2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
2011全国初中数学竞赛试题解答
1、设17-=a ，则代数式12612323--+a a a 的值为 （ ）A 、24B 、25 （63）C 、1074+ （） D 、1274+ （）解法一：直接思维：直接代入进行计算。
立方计算，很费时间。
原式=333123(81)(861)(4411)66a +--=⨯=-=-=--==+= 解法二：拆分、组合：提取（a+1）原式=3a 3+3a 2+9a 2+9a-15a-15+3=（a+1）(3a 2+9a-15)+3=（a+1）(3a 2+3a+6a-15)+3=[3a(a+1)2+（a+1）(6a-15)]+3=[21a+（a+1）(6a-15)]+3=6a 2+12a+6-18=42-18=24解法三：构造：（a+1）2原式=3a(a 2+4a-2)-12=3a(a 2+2a+1+2a-3)-12=3a[(a+1)2+2a-3]-12=3a(4+2a)-12=6a(a+2)-12=36-12=24解法四：综合、分析：a 2=6-2a 代换原式=3a(6-2a)+12(6-2a)-6a-12=-6a 2-12a+60=-6(6-2a)-12a+60=24解法五：联想、猜想：结果应该是三的倍数。
24=3×8原式除以3得：a 3+4a 2-2a-4=a 3+a 2+3a 2+3a-5a-4=(a+1)(a 2+3a)-5a-4=(a+1)(6+a)-5a-4=a 2+2a+2=8a 3+4a 2-2a-4=a 3+2a 2+a+2a 2-3a-4=a(a+1)2+2a 2-3a-4=7a+2a 2-3a-4=2a 2+4a-4=2a 2+4a+2-6=14-6=8a 3+4a 2-2a-4=a 3+4a 2-2a-4=a(6-2a)+4(6-2a)-2a-4=-2a 2-4a +20=-2(6-2a)-4a +20=8赛点：1、两数和的平方、两数立方和的公式及其拆分、组合、变换 2、平方根式的运算3、因式分解4、构造的思想方法5、猜想的思想方法())()))))())323222222312612=3+1+12615=3111261511261534253482153185524a a aa a aa a a a aa a a aa a+----+-++--=-++--⎡⎤=-+-⎣⎡⎤=--++⎣⎦⎡⎤=-+⎣⎦=2、对于任意实数dcba,,,，定义有序实数对（ba,）与（dc,）之间的运算“△”为：（ba,）△（dc,）=（bcadbdac++,）。
2011年全国初中数学竞赛试题参考答案及解析
2011年全国初中数学竞赛试题参考答案及解析一、选择题 1．A 解：因为1a =，1a += 262a a =-， 所以322312612362126261261260662126024.a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）2. B3. D 4．C解：由已知得2310x x ++=， 于是 2222(1)(2)(3)(3)(32)(31)1 1.x x x x x x x x x x +++=+++=++-=-5．B解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=⎧⎨+=⎩，，即(1)0(1)0u x vy v x uy -+=⎧⎨-+=⎩，对任何实数u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得（x y ，）=（1，0）．6．D解：由 25325x y z x y z +-=⎧⎨--=-⎩，，可得 312.x z y z =-⎧⎨=+⎩，于是 22221125x y z z z ++=-+．因此，当111z =时，222x y z ++的最小值为5411．7．C解：由题设可知1y y x -=，于是341yy x yxx-==，所以 411y -=， 故12y =，从而4x =．于是92x y +=．8．C解：两式相加，得2358t t +=，解得1t =，或83t =-（舍去）．当1t =时，4530A B =︒=︒，满足等式，故1t =． 所以，实数t 的所有可能值的和为1. 9．C解：如图，连接D E ，设1D E F S S ∆'=，则1423S S EF S BFS '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．10．A解：当2 3 2011k = ，，，，因为 ()()()32111112111kk k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦，所以 333111111511123201122201120124S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭ ， 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．二、填空题 11．3＜m ≤4解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m=．显然1242x x +=>，所以122x x -<， 164m∆=-≥0，即2，164m∆=-≥0，所以2， 164m∆=-≥0，解之得 3＜m ≤4.12．19解： 在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369=.13．6解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，） 因为点C D ，在双曲线1y x=上，所以11ab cd ==，．由于AC a b =-，BD c d =-， 又因为2B D A C =，于是22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），即224OC OD -=6.14．32解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．21122y =+=+由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．当12x =或1时，2y 取到最小值12，故2b =．所以，2232a b +=．15．84解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则22235a b +=＝1225． ①又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以F E A F C BA C=，即1212b a b-=，故12()a b ab +=． ②由①②得2222122524a b a b a b a b+=++=++（）（）， 解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以493584a b c ++=+=．