(全国通用)2017届高三数学二轮复习专题突破专题八选修系列限时训练文
高考文科数学二轮复习专题集训：专题八选修系列8.3
A 级1． (2017 ·州市诊疗考试兰)已知函数f(x)＝|x＋ 1|＋ |x－ 3|－m的定义域为R.(1)求 m 的取值范围；(2)若 m 的最大值为n，解对于x 的不等式： |x－ 3|－ 2x≤2n－ 4.分析：(1) 由于函数 f(x)的定义域为R，因此 |x＋1|＋ |x－ 3|－ m≥0 恒建立，设函数 g(x)＝ |x＋ 1|＋ |x－ 3|，则 m 不大于函数g(x)的最小值，又 |x＋ 1|＋ |x－3|≥|(x＋ 1)－ (x－ 3)|＝ 4，即 g(x)的最小值为 4.因此 m≤4.故 m 的取值范围为(－∞， 4]．(2)当 m 取最大值 4 时，原不等式等价于|x－ 3|－ 2x≤4，x≥3，x<3，，因此或x－ 3－ 2x≤43－ x－2x≤4解得 x≥3 或－1≤x<3. 3因此原不等式的解集为x x≥－1. 32． (2017 广·东省五校协作体第一次诊疗考试)已知函数 f(x)＝ |x－ a|，此中 a>1.(1)当 a＝ 3 时，求不等式f( x) ≥4－|x－ 4|的解集；(2)若函数 h(x) ＝ f(2x＋ a)－ 2f(x)的图象与 x 轴， y 轴围成的三角形面积大于a＋ 4，求 a 的取值范围．－2x＋ 7，x≤3，分析： (1)当 a＝ 3 时， f(x)＋ |x－ 4|＝ 1， 3<x<4，2x－ 7， x≥4.3当 x≤3 时，由 f(x)≥4－ |x－ 4|得，－ 2x＋ 7≥4，解得 x≤；2当 3<x<4 时， f(x)≥4－ |x－ 4|无解；11当 x≥4 时，由 f(x)≥4－ |x－ 4|得， 2x－ 7≥4，解得 x≥ .2∴ f(x)≥4－ |x－ 4|的解集为311. x|x≤或 x≥22(2)由于 h(x)＝ f(2x ＋a)－ 2f( x)，－ 2a ， x ≤0，因此 h(x)＝ 4x － 2a ， 0<x<a ，2a ， x ≥a ，1 a 因此 S ＝ ×2a × >a ＋ 4，解得 a>4.22故 a 的取值范围为 (4，＋ ∞)．3．设函数 f( x)＝ |x ＋2|＋ |x － 2|， x ∈ R ，不等式f(x) ≤6的解集为 M.(1)求 M ；(2)当 a ， b ∈ M 时，证明： 3|a ＋ b| ≤|ab ＋3|.分析： (1) f(x)＝ |x ＋ 2|＋ |x － 2|≤6 等价于x ≤－ 2， － 2<x<2 ， x ≥2， －2x ≤6或或解得－ 3≤x ≤3，4≤62x ≤6，∴ M ＝[－3,3]．(2)证明：当 a ， b ∈ M ，即－ 3≤a ≤3，－ 3≤b ≤3 时，要证 3|a ＋b|≤|ab ＋ 3|，即证 3(a ＋ b)2≤(ab ＋ 3)2.∵ 3(a ＋ b)2－ (ab ＋ 3)2＝ 3(a 2＋ 2ab ＋ b 2)－ (a 2b 2＋ 6ab ＋ 9)＝ 3a 2＋ 3b 2－ a 2b 2－ 9＝ ( a 2 － 3)(3－ b 2)≤0，∴ 3|a ＋ b|≤|ab ＋ 3|.4．已知函数f(x) ＝|2x ＋ 1|， g(x)＝ |x|＋ a.(1)当 a ＝ 0 时，解不等式 f( x) ≥g(x)；(2)若存在 x ∈R ，使 f(x) ≤g(x)建立，务实数 a 的取值范围．分析：(1) 当 a ＝ 0 时，由 f(x)≥g(x)得 |2x ＋ 1|≥|x|，两边平方整理得3x 2＋ 4x ＋ 1≥0，解得x ≤－ 1 或1x ≥－ 3，1故原不等式的解集为 (－∞，－ 1]∪ － ，＋ ∞ .(2)由 f(x)≤g(x)得 a ≥|2x ＋ 1|－ |x|，令 h(x)＝ |2x ＋ 1|－ |x|，－ x － 1， x ≤－ 1，2 则 h(x)＝ 13x ＋ 1，－ 2<x<0，x ＋1， x ≥0.11故 h(x)min ＝ h－2 ＝－ 2，因此实数 a 的取值范围为－1，＋∞ . 25． (2017 ·国卷Ⅲ全)已知函数 f(x)＝ |x＋ 1|－ |x－ 2|.(1)求不等式 f(x) ≥1的解集；(2)若不等式 f(x) ≥x2－ x＋ m 的解集非空，求m 的取值范围．－ 3，x＜－ 1，分析： (1) f(x)＝2x－ 1，－ 1≤x≤2，3， x＞ 2.当 x＜－ 1 时， f(x) ≥1 无解；当－ 1≤x≤2 时，由 f( x)≥1，得 2x－ 1≥1，解得 1≤x≤2；当 x＞ 2 时，由 f(x) ≥1，解得 x＞ 2.因此 f(x)≥1 的解集为 { x|x≥1} ．(2)由 f(x)≥x2－ x＋m，得m≤|x＋ 1|－ |x－2|－ x2＋x.而 |x＋ 1|－ |x－2|－ x2＋ x≤|x|＋ 1＋ |x|－2－ x2＋ |x|＝－ |x|－3255，2＋≤44且当 x＝3时， |x＋ 1|－ |x－ 2|－ x2＋ x＝5，24故 m 的取值范围为5－∞，4 .6．已知函数f(x) ＝|x－ a|，此中 a>1.(1)当 a＝ 2 时，求不等式f( x) ≥4－|x－ 4|的解集；(2)已知对于x 的不等式 |f(2x＋ a)－ 2f(x)| ≤2的解集为 { x|1 ≤x≤ 2}，求 a 的值．－ 2x＋ 6，x≤2，分析：(1)当 a＝ 2 时， f(x)＋ |x－ 4|＝ 2， 2<x<4，2x－ 6， x≥4，当 x≤2 时，由 f(x)≥4－ |x－ 4|得－ 2x＋ 6≥4，解得 x≤1；当 2<x<4 时， f(x)≥4－ |x－ 4|无解；当 x≥4 时，由 f(x)≥4－ |x－ 4|得 2x－ 6≥4，解得 x≥5.因此 f(x)≥4－ |x－ 4|的解集为 { x|x≤1 或 x≥5} ．(2)记 h(x)＝f(2x＋ a)－ 2f(x)，则－2a，x≤0，h(x)＝4x－ 2a， 0<x<a，2a， x≥a，a － 1a ＋ 1由 |h(x)|≤2，解得2 ≤x ≤ 2 .