2006年高考第一轮复习数学：14.2 导数的应用

14.2 导数的应用●知识梳理1.函数的单调性（1）设函数y=f（x）在某个区间内可导,若f′（x）＞0,则f（x）为增函数;若f′（x）＜0,则f（x）为减函数.（2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法.①确定函数f（x）的定义区间.②求f′（x）,令f′（x）=0,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根.③把函数f（x）的间断点〔即包括f（x）的无定义点〕的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f（x）的定义区间分成若干个小区间.④确定f′（x）在各小开区间内的符号,根据f′（x）的符号判定函数f（x）在每个相应小开区间内的增减性.2.可导函数的极值（1）极值的概念设函数f（x）在点x0附近有定义,且若对x0附近所有的点都有f（x）＜f（x0）（或f（x）＞f（x0））,则称f（x0）为函数的一个极大（小）值,称x0为极大（小）值点.（2）求可导函数f（x）极值的步骤.①求导数f′（x）.②求方程f′（x）=0的根.③检验f′（x）在方程f′（x）=0的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那么函数y=f（x）在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负,右侧附近为正,那么函数y=f（x）在这个根处取得极小值.3.函数的最大值与最小值（1）设y=f（x）是定义在区间［a,b］上的函数,y=f（x）在（a,b）内有导数,求函数y=f （x）在［a,b］上的最大值与最小值,可分两步进行.①求y=f（x）在（a,b）内的极值.②将y=f（x）在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.（2）若函数f（x）在［a,b］上单调增加,则f（a）为函数的最小值,f（b）为函数的最大值;若函数f（a）在［a,b］上单调递减,则f（a）为函数的最大值,f（b）为函数的最小值.特别提示我们把使导函数f′（x）取值为0的点称为函数f（x）的驻点,那么（1）可导函数的极值点一定是它的驻点,注意这句话中的“可导”两字是必不可少的.例如函数y=|x|在点x=0处有极小值f（0）=0,可是我们在前面已说明过,f′（0）根本不存在,所以点x=0不是f（x）的驻点.（2）可导函数的驻点可能是极值点,也可能不是极值点.例如函数f（x）=x3的导数是f′（x）=3x2,在点x=0处有f′（0）=0,即点x=0是f（x）=x3的驻点,但从f（x）在（－∞, +∞）上为增函数可知,点x=0不是f（x）的极值点.●点击双基1.（2005年海淀区高三第一学期期末模拟）函数y =x sin x +cos x 在下面哪个区间内是增函数A.（2π,2π3） B.（π,2π） C.（2π3, 2π5） D.（2π,3π）解析：y ′=（x sin x +cos x ）′=sin x +x cos x －sin x =x cos x , 当x ∈（2π3,2π5）时,恒有x cos x ＞0. 答案：C2.函数y =1+3x －x 3有 A.极小值－2,极大值2 B.极小值－2,极大值3 C.极小值－1,极大值1 D.极小值－1,极大值3解析：y ′=3－3x 2=3（1+x ）（1－x ）.令y ′=0得x 1=－1,x 2=1.当x ＜－1时,y ′＜0,函数y =1+3x －x 3是减函数;当－1＜x ＜1时, y ′＞0,函数y =1+3x －x 3是增函数;当x ＞1时,y ′＜0,函数y =1+3x －x 3是减函数.∴当x =－1时,函数y =1+3x －x 3有极小值－1;当x =1时,函数y =1+3x －x 3有极大值3. 答案：D3.设f （x ）在（a ,b ）内有定义，x 0∈（a ,b ），当x ＜x 0时，f ′（x ）＞0;当x ＞x 0时，f ′（x ）＜0.则x 0是A.间断点B.极小值点C.极大值点D.不一定是极值点 解析:f （x ）在x 0处不一定连续. 答案:D4.函数f （x ）=ｅx ＋ｅ－x 在（０，＋∞）上的单调性是__________.解析:∵f ′（x ）=e x －e －x =e －x （e 2x －1）,∴当x ∈（0,+∞）时，f ′（x ）＞0. ∴f （x ）在（0，+∞）上是增函数. 答案:增函数 5.若函数f （x ）=x 3+x 2+mx +1是R 上的单调递增函数，则m 的取值范围是______________ _____________________.解析:f ′（x ）=3x 2+2x +m .∵f （x ）在R 上是单调递增函数, ∴f ′（x ）＞0在R 上恒成立， 即3x 2+2x +m ＞0.由Δ=4－4×3m ＜0,得m ＞31. 答案:m ＞31 ●典例剖析【例1】 求函数y =342+-+x x 的值域.剖析:求函数值域是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质来求解，也可以利用函数的单调性求出值域.