三、解答题16．解：设方程20x a x b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，，两式相加得 2210αβαβ+++=， 即 (2)(2)3αβ++=， 所以 2123αβ+=⎧⎨+=⎩，；或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩，解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，；或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以 012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29.17．证明：如图，延长A P 交⊙2O 于点Q ， 连接 AH BD QB QC QH ，，，，.因为A B 为⊙1O 的直径， 所以∠A D B =∠BDQ =90°， 故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，所以A H ∥CQ ，A C ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形.所以点P 为C H 的中点.18．解：（1）如图，分别过点P Q ， 作y 轴的垂线，垂足分别为C D ， . 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由 223y kx t y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，， 得 2203x kx t --=，于是 32P Qx x t=-，即 23P Q t x x =-.于是222323P P Q Q x t y tBCBD y tx t++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P QQ P QQ Q P x x x x x x x x x x x x x x --===---又因为P Qx PC Q Dx =-，所以BC PC BDQD=.因为∠B C P =∠90BDQ =︒，所以△B C P ∽△BDQ ， 故∠A B P =∠ABQ .（2）解法一 设P C a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（1）可知∠A B P =∠30ABQ =︒，B C，B D，所以 A C=2-，A D=2-.因为P C ∥DQ ，所以△AC P ∽△ADQ . 于是PC AC D QAD=，即a b=所以a b +=．由（1）中32P Qx x t=-，即32ab -=-，所以322ab a b =+=，于是可求得2a b ==将2b =代入223y x=，得到点Q 2，12）.再将点Q 的坐标代入1y kx =+，求得3k =-所以直线PQ 的函数解析式为13y =-+.根据对称性知，所求直线PQ 的函数解析式为13y =-+，或13y x =+.解法二 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（1）可知，∠A B P =∠30ABQ =︒，所以2BQ DQ =.故 2Q x =将223Q Qy x =代入上式，平方并整理得4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.所以 2Q x =又由 (1)得3322P Q x x t =-=-，32PQ x x k+=.若2Q x =代入上式得 P x = 从而 2()33P Q k x x =+=.同理，若Q x = 可得2P x =-从而 2()33P Q k x x =+=.所以，直线PQ 的函数解析式为13y =-+，或13y x =+.19．解：如图，作△ABQ ，使得QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP .由于2A B A C =，所以相似比为2. 于是224A Q A P B Q C P ====．60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒.由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=︒，于是3PQ ==．所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=︒． 于是222()28AB PQ AP BQ =++=+.故 213s i n 60282ABC S AB AC AB ∆=⋅︒==．不同见解，敬请海涵。
2011年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案_
２．已 知 △ＡＢＣ 的 两 条 高 线 的 长 分 别 为 ５ 和 ２０， 若第三条高线的长也是 整 数，则 第 三 条 高 线 长 的 最 大
值 为 （ ）． （Ａ）５ （Ｃ）７
（Ｂ）６ （Ｄ）８
３．方程｜ｘ２－１｜＝（４－２槡３）（ｘ＋２）的解的 个 数 为
（ ）．
（Ａ）１ 个
（Ｃ）９ 组
（Ｄ）１１ 组 ．
５．如图，菱 形 ＡＢＣＤ 中，ＡＢ＝３，ＤＦ＝１，∠ＤＡＢ ＝６０°∠ＥＦＧ＝１５°，ＦＧ⊥ＢＣ，则 ＡＥ＝（ ）
（Ａ）１＋槡２．
（Ｂ）槡６．
（Ｃ）２槡３－１．
（Ｄ）１＋槡３．
６．已 知
１ ｘ
＋ｙ１＋ｚ＝
１ ，１ ２ｙ
＋ｚ＋１ｘ ＝
１ ，１ ３ｚ
＋
ｘ１＋ｙ＝
１ ４
，则
线交于点 Ｆ，如 果 ＤＥ＝ ３４ＣＥ，
ＡＣ＝８ 槡５，Ｄ 为 ＥＦ 的 中 点，则
ＡＢ＝
．
第 二 试 （Ａ）
一、（本题满分２０分）已知 三 个 不 同 的 实 数ａ，ｂ，ｃ
满足ａ－ｂ＋ｃ＝３，方程 ｘ２＋ａｘ＋１＝０和 ｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝
０ 有 一 个 相 同 的 实 根 ，方 程ｘ２ ＋ｘ＋ａ＝０ 和ｘ２ ＋ｃｘ＋ｂ
ＡＥ 的延长线于点 Ｈ ．
由 Ｄ 为ＡＣ 的中点，知 ＣＨ＝２ＦＤ．
由 分 析 ２，ＢＦ＝４ＦＤ．
故 ＥＢＣＥ＝ＣＢＨＦ＝２．
由 ＥＢＣＥ＝ＳＳ△△ＡＡＣＢＦＦ ＝２ＳＳ△△ＡＡＢＤＦＦ ．
③
由 分 析 ２，△ＡＢＦ∽ △ＤＡＦ．
得
Ｓ△ＡＢＦ Ｓ△ＡＤＦ
＝
（ＡＢ ＡＤ
）２＝４．
④
由③、④得 ＢＥ＝２ＥＣ．
2011年四川决赛试题(评分标准)
2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准：选择题和填空题只设7分和0分两档；其余各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1、B2、D3、A4、C5、B6、A二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、12、03、23 4、1 三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分）1、（本题满分20分）已知21,x x 是关于x 的一元二次方程012)13(22=-+-+a x a x 的两个实数根，使得80)3)(3(2121-=--x x x x 成立。
