上海市嘉定区2014届高考第三次质量调研数学试卷文
2014学年上海市嘉定区高三年级第三次质量调研数学试卷(文)带答案
2014学年嘉定区高三年级第三次质量调研数学试卷（文）考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．一．填空题（本大题有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知复数i a z +=1，i z -=12（其中R ∈a ，i 为虚数单位），若21z z ⋅为纯虚数，则a 的值为___________．2．函数)21lg(x y -=的定义域是_____________．3．已知直线l 的一个法向量为)3,1(-=n，则直线l 的倾斜角=α__________． 4．函数xx xx y cos cos cos 2sin 2-=的最大值是_________________．5．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且62S S =，14=a ，则=5a __________． 6．若关于x 的不等式4632>+-x ax 的解集为1{<x x 或}b x >，则实数b 的值为______．7．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点与双曲线1322=-y x 的右焦点重合，则抛物线C 的 标准方程是___________________．8．若实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥-+,2,2,02y x y x 则y x z +=2的最大值为________．9．按下图所示的程序框图运算：若输入17=x ，则输出的x 值是 ．10．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为1S 、2S ，体积分别为1V 、2V ，若它们的侧面积相等，且9421=S S ，则=21V V___________． 11．将6个函数x x f tan )(1=，||22)(x x f =，x x f =)(3，x x f sin )(4=，25)(x x f =，)1|lg(|)(6+=x x f ，分别写在6张小卡片上，放入盒中．现从盒子中任取2张卡片，将卡片上的两个函数相乘得到一个新函数，则所得函数是偶函数的概率为______（结果 用最简分数表示）． 12．已知正方形ABCD 的边长为1，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ．若}3,2,1{,∈j i 且j i ≠，则CD a a j i ⋅+)(的所有可能取值的集合为_______．13．已知数列}{n a 是递增数列，且对*N ∈n 都有n n a n λ+=2，则实数λ的取值范围是________________．14．已知函数x x x f cos )(2-=，对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上的任意1x ，2x ，有如下条件：①21x x >； ②2221x x >；③21||x x >，其中能使)()(21x f x f >恒成立的条件序号是____________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．若非零向量a ，b 满足||||b a =，b b a⊥+)2(，则a 与b 的夹角大小为…………（ ） A ．︒30 B ．︒60 C ．︒90 D ．︒12016．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是1DD 的中点，Q 是AB 上的动点，若以平面ABCD 为俯视图的投影平面，则三棱锥DCQ P -的主视图与俯视图的面积比是 …………………………………………………………………………………………（ ）A ．21B ．41C ．61D ．8117．若函数)(x f 对任意实数x 都满足)2()1()(---=x f x f x f ，则………………（ ）A ．)(x f 是周期为2的周期函数B ．)(x f 是周期为4的周期函数C ．)(x f 是周期为6的周期函数D ．)(x f 不是周期函数18．设R ∈n m ,，直线01=-+ny mx 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，若直线l 与圆322=+y x 相切，则△OAB （O 为坐标原点）面积的最小值是…………………（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5CDP C 1 B 1A 1D 1三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知函数x xx xx f sin 2cos sin 2cos )(++=．（1）求)(x f 的定义域和最小正周期；（2）若22)(=θf ，且),0(πθ∈，求θcos 的值．20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面A B C D ，AD AB ⊥，1=PA ，4=+AD AB ，2=CD ，︒=∠45CDA ．（1）若PB 与平面ABCD 所成的角为︒45，求异面直线PB 与CD 所成角的大小； （2）求四棱锥ABCD P -体积V 的最大值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数)3(1)(b ax f x-=的图像过点)2,1(A 和)5,2(B ． （1）求a 、b 的值及)(x f 的反函数)(1x f -的解析式；（2）当]2,1[∈x 时，求函数)(21)14(log )(19x f x x H --+=的值域．PA B DC22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知抛物线Γ：py x 22=（0>p ）的焦点F 到直线l ：02=--y x 的距离为223． （1）求抛物线Γ的方程； （2）过点⎪⎭⎫⎝⎛-23,21P 作两条不与x 轴垂直的直线1l ，2l ，若1l ，2l 分别与抛物线Γ有且只有一个公共点A 、B ，求直线AB 的方程；（3）过点)2,0(M 任作一直线与抛物线Γ交于P 、Q 两点，过Q 作y 轴的平行线与直线PO 相交于点R （O 为坐标原点），证明：动点R 在定直线上，并求出定直线的方程．．23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．将矩阵的乘法运算⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛dy cx by ax y x d c b a 称为“直角坐标平面上的点),(y x 在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a 的作用下变换成点),(dy cx by ax ++．” （1）设点)1,2(-M 在矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110的作用下变换成点M '，求点M '的坐标；（2）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，点),(n S A n 在矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110的作用下变换成的点A '在函数x x x f +=2)(的图像上，求数列}{n a 的通项公式；（3）在（2）的条件下，设}{n b 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n a 11的前n 项的积，是否存在实数a 使得不等式a a b n n <+⋅1对一切*N ∈n 都成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．2014学年嘉定区高三年级第三次质量调研 数学试卷（文）参考答案与评分标准一．填空题（本大题有14题，满分56分）1．1- 2．)0,(-∞ 3．6π4．12+ 5．1- 6．2 7．x y 82= 8．6 9．143 10．3211．5212．}2,1{-- 13．),3∞+-（ 14．②二．选择题（本大题共有4题，满分20分）15．D 16．A 17．C 18．B三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．（1）要使得函数)(x f 有意义，只需0cos sin ≠+x x 即可，即1tan -≠x ，……（1分） 所以，函数)(x f 的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠Z k k x x ,4ππ．………………（3分） x x x x x x x x x x x x f cos sin sin 2cos sin sin cos sin 2cos sin 2cos )(22+=++-=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 2πx ，……………………（5分）所以，)(x f 的最小正周期π2=T ． ……………………………………（6分）（2）224sin 2)(=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πθθf ，所以214sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθ， ………………（2分） 因为),0(πθ∈，所以⎪⎭⎫⎝⎛∈+45,44πππθ，故654ππθ=+，465ππθ-=，…（3分） 所以，462222122234sin 65sin 4cos 65cos 465cos cos -=⋅+⋅-=+=⎪⎭⎫⎝⎛-=ππππππθ． ………………………………（6分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．（1）由题意，︒=∠45PBA ，所以1==PA AB ， …………………………（1分） 在AD 上取点E ，使得1=AE ，连结BE ，PE ，则︒=∠45BEA ， 因为︒=∠45CDA ，所以BE ∥CD ，所以PBE ∠就是异面直线PB 与CD 所成的角， ………………………………（3分）在△PBE 中，2===PE BE PB ，所以︒=∠60PBE ． 所以，异面直线PB 与CD 所成角为︒60． …………（6分）（2）在底面ABCD 内，作AD CF ⊥，F 为垂足， 因为2=CD ，︒=∠45CDA所以△CDF 是等腰直角三角形， ………………（1分） PABDC F1==FD CF ，故3=+AF AB ， ………………………………（3分） 所以，CD F ABCF ABCD S S S ∆+= 21)1(2121)(21+⋅+=⋅+⋅+=AF AB FD CF AF CF AB 21)3)(1(21+-+=AB AB 25)1(212+--=AB ． …………………………………………（6分）所以，当且仅当1=AB 时，ABCD S 取最大值25． ……………………（7分）此时，四棱锥ABCD P -体积V 取最大值，且65max =V ． ……………（8分）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．