又已知 |h(x)|≤2 的解集为 { x|1≤x ≤2} ，a － 1＝ 1， 因此2于是 a ＝ 3.a ＋ 1＝ 2，2B 级11． (2017 沈·阳市教课质量检测 (一 ))已知函数 f( x)＝ |x －a|－ 2x(a>0) ． (1)若 a ＝ 3，解对于 x 的不等式 f(x)<0 ；(2)若对于随意的实数x ，不等式 f(x)－ f(x ＋a)<a2＋ a恒建立，务实数 a 的取值范围．2分析：(1)当 a ＝ 3 时， f(x)＝ |x － 3|－1x ，2即 |x －13|－ x<0，2x 1原不等式等价于－ 2<x － 3<2x ， 解得 2<x<6，故不等式的解集为{ x|2<x<6} ．a(2)f(x)－ f(x ＋a)＝|x － a|－ |x|＋ 2，原不等式等价于 |x － a|－ |x|<a 2，由三角绝对值不等式的性质，得 |x － a|－ |x|≤|(x －a)－x|＝ |a|，原不等式等价于 |a|<a 2，又 a>0 ，∴ a<a 2，解得 a>1.故 a 的取值范围为 (1，＋ ∞)．2． (2017 ·都市第二次诊疗性检测成)已知函数 f(x)＝ 4－ |x|－ |x － 3|.3(1)求不等式 f x ＋ 2 ≥0的解集；1＋ 1＋ 1＝ 4，求 3p ＋ 2q ＋ r 的最小值．(2)若 p ， q ， r 为正实数，且 3p 2qr3 3 333分析： (1)由 f x ＋2 ＝ 4－ x ＋ 2 － x －2 ≥0，得 x ＋ 2 ＋ x － 2 ≤4. 当 x<－3时，－ x －3－ x ＋ 3≤4，解得 x ≥－ 2，222∴－ 2≤x<－32，3 3 33≤4 恒建立，当－ ≤x ≤时， x ＋ － x ＋ 22 2 233；∴－ ≤x ≤2 2当 x>3时， x ＋3＋ x －3≤4，22 23解得 x ≤2，∴ 2<x ≤2.33综上， x ＋ 2 ＋ x －2 ≤4，3即 f x ＋ 2 ≥0 的解集为 [－ 2,2] ．(2)令 a 1＝ 3p ， a 2＝ 2q ， a 3＝ r.由柯西不等式，得1 21 212 22 2 11·a 2＋12a 1 ＋a 2 ＋a 3·(a 1＋ a ＋ a·a 1＋a 2 ·a 3＝ 9，23)≥a 1a 31 1 1即 3p ＋ 2q ＋r (3p ＋ 2q ＋ r)≥9.∵ 1 ＋ 1 1 9 3p ＋ ＝ 4，∴ 3p ＋ 2q ＋ r ≥ ，2q r4当且仅当 3p 1＝ 2q 1＝1r ＝ 43，即 p ＝1， q ＝ 3， r ＝ 3时，取等号．4 8 49∴ 3p ＋2q ＋ r 的最小值为 4.。
高考数学(文)二轮专题复习课件：第1部分 专题八 选考系列4-4、4-5 1-8-2
[ 自我挑战] 2.(2017· 高考全国卷Ⅱ)已知 a＞0，b＞0，a3＋b3＝2，证明： (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2.
证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)证明：因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2 3a＋b2 3a＋b3 ＋ 4 (a＋b)＝2＋ 4 ， 所以(a＋b)3≤8，因此 a＋b≤2.
于是 a＝3.
1．用零点区分法解绝对值不等式的步骤： (1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的 不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端 点值． 2．用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得 代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
a＋b＋c 3 定理 3：如果 a，b，c 为正数，则 3 ≥ abc，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立． 定理 4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1、a2、…、 a1＋a2＋…＋an n an 为 n 个正数， 则 ≥ a1a2…an， 当且仅当 a1＝a2＝… n ＝an 时，等号成立．
2．|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法： (1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； (2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c. 3．基本不等式 定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab.当且仅当 a＝b 时，等号 成立． a＋b 定理 2：如果 a，b 为正数，则 2 ≥ ab，当且仅当 a＝b 时， 等号成立．
1．不等式的证明常利用综合法、分析法、反证法、放缩法、 基本不等式和柯西不等式等，要根据题目特点灵活选用方法． 2．证明含绝对值的不等式主要有以下三种方法： (1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再 证明； (2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a± b|≤|a|＋|b|进行证明； (3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明．