求实数a 的所有可能值。
`解：由条件知056)12(4)13(222≥+-=---=∆a a a a ，解得5≥a 或1≤a ． （5分） 又由根与系数的关系知)13(21--=+a x x ，12221-=a x x ，于是21221212221212116)(310)(3)3)(3(x x x x x x x x x x x x -+=-+=--19185)12(16)13(3222+--=---=a a a a ， （10分）由80191852-=+--a a ，解得3=a （舍去）或533-=a ． （15分） 于是533-=a ．综上所述，所求的实数533-=a ． （ 20分 ） 2、（本题满分25分） 抛物线c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点)0,(),0,(21x N x M ，且经过点)1,0(A ，其中210x x <<．过点A 的直线l 与x 轴交于点.C ，与抛物线交于点B （异于点A ），满足CAN ∆是等腰直角三角形，且AMN BMN S S ∆∆=25．求该抛物线的解析式． 解：由条件知该抛物线开口向上，与x 的两个交点在y 轴的右侧．由于CAN ∆是等腰直角三角形，故点C 在x 轴的左侧，且90=∠CAN ． 故 45=∠ACN ，从而)0,1(-C ，)0,1(N ． （5分）于是直线l 的方程为：1+=x y ．设),(33y x B ，由AMN BMN S S ∆∆=25知253=y ， （10分） 从而233=x ，即)25,23(B ． （15分） 综上可知，该抛物线通过点)1,0(A ，)25,23(B ，)0,1(N ． 于是⎪⎩⎪⎨⎧++=++==cb ac b a c 02349251， （20分） 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==154c b a ．所以所求抛物线的解析式为1542+-=x x y ． （25分）3、（本题满分25分）如图，AD 、AH 分别是ABC ∆（其中AC AB >）的角平分线、高线，M 是AD 的中点．MDH ∆的外接圆交CM 于E ．求证：90=∠AEB ．证明：如图，连结EH MH ,,∵M 是AHD Rt ∆斜边AD 的中点∴MD MH MA == （5分）∴MDH MHD ∠=∠∵E H D M ,,,四点共圆∴MDH CEH ∠=∠∴HEC MDH MHD ∠=∠=∠∴MEH HEC MHD MHC ∠=∠-=∠-=∠ 180180 （10分）∵HME CMH ∠=∠,∴CMH ∆∽HME ∆ ∴MHME MC MH =,即MC ME MH ⋅=2 （15分） ∴MC ME MA ⋅=2,又∵AME CMA ∠=∠∴CMA ∆∽AME ∆,∴MAE MCA ∠=∠ （20分）∴MAE BAD DHE BAE BHE ∠+∠+∠=∠+∠MCA MAC DHE ∠+∠+∠= 180=∠+∠=DME DHE∴E H B A ,,,四点共圆，∴ 90=∠=∠AHB AEB . （25分）。
2011年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案
Ｄ， Ｆ， Ｍ 为 ＡＢ 的平 分 线 ， Ｐ 的延 长 线 交 Ａ ￡， Ｂ Ｃ Ｍ Ｂ
Ｃ
于 点 Ｎ． 果 ＰＤ—ＰＥ＋ ＰＦ， 证 ： 如 求 ＣＮ 是 ＡＣＢ 的 平分线．
直 径 ， Ｃ 与 Ａ 交 于 点 Ｅ， 弦 Ｄ Ｂ 过 点 Ａ 作 圆 的切 线 与 Ｃ 的 延 长 Ｄ
ＡＥ 的 延 长 线 于 点 Ｈ ． 由 Ｄ 为 ＡＣ 的 中 点 ， ＣＨ ＝２ 知 ＦＤ． 由分 析 ２， ＢＦ＝ ４ ＦＤ．
由 ：Ｂ ＿ ③ 圈２ Ａ
、
ＳｎＡ Ｆ ￣
④ 得 ＢＥ一２ ＥＣ．
＠ 芝
注 该证法灵活运用三角形面积比 及三 罐
角 形 相 似 的 性 质 ， 开 生 面 ， 截 了 当． 别 直 继 续 探 究 ， 有 其 它 的 证 法 ， 用 梅 涅 劳 还 如
一
２ 二 次 函数 一２ ＋６ ． １ ７ ｚ＋Ｃ的 图像 的 顶 点 为 Ｄ， 与
２轴 正 方 向 从 左 至 右依 次 交 于 Ａ ， ２ Ｂ两 点 ， Ｙ轴 正 方 与
向 交 于 ｃ点 ， △ ＡＢＤ 和 △ ＯＢＣ 均 为 等腰 直 角 三 角 若 形 （）为坐 标 原 点 ） 则 ６ ｃ （ ， ＋２ ＝ ．
二 、 空 题 ：本 题 满 分 ２ 填 （ ８分 ， 每小 题 ７分 ）
１ 在 △ ＡＢＣ 中 ， 知 Ｂ 一 ２ Ａ ， ． 已 ＢＣ一 ２， ＡＢ一 ２ ＋２ ， 则 Ａ 一 ．
三 、 本 题 满 分 ２ 分 ） 知 ｍ， 为 正 整 数 ， （ ５ 已 ， ｍ＜
一６ 。 ＥＦＧ＝Ｉ 。ＦＧ上ＢＣ， ＡＥ＝ （ ０ ５， 则 ）
２ 已 知 △ ＡＢＣ 的两 条 高 线 的 长 分 别 为 ５和 ２ ， ． Ｏ
全国初中数学联赛试题及解答(2011年).doc
2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2=+b a ，4)1()1(22-=-+-ab b a ，则ab 的值为 （ B ） A ．1. B ．1-. C ．21-. D ．21. 2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为 （ B ）A ．5.B ．6.C ．7.D ．8.3．方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为 （ C ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个.4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ C ） A ．5组. B ．7组. C ．9组. D ．11组. 5．如图，菱形ABCD 中，3=AB ，1=DF ，︒=∠60DAB ，︒=∠15EFG ，BC FG ⊥，则=AE （ D ）A ．21+.B ．6.C ．132-.D ．31+. 6．已知2111=++z y x ，3111=++x z y ，4111=++y x z ，则zy x 432++的值为 （ C ） A ．1. B ．23. C ．2. D ．25. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．在△ABC 中，已知A B ∠=∠2，322,2+==AB BC ，则=∠A 15︒．2．二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则=+c b 2 2 ．