中PH是足球场地边线所在的直线，AB是球门，且AB=8码．从理论研究及经验表明：当足球运动员带球沿着边线奔跑时，当运动员（运动员看做点P）所对AB的张角越大时，踢球进球的可能性就越大．（1）若PH=20，求tan∠APB的值；（2）如图，当某运动员P沿着边线带球行进时，何时（距离AB所在直线的距离）开始射门进球的可能性会最大？【考点】74：一元二次不等式的解法；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）计算tan∠APH与tan∠BPH的值，利用两角差的正切公式求出tan ∠APB的值；（2）设PH=x，x∈（0，100），计算tan∠APH、tan∠BPH的值，求出tan∠APB 的解析式，利用基本不等式求出它的最大值即可．【解答】解：（1）AB=8，AH=40﹣4=36，PH=20，∴tan∠APH==，tan∠BPH==，∴tan∠APB=tan（∠BPH﹣∠APH）==；即PH=20，tan∠APB的值为；（2）设PH=x，x∈（0，100），∴tan∠APH=，tan∠BPH=，∴tan∠APB=tan（∠BPH﹣∠APH）===≤==，当且仅当x=12时取“=”；∴当运动员P沿着边线带球行进时，离AB所在直线的距离为12码开始射门进球的可能性会最大．18．平面直角坐标系xoy中，直线x﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】JE：直线和圆的方程的应用；J8：直线与圆相交的性质．【分析】（1）求出O点到直线x﹣y+1=0的距离，进而可求圆O的半径，即可得到圆O的方程；（2）设直线l的方程，利用直线l与圆O相切，及基本不等式，可求DE长最小时，直线l的方程；（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），，，求出直线MP、NP分别与x轴的交点，进而可求mn的值．【解答】解：（1）因为O点到直线x﹣y+1=0的距离为，所以圆O的半径为，故圆O的方程为x2+y2=2．（2）设直线l的方程为，即bx+ay﹣ab=0，由直线l与圆O相切，得，即，，当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l的方程为x+y﹣2=0．（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），，，直线MP与x轴交点，，直线NP与x轴交点，，===2，故mn为定值2．19．已知函数f（x）=alnx（a∈R）．（Ⅰ）若函数g（x）=2x+f（x）的最小值为0，求a的值；（Ⅱ）设h（x）=f（x）+ax2+（a2+2）x，求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）设函数y=f （x ）与函数u （x ）=的图象的一个公共点为P ，若过点P有且仅有一条公切线，求点P 的坐标及实数a 的值．【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值；6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）函数整理为g （x ）=alnx +2x ，求导，由题意可知，函数的最小值应在极值点处取得，令f′（x ）=0，代入求解即可；（Ⅱ）函数整理为h （x ）=alnx +ax 2+（a 2+2）x ，求导得h′（x ），对参数a 进行分类讨论，逐一求出单调区间；（Ⅲ）设出公共点坐标P （m ，n ）的坐标，求出坐标间的关系，得到lnm ﹣m +1=0，通过讨论函数ω（x ）=lnm ﹣m +1的单调性解方程即可． 【解答】解：（Ⅰ）g （x ）=f （x ）+2x=alnx +2x ，（x ＞0），g′（x ）=+2，a ≥0时，g′（x ）＞0，函数在（0，+∞）递增，无最小值，a ＜0时，g′（x ）=，令g′（x ）＞0，解得：x ＞﹣，令g′（x ）＜0，解得：0＜x ＜﹣，∴函数g （x ）=f （x ）+2x 在（0，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，故函数在x=﹣处取得最小值，∴aln （﹣）﹣a=0，解得：a=﹣2e ； （Ⅱ）h （x ）=f （x ）+ax 2+（a 2+2）x =alnx +ax 2+（a 2+2）x ，∴h′（x ）=，当a=0时，h （x ）=2x ，定义域内递增； 当a ≠0时，令h′（x ）=0，∴x=﹣或x=﹣，当a ＞0时，h′（x ）＞0，h （x ）定义域内递增；当a ＜0时，当a ＞﹣时，函数的增区间为（0，﹣），（﹣，+∞），减区间为（﹣，﹣）；当a＜﹣时，函数的增区间为（0，﹣），（﹣，+∞），减区间为（﹣，﹣）；当a=﹣时，定义域内递增．（Ⅲ）a=符合题意，理由如下：此时P（1，0）设函数f（x）与u（x）上公共点P（m，n），依题意有f（m）=u（m），f′（m）=u′（m），即，⇒得到lnm﹣m+1=0，构造函数ω（x）=lnm﹣m+1，（x ＞0）ω′（x）=，可得函数ω（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，而ω（1）=0∴方程lnm﹣m+1=0有唯一解，即m=1，a=20．