（1）由题意得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=,)3(15,)3(122b a b a解得⎩⎨⎧-==,1,2b a ………………（2分）所以)13(21)(+=x x f ．由)13(21+=x y ，得123-=y x ，故31>y ． ……（4分）)12(log 3-=y x ， ……………………………………………………（5分）所以反函数)12(log )(31-=-x x f （21>x ）． ……………………………（6分）（2）1214log )12(log 21)14(log 21)(333-+=--+=x x x x x H 1232log 3-+=x ， …………………………………………………（2分）因为123-=x t 在]2,1[∈x 上是减函数，所以]3,1[∈t ， ………………（5分） 所以]5,3[1232∈-+x ， ………………………………（6分）所以，函数)(x H 的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡5log 21,213． …………………………………（8分）22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．（1）抛物线C 的焦点为⎪⎭⎫⎝⎛2,0p F ，由题意，2232|22|=+p ， …………（1分） 解得2=p ． ………………………………………（3分）所以，抛物线C 的方程为y x 42=． ………………………………………（4分）（2）设直线PA 、PB 的方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+2123x k y ，代入抛物线方程，得023242=++-k kx x ， ………………………………………………（1分）由△0=，得0322=--k k ，解得11-=k ，232=k ， ………………（3分） 将11-=k 代入023242=++-k kx x ，得)1,2(-A ，同理得⎪⎭⎫⎝⎛49,3B ， ……（5分） 所以，直线AB 的方程为064=+-y x ． ………………………………（6分） （3）由题意，设直线PQ 的方程为2+=kx y ， …………………………（1分）代入y x 42=得0842=--kx x ，设),(p P y x P ，),(Q Q y x Q ，则8-=Q P x x ，…（2分） 又直线PO 的方程为x x y y PP=，即x x y P 4=， …………………………（3分）又直线QR 的方程为Q x x =，解得交点⎪⎪⎭⎫⎝⎛4,Q P Q x x x R ，即)2,(-Q x R ．……（5分） 所以，点R 在定直线2-=y 上． …………………………………………（6分）23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．（1）由已知，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛21120110， ………………………………（3分） 所以点M '的坐标为)2,1(-． ………………………………（4分）（2）因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n S n n S 0110，所以),(n S n A '， …………………………（2分） 因为点A '在函数x x x f +=2)(的图像上，所以n n S n +=2． ………………（3分） 当1=n 时，211==S a ， ………………………………………………（4分） 当2≥n 时，n S S a n n n 21=-=-，21=a 也满足此式． …………………（5分）所以，数列}{n a 的通项公式为n a n 2=（*N ∈n ）． …………………………（6分） （3）由已知，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n a a a b 11111121 ， …………………………（1分）设1)(+⋅=n n a b n F ，则21)22(32)(12(12322212123211)()1(+++=++⋅++=++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++n n n n n n n n n a n F n F n 148438422<++++=n n n n ，所以)1()(+>n F n F ，即)(n F 单调递减． …………………………………（5分）所以，当1=n 时，)(n F 取得最大值23． ……………………………………（6分） 要使得不等式a a b n n <+⋅1对一切*N ∈n 都成立，只需23>a ． …………（7分）综上，a 的取值范围是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+,23． ……………………………………（8分）。
数学_2014年上海市嘉定区高考数学三模试卷(理科)_(含答案)
2014年上海市嘉定区高考数学三模试卷（理科）一．填空题（每小题4分，满分56分） 1. 已知x ∈C ，且x 2=−4，则x =________． 2. 方程lg(x −3)+lgx =1的解x =________．3. 已知集合A ={x|x 2+2x −8<0, x ∈Z}，集合B ={x|x −2|<3, x ∈R}，则A ∩B =________．4. 函数y =cos(2x −π3)的单调递减区间是________．5. 若函数y =2x+1x−a的图象关于直线y =x 对称，则实数a 的值为________．6. 若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积为________．7. 已知α、β均为锐角，且cos(α+β)＝sin(α−β)，则tanα＝________．8. 已知向量a →=(cosθ, sinθ)(θ∈[0, π])，b →=(√3, −1)，则|2a →−b →|的取值范围是________． 9. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =2+2cosθy =−√3+2sinθ（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 上两点A 、B 的极坐标分别为(2, 0)、(2√33, π2)，则直线l 与圆C 的位置关系是________． 10. 计算：lim n →∞1+2+4+⋯+2nC n 1+C n 2+⋯+C nn =________． 11. 若函数f(x)是R 上的奇函数，g(x)是R 上的偶函数，且满足f(x)−g(x)=e x ，将f(2)、f(3)、g(0)按从小到大的顺序排列为________．12. 在等差数列{a n }中，a n ≠0，当n ≥2时，a n+1−a n 2+a n−1=0，若S 2k−1=46，则k 的值为________．13. 如图，F 为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(b >a >0)的右焦点，过F 作直线l 与圆x 2+y 2＝b 2切于点M ，与双曲线交于点P ，且M 恰为线段PF 的中点，则双曲线的渐近线方程是________．14. 函数f(x)=cos(πx)与函数g(x)=|log 2|x −1||的图象所有交点的横坐标之和为________．二．选择题（每小题5分，满分20分）15. 若a 、b 为实数，则“a 2+b 2<1”是“|a|<1，|b|<1”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 16. 已知随机变量ξ的分布律如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若ξ的均值E(ξ)=43，则ξ的方差D(ξ)等于（ ） A 19 B 13 C 59 D 7917. 已知平面上三条直线x −2y +1=0，x −1=0，x +ky =0，如果这三条直线将平面分为六部分，则实数k 的个数是（ ） A 4 B 3 C 2 D 118. 若a >1，设函数f(x)=a x +x −4的零点为m ，g(x)=log a x +x −4的零点为n ，则1m+1n 的取值范围是( ) A (72,+∞) B (92,+∞) C (1, +∞) D (4, +∞)三．解答题（本大题共有5题，满分74分）19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥底面ABCD ，点M 是棱PC 的中点，AM ⊥平面PBD ． （1）求四棱锥P −ABCD 的体积；（2）求直线PC 与平面AMD 所成角的大小．20. 如图，某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y =Asinωx(A >0, ω>0)x ∈[0, 4]的图象，且图象的最高点为S(3,2√3)；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP =120∘.(1)求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？21. 在等比数列{a n }中，公比q ≠1，等差数列{b n }满足b 1＝a 1＝3，b 4＝a 2，b 13＝a 3． （1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）记c n ＝(−1)n ⋅b n +a n ，求数列{c n }的前n 项和S n ．22. 已知点A(−2, 0)，B(2, 0)，动点C 、D 依次满足|AC →|=2，AD →=12(AB →+AC →)． （1）求动点D 的轨迹方程；（2）过点A 作直线l 交以A 、B 为焦点的椭圆于M 、N 两点，若线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线l与圆x2+y2=1相切，求该椭圆的方程；（3）经过（2）中椭圆的上顶点G作直线m、n，使m⊥n，直线m、n分别交椭圆于点P、Q．求证：PQ必过y轴上一定点．23. 已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)在区间[2, 3]上的最大值为4，最小值为1，记f(x)=g(|x|)．（1）求实数a，b的值；（2）若不等式f(log2k)>f(2)成立，求实数k的取值范围；（3）对于任意满足p=x0<x1<x2<...<x n−1<x n=q(n∈N∗, n≥3)的自变量x0，x1，x2，…，x n，如果存在一个常数M>0，使得定义在区间[p, q]上的一个函数m(x)，|m(x1)−m(x0)|+|m(x2)−m(x1)|+...+|m(x n)−m(x n−1)|≤M恒成立，则称函数m(x)为区间[p, q]上的有界变差函数．试判断函数f(x)是否区间[1, 3]上的有界变差函数，若是，求出M的最小值；若不是，请说明理由．2014年上海市嘉定区高考数学三模试卷（理科）答案1. ±2i2. 53. {0, 1}4. [kπ+π6, kπ+2π3](k∈Z)5. 26. 4π或8π7. 18. [√6−√2, 4]9. 相交10. 211. g(0)<f(2)<f(3)12. 1213. y＝±2x14. 415. A16. C17. B18. C19. 解：（1）以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．