3．能使2562+n是完全平方数的正整数n 的值为 11 ． 4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果CE DE 43=，58=AC ，D 为EF 的中点，则AB ＝ 24 ．CEFBA第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数c b a ,,满足3=+-c b a ，方程012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实根，方程2x +0x a +=和02=++b cx x 也有一个相同的实根．求c b a ,,的值．解 依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设1x 是方程①和方程②的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,01121121c bx x ax x 两式相减，可解得b a c x --=11．设2x 是方程③和方程④的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,0222222b cx x a x x 两式相减，可解得12--=c ba x 。
2011年全国初中数学联赛决赛试卷及其答案
2011年全国初中数学联赛决赛试卷（4月10日 上午8：45——11：15）考生注意：1．本试卷共三大题（13个小题），全卷满分140分．2．用圆珠笔、签字笔或钢笔作答．3．解题书写不要超出装订线．4．不能使用计算器．一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个凸多边形所有对角线的条数总共有（ ）A ．42条B ．54条C ．66条D ．78条2．如图，矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ．若∠CAE＝15°，则∠BOE ＝（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°3．设方程()()0x a x b x ---=的两根是c ，d ，则方程()()0x c x d x --+=的分根 是（ ）A ．a ，bB ．－a ，－bC ．c ，dD ．－c ，－d4．若不等式2133x x a -+-≤有解，则实数a 的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．65．若一个三角形的任意两条边都不相等，则称它为“不规则三角形”．用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，“不规则三角形”的个数是（ ）A ．18B ．24C ．30D ．366．不定方程2225x y -=的正整数解（x ，y ）的组数是（ ）A ．0组B ．2组C ．4组D ．无穷多组．二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）本题共有4小题，要求直接将答案写在横线上．1．二次函数22y x ax =-+的图象关于直线x =1对称，则y 的最小值是__________．2．已知1a =，则20122011201022a a a +-的值为_____________．3．已知△ABC 中，ABBC ＝6，CA，点M 是BC 的中点，过点B 作AM 延长线的垂线，垂足为D ，则线段BD 的长度是_______________．4．一次棋赛，有n 个女选手和9n 个男选手参赛，每位选手都与其余10n －1个选手各对局一次．计分方式为：胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后统计发现，所有男选手的得分总和是所有女选手得分总和的4倍．则n 的所有可能值是__________．三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分）1．（本题满分20分）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程22(31)210x a x a +-+-=的两个实数根，使得1212(3)(3)80x x x x --=-成立．求实数a 的所有可能值．O E D C B A2．（本题满分25分）抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴有两个交点M （x 1，0），N （x 2，0），且经过点A （0，1），其中0<x 1<x 2．过点A 的直线l 与x 轴交于点C ，与抛物线交于点B （异于点A ），满足△CAN 是等腰直角三角形， 且S △BMN =52S △AMN ．求该抛物线的解析式．3．（本题满分25分）如图，AD 、AH 分别是△ABC （其中AB >AC ）的角平分线、高线，M 是AD 的中点．△MDH 的外接圆交CM 于E ．求证：∠AEB ＝90°．E H M D C B A2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案说明：评阅试卷时，请依据本评分标准：选择题和填空题只设7分和0分两档；其余各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1、B2、D3、A4、C5、B6、A二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、12、03、23 4、1 三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分）1、（本题满分20分）已知21,x x 是关于x 的一元二次方程012)13(22=-+-+a x a x 的两个实数根，使得80)3)(3(2121-=--x x x x 成立。
2011年全国 初中数学联赛(含答案)