高考数学(文科)2轮专题突破训练：专题8 选修4系列 专题能力训练21 Word版含答案
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2017年高考全国新课标数学文大二轮复习检测专题整合突
1．[2016·合肥质检]在直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α＋1，y ＝2si nα＋1(α为参数)，在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρsi nθ＋ρcos θ＝m .(1)若m ＝0时，判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)若曲线C 上存在点P 到直线l 的距离为22，求实数m 的取值范围．解 (1)曲线C 的普通方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝2，是一个圆；当m ＝0时，直线l 的直角坐标方程为：x ＋y ＝0，圆心C 到直线l 的距离为d ＝|1＋1|12＋12＝2＝r ，r 为圆C 的半径，所以直线l 与圆C 相切．(2)由已知可得，圆心C 到直线l 的距离为d ＝|1＋1－m |12＋12≤322，解得－1≤m ≤5.2．[2016·湖南四校联考]已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4si n ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)若P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的公共点，求3x ＋y的取值范围．解 (1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4si n ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6，所以ρ2＝4ρsi n ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32si nθ－12cos θ又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsi nθ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以圆C 的普通方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0. (2)设z ＝3x ＋y ，由圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －23y ＝0⇒(x ＋1)2＋(y －3)2＝4， 所以圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2，将⎩⎨⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t代入z ＝3x ＋y 得z ＝－t .又直线l 过C (－1，3)，圆C 的半径是2，所以－2≤t ≤2， 所以－2≤－t ≤2，即3x ＋y 的取值范围是[－2,2]．3．[2016·山西质检]已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos φ，y ＝2si nφ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．解 (1)C 1：ρsi n ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32，C 2：ρ2＝61＋2si n 2θ. (2)∵M (3，0)，N (0,1)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，∴OP 的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsi n ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝32得ρ1＝1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6.把θ＝π6代入ρ2＝61＋2si n 2θ得ρ2＝2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6.∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1，即P ，Q 两点间的距离为1.4．[2016·长春质量监测]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t si nα(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3.(1)求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线； (2)若曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，求|AB |的最大值和最小值．解 (1)对于曲线C 2有ρ＝8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，即ρ2＝4ρcos θ＋43ρsi nθ，因此曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －43y ＝0，其表示一个圆．