已知数列{a n}，{b n}的首项a1=b1=1，且满足（a n+1﹣a n）2=4，|b n+1|=q|b n|，其中n∈N*．设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n．（Ⅰ）若不等式a n+1＞a n对一切n∈N*恒成立，求S n；（Ⅱ）若常数q＞1且对任意的n∈N*，恒有|b k|≤4|b n|，求q的值；（Ⅲ）在（2）的条件下且同时满足以下两个条件：（ⅰ）若存在唯一正整数p的值满足a p＜a p﹣1；（ⅱ）T m＞0恒成立．试问：是否存在正整数m，使得S m+1=4b m，若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（I）{a n}是公差为2的等差数列，代入求和公式即可得出S n；（II）用q表示出|b k|和4|b n|，根据q的范围及恒等式得出q﹣2=0；（III）利用条件可得{a n}，{b n}的通项，求出S m+1，4b m，从而得出m的存在性．【解答】解：（I）∵（a n+1﹣a n）2=4，a n+1＞a n，∴a n+1＞a n=2，∴{a n}是以a1=1为首项，以2为公差的等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∴S n==n2．（II）∵|b n+1|=q|b n|，∴|b n|=q|b n﹣1|=q2|b n﹣2|=q n﹣1|b1|=q n﹣1．|b k|=1+q+q2+…+q n=，∵常数q＞1且对任意的n∈N*，恒有|b k|≤4|b n|，∴≤4q n﹣1，即1﹣q n+1≥4q n﹣1﹣4q n，∴q n﹣1（q2﹣4q+4）≤1，即q n﹣1（q﹣2）2≤1恒成立，∴q=2．（III）由（II）可知{|b n|}是以1为首项，以2为公比的等比数列，∵T m＞0，∴{b n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，即b n=2n﹣1，∵（a n+1﹣a n）2=4，∴a n+1﹣a n=2或a n+1﹣a n=﹣2，∵存在唯一正整数p的值满足a p＜a p﹣1，∴当n≤p﹣1或n≥p时，{a n}是公差为2的递增数列，∴p≥2，①若p=2，则a n=，∴S m=（m﹣2）2，∴S m+1=（m﹣1）2，而4b m=4•2m﹣1=2m+1，∴4b m﹣S m+1=2m+1﹣（m﹣1）2＞0，下面用数学归纳法给出证明：当m=1时，结论显然成立，假设m=k时，结论成立，即2k+1﹣（k﹣1）2＞0，则2k+2﹣k2＞2•2k+1﹣（k﹣1）2＞2k+1﹣（k﹣1）2＞0，即当m=k+1时，结论也成立，∴4b m﹣S m+1＞0恒成立，即不存在正整数m使得S m+1=4b m．②若p≥3，则a1=1，a2=3，∴S2=1+3=4=4b1，=4b m．∴P≥3时，存在正整数m=1，使得S m+1=4b m；综上，当p=2时，不存在正整数m使得S m+1=4b m，此时m=1．当p≥3时，存在正整数m使得S m+1四.附加题部分【选做题】（本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A．【选修4-1几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为线段OA上一点，BM的延长线交⊙O于点N，过点N的切线交CA的延长线于点P．求证：PM2=PA•PC．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】做出辅助线连接ON，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论【解答】证明：连接ON，则∵PN切⊙O于N，∴∠ONP=90°，∴∠ONB+∠BNP=90°∵OB=ON，∴∠OBN=∠ONB，∵OB⊥AC于O，∴∠OBN+∠BMO=90°，故∠BNP=∠BMO=∠PMN，PM=PN，∴PM2=PN2=PA•PC．B．【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分0分）22．已知矩阵M=，N=，若MN=．求实数a，b，c，d的值．【考点】OE：矩阵与矩阵的乘法的意义．【分析】利用矩阵的乘法公式，建立方程，即可求实数a，b，c，d的值．【解答】解：由题意，，∴a=1，b=﹣1，c=2，d=2．C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分0分）23．