12011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2a b +=，()()22114a b ba--+=-，则ab 的值为（ ）A ．1B ．-1C ．12-D ．12【解析】 B由22(1)(1)4a b b a--+=-可得22(1)(1)4a a b b ab -+-=-，即()2233()240a b a b a b ab +-++++=，即()()222222240a b a ab b ab -++-++=，即2240ab ab -+=，所以1ab =-．2．已知ABC △的两条高线的长分别为5和20，若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 B设ABC △的面积为S ，所求的第三条高线的长为h ，则三边长分别为222520S S Sh，，．显然222520S S >，于是由三边关系，得222205222205S S Sh S S S h ⎧+>⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得2043h <<． 所以h 的最大整数值为6，即第三条高线的长的最大值为6．3．方程()21423(2)x x -=-+的解的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 C如图，利用函数图像，发现主要是讨论在11x -≤≤时的交点情况，可用判别式判断(21423(2)x x -=--有两个相同的实数根，所以函数图象上中间部分应该是相切的，所以共有三个交点．4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有（）A ．5组B ．7组C ．9组D ．11组【解析】 C显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条，当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和．当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等．yxOy=4-23((x +2)y=x 2-13又因为12945+++=L ，所以正方形的边长不大于45114⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．由于7=1+了=2+5=3+4； 8=1+7=2+6=3+5； 9=1+8=2+7=3+6=4+5；1+9=2+8=3+7=4+6 2+9=3+8=4+7=5+6．所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法．故满足条件的“线段组”的组数为1459⨯+=．5．如图，菱形ABCD 中，3AB =，1DF =，60DAB ∠=︒，15EFG ∠=︒，FG BC ⊥，则AE =（ ）A ．12+B 6C ．231D ．13【解析】 D过F 作AB 的垂线，垂足为H ．60DAB ∠=︒Q ，2AF AD FD =-=，30EFG ∴∠=︒，1AH =，3FH =，又15EFG ∠=︒Q90301545EFH AFG AFH EFG ∴∠=∠-∠-∠=︒-︒-︒=︒，从而FHE △是等腰直角三角形，所以3HE FH ==DCABE HFG413AE AH HE ∴=+=．6．已知111111111234x y z y z x z x y +=+=+=+++，，，则234x y z++的值为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．52【解析】 C111122x x x y z y z +=∴+=++，，即22x y z x y zy z x x y z+++=∴=+++， 同理可得：34x z x yy x y z z x y z++==++++， 则()22342x y z x y z x y z++++==++ 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．在ABC △中，已知2B A ∠=∠，223BC AB ==+，，则A ∠=______________．【解析】 15︒方法一：延长AB 到D ，使BD BC =，连线段CD ，则12D BCD ABC A ∠=∠=∠=∠，所以CA Cd =．作CD AB ⊥于点E ，则E 为AD 的中点，故()()111223223222AE DE AD AB BD ===+=+=+，((223233BE AB AE =-=+-．在Rt BCE △中，3cos EB EBC BC ∠==，所以30EBC ∠=︒，故1152A ABC ∠=∠=︒． CD5方法二：过点C 点AB 的平行线交B ∠的角平分线与D 点，分别过C 点和D 点作AB 的垂线，垂足分别为E 、F ，易知梯形ABCD 为等腰梯形易知22CD CB EF ==∴=，3Rt AF BE BCE ∴==∴中，3cos EBC ∠=，30CBE ∴∠=︒ 15A ∴∠=︒2．二次函2y x bx c =++的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A B ，两点，与y 轴正方向交于C 点，若ABD △和OBC △均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则2b c +=____________．【解析】 2．方法一：由已知，得24(0)0b b c C c A ⎫---⎪⎪⎝⎭，，，240b b c B ⎫-+-⎪⎪⎝⎭，2424b b c D ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，．过D 作DE AB ⊥于点E ，则2DE AB =，即224244b c b c -⨯-22424b c b c -=-240b c -242b c -．又240b c ->242b c -=．又OC OB =，即24b b cc -+-=，得2242b c b c +-=．方法二：OBC △为等腰直角三角形，OB OC ∴=，B ∴点坐标为()0c ，20c bc c ∴++=，又0c ≠，10c b ∴++=，24AB b c -D 点纵坐标为24b c -，BE F A CD6ABD △为等腰直角三角形，221442b c b c ∴-=-22424b c b c ∴-=-240b c -≠，所以244b c -=2444b c b ∴=+=-，0b ≠，4b ∴=-，3c ∴=3．能使2''256+是完全平方数的正整数n 的值为______________．【解析】 11．当8n <时，()82''2562''12n -+=+，若它是完全平方数，则n 必为偶数．若2n =，则2''2562652+=⨯；若4n =，则42''256217+=⨯；若6n =，则62''25625+=⨯；若8n =，则82''25622+=⨯，所以，当8n ≤时，2''256+都不是完全平方数．当8n >时，()882''256221n -+=+，若它是完全平方数，则821n -+为一奇数的平方．设()282121n k -+=+（k 为自然数），则10(1)n n k k -=+．由于k 和1k +一奇一偶，所以1k =，于是1022n -=，故11n =．4．如图，已知AB 是O e 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果34DE CE =，85AC =，D 为EF 的中点，则AB =______________．【解析】 24．设4CE x AE y ==，，则36DF DE x EF x ===，连AD BC ，．因为AB 为O e 的直径，AF 为O e 的切线，所以90EAF ∠=︒，ACD DAF ∠=∠．