(2)联立曲线C 1与曲线C 2的方程可得：t 2－23si nα·t －13＝0，|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝(23si nα)2－4×(－13)＝12si n 2α＋52，因此|AB |的最小值为213，最大值为8.5．[2016·河南六市一联]在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝t －3(t 为参数)，在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsi n 2θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积． 解 (1)由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θsi n 2θ，得ρ2si n 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x .由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝t －3，得t ＝3＋y ，代入x ＝1＋t 中，消去t 得x －y －4＝0，所以直线l 的普通方程为x －y －4＝0.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程y 2＝2x ，得t 2－8t ＋7＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝8，t 1t 2＝7，所以|AB |＝2|t 1－t 2|＝2×(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2×82－4×7＝62，因为原点到直线x －y －4＝0的距离d ＝|－4|1＋1＝22，所以△AOB 的面积是12|AB |·d ＝12×62×22＝12.6．[2016·贵阳监测]极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≥0)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋t cos α，y ＝t si nα(t 为参数，0≤α<π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C 1分别交于(不包括极点O )点A 、B 、C.(1)求证：|OB |＋|OC |＝2|OA |；(2)当φ＝π12时，B 、C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值． 解 (1)证明：依题意|OA |＝4cos φ， |OB |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4，|OC |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4， 则|OB |＋|OC |＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4＝22(cos φ－si nφ)＋22(cos φ＋si nφ) ＝42cos φ＝2|OA |.(2)当φ＝π12时，B 、C 两点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3、⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－π6，化为直角坐标为B (1，3)、C (3，－3)，所以经过点B 、C 的直线方程为y －3＝－3(x －1)，而C 2是经过点(m,0)且倾斜角为α的直线，故m ＝2，α＝2π3.7．[2016·重庆测试]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝si nα(α为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsi n ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)求曲线C 和直线l 在该直角坐标系下的普通方程；(2)动点A 在曲线C 上，动点B 在直线l 上，定点P 的坐标为(－2,2)，求|PB |＋|AB |的最小值．解 (1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos αy ＝si nα可得，(x －1)2＋y 2＝cos 2α＋si n 2α＝1，所以曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.由直线l 的极坐标方程：ρsi n ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，可得ρ(si nθ＋cos θ)＝4，即x ＋y ＝4.(2)设点P 关于直线l 的对称点为Q (a ，b )，则⎩⎨⎧－2＋a 2＋2＋b2＝4，b －2a －(－2)·(－1)＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6，由(1)知，曲线C 为圆，圆心坐标为C (1,0)， 故|PB |＋|AB |＝|QB |＋|AB |≥|QC |－1＝37－1.当Q ，B ，A ，C 四点共线，且A 在B ，C 之间时，等号成立，所以|PB |＋|AB |的最小值为37－1.8．