…则A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(1, 1, 0)，D(0, 1, 0)， …设PA =a ，则P(0, 0, a)，因为M 是PC 中点，所以M(12, 12, a2)，…所以AM →=(12, 12, a2)，BD →=(−1, 1, 0)，BP →=(−1, 0, a)．… 因为AM ⊥平面PBD ，所以AM →⊥BD →，AM →⊥BP →， 所以−12+a 22=0，解得a =1．…所以PA =1，四棱锥P −ABCD 的体积为13． … （2）AM →=(12, 12, 12)，AD →=(0, 1, 0)，设平面AMD 的一个法向量为n →=(x, y, z)，则{x +y +z =0y =0，可得n →=(−1, 0, 1)，…又CP →=(−1, −1, 1)，设CP →与n →的夹角为θ，则cosθ=√63．… 所以，直线PC 与平面AMD 所成角的大小为arcsin √63． … 20. 解：(1)因为图象的最高点为S(3,2√3)， 所以A =2√3，由图知y =Asinωx 的周期为T =12，又T =2πω，所以ω=π6， 所以y =2√3sin π6x ， 所以M(4, 3)，P(8, 0)，|MP|=√(8−4)2+32=5.(2)在△MNP 中，∠MNP =120∘， 故θ∈(0∘, 60∘) 由正弦定理得5sin120∘=NP sinθ=MNsin(60∘−θ)，所以NP =10√33sinθ，MN =10√33sin(60∘−θ)设使折线段赛道MNP 为L 则 L =10√33sin(60∘−θ)+10√33sinθ =10√33[sin(60∘−θ)+sinθ]=10√33sin(θ+60∘) 所以当角θ=30∘时L 的最大值是10√33．21. 设等比数列{a n }的公比为q(q ≠1)，等差数列{b n }的公差为d ． 由已知得：a 2=3q,a 3=3q 2，b 1＝3，b 4＝3+3d ，b 13＝3+12d ，所以{3q =3+3d 3q 2=3+12d ⇒{q =1+d q 2=1+4d⇒q =3或 q ＝1（舍去），所以，此时 d ＝2，所以，a n =3n ，b n ＝2n +1；由题意得：c n =(−1)n b n +a n =(−1)n (2n +1)+3n ，S n ＝c 1+c 2+...+c n ＝(−3+5)+(−7+9)+...+(−1)n−1(2n −1)+(−1)n (2n +1)+3+32+...+3n ，当n 为偶数时，S n =n +3n+12−32=3n+12+n −32，当n 为奇数时，S n =(n −1)−(2n +1)+3n+12−32=3n+12−n −72，所以，S n ={3n+12+n −32(n)3n+12−n −72(n)．22. （1）解：设C(x 0, y 0)，D(x, y)，则AC →=(x 0+2, y 0)，… 又AB →=(4, 0)，AD →=(x +2, y)=(x 02+3, y02)，则{x 0=2x −2y 0=2y，…代入|AC →|2=(x 0+2)2+y 02=4，得x 2+y 2=1，…即动点D 的轨迹方程为x 2+y 2=1． …（2）由题意，直线l 的斜率存在．设l 的方程为y =k(x +2)， 设椭圆的方程为x 2a 2+y 2a 2−4=1(a >2)，… 由{y =kx +2x 2a 2+y 2a 2−4=1，得(a 2k 2+a 2−4)x 2+4a 2k 2−a 4+4a 2=0．…由l 与圆x 2+y 2=1相切，得√k 2+1=1，k 2=13，…得(a 2−3)x 2+a 2x +4a 2−34a 4=0．设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−a 2a 2−3． … 又线段MN 中点到y 轴的距离|x 1+x 22|=a 22(a 2−3)=45，∴ a 2=8．…∴ 所求椭圆的方程为x 28+y 24=1． …（3）由（2）知G(0, 2)，设直线m:y =kx +2，代入椭圆方程得x 2+2(kx +2)2=8，即(2k 2+1)x 2+8kx =0，… 解得P(−8k1+2k 2,2−4k 21+2k 2)． …同理，直线n 的方程为y =−1k x +2，Q(8k k 2+2,2k 2−4k 2+2)． …故直线PQ 的方程为y −2−4k 21+2k 2=k 2−13k(x +8k1+2k 2)，…令x =0，得y =−23． …∴ 直线PQ 经过定点(0, −23)． …23. 解：（1）∵ g(x)=a(x −1)2+1+b −a ， 又a >0，∴ g(x)在区间[2, 3]上是增函数， 故{g(2)=1g(3)=4， 解得：a =1，b =0．（2）由（1）得：g(x)=x 2−2x +1， 故f(x)=x 2−2|x|+1是偶函数，∴ 不等式f(log 2k )>f(2)可化为|log 2k|>2， 解得：k ∈(0, 14)∪(4, +∞)．（3）∵ f(x)={x 2−2x +1，x ≥1x 2+2x +1，x <1，∴ f(x)为[1, 3]上的单调递增函数，则对于任意满足1=x 0<x 1<x 2<...<x n−1<x n =3(n ∈N ∗, n ≥3)的自变量x 0，x 1，x 2，…，x n ，有f(1)=f(x 0)<f(x 1)<f(x 2)<...<f(x n−1)<f(x n )=f(3)， ∴ |f(x 1)−f(x 0)|+|f(x 2)−f(x 1)|+...+|f(x n )−f(x n−1)| =f(x 1)−f(x 0)+f(x 2)−f(x 1)+...+f(x n )−f(x n−1) =f(x n )−f(x n−1) =f(3)−f(1) =4，∴ 存在常数M ≥4，使得|m(x 1)−m(x 0)|+|m(x 2)−m(x 1)|+...+|m(x n )−m(x n−1)|≤M ． 函数f(x)为区间[1, 3]上的有界变差函数．即M 的最小值为4．。
学年上海市嘉定区高三年级第三次质量调研文科数学试卷.doc
2010学年嘉定区高三年级第三次质量调研数学试卷（文科）考生注意：1．答卷前，考生务必将学校、班级、姓名、考号等在试卷相应位置填写清楚．2．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用黑色钢笔或圆珠笔将答案直接填写在试卷上．一．填空题（本大题共有14题，每小题4分，满分56分）将结果填写在题目的横线上． 1．设集合}35{<<-=x x A ，}42{<<-=x x B ，则=B A ___________．2．已知向量)cos ,(sin x x a =，)2,1(-=b ，且b a ⊥，则=x tan _________．3．函数xxy 21lg -=的定义域是______________．4．已知二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-311111，则此方程组的解是 _________________．５．在等差数列}{n a 中，若公差0≠d ，且2a ，3a ，6a 成等比数列，则公比=q ________． ６．函数x x y 22sin cos -=的最小正周期是______________．７．设*N n ∈，nx )12(+展开式各项系数之和为n a ，nx )13(+展开式各项系数之和为b ，则=++++∞→1132limn n nn n b a b a __________．8．点)1,2(-P 为圆25)3(22=+-y x 的弦的中点， 则该弦所在直线的方程是__________．9．设x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≤-02220x y x y x ，则y x z 3-=的最小值是_______．10．执行如图所示的程序框图，若输入的5.10-=x ， 则输出y 的结果为 ．第10题图11．已知长方体的三条棱长分别为1，1，2，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为____________．12．从0，1，2，3，4这五个数中随机取2个数组成一个二位数，则这个二位数为偶数的概率是_________________．13．椭圆12922=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若4||1=PF ，则21PF F ∠的大小为_________________．14．已知集合M 是满足下列两个条件的函数)(x f 的全体：①)(x f 在定义域上是单调函数；②在)(x f 的定义域内存在闭区间],[b a ，使)(x f 在],[b a 上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2b a ．则下列函数中，是集合M 中的元素有________________（将所有符合条件的序号都填上）． （1）2)(x x f =；（2）xx f 2)(=；（3）x x f 2log )(=；（4）x x f 4tan 21)(π=，)2,2(-∈x ．二．选择题（本大题共有4题，每小题5分，满分20分）请将正确选项的字母填写在题后括号内．15．若函数)(x f 的定义域是R ，则“0)0(=f ”是“)(x f 为奇函数”的…………（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 16．若b a >，则下列不等式中正确的是…………………………………………………（ ）A ．ba 11< B ．22b a > C ．33b a > D ．||b a > 17．设△ABC 满足32-=⋅，0150=∠BAC ，则△ABC 的面积等于……………………………………………………………………………………………（ ） A ．1 B ．2 C ．32 D ．418．已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,44)(2x x x x x x f ，则关于x 的方程x x f 2log )(=的解的个数是……………………………………………………………………………………………（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答各题必须写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．设复数i z +=αsin 1，i m m z )cos (2α-+=，其中i 为虚数单位，)2,0[πα∈，R m ∈且21z z =．（1）求α的值；（2）设ααsin cos i t +=，求121)(-++++=n t t t t f （*N n ∈）．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分在三棱锥BCD A -中，⊥AD 面BCD ，CD BD ⊥，2==BD AD ，32=CD ，E 是AC 的中点．（1）给出该三棱柱的主视图，请在指定位置画出它的左视图和俯视图； （2）设E 为AC 的中点，求异面直线AB 与DE 所成角的大小（用反三角函数值表示）；（主视图） ED A B 左视图 俯视图21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分火山喷发后，会在喷发区及周边地区地面上堆积起大量火山灰．在一次火山喷发停止后对地面火山灰的堆积量进行测量，设定距离喷口中心50m 内的圆形区域为第1区，距离喷口中心50m 至100m 的圆环形区域为第2区，距离喷口中心100m 至150m 的圆环形区域为第3区，…，距离喷口中心)1(50-n m 至n 50m 的圆环形区域为第n 区…．测得第1区火山灰堆积重量平均为1000kg 2/m ，第2区火山灰每平方米的平均重量比第1区减少%2，第3区比第2区又减少%2，…，依此类推（题中*N n ∈,m 表示长度单位米，kg 表示重量单位千克）．（1）若第n 区平均每平方米火山灰的堆积重量为n a （kg ），写出n a 的表达式； （2）第几区内的火山灰的总重量最大？小题满分6分如图，已知椭圆1222=+y x 的左右焦点分别为1F 、2F ，椭圆的下顶点为A ，点P 是椭圆上任意一点，，圆M 是以2PF 为直径的圆．（1）若圆M 过原点O ，求圆M 的方程；（2）当圆M 的面积为8π时，求PA 所在直线的方程；（3）写出一个定圆的方程，使得无论点P 在椭圆的什 么位置，该定圆总与圆M 相切．请写出你的探究过程．小题满分8分已知1>a ，函数)(x f 的图像与函数1-=xa y 的图像关于直线x y =对称，)22(lo g )(2+-=x x x g a ．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若函数)(x f 在区间],[n m （1->>m n ）上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡n p m p a alog ,log ，求实数p 的取值范围； （3）设函数)()()(x g x f a x F -=，若)(x F w ≥对一切),1(∞+-∈x 恒成立，求实数w 的取值范围．。