7又因为D 为Rt AEF △的斜边EF 的中点，DA DE DF DAF AFD ∴==∴∠=∠，，85ACD AFD AF AC ∴∠=∠∴==，在Rt AEF △中，由勾股定理得222EF AE AF =+，即2236320x y =+．设BE z =，由相交弦定理得CE DE AE BE =g g ，即24312yz x x x ==g， 23203y yz ∴+= ①又AD DE =Q ，DAE AED ∴∠=∠．又DAE BCE ∠=∠，AED BEC ∠=∠，BCE BEC ∴∠=∠，从而BC BE z ==．在Rt ACB △中，由勾股定理得222AB AC BC =+，即22()320y z z +=+，22320y yz ∴+=． ②联立①②，解得816y z ==，．所以24AB AE BE =+=．第二试（A ）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数a b c ，，满足3a b c -+=，方程210x ax ++=和20x bx c ++=有一个相同的实根，方程20x x a ++=和20x cx b ++=也有一个相同的实根．求a b c，，的值．解 依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．CAE OFDB8设1x 是方程①和方程②的一个相同的实根，则221211100x ax x bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，两式相减，可解得11c x a b -=-．设1x 是方程③和方程④的一个相同的实根，则22211200x x a x cx b ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，两式相减，可解得21a b x c -=-．所以121x x =．2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准又方程①的两根之积等于1，于是2x 也是方程①的根，则22210x ax ++=． 又2220x x a ++=，两式相减，得2(1)1a x a -=-． 若1a =，则方程①无实根，所以1a ≠，故21x =．于是21a b c =-+=-，．又3a b c -+=，解得32b c =-=，．二、（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线AC BD ，交于点S ，且2DS SB =，P 为AC 的中点．求证：（1）30PBD ∠=︒；（2）AD DC =．直径，P 为该圆的圆心．作PM BD ⊥于点M ，知M 为BD 的中点，所以1602BPM BPD A ∠=∠=∠=︒，从而30PBM ∠=︒．（2）作SN BP ⊥于点N ，则12SN SB =．又122DS SB DM MB BD ===，，DAPM SNB C931222MS DS DM SB SB SB SN ∴=-=-==，Rt PMS Rt PNS ∴≅△△，30MPS NPS ∴∠=∠=︒，又PA PB =，所以1152PAB NPS ∠=∠=︒，故45DAC DCA ∠=︒=∠，所以AD DC =．三、（本题满分25分）已知m n p ，，为正整数，m n <．设(0)A m -，，(0)B n ，，(0)C p ，，O 为坐标原点．若90ACB ∠=︒，且2223()OA OB OC OA OB OC ++=++．⑴证明：3m n p +=+；⑵求图象经过A B C ，，三点的二次函数的解析式．解 ⑴因为90ACB ∠=︒，OC ab ⊥，所以2OA OB OC ⋅=，即2mn p =．由2223()OA OB OC OA OB OC ++=++，得2223()m n p m n p ++=++．又222222()2()()2()m n p m n p mn np mp m n p p np mp ++=++-++=++-++=2()2()()()m n p p m n p m n p m n p ++-++=+++-，从而有3m n p +-=，即3m n p +=+．（2）由2mn p =，3m n p +=+知m n ，是关于x 的一元二次方程22(3)0x p x p -++= ①的两个不相等的正整数根，从而[]22(3)40p p =-+->△，解得13p -<<．又p 为正整数，故1p =或2p =．10当1p =时，方程①为2410x x -+=，没有整数解．当2p =时，方程①为2540x x -+=，两根为14m n ==，．综合知：142m n p ===，，．设图象经过A B C ，，三点的二次函数的解析式为(1)(4)y k x x =+-，将点(02)C ，的坐标代入得21(4)k =⨯⨯-，解得12k =-．所以，图象经过.A B C ，，三点的二次函数的解析式为2113(1)(4)2222y x x x x =-+-=++．第二试（B ）一、（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同．二、（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线AC BD ，交于点S ，且2DS SB =．求证：AD DC =．证明 由已知得90ADC ∠=︒，从而A B C D ，，，四点共圆，AC 为直径．设P 为AC 的中点，则P 为四边形ABCD 的外接圆的圆心．作PM BD ⊥于点M ，则M 为BD 的中点，所以1602BPM BPD A ∠=∠=∠=︒，从而30PBM ∠=︒作SN BP ⊥于点N ，则12SN SB =．又122DS SB DM MB BD ===，，CBNSM PAD11∴31222MS DS DM SB SB SB SN =-=-==,∴Rt PMS Rt PNS ≅△△,∴30MPS NPS ∠=∠=︒,又PA PB =，所以1152PAB NPS ∠=∠=︒，所以45DAC DCA ∠=︒=∠，所以AD DC =．三、（本题满分25分）已知m n p ，，为正整数，m n <．设(0)A m -，，(0)B n ，，(0)C p ，，O 为坐标原点．若90ACB ∠=︒，且2223()OA OB OC OA OB OC ++=++．求图象经过A B C ，，三点的二次函数的解析式．解 因为90ACB ∠=︒，OC AB ⊥，所以2OA OB OC ⋅=，即2mn p =．由2223()OA OB OC OA OB OC ++=++，得2223()m n p m n p ++=++．又222222()2()()2()m n p m n p mn np mp m n p p np mp ++=++-++=++-++=222()2()()2()m n p p m n p m n p p np mp ++-++=++-++，从而有3m n p +-=，即3m n p +=+．又2mn p =，故m n ，是关于x 的一元二次方程22(3)0x p x p -++= ①的两个不相等的正整数根，从而()22340p p =-+->⎡⎤⎣⎦△，解得13p -<<．