[2016·全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a si nt (t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程； (2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足t anα0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a.解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsi nθ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsi nθ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsi nθ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8si nθcos θ＋1－a 2＝0，由已知t anθ＝2，可得16cos 2θ－8si nθcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上． 所以a ＝1.。
高三数学(文)二轮复习(全国通用)方法突破 专题八 选修4系列 Word版含答案
专题八选修4系列(限时:45分钟)【选题明细表】1.(2016·全国Ⅱ卷,理23)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0.(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2.将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0,于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11,|AB|=|ρ1-ρ2|==.由|AB|=得cos2α=,tan α=±,所以l的斜率为或-.2.(2016·陕西汉中质检)已知在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(θ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos (θ-)=.(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)设M是直线l上任意一点,过M作圆C切线,切点为A,B,求四边形AMBC面积的最小值.解:(1)圆C的参数方程为(θ为参数),所以圆C的普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4.由ρcos (θ-)=,得ρcos θ+ρsin θ=2,因为ρcos θ=x,ρsin θ=y,所以直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.(2)圆心C(3,-4)到直线l:x+y-2=0的距离为d==.由于M是直线l上任意一点,则|MC|≥d=.所以四边形AMBC面积S=2××|AC|×|MA|=|AC|·=2≥2=.所以四边形AMBC面积的最小值为.3.若a>0,b>0,且+=.(1) 求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解:(1)由=+≥,得ab≥2,且当a=b=时等号成立. 故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立.所以a3+b3的最小值为4.(2)不存在满足题意的a,b,理由:由(1)知,2a+3b≥2≥4.由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.4.(2016·湖南常德模拟)已知函数f(x)=|2x+1|-|x-1|.(1)求不等式f(x)<2的解集;(2)若关于x的不等式f(x)≤a-有解,求a的取值范围. 解:(1)当x>1时,f(x)=2x+1-(x-1)=x+2,因为f(x)<2,所以x<0此时无解;当-≤x≤1时,f(x)=2x+1-(1-x)=3x,因为f(x)<2,所以x<,此时-≤x<;当x<-时,f(x)=-2x-1-(1-x)=-x-2,因为f(x)<2,所以x>-4,此时-4<x<-;综上所述,不等式f(x)<2的解集为(-4,).(2)f(x)≤a-有解⇔f(x)min≤a-,由(1)可知f(x)=当x<-时,f(x)>-;当-≤x≤1时,-≤f(x)≤3;当x>1时,f(x)>3,所以f(x)min=-,故-≤a-⇒a2-2a-3≤0⇒-1≤a≤3. 所以a的取值范围为[-1,3].。
高三数学二轮复习冲刺提分作业第一篇专题突破专题八选修系列第2讲不等式选讲文(2021学年)
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第２讲不等式选讲时间:25分钟分值:4０分1。
已知f(x）＝|ｘ+１｜＋｜x—１|,不等式f(x）<4的解集为Ｍ。
（１)求M；(2）当ａ，b∈M时，证明:2|a+b|＜｜４＋ab|。
２。
(2017安徽合肥质量检测（一））已知函数f(x)=|ｘ—m|—|x+3ｍ|（m＞０)。
(１)当ｍ=1时，求不等式f（x)≥1的解集;（2）对于任意实数x,t,不等式ｆ(x)〈|2+ｔ|+｜t-1|恒成立，求m的取值范围.3。
（201７山西太原模拟）已知函数f(x）=|x-a｜+(ａ≠0).(1）若不等式f（x）-ｆ(ｘ+m)≤1恒成立,求实数m的最大值;(2)当ａ＜时,函数g（ｘ)=f(x)＋|2x—1｜有零点,求实数a的取值范围.4。
(2０17河南郑州质量预测（二))已知不等式|２x-３|〈x与不等式ｘ2—mx+n〈0的解集相同.（１）求m－n；（2）若a，b,c∈（0,1)，且ａｂ+bc+ａc=ｍ—n。