2014上海松江区高考数学(文)三模试题及答案解析
上海市松江区2014年高考三模冲刺试卷数学（文科）一、填空题 (每小题4分,满分56分)1．已知集合},30{R x x x A ∈≤<=，{12,}B x x x R =-≤∈，则=B A ． 2．已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，则lim nn nS na →∞= ．3．函数2cos sin ()sin 2cos x xf x x x=的最小正周期为 ．4．某小组中有6名女同学和4名男同学，从中任意挑选3名同学组成环保志愿者宣传队，则这个宣传队由2名女同学和1名男同学组成的概率是 （结果用分数表示）． 5．圆柱M 的底面直径与高均等于球O 的直径，则圆柱M 与球O 的体积之比V V =圆柱球： ． 6．已知1e 、2e 是平面上两个不共线的单位向量，向量12a e e =-，122b me e =+．若a b ⊥，则实数m = ．7．二项式151()x x-的展开式中含x 一次幂的项是第 项．8．已知直线110l x +=：，210l x ty ++=：，若直线1l 与2l 的夹角为60︒，则t = ．9．设变量,x y 满足约束条件⎩⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ，则目标函数32z x y =-的最小值为 ．10．阅读右边的程序框图，如果输出的函数值y 在区间1[,1]4内，则输入的实数x 的取值范围是x ∈ ．11．若等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为d ，前n 项的和为n S ，则数列{}n S n 为等差数列，且通项为1(1)2n S da n n =+-⋅．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{}nb 的首项为1b ，公比为q ，前n 项的积为n T ，则 ． 12．若集合{},),(,325),3(1)3(),(M b a y y y y x y x M ∈≤≤-++-⋅+==且对M 中其它元素),(d c ，总有,a c ≥则=a ．13．已知2()f x x =，01211n x x x x -≤<<<<≤，1|()()|,n n n a f x f x n N *-=-∈，123n n S a a a a =++++，则n S 的最大值等于 ．14．平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，命题：①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点； ③如果k 与b 都是有理数，则直线y kx b =+必经过无穷多个整点；④存在恰经过一个整点的直线；其中的真命题是 ▲ （写出所有真命题编号）． 二、选择题 (每小题5分,共20分)15．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）16．已知||1,z z C α≤∈:,|,z i a z C β-≤∈：|．若α是β的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥．B ．1a ≤．C ．2a ≥．D ．2a ≤．17．若2002(0)x py p >>，则称点00(,)x y 在抛物线C ：22(0)x py p =>外．已知点()P a b ，在抛物线C ：22(0)x py p =>外，则直线()l ax p y b =+：与抛物线C 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定18．在过正方体AC 1的8个顶点中的3个顶点的平面中，能与三条棱CD 、A 1D 1、 BB 1所成的角均相等的平面共有（ ） A ．1 个． B ．4 个． C ．8 个．D ．12个．三．解答题（本大题满分74分） 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 是等腰直角三角形，1AB AC ==，侧棱1AA ⊥底面ABC ，且12AA =，E 是BC 的中点． （1）求直三棱柱111ABC A B C -的全面积；（2）求异面直线AE 与1AC 所成角θ的大小（结果用反三角函数表示）；20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知函数()22x x f x a -=+⋅()a R ∈． （1）讨论函数()f x 的奇偶性；（2）若函数()f x 在(,2]-∞上为减函数，求a 的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5小时的观众称为“足球迷”， 并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5小时的观众称为“铁杆足球迷”．（1）试估算该市“足球迷”的人数，并指出其中“铁杆足球迷”约为多少人；（2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10万名观众．根据调查，如果票价定为100元/张，则非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看．如果票价提高10x 元/张()x N ∈，则“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少10%x ，“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少100%11xx +．问票价至少定为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10万人？22．（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知点P 是椭圆C 上任一点，点P 到直线12l x =-：的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为2d ，且21d d =直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B (A ，B 都在x 轴上方) ，且180OFA OFB ∠+∠=︒． （1）求椭圆C 的方程；（2）当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 方程；（3）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分若数列{}n a 满足条件：存在正整数k ，使得2n k n k n a a a +-+=对一切,n N n k *∈>都成立，则称数列{}n a 为k 级等差数列．（1）已知数列{}n a 为2级等差数列，且前四项分别为2,0,4,3，求89a a +的值；（2）若2sin (n a n n ωω=+为常数），且{}n a 是3级等差数列，求ω所有可能值的集合，并求ω取最小正值时数列{}n a 的前3n 项和3n S ；（3）若{}n a 既是2级等差数列{}n a ，也是3级等差数列，证明：{}n a 是等差数列．上海市松江区2014年高考三模冲刺试卷数学（文科）参考答案一、填空题1． }31{≤≤-x x 2．12 3．π 4．125． 3：2 6．2 7． 8 8．09． —4 10．[2,0]-11．数列11n b -=． 12．9413．2 14．①④ 二选择题 15．D 16．C 17．A 18. C 三、解答题19.（本题12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 解：（1）11111222ABC S AB AC ∆=⋅=⋅⋅=…………（2分）1()(11)24S AB BC AC AA =++⋅=⋅=+侧4分）∴=2ABC S S S ∆+侧全…………（6分）（2）取11B C 的中点1E ，连11A E ，则11//A E AE ，即11CA E ∠即为异面直线AE 与1AC 所成的角θ．…（2分）连1E C .在11Rt E C C ∆中，由11E C =12CC =知1AC ==在11Rt AC C ∆中，由111AC =，12CC =知1AC 4分） 在11A E C ∆中，222((cos θ+-===∴θ=6分）20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．解：（1）()22xx f x a --=+⋅…………（1分）若()f x 为偶函数，则对任意的x R ∈，都有()()f x f x =-，即2222x x x x a a --+⋅=+⋅，2(1)2(1)x x a a --=-，(22)(1)0x xa ---=对任意的x R ∈都成立。
上海市嘉定区2014届高三上学期第一次质量调研数学(理)试题