又p 为正整数，故1p =或2p =．12当1p =时，方程①为2410x x -+=，没有整数解．当2p =时，方程①为2540x x -+=，两根为14m n ==，．综合知：142m n p ===，，．试图象经过A B C ，，三点的二次涵数的解析式为(1)(4)y k x x =+-，将点(02)C ，的坐标代入得21(4)k =⨯⨯-，解得12k =． 所以，图象经过A B C ，，三点的二次函数的解析式为2113(1)(4)2222y x x x x =-+-=-++．第二试（C ）一、（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同．二、（本题满分25分）如图，已知P 为锐角ABC △内一点，过P 分别作BC AC AB ，，的垂线，垂足分别为D E F ，，，BM 为ABC ∠的平分线，MP 的延长线交AB 于点N ，如果PD PE PF =+，求证：CN 是ACB ∠的平分线．证明 如图1，作1MM BC ⊥于点1M ，2MM AB ⊥于点2M ，1MN BC ⊥于点1N ，2MN AC ⊥于点2N ．MAB CD EPF M 1N 1M 2N 2NP NDHMN 1M 1H 1设NP NM λ=⊥，∵11NN PD MM ∥∥，∴111N D N M λ=．13若11NN MM <，如图2，作1NH MM ⊥，分别交1MM ，于点1H H ，，则1NPH NMH :△△，∴1PH NPMH NMλ==，∴1PH MH λ=， ∴()()111111111PD PH H H MH NN MM NN NN MM NN λλλλ=+=+=-+=+-．若11NN MM =，则()11111PD NN MM MM NN λλ===+-．若11NN MM >，同理可证11(1)PD MM NN λλ=+-．∵2PE NN ∥，∴21PE PMNN NMλ==-，∴2(1)PE NN λ=-． ∵2PF MM ∥，∴2PF NPMM NMλ==，∴2PE MM λ=． 又PD PE PF =+，∴1122(1)(1)MM NN MM NN λλλλ+-=+-．又因为BM 是ABC ∠的平分线，所以12MM MM =，∴()()1211NN NN λλ-=-．显然1λ≠，即10λ-≠，∴12NN NN =，∴CN 是ACB ∠的平分线．三、（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第三题相同．。
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2011年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知2=+b a ，4)1()1(22-=-+-ab b a ，则ab 的值为 （ ） A ．1. B ．1-. C ．21-. D ．21.【答】B.由4)1()1(22-=-+-ab b a 可得ab b b a a 4)1()1(22-=-+-， 即04)(2)(3322=++++-+ab b a b a b a ，即222222()2()40a b a ab b ab -++-++=，即2240ab ab -+=，所以1-=ab ． 2．已知△ABC 的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为 （ ）A ．5.B ．6.C ．7.D ．8. 【答】B.设△ABC 的面积为S ，所求的第三条高线的长为h ，则三边长分别为hSS S 2,202,52．显然20252SS >，于是由三边关系，得 ⎪⎩⎪⎨⎧>+>+,252202,522202h SS S S h S S 解得3204<<h ． 所以h 的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6.3．方程)2)(324(|1|2+-=-x x 的解的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答】C.当1||≥x 时，方程为)2)(324(12+-=-x x ，即0349)324(2=+---x x ，解得1x =24x =-，均满足1||≥x ．当1||<x 时，方程为)2)(324(12+-=-x x ，即0347)324(2=-+-+x x ，解得32x =，满足1||<x ．综上，原方程有3个解． .4．今有长度分别为1，2，…，9的线段各一条，现从中选出若干条线段组成“线段组”，由这一组线段恰好可以拼接成一个正方形，则这样的“线段组”的组数有 （ ）A ．5组.B ．7组.C ．9组.D ．11组. 【答】C.显然用这些线段去拼接成正方形，至少要7条．当用7条线段去拼接成正方形时，有3条边每边都用2条线段连接，而另一条边只用1条线段，其长度恰好等于其它3条边中每两条线段的长度之和．当用8条线段去拼接成正方形时，则每边用两条线段相接，其长度和相等．又因为45921=+++ ，所以正方形的边长不大于45[]114=．由于 4352617+=+=+=； 5362718+=+=+=；546372819+=+=+=+=；64738291+=+=+=+； 65748392+=+=+=+．所以，组成边长为7、8、10、11的正方形，各有一种方法；组成边长为9的正方形，有5种方法。
故满足条件的“线段组”的组数为1×4＋5＝9． 5．如图，菱形ABCD 中，3=AB ，1=DF ，︒=∠60DAB ，︒=∠15EFG ，BC FG ⊥，则=AE （ ）A ．21+.B ．6.C ．132-.D ．31+. 【答】 D.过F 作AB 的垂线，垂足为H ．∵︒=∠60DAB ，2=-=FD AD AF ， ∴︒=∠30AFH ，1=AH ，3=FH ，又∵︒=∠15EFG ，∴EFG AFH AFG EFH ∠-∠-∠=∠︒=︒-︒-︒=45153090， 从而△FHE 是等腰直角三角形，所以HE ＝FH∴ 31+=+=HE AH AE ． 6．已知2111=++z y x ，3111=++x z y ，4111=++y x z ，则zy x 432++的值为 （ ）A ．1.B ．23.C ．2.D ．25. 【答】C. 由已知等式得2=+++z y x zx xy ，3=+++z y x xy yz ，4=+++z y x yz zx ，所以29=++++z y x zx yz xy ．于是，25=++z y x yz ，23=++z y x zx ，21=++z y x xy ．所以 35=x y ，3=y z ，35=x y ，HCBE即x y z 53==。
代入2111=++z y x ，得2153511=++x x x ，解得1023=x ．所以2523543532432==++=++xx x x z y x ． 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．在△ABC 中，已知A B ∠=∠2，322,2+==AB BC ，则=∠A ． 【答】 15︒。