求a＋b+ｃ的最小值.答案精解精析1。
解析(1)f(ｘ）＝|x+1｜+|x—1｜＝当x〈-1时，由-2x<４，得-2＜x<—1;当-1≤x≤1时, f(ｘ)＝２〈4；当x>1时,由２x＜４,得1〈x＜2.∴M=(—２,2）。
高考文科数学二轮复习专题集训：专题八选修系列8.
A 级11． (2017 合·肥市第一次教课质量检测 )已知直线 l 的参数方程为x ＝ 1＋ 2t(t 为参y ＝ 3＋ 3t数) ．在以坐标原点为极点， x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为 sin θ－ 3ρcos 2θ＝ 0.(1)求曲线 C 的直角坐标方程；(2)写出直线 l 与曲线 C 交点的一个极坐标． 分析：(1) ∵sin θ－ 3ρcos 2θ＝ 0，22∴ ρsin θ－ 3ρcos θ＝ 0，即 y － 3x 2＝ 0.1(2)将 x ＝ 1＋2t ，代入 y － 3x 2＝0 得，y ＝ 3＋ 3t3＋ 3t － 31 2＝ 0，1＋ t2即 t ＝ 0，进而，交点坐标为 (1， 3)，π∴交点的一个极坐标为2，3 .π 2．(2017 ·都市第一次诊疗性检测成)在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为αα≠ 的直线2x ＝ 1＋ tcos α，l 的参数方程为 (t 为参数 )．以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，成立y ＝ tsin α极坐标系，曲线C 的极坐标方程是 ρcos 2θ－ 4sin θ＝0.(1)写出直线 l 的一般方程和曲线 C 的直角坐标方程；(2)已知点 P(1,0) ，若点 M 的极坐标为 1， π，直线 l 经过点 M 且与曲线 C 订交于 A ，B2 两点，设线段AB 的中点为 Q ，求 |PQ|的值．x ＝ 1＋ tcos α，分析：(1) ∵直线 l 的参数方程为( t 为参数 )，y ＝ tsin α∴直线 l 的一般方程为 y ＝ tan α·(x － 1)．由 ρcos 22 22－ 4y ＝ 0.θ－ 4sin θ＝ 0 得ρθ－ 4ρsi n θ＝，即 xcos∴曲线 C 的直角坐标方程为x 2＝ 4y.π(2)∵点 M 的极坐标为1，2，∴点 M 的直角坐标为(0,1)，3π∴ tan α＝－ 1，直线 l 的倾斜角α＝4.2∴直线 l 的参数方程为x＝ 1－2t，(t 为参数 )．2y＝2 t代入 x2＝ 4y，得 t2－62t＋ 2＝ 0.设 A， B 两点对应的参数分别为t1， t2.∵ Q 为线段 AB 的中点，∴点 Q 对应的参数值为t1＋t2＝62＝ 3 2.22又点 P(1,0)，则 |PQ|＝t1＋ t2＝3 2.23．已知曲线 C1的参数方程是x＝ 2cos φ，x 轴的正(φ为参数 )，以坐标原点为极点，y＝ 3sin φ半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝ 2，正方形 ABCD 的极点都在 C2上，且 A， B， C，D 依逆时针序次摆列，此中点 A 的极坐标为π2，3 .(1)求点 A，B， C， D 的直角坐标；(2)设 P 为 C1上随意一点，求 |PA|2＋ |PB|2＋ |PC|2＋ |PD |2的取值范围．π5π4π11π分析： (1)由题可知点A，B，C，D 的极坐标分别为 2，3，2，6，2，3，2，6 .所以点 A，B，C，D 的直角坐标分别为(1， 3)，(－3，1)，(－ 1，－3)，(3，－ 1)．x0＝ 2cos φ，(2)设 P(x0， y0)则3sin φ(φ为参数 )，y0＝t＝ |PA|2＋ |PB|2＋ |PC|2＋ |PD |2＝ 4x20＋ 4y02＋ 16＝ 32＋ 20sin2φ∈ [32,52] ．4． (2017 ·国卷Ⅱ全 )在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为ρcos θ＝ 4.(1)M 为曲线 C1上的动点，点P 在线段 OM 上，且知足 |OM| ·|OP |＝16，求点P 的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点 A 的极坐标为2，π，点 B 在曲线 C2上，求△ OAB 面积的最大值．3分析： (1)设 P 的极坐标为 (ρ，θ)(ρ＞ 0)， M 的极坐标为 (ρ，θ)( ρ＞ 0)．11由题设知 |OP|＝ρ，|OM |＝ρ＝41cos θ由 |OM | ·|OP|＝ 16 得 C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ＞0)．所以 C 2 的直角坐标方程为 (x － 2)2＋ y 2＝ 4(x ≠0)．， α)( ρ＞ 0)．(2)设点 B 的极坐标为 ( ρBB由题设知 |OA|＝ 2， ρ＝B 4cos α，于是△ OAB 的面积 S ＝ 1|OA| ρ·B ·sin ∠AOB2＝ 4cos α·sin α－ π3＝ 2 sin 2α－ π－ 3≤2＋ 3. 32当 α＝－ π时， S 获得最大值 2＋ 3.12 所以△ OAB 面积的最大值为2＋ 3.5．将圆 x 2＋ y 2＝1 上每一点的横坐标变成本来的2 倍，纵坐标变成本来的3 倍，得曲线 Γ.(1)写出 Γ的参数方程；(2)设直线 l ：3x ＋ 2y － 6＝ 0 与 Γ的交点为 P 1， P 2，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，求过线段 P 1P 2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程．