上海市嘉定区2013—2014学年高三年级第一次质量调研 数学试卷（理）2014年1月 考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上的解答一律无效．2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．答题纸不能折叠．3．本试卷共有23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数)2(log 2-=x y 的定义域是_____________．2．已知i 是虚数单位，复数z 满足1)31(=+⋅i z ，则=||z _______． 3．已知函数)(x f y =存在反函数)(1x f y -=，若函数)1(-=x f y 的图像经过点)1,3(，则)1(1-f的值是___________．4．已知数列}{n a 的前n 项和2n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________．5．已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为π202cm ，则此圆锥的体积为________3cm ．6．已知θ为第二象限角，54sin =θ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πθ____________． 7．已知双曲线12222=-b y a x （0>a ，0>b ）满足021=b a ，且双曲线的右焦点与抛物线x y 342=的焦点重合，则该双曲线的方程为______________． 8．分别从集合}4,3,2,1{=A 和集合}8,7,6,5{=B 中各取一个数，则这两数之积为偶 数的概率是_________．9．在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为)2,1(A ，)3,7(-B ，点C 在直线4=y 上运动，O 为坐标原点，G 为△ABC 的重心，则OC OG ⋅的最小值为__________．10．若nn r r ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→12lim 存在，则实数r 的取值范围是_____________． 11．在平面直角坐标系中，动点P 到两条直线03=-y x 与03=+y x 的距离之和等于4，则P 到原点距离的最小值为_________． 12．设集合}1)4(),{(22=+-=y x y x A ，}1)2()(),{(22=+-+-=at y t x y x B ，若存在实数t ，使得∅≠B A ，则实数a 的取值范围是___________．13．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥++=0,,0,12)(22x c bx x x x ax x f 是偶函数，直线t y =与函数)(x f 的图像自左 至右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ，若||||BC AB =，则实数t 的值为________． 14．某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））；二 级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的 作图方法，得到三级分形图（图（3））；…；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、…、 n 级分形图．则n 级分形图的周长为__________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．设向量)1,1(-=x a ，)1,3(+=x b ，则“a ∥b ”是“2=x ”的………………（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件16．若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+22展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）A ．180B ．120C ．90D ．4517．将函数x y 2sin =（R ∈x ）的图像分别向左平移m （0>m ）个单位，向右平移n（0>n ）个单位，所得到的两个图像都与函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin πx y 的图像重合，则n m + 的最小值为……………………………………………………………………………（ ）A ．32πB ．65πC ．πD ．34π图（1） 图（2） 图（3）……18．设函数)(x f 的定义域为D ，若存在闭区间D b a ⊆],[，使得函数)(x f 满足：①)(x f 在],[b a 上是单调函数；②)(x f 在],[b a 上的值域是]2,2[b a ，则称区间],[b a 是函 数)(x f 的“和谐区间”．下列结论错误的是………………………………………（ ）A ．函数2)(x x f =（0≥x ）存在“和谐区间” B ．函数x e x f =)(（R ∈x ）不存在“和谐区间”C ．函数14)(2+=x xx f (0≥x ）存在“和谐区间”D ．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=81log )(x a a x f （0>a ，1≠a ）不存在“和谐区间”三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 如图，正三棱锥BCD A -的底面边长为2，侧棱长为3，E 为棱BC 的中点． （1）求异面直线AE 与CD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求该三棱锥的体积V ．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f ，R ∈x ． （1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；B AC E D（2）在锐角三角形ABC 中，若1)(=A f ，2=⋅AC AB ，求△ABC 的面积．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，且点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,1在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过P 作方向向量)1,2(=d的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求证：22||||PB PA +为定值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数2)(++=x m x x f （m 为实常数）．（1）若函数)(x f y =图像上动点P 到定点)2,0(Q 的距离的最小值为2，求实数m 的值； （2）若函数)(x f y =在区间),2[∞+上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m 的取值范围；（3）设0<m ，若不等式kx x f ≤)(在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x 有解，求k 的取值范围．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 数列}{n a 的首项为a （0≠a ），前n 项和为n S ，且a S t S n n +⋅=+1（0≠t ）．设1+=n nS b ，n n b b b k c ++++= 21（+∈R k ）．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）当1=t 时，若对任意*N ∈n ，||||3b b n≥恒成立，求a 的取值范围；（3）当1≠t 时，试求三个正数a ，t ，k 的一组值，使得}{n c 为等比数列，且a ，t ，k 成等差数列．上海市嘉定区2013—2014学年高三年级第一次质量调研（理） 参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，满分56分）1．),2(∞+ 2．21 3．2 4．15 5．π16 6．71-7．1222=-y x 8．43 9．910．⎪⎭⎫⎝⎛∞+---∞,31]1,( 11．22 12．⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,0 13．47 14．1343-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n二．选择题（每小题5分，满分20分）15．B 16．A 17． C 18．D三．解答题 19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）（1）取BD 中点F ，连结AF 、EF ，因为EF ∥CD ，所以AEF ∠就是异面直线AE 与CD 所成的角（或其补角）． ……………………………………………………（2分） 在△AEF 中，22==AF AE ，1=EF ， ………………………………（1分）所以822221cos ==∠AEF ． ………………………………………………（2分） 所以，异面直线AE 与CD 所成的角的大小为82arccos． …………………（1分）（2）作⊥AO 平面BCD ，则O 是正△BCD 的中心， ………………………（1分）连结OE ，33=OE ， ……………………………………………………………（1分）所以32322=-=EO AE AO ， ……………………………………………（1分）所以，3233234433131=⨯⨯⨯=⋅=Sh V ． ………………………………（2分）20．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=-+=32sin 22cos 32sin )1cos 2(3cos sin 2)(2πx x x x x x x x f ， ………………………………………………（2分） 所以，函数)(x f 的最小正周期为π． ………………………………………………（1分）由223222πππππ+≤+≤-k x k （Z ∈k ）， ………………………………………（2分）得12125ππππ+≤≤-k x k （Z ∈k ）， …………………………………………（2分）所以，函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k （Z ∈k ）． ……………（1分）（2）由已知，132sin 2)(=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πA A f ，所以2132sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ， ……………（1分） 因为20π<<A ，所以34323πππ<+<A ，所以6532ππ=+A ，从而4π=A ． …（2分）又2cos ||||=⋅⋅=⋅A AC AB AC AB ，，所以，2||||=⋅AC AB ， ………………（1分）所以，△ABC 的面积2222221sin ||||21=⨯⨯=⋅⋅⋅=A AC AB S ． …………（2分）21．