延长AB 到D ，使BD ＝BC ，连线段CD ，则12D BCD ABC A ∠=∠=∠=∠，所以CA ＝CD 。
作AB CE ⊥于点E ，则E 为AD 的中点，故111()(22)2222AE DE AD AB BD ===+=+=+(2(2BE AB AE =-=+-+=在Rt △BCE中，c o s2EB EBC BC ∠==，所以30EBC ∠=︒，故 ︒=∠=∠1521ABC A ． 2．二次函数c bx x y ++=2的图象的顶点为D ，与x 轴正方向从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于C 点，若△ABD 和△OBC 均为等腰直角三角形（O 为坐标原点），则=+c b 2 ．【答】 2．由已知，得),0(c C ，)0,24(2c b b A ---，)0,24(2c b b B -+-，)44,2(2cb b D ---．过D 作AB DE ⊥于点E ，，则AB DE =2，即c b cb 444222-=-⨯， 得c b c b 42422-=-，所以042=-c b 或242=-c b ．又042>-c b ，所以242=-c b ．又OB OC =，即242cb bc -+-=，得2422=-=+c b c b ．DE B3．能使2562+n是完全平方数的正整数n 的值为 ． 【答】 11.当8<n 时，)21(225628nnn-+=+，若它是完全平方数，则n 必为偶数．若2=n ，则65225622⨯=+n；若4=n ，则17225624⨯=+n；若6=n ，则5225626⨯=+n ；若8=n ，则2225628⨯=+n 。
所以，当8≤n 时，2562+n 都不是完全平方数．当8>n 时，)12(2256288+=+-n n，若它是完全平方数，则128+-n 为一奇数的平方。
设28)12(12+=+-k n （k 为自然数），则)1(210+=-k k n ．由于k 和1+k 一奇一偶，所以1=k ，于是2210=-n ，故11=n ．4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果CE DE 43=，58=AC ，D 为EF 的中点，则AB ＝ ．【答】 24.设y AE x CE ==,4，则x EF x DE DF 6,3===．连AD ，BC ．因为AB 为⊙O 的直径，AF 为⊙O 的切线，所以DAF ACD EAF ∠=∠︒=∠,90．又因为D 为Rt △AEF 的斜边EF 的中点，∴ DF DE DA ==，∴ AFD DAF ∠=∠， ∴ AFD ACD ∠=∠，∴ 58==AC AF ．在Rt △AEF 中，由勾股定理得 222AF AE EF +=，即 3203622+=y x ．设z BE =，由相交弦定理得 BE AE DE CE ⋅=⋅，即21234x x x yz =⋅=， ∴ yz y 33202=+ ① 又∵ DE AD =， ∴ AED DAE ∠=∠．又BEC AED BCE DAE ∠=∠∠=∠,，∴ BEC BCE ∠=∠，从而z BE BC ==．在Rt △ACB 中，由勾股定理得 222BC AC AB +=，即22320)(z z y +=+，∴ 32022=+yz y ． ②FBA联立①②，解得16,8==z y ． 所以24=+=BE AE AB ．第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知三个不同的实数c b a ,,满足3=+-c b a ，方程012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实根，方程2x +0x a +=和02=++b cx x 也有一个相同的实根．求c b a ,,的值．解 依次将题设中所给的四个方程编号为①，②，③，④．设1x 是方程①和方程②的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,01121121c bx x ax x 两式相减，可解得ba c x --=11． ……5分设2x 是方程③和方程④的一个相同的实根，则⎩⎨⎧=++=++,0,0222222b cx x a x x 两式相减，可解得12--=c ba x 。
所以 121=x x ． 又方程①的两根之积等于1，于是2x 也是方程①的根，则01222=++ax x 。
又 0222=++a x x ，两式相减，得 1)1(2-=-a x a ． ………15分 若1=a ，则方程①无实根，所以1≠a ，故12=x ．于是 1,2-=+-=c b a ．又3=+-c b a ，解得 3,2b c =-=． ………20分 二．（本题满分25分）如图，在四边形ABCD 中，已知60BAD ∠=︒，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，对角线BD AC ,交于点S ，且SB DS 2=，P 为AC 的中点．求证：（1）︒=∠30PBD ；（2）DC AD =． 证明 （1）由已知得 90ADC ∠=︒，从而D C B A ,,,四点共圆，AC 为直径，P 为该圆的圆心． ……………………5分作BD PM ⊥于点M ，知M 为BD 的中点，所以BPM ∠＝12BPD ∠＝60A ∠=︒，从而︒=∠30PBM ． ……………10分C A（2）作BP SN ⊥于点N ，则12SN SB =． 又BD MB DM SB DS 21,2===， ∴ SN SB SB SB DM DS MS ==-=-=21232， …………15分∴ Rt △PMS ≌Rt △PNS ，∴ ︒=∠=∠30NPS MPS ，又PB PA =，所以1152PAB NPS ∠=∠=︒，故D C A D A C ∠=︒=∠45，所以DC AD =．……………25分三．（本题满分25分）已知p n m ,,为正整数，n m <．设(,0)A m -，(,0)B n ，(0,)C p ，O 为坐标原点．若︒=∠90ACB ，且)(3222OC OB OA OC OB OA ++=++．（1）证明：3+=+p n m ；（2）求图象经过C B A ,,三点的二次函数的解析式．解 （1）因为︒=∠90ACB ，AB OC ⊥，所以2OC OB OA =⋅，即2p mn =．由)(3222OC OB OA OC OB OA ++=++， 得)(3222p n m p n m ++=++．…………5分 又)(2)(2222mp np mn p n m p n m ++-++=++)(2)(22mp np p p n m ++-++=)(2)(2p n m p p n m ++-++=))((p n m p n m -+++=，从而有3=-+p n m ，即3+=+p n m ． ……………………10分 （2）由2p mn =，3+=+p n m 知n m ,是关于x 的一元二次方程0)3(22=++-p x p x ①的两个不相等的正整数根，从而04)]3([22>-+-=∆p p ，解得31<<-p 。