分析：(1) 设(x 1， y 1)为圆上的点，在已知变换下变成Γ上的点 (x ， y)，x ＝2x 1x 1＝x依题意，得，即2 .y ＝3y 1yy 1＝32 2 x 2 y 2x 2 y 2由 x ＋ y＝ 1 得＋＝ 1.即曲线 Γ的方程为＋＝ 1.112349故 Γ的参数方程为x 2＝ 2cos t (t 为参数 )．y ＝ 3sin t22x＋ y＝ 1x ＝ 2 x ＝ 0 .(2)由 49，解得，或3x ＋ 2y － 6＝ 0y ＝ 0y ＝ 33不如设 P 1(2,0) ， P 2(0,3)，则线段 P 1P 2 的中点坐标为1， 2 ，2所求直线的斜率 k ＝ 3.3 2 于是所求直线方程为y － ＝ (x － 1)，2 3即 4x －6y ＋ 5＝ 0.化为极坐标方程，得 4ρcos θ－ 6ρsin θ＋ 5＝ 0.26． (2017 福·州市综合质量检测 )已知直线 lx＝ m＋2 t，的参数方程为2(t 为参数 )，y＝2 t以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，椭圆 C 的极坐标方程为22ρcos θ＋22θ＝12，其左焦点 F 在直线 l 上．3ρsin(1)若直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，求 |FA| ·|FB|的值；(2)求椭圆 C 的内接矩形周长的最大值．分析： (1)将曲线2222x2＋y2C 的极坐标方程ρθ＋ 3ρ θ＝12化为直角坐标方程，得cos sin124＝1，则其左焦点 F(－22， 0)，则 m＝－ 22.2x＝m＋2 t，x2y2将直线 l 的参数方程(t 为参数 )与曲线 C 的方程12＋4＝ 1联立，2y＝2 t化简可得 t2－ 2t－2＝ 0，由直线 l 的参数方程的几何意义，令 |FA|＝ |t1 |， |FB|＝ |t2 |，则 |FA| ·|FB|＝ |t1t2|＝ 2.22x y(2)由曲线 C 的方程＋＝1，可设曲线 C 上的随意一点P 的坐标为 (23cos θ， 2sinπθ) 0<θ<2，则以 P 为极点的内接矩形的周长为4×(2 3cos θ＋ 2sin θ)＝ 16sinθ＋π，3π所以当θ＝时，可得该内接矩形周长的最大值为16.6B 级x＝ 3cos α1．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为(α为参数 )，在以原点y＝ sin απ为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin θ－4＝ 2.(1)求 C 的一般方程和 l 的倾斜角；(2)设点 P(0,2)， l 和 C 交于 A， B 两点，求 |PA|＋ |PB|.x＝ 3cos αx22分析： (1) 由y＝sinα消去参数α，得9＋ y ＝ 1，即 C 的一般方程为x 2＋ y 2＝ 1.9π由 ρsin θ－4 ＝ 2，得 ρsin θ－ ρcos θ＝ 2， (*) x ＝ρcos θ将代入 (*) ，化简得 y ＝ x ＋2，y ＝ρsin θπ所以直线 l 的倾斜角为 4.πx ＝ tcos 4(t 为参数 )，(2)由 (1) 知，点 P(0,2)在直线 l 上，可设直线 l 的参数方程为y ＝2＋ tsin π42x ＝ 2 t( t 为参数 )，即2y ＝ 2＋ 2 t代入 x2＋ y 2＝ 1 并化简，得 5t 2＋18 2t ＋27＝ 0，9＝ (18 2) 2－ 4×5×27＝ 108>0，设 A ， B 两点对应的参数分别为 t 1， t 2，则 t 1＋ t 2＝－ 18 2 ， t 1t 2＝ 27>0，所以 t 1<0， t 2<0，5 <0 5所以 |PA|＋ |PB|＝ |t 1|＋ |t 2|＝－ ( t 1＋ t 2)＝182 5 .2．(2017 新·疆第二次适应性检测x ＝ 4t 2，( t 为参数 )的两条)已知 AB 和 CD 是曲线 C ：y ＝ 4t订交于点 P(2,2)的弦，若 AB ⊥CD ，且 |PA| |PB|·＝ |PC| ·|PD |.(1)将曲线 C 化为一般方程，并说明它是什么曲线； (2)试求直线 AB 的方程．分析： (1)由 y ＝ 4t 得 y 2＝ 16t 2，而 x ＝4t 2，∴ y 2＝4x ，它表示一条抛物线．(2)设直线 AB 和 CD 的倾斜角分别为 α， β，则直线 AB 和 CD 的参数方程分别为x ＝ 2＋ mcos α， x ＝ 2＋ m ′ cos β，② .y ＝2＋ msin α①和y ＝ 2＋m ′ sin β把①代入 y 2＝ 4x 中，得 m 2 sin 2α＋4(sin α－ cos α)m － 4＝ 0 ③，依题意知 sin α≠0，且方程③的鉴别式 ＝ 16(sin α－cos α)2＋ 16sin 2α>0，∴方程③有两个不相等的实数解m 1， m 2 ，且 m 1m 2＝ －24④，sin α由 m 的几何意义知 |PA|＝ |m 1|， |PB|＝ |m 2|，∴|PA| ·|PB|＝ |m1m2|＝sin 42α⑤，4同理 |PC| ·|PD |＝2⑥，sin β由 |PA| ·|PB|＝ |PC| ·|PD |知42＝sin α4 2，即 sin2α＝ sin2β.∵ 0≤α≤π， 0≤β≤π，且α≠β，∴ α＝π－β，ππ∵ AB⊥ CD ，∴β＝α＋或α＝β＋，22∴直线ABπ 3π的倾斜角α＝或，4 4∴ k AB＝ 1 或 k AB＝－ 1.故直线 AB 的方程为y＝ x 或 x＋ y－4＝ 0.。
(全国通用)高三数学二轮复习专题突破专题八选修系列课件文
解:(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.