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1） 因为C 的焦点在x 轴上且长轴为4，故可设椭圆C 的方程为14222=+b y x （0>>b a ）， ……………………………（1分）因为点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1在椭圆C 上，所以143412=+b ， …………………………（2分）解得12=b ， …………（1分）所以，椭圆C 的方程为1422=+y x ． …………………………………（2分）（2）设)0,(m P （22≤≤-m ），由已知，直线l 的方程是2mx y -=， ……（1分）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=,14,)(2122y x m x y ⇒ 042222=-+-m mx x （*） ………………………（2分） 设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x 、2x 是方程（*）的两个根，所以有，,22m x x =+24221-=m x x ， ……………………………………（1分） 所以，2222212122)()(||||y m x y m x PB PA +-++-=+])()[(45)(41)()(41)(222122222121m x m x m x m x m x m x -+-=-+-+-+-=]22)(2)[(45]2)(2[45221212212212221m x x x x m x x m x x m x x +-+-+=++-+= 5]2)4(2[452222=+---=m m m m （定值）． ………………………………（3分）所以，22||||PB PA +为定值． ……………………………………………………（1分）（写到倒数第2行，最后1分可不扣）22．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） （1）设),(y x P ，则2++=x mx y ，22222)2(||⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-+=x m x x y x PQ …………………………………………（1分）22||2222222=+≥++=m m m x m x ， ……………………………………（1分）当0>m 时，解得12-=m ；当0<m 时，解得12--=m ． …………（1分）所以，12-=m 或12--=m ． …………………………………………（1分）（只得到一个解，本小题得3分）（2）由题意，任取1x 、),2[2∞+∈x ，且21x x <，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++=-22)()(112212x m x x m x x f x f 212112)(x x mx x x x -⋅-=0>，……（2分） 因为012>-x x ，021>x x ，所以021>-m x x ，即21x x m <， ………………（2分） 由212≥>x x ，得421>x x ，所以4≤m ．所以，m 的取值范围是]4,(-∞． ………………………………………………（2分）（3）由kx x f ≤)(，得kx x mx ≤++2，因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x ，所以122++≥x x m k ， …………………………………………（2分） 令x t 1=，则]2,1[∈t ，所以122++≥t mt k ，令12)(2++=t mt t g ，]21[，∈t ， 于是，要使原不等式在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21x 有解，当且仅当min )(t g k ≥（]21[，∈t ）．……（1分）因为0<m ，所以m m t m t g 111)(2-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=图像开口向下，对称轴为直线01>-=m t ，因为]2,1[∈t ，故当2310≤-<m ，即32-≤m 时，54)2()(min +==m g t g ；…（4分）当231>-m ，即032<<-m 时，3)1()(min +==m g t g ． ……………………（5分）综上，当32-≤m 时，),54[∞++∈m k ；当032<<-m 时，),3[∞++∈m k ． …………………………………（6分）23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） （1）因为a S t S n n +⋅=+1 ① 当2≥n 时，a S t S n n +⋅=-1 ②，①—②得，n n a t a ⋅=+1（2≥n ）， ………………………………………………（2分）又由a S t S +⋅=12，得12a t a ⋅=， ………………………………………………（1分）所以，}{n a 是首项为a ，公比为t 的等比数列，所以1-⋅=n n t a a （*N ∈n ）．……（1分）（2）当1=t 时，a a n=，na S n =，1+=na b n ， ……………………………（1分）由||||3b b n ≥，得|13||1|+≥+a na ，0]2)3[()3(≥++-a n a n （*） …………（1分）当0>a 时，3<n 时，（*）不成立；当0<a 时，（*）等价于0]2)3)[(3(≤++-a n n （**）3=n 时，（**）成立．4≥n 时，有02)3(≤++a n ，即32+-≤n a 恒成立，所以72-≤a ．1=n 时，有024≥+a ，21-≥a ．2=n 时，有025≥+a ，52-≥a ． ………（3分）综上，a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--72,52． ………………………………………………（1分） （3）当1≠t 时，t t a S n n --=1)1(，t at t a t t a b nn n ---+=+--=11111)1(， ………（1分） 2)1()1(1t t at t an n k c n n ----++=2221)1()1(11)1(t att k n t t a t at n ---+⋅--++-=+， ………（2分）所以，当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=--+0)1()1(,01122t at t k tta 时，数列}{n c 是等比数列，所以⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,1,1t t k t a ………（2分）又因为a ，t ，k 成等差数列，所以k a t +=2，即112-+-=t tt t ，解得215+=t ． …………………………………………………………………（1分）从而，215-=a ，235+=k ． ………………………………………………（1分）所以，当215-=a ，215+=t ，235+=k 时，数列}{n c 为等比数列．……（1分）。
上海市上海大学附属中学2014届高考三模数学理试题 Word版
上海市上海大学附属中学2014届高考三模数学理试题考生注意：答案在题后一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、不等式的解集为2、已知直线的参数方程是，则在轴上的截距为 -63、已知是纯虚数，则 - .4、若方程组有唯一解，则实数的取值范围5、某学生参加2门课程的考试，取得合格水平的概率依次为、，且不同课程是否取得合格水平相互独立．则该生只取得一门课程合格的概率为6、已知直线和直线，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为 27、某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，。
则该校学生上学所需时间的均值估计为__34________。
（精确到分钟）8、函数表示振动时，请写出在内的初相9、已知函数则其反函数为10、若函数经过的定点恰为抛物线的焦点，则实数的值为11、已知的周期为的函数，当，则的解集=12、一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，，，则13、已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为14、已知全集集合，则集合的个数二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。
考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
15、在中，是的（）A（A）充要条件（B）充分非必要条件（C）必要非充分条件（D）既非充分条件又非必要条件16、下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间内单调递增的是( ) DA． ; B． ; C．D．17、已知数列是等差数列,若，，且数列{a n}的前n项和S n 有最大值,那么当S n取得最小正值时,n等于（）CA．18 B．19 C．20 D．2118、若，设函数的零点为，函数的零点为，则的取值范围是…（）DA．B． C． D．三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
上海市嘉定区2014届高考第三次质量调研数学试卷(文) Word版
上海市嘉定区2014届高考第三次质量调研数学试卷（文）考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题纸上进行，写在试卷或草稿纸上的解答一律无效．2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚． 3．本试卷共有23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一．填空题（每小题4分，满分56分）1．已知C ∈x ，且42-=x ，则=x ____________． 2．方程1lg )3lg(=+-x x 的解=x ____________．3．已知集合},082{2Z ∈<-+=x x x x A ，集合},3|2|{R ∈<-=x x x B ，则=B A _________________．4．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32cos 2πx y 的单调递减区间是__________________________．5．若函数ax x y -+=12的图像关于直线x y =对称，则实数a 的值为_____________．6．若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积为_________________． 7．已知α、β均为锐角，且)sin()cos(βαβα-=+，则=αtan ___________．8．已知向量)sin ,(cos θθ=a ，)1,3(-=b ，则|2|b a-的最大值是___________．9．已知正数a ，b 满足1=ab ，则ba 11+的最小值为_________．10．=++++∞→2321limn nn ___________． 11．在数列}{n a 中，若21=a ，且对任意的正整数p 和q 都有q p q p a a a +=+，则8a 的值为__________．12．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧≤+-≤≥,,12,1m y x x y y 如果y x z -=的最小值是1-，则实数=m _____．13．如图，过双曲线1422=-y x 的右焦点作直线l 与 圆422=+y x 相切于点M ，l 与双曲线交于点P ，则=||||PF PM ________________．14．已知函数{,0,23,0,2)(2>-≤-=x x x x x f 若ax x f ≥|)(|在]1,1[-∈x 上恒成立，则实数a 的 取值范围是___________．二．选择题（每小题5分，满分20分） 15．