在极坐标系中，已知点A（2，），B（1，﹣），圆O的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）求圆O的直角坐标方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）求出A，B的直角坐标，即可求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）将原极坐标方程ρ=4sinθ两边同乘以ρ后化成直角坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）点A（2，），B（1，﹣），直角坐标为A（0，2），B（，﹣），k AB=﹣（4+）∴直线AB的直角坐标方程为y=﹣（4+）x+2；（Ⅱ）将原极坐标方程ρ=4sinθ，化为：ρ2=4ρsinθ，化成直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4．D．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分0分）24．已知a，b，c都是正数，求证：≥abc．【考点】R6：不等式的证明．【分析】利用基本不等式，再相加，即可证得结论．【解答】证明：∵a，b，c都是正数，∴a2b2+b2c2≥2ab2c，a2b2+c2a2≥2a2bc，c2a2+b2c2≥2abc2∴2（a2b2+b2c2+c2a2）≥2ab2c+2a2bc+2abc2∴a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+a2bc+abc2∴≥abc．【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况，随机抽取了100名学生进行调查．如图是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图．（Ⅰ）根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数和众数m（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）已知样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生中，男生比女生多1人，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E（ξ）．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中，[30，40）对应的小矩形最高，能求出m，由频率分布直方图，能求出抽取样本的平均数．（Ⅱ）样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生为5人，其中男生3人，女生2人，则ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵频率分布直方图中，[30，40）对应的小矩形最高，∴m=35，由频率分布直方图，得：．（Ⅱ）样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生为0.05×100=5人，其中男生3人，女生2人，则ξ的可能取值为1，2，3，，，∴ξ的分布列为：所以．26．已知数列{a n}的通项公式为a n=（n≥1，n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；（Ⅱ）求证：对任意的自然数n∈N*，不等式a1•a2…a n＜2•n!成立．【考点】8K：数列与不等式的综合；81：数列的概念及简单表示法．【分析】（Ⅰ）代值计算即可，（Ⅱ）先利用分析法，要证明不等式成立，只需要证明等式（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）≥1﹣（+++…+）恒成立即可，用数学归纳法证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a n=（n≥1），∴a1==，a2==，a3==，（Ⅱ）∵a n==，可得a1•a2…a n=，因此欲证明不等式a1•a2…a n＜2•n!成立，只需要证明对一切非零自然数n，不等式（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）＞恒成立即可，显然左端每个因式都为正数，且因1﹣（+++…+）=1﹣（）=1﹣（1﹣）＞1﹣=，故只需要证明对非零自然数，不等式（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）≥1﹣（+++…+）恒成立即可，下面用数学归纳法证明该不等式成立，①显然当n=1时，不等式1﹣≥1﹣成立，②假设当n=k时不等式成立，即（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）≥1﹣（+++…+）成立，那么当n=k+1时，（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）≥[1﹣（+++…+）]（1﹣），即不等式右边=1﹣（+++…+）﹣+（+++…+），注意到（+++…+）＞0，所以，（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）≥1﹣（+++…++），这说明当n=k+1时，不等式也成立，由①②可知，不等式对一切非零自然数都成立，2017年5月24日。