解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.
(2)当x∈R时,
f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|
≥|2x-a+1-2x|+a
=|1-a|+a,
当x= 时等号成立,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a
x 3 cos,
y
sin
(α为参数),以坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建
立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为ρsin(θ+ π )=2 2 . 4
(1)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程;
解:(1)C1 的普通方程为 x2 +y2=1,C2 的直角坐标方程为 x+y-4=0. 3
3
当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2. 所以(suǒyǐ)f(x)>1的解集为2 {x| <x<2}.
3
第七页，共42页。
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积(miàn jī)大于6,求a的取值范围.
x 1 2a, x 1, 解:(2)由题设可得,f(x)= 3x 1 2a,1 x a,
≥3. 1
(*)
当a≤12时,(*)等价于1-a+a≥3,无解(wú jiě).
当a>1时,(*)等价于a-1+a≥3,解得a≥2.
所以a的取值范围是[2,+∞).
第九页，共42页。
高考感悟 1.考查角度 (1)坐标系与参数方程主要考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程化为普通方程以 及参数方程与极坐标的综合应用. (2)不等式选讲主要考查平均不等式的应用,绝对值三角不等式的理解及应用、含绝 对值不等式的解法、含参不等式解法和恒成立问题(wèntí)以及不等式的证明方法: 比较法、综合法、分析法、放缩法及它们的应用.其中绝对值不等式的解法及证明方 法的应用是重点. 2.题型及难易度 解答题.难度中档.
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专题八选修4系列
(限时:45分钟)
【选题明细表】
知识点、方法题号
极坐标与参数方程1，2,
不等式选讲3，4,
1.(2016·全国Ⅱ卷,理23)在直角坐标系x O y中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,
|AB|=,求l的斜率.
解:(1)由x=ρc o sθ,y=ρs i nθ可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ
∈R).
设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2.
将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得
ρ2+12ρcos α+11=0,
于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11,
|AB|=|ρ1-ρ2|==.
由|AB|=得cos2α=,tan α=±,
所以l的斜率为或-.
2.(2016·陕西汉中质检)已知在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(θ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos
(θ-)=.
(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(2)设M是直线l上任意一点,过M作圆C切线,切点为A,B,求四边形AMBC面积的最小值.
解:(1)圆C的参数方程为(θ为参数),
所以圆C的普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4.
由ρcos (θ-)=,得ρcos θ+ρsin θ=2,
因为ρcos θ=x,ρsin θ=y,
所以直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.
(2)圆心C(3,-4)到直线l:x+y-2=0的距离为
d==.
由于M是直线l上任意一点,则|MC|≥d=.
所以四边形AMBC面积
S=2××|AC|×|MA|
=|AC|·
=2≥2
=.
所以四边形AMBC面积的最小值为.
3.若a>0,b>0,且+=.
(1) 求a3+b3的最小值;
(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
解:(1)由=+≥,得ab≥2,且当a=b=时等号成立. 故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立.
所以a3+b3的最小值为4.
(2)不存在满足题意的a,b,理由:
由(1)知,2a+3b≥2≥4.
由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.
4.(2016·湖南常德模拟)已知函数f(x)=|2x+1|-|x-1|. (1)求不等式f(x)<2的解集;
(2)若关于x的不等式f(x)≤a-有解,求a的取值范围. 解:(1)当x>1时,f(x)=2x+1-(x-1)=x+2,
因为f(x)<2,
所以x<0此时无解;
当-≤x≤1时,f(x)=2x+1-(1-x)=3x,
因为f(x)<2,
所以x<,
此时-≤x<;
当x<-时,f(x)=-2x-1-(1-x)=-x-2,
因为f(x)<2,
所以x>-4,
此时-4<x<-;
综上所述,不等式f(x)<2的解集为(-4,).
(2)f(x)≤a-有解⇔f(x)min≤a-,
由(1)可知f(x)=
当x<-时,f(x)>-;
当-≤x≤1时,-≤f(x)≤3;
当x>1时,f(x)>3,
所以f(x)min=-,
故-≤a-⇒a2-2a-3≤0⇒-1≤a≤3.
所以a的取值范围为[-1,3].。