“1tan =α”是“4ππα+=k （Z ∈k ）”的………………………………………（ ）第13题图A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件16．已知集合}4,3,2,1{=A 和集合}8,7,6,5{=B ，分别在集合A 和B 中各取一个数，则这两个数的和为偶数的概率是……………………………………………………（ ）A ．41 B ．21 C ．43 D ．161317．将正三棱柱截去三个角（如图1所示，A 、B 、C 分别是△GHI 三边的中点）后得到的几何体如图2所示，则该几何体按图中所示方向的左视图为…………………………（ ）A ．B ．C ．D ．18．下列区间中，函数|)3ln(|)(x x f -=在其上为增函数的是…………………………（ ）A ．)2,(-∞B ．⎪⎭⎫⎝⎛-23,1 C ．)3,1( D ．)3,2(三．解答题（本大题共有5题，满分74分） 19．（本题满分12分，第1小题4分，第2小题8分）如图，在四棱锥ABCD A -中，底面ABCD 是边长为2 的正方形，⊥PA 底面ABCD ，4=PA ，M 为PA 的中点．（1）求三棱锥MCD P -的体积；（2）求异面直线PC 与MD 所成角的大小．20．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，某市拟在长为8千米的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数x A y ωsin =（0>A ，0>ω），]4,0[∈x 的图像，且图像的最EB B B B 图1 BC AD EF A D BC I H GE F 图2 PA B D M高点为)32,3(S ；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定32π=∠MNP ． （1）求A ，ω的值和线段MP 的长；（2）设θ=∠PMN ，问θ为何值时，才能使折线段赛道MNP 最长？21．（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）在等比数列}{n a 中，公比1≠q ，等差数列}{n b 满足311==a b ，24a b =，313a b =．（1）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式； （2）求使814011121>+++n a a a 成立的最小正整数n 的值．22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知过点)0,1(-A 的动直线l 与圆C ：4)3(22=-+y x 相交于P 、Q 两点，M 是PQ的中点，l 与直线m ：063=++y x 相交于点N ．（1）当l 与m 垂直时，求证：直线l 必过圆心C ； （2）当32||=PQ 时，求直线l 的方程； （3）求证：AN AM ⋅是定值．23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R ∈x ． （1）若函数)(x f y =是偶函数，求实数a 的值； （2）若2=a ，求)(x f 的最小值；（3）对于函数)(x m y =，在定义域内给定区间],[b a ，如果存在0x （b x a <<0），满足ab a m b m x m --=)()()(0，则称函数)(x m 是区间],[b a 上的“平均值函数”，0x 是它的一个“均值点”．如函数2x y =是]1,1[-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数1)(2++-=mx x x g 是区间]1,1[-上的平均值函数，求实数m 的取值范围．参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，满分56分） 1．i 2±； 2． 5； 3。
上海市八校2014届高三下学期联合调研考试数学(文)试题Word版含答案
2013—2014学年第二学期上海市高三年级八校联考数学（文科）试卷一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 在复平面上，复数()232i -对应的点到原点的距离为 ．2. 已知函数()44sin cos f x x xωω=-()0>ω的最小正周期是π，则=ω ．3. 向量在向量方向上的投影为 ．4. 直线220x y -+=过椭圆22221x y a b+=的左焦点1F 和一个顶点B ，则椭圆的方程为 ．5. 已知直线l 的法向量为()1,2=，则该直线的倾斜角为 ．（用反三角函数值表示）6. 已知正数,a b 满足2a b +=，则行列式111111ab++的最小值为 ．7. 阅读右边的程序框图，如果输出的函数值y 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡141,内，则输入的实数x 的取值范围是 ． 8. 设αβ、是一元二次方程022=+-m x x 的两个虚根.若||4αβ=，则实数=m ．9. 在△ABC 中，A B C 、、所对边分别为a b c 、、.若tan 21tan A cB b+=，则A = ．10. 已知数列{}n a 的首项12a =，其前n 项和为n S .若121n n S S +=+，则n S = ． 11. 某地球仪上北纬30︒纬线长度为12πcm ，该地球仪的表面积为 cm 2． 12. 已知直线()2y k x =-与抛物线x y C 8:2=相交于A 、B 两点，F 为抛物线C 的焦点．若||2||FA FB =，则实数=k ．13. 已知“,,,c d e f ”是从1,3,4,5,7中取出4个元素的一个排列．设x 是实数，若“(2)(6)0x x --<”可推出“()()0x c x d --<或()()0x e x f --<”，则满足条件的排列“,,,c d e f ”共有_________个． 14. 将()22x x af x =-的图像向右平移2个单位后得曲线1C ，将函数()y g x =的图像向下平移2个单位后得曲线2C ，1C 与2C 关于x 轴对称．若()()()f x F x g x a=+的最小值为m 且m >2+7，则实数a 的取值范围为 ．二． 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．15. 已知关于x 的不等式21<++ax x 的解集为P . 若P ∉1，则实数a 的取值范围为 （ ）（A ）(][)+∞∞-,,10 . （B ）[]01,-. （C ）()()+∞-∞-,,01 . （D ）(]01,-. 16. 函数()()21212-<+=x x x f 的反函数是（ ）（A ）3)y x ≤<. （B ） 3)y x =>.（C ）3)y x =≤<. （D ）3)y x =>. 17. 已知A 、B 、C 是单位圆上三个互不相同的点.若，则的最小值是（ ）（A ）0． （B ）14-． （C ）12-． （D ）34-．18. 已知公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和为,*n S n N ∈，则下列结论中：（1）232,,n n n n n S S S S S --成等比数列； （2）2232()()n n n n n S S S S S -=-； （3）322()n n n n n S S q S S -=-正确的结论为 （ ）（A ）（1）（2）． （B ）（1）（3）． （C ）（2）（3）． （D ）（1）（2）（3）．三． 解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19. （本题满分12分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）在直三棱柱111ABC -A B C 中,90 ABC =∠︒ ,11,2AB =BC =BB =，求: （1）异面直线11B C 与1AC 所成角的大小；（2）四棱锥111A B BCC -的体积．20. (本题满分14分；第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分)已知()()x b xx f 24lg2++=，其中常数0>b ．求证：（1）当1b =时，()x f 是奇函数；（2）当4b =时，()x f y =的图像上不存在两点A 、B ，使得直线AB 平行于x 轴．21. （本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b b y x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，1230MF F ∠=︒．（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值．22. （本题满分16分；第（1）小题满分8分，第（2）小题满分8分 ）如图，制图工程师用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设α=∠11H AA ．（1）试用α表示11H AA ∆的面积； （2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时α的大小．23. （本题满分18分；第（1）小题６分，第（2）小题6分，第（3）小题６分）在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，112a b ==，222a b b ==+，n S 是{}n b 前n 项和．（1）若lim 3n n S b →∞=-，求实数b 的值；（2）是否存在正整数b ，使得数列{}n b 的所有项都在数列{}n a 中？若存在，求出所有的b ，若不存在，说明理由；（3）是否存在实数b ，使得数列{}n b 中至少有三项在数列{}n a 中，但{}n b 中的项不都在数列{}n a 中？若存在，求出一个可能的b 的值，若不存在，说明理由．2014届高三年级八校联合调研考试试卷数学（文科）一、 填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．二． 选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．三． 解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19. 解：（1）因为11//B C BC ，所以1ACB ∠（或其补角）是异面直线11B C 与1AC 所成角. …………1分 因为BC ^AB ,BC ^BB 1,所以BC ⊥平面1ABB ，所以1BC A B ⊥. …………3分在Rt D A 1BC 中,11tan A BACB BC∠==所以1ACB ∠=………………5分所以异面直线11B C 与1AC 所成角的大小为 ………………6分 （2）因为A 1B 1^B 1C 1,A 1B 1^BB 1所以11A B ⊥平面11B BCC ………9分 则11111111233A B BCC B BCC V S A B -=⨯= ………12分 20.证明：（1）由题意，函数定义域R ， ……对定义域任意x ，有：()))lg2lg2f x x x -===- ……4分所以()()f x f x -=-，即y f x =是奇函数 ………6分（2）假设存在不同的B A ,两点，使得AB 平行x 轴，则))lg2lg2A B x x = ………9分A B x x =-化简得：2220A B A B x x x x +-=，即A B x x =，与A B 、不同矛盾。
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上海市嘉定区2014届高考第三次质量调研数学试卷（文）考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题纸上进行，写在试卷或草稿纸上的解答一律无效．2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚． 3．本试卷共有23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一．填空题（每小题4分，满分56分）1．已知C ∈x ，且42-=x ，则=x ____________．2．方程1lg )3lg(=+-x x 的解=x ____________．3．已知集合},082{2Z ∈<-+=x x x x A ，集合},3|2|{R ∈<-=x x x B ，则=B A I _________________．4．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32cos 2πx y 的单调递减区间是__________________________．5．若函数ax x y -+=12的图像关于直线x y =对称，则实数a 的值为_____________．6．若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积为_________________． 7．已知α、β均为锐角，且)sin()cos(βαβα-=+，则=αtan ___________．8．已知向量)sin ,(cos θθ=a ρ，)1,3(-=b ρ，则|2|b a ρρ-的最大值是___________． 9．已知正数a ，b 满足1=ab ，则ba 11+的最小值为_________．10．=++++∞→2321lim nnn Λ___________． 11．在数列}{n a 中，若21=a ，且对任意的正整数p 和q 都有q p q p a a a +=+，则8a 的值为__________．12．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧≤+-≤≥,,12,1m y x x y y 如果y x z -=的最小值是1-，则实数=m _____．13．如图，过双曲线1422=-y x 的右焦点作直线l 与 圆422=+y x 相切于点M ，l 与双曲线交于点P ， 则=||||PF PM ________________．14．已知函数{,0,23,0,2)(2>-≤-=x x x x x f 若ax x f ≥|)(|在]1,1[-∈x 上恒成立，则实数a 的 取值范围是___________．二．选择题（每小题5分，满分20分） 15．“1tan =α”是“4ππα+=k （Z ∈k ）”的………………………………………（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件第13题图16．已知集合}4,3,2,1{=A 和集合}8,7,6,5{=B ，分别在集合A 和B 中各取一个数，则这两个数的和为偶数的概率是……………………………………………………（ ）A ．41 B ．21 C ．43 D ．1613 17．将正三棱柱截去三个角（如图1所示，A 、B 、C 分别是△GHI 三边的中点）后得到的几何体如图2所示，则该几何体按图中所示方向的左视图为…………………………（ ）A ．B ．C ．D ．18．下列区间中，函数|)3ln(|)(x x f -=在其上为增函数的是…………………………（ ）A ．)2,(-∞B ．⎪⎭⎫⎝⎛-23,1 C ．)3,1( D ．)3,2(三．解答题（本大题共有5题，满分74分） 19．（本题满分12分，第1小题4分，第2小题8分）如图，在四棱锥ABCD A -中，底面ABCD 是边长为2 的正方形，⊥PA 底面ABCD ，4=PA ，M 为PA 的中点．（1）求三棱锥MCD P -的体积；（2）求异面直线PC 与MD 所成角的大小．20．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，某市拟在长为8千米的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数x A y ωsin =（0>A ，0>ω），]4,0[∈x 的图像，且图像的最高点为)32,3(S ；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定32π=∠MNP ． （1）求A ，ω的值和线段MP 的长；EB E B E B E B 图1 BC AD EF A D BC I H GE F 图2 PA B CD M（2）设θ=∠PMN ，问θ为何值时，才能使折线段赛道MNP 最长？21．（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）在等比数列}{n a 中，公比1≠q ，等差数列}{n b 满足311==a b ，24a b =，313a b =．（1）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式； （2）求使814011121>+++n a a a Λ成立的最小正整数n 的值．22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知过点)0,1(-A 的动直线l 与圆C ：4)3(22=-+y x 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 的中点，l 与直线m ：063=++y x 相交于点N ．（1）当l 与m 垂直时，求证：直线l 必过圆心C ； （2）当32||=PQ 时，求直线l 的方程； （3）求证：AN AM ⋅是定值．23．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R ∈x ． （1）若函数)(x f y =是偶函数，求实数a 的值； （2）若2=a ，求)(x f 的最小值；（3）对于函数)(x m y =，在定义域内给定区间],[b a ，如果存在0x （b x a <<0），满足ab a m b m x m --=)()()(0，则称函数)(x m 是区间],[b a 上的“平均值函数”，0x 是它的一个“均值点”．如函数2x y =是]1,1[-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数1)(2++-=mx x x g 是区间]1,1[-上的平均值函数，求实数m 的取值范围．上海市嘉定区2014届高考第三次质量调研数学试卷（文）参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，满分56分） 1．i 2±； 2． 5； 3。
}1,0{； 4。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡++32,6ππππk k （Z ∈k ）； 5。
2； 6．π4或π8； 7。
1； 8。
4； 9。
2； 10。
21；11。
16； 12。
5； 13。
21； 14。
]0,1[-二．选择题（每小题5分，满分20分） 15．A ； 16。
B ； 17。
A ； 18。
D 。
三．解答题（本大题满分74分，注：评分标准中解答题的得分按各步给出，非递进累计分）19．（1）因为M 是PA 的中点，所以S △S PMD 21=△2=PAD ，…………（1分） 由⊥PA 底面ABCD ，得CD PA ⊥，又CD AD ⊥，所以⊥CD 平面PAD ，……（1分）所以⨯==--31PMD C MCD P V V S △34=⨯CD PMD ． ……………………（2分）（2）连结AC ，BD 交于点O ，连结MO ，因为M 和O 分别为PA 和PC 的中点，所以MO ∥PC 所以DMO ∠是异面直线PC 与MD 所成的角或其补角．…………（2分）在△MDO 中，2=OD ，6=OM ，22=MD ， …………（2分）由余弦定理，2322622862cos 222=⋅⋅-+=⋅⋅-+=∠MD OM OD MD OM DMO ．…………（3分） 所以DMO ∠︒=30．即异面直线PC 与MD 所成角的大小为︒30． …………（1分）20．（1）由题意，32=A ，设函数x A y ωsin =在R 上的周期为T ，则34=T， 又ωπ2=T ，所以6πω=， ………………（2分）所以x y 6sin32π=，当4=x 时，3=y ，故)3,4(M ，…………（2分）因为)0,8(P ，所以53)84(||22=+-=MP ．…………（1分）即MP 的长为5千米． …………………………（1分）（2）在△MNP 中，32π=∠MNP ，θ=∠PMN ，则30πθ<<，…………（1分） 由正弦定理得，⎪⎭⎫ ⎝⎛-==θπθπ3sin ||sin ||32sin ||MN NP MP ， 所以θsin 3310||=NP ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θπ3sin 3310||MN ， …………（2分）所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+θθθθπcos 23sin 213310sin 33103sin 3310||||NP MN ⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin 3310πθ， ………………（3分） 因为30πθ<<，所以当6πθ=时，折线段赛道MNP 最长． …………（2分）21．（1）设等比数列}{n a 的公比为q ，等差数列}{n b 的公差为d 。
由已知得，q a 32=，233q a =，d b 334+=，d b 12313+=， …………（2分）所以，⎩⎨⎧+=+=,1233,3332d q d q 即⎩⎨⎧+=+=,41,12d q d q …………（2分）解得3=q 或1=q （舍去），所以2=d 。
…………（2分）所以nn a 3=，12+=n b n 。
…………（2分）（2）因为nn a 3=，所以n n a 311=， ……（1分） 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++n n n a a a 311213113113111121Λ， …………（2分） 不等式化为814031121>⎪⎭⎫ ⎝⎛-n ，即81131<n ，813>n，解得4>n ．……（2分） 所以，最小正整数n 的值为5． ………………（1分）22．（1）因为l 与m 垂直，直线m 的一个法向量为)3,1(，所以直线l 的一个方向向量为)3,1(=d ρ，所以l 的方程为311yx =+，即033=+-y x ．…………（3分） 所以直线l 过圆心)3,0(C ． …………（1分）（2）解法一：由32||=PQ 得，圆心C 到直线l 的距离1=d ，…………（1分） 设直线l 的方程为01=+-ny x ，则由11|31|2=+-=nn d ， …………（1分）解得0=n 或43=n ， …………（2分）所以直线l 的方程为01=+x 或0434=+-y x ． ………………（2分） 解法二：由32||=PQ 得，圆心C 到直线l 的距离1=d ，…………（1分） 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1-=x ，此时圆心)3,0(到直线l 的距离为1，符合题意。