本题形式结构复杂，可采用求导的方法求解.解:函数的定义域由⎩⎨⎧≥+≥+03042x x 求得x ≥－2.求导得y ′=421+x －321+x=34224232+⋅++-+x x x x .由y ′＞0得23+x ＞42+x ,即⎪⎩⎪⎨⎧+>+>+>+,42)3(403042x x x x 解得x ＞－2,即函数y =42+x －3+x 在（－2,+∞）上是增函数.又此函数在x =－2处连续,∴在［－2,+∞）上是增函数，而f （－2）=－1. ∴函数y =42+x －3+x 的值域是［－1,+∞）.评述:函数y =f （x ）在（a ,b ）上为单调函数，当在［a ,b ］上连续时，y =f （x ）在［a ,b ］上也是单调函数.【例2】 已知f （x ）=ax 3+bx 2+cx （a ≠0）在x =±1时取得极值，且f （1）=－1, （1）试求常数a 、b 、c 的值；（2）试判断x =±1是函数的极大值还是极小值，并说明理由.剖析:考查函数f （x ）是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f ′（x ）=0的根建立起由极值点x =±1所确定的相关等式，运用待定系数法确定a 、b 、c 的值.（1）解法一:f ′（x ）=3ax 2+2bx +c ,∵x =±1是函数的极值点, ∴x =±1是方程3ax 2+2bx +c =0的两根. 由根与系数的关系知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-②①13,032ac a b 又f （1）=－1,∴a +b +c =－1.③ 由①②③解得a =21,b =0,c =－23. 解法二:由f ′（1）=f ′（－1）=0,得3a +2b +c =0,①3a －2b +c =0.②又f （1）=－1,∴a +b +c =－1. ③由①②③解得a =21,b =0,c =－23. （2）解:f （x ）=21x 3－23x ,∴f ′（x ）=23 x 2－23=23（x －1）（x +1）.当x ＜－1或x ＞1时,f ′（x ）＞0;当－1＜x ＜1时，f ′（x ）＜0.∴x =－1时，f （x ）有极大值；x =1时,f （x ）有极小值.【例3】 已知函数f （x ）=2ax －21x,x ∈（0,1］.（1）若f （x ）在x ∈（0,1］上是增函数，求a 的取值范围； （2）求f （x ）在区间（0,1］上的最大值.剖析:（1）要使f （x ）在（0,1］上为增函数，需f ′（x ）＞0,x ∈（0,1）. （2）利用函数的单调性求最大值.解:（1）由已知可得f ′（x ）=2a +32x,∵f （x ）在（0,1）上是增函数，∴f ′（x ）＞0,即a ＞－31x, x ∈（0,1］.∴a ＞－1.当a =－1时，f ′（x ）=－2+32x对x ∈（0,1）也有f ′（x ）＞0，满足f （x ）在（0,1］上为增函数，∴a ≥－1.（2）由（1）知,当a ≥－1时,f （x ）在（0,1］上为增函数, ∴［f （x ）］max =f （1）=2a －1.当a ＜－1时，令f ′（x ）=0得x =31a-,∵0＜31a-＜1,∴0＜x ＜31a-时,f ′（x ）＞0;31a-＜x ≤1时，f ′（x ）＜0.∴f （x ）在（0,31a-）上是增函数，在（31a-,1]减函数.∴［f （x ）］max =f （31a-）=－332a .评述:求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.深化拓展（1）也可用函数单调性的定义求解.思考讨论函数f （x ）在区间D 上的极值与最值有什么联系？ ●闯关训练 夯实基础1.下列各式正确的是A.x －63x ＞sin x （x ＞0）B.sin x ＜x （x ＞0）C.π2x ＞sin x （0＜x ＜2π） D.以上各式都不对解析：令F （x ）=x －sin x ,则F ′（x ）=1－cos x ＞0（当x ＞0,x ≠2n π,n =1,2,…）. 故F （x ）在x ＞0时单调递增.因此当x ＞0时,有F （x ）＞F （0）=0. 答案：B2.函数f （x ）=sin （3x －6π）在点（6π,23）处的切线方程是 A.3x +2y +3－2π=0 B.3x －2y +3－2π=0C.3x －2y －3－2π=0D.3x +2y －3－2π=0解析:因为f ′（x ）=3cos （3x －6π）,所以所求切线的斜率为f ′（6π）=23,切线方程为y －23=23 （x －6π）,即3x －2y +3－2π=0.答案:B3.函数y =x －2x （x ≥0）的最大值为_____________. 解析:y ′=x21－2,当0＜x ＜161时，y ′＞0,∴y =x －2x 在（0,161）上为增函数. 当x ＞161时，y ′＜0,∴y =x －2x 在（161,+∞）上是减函数.∴y =x －2x 在（0,+∞）上的最大值为161－162=81. 答案:81 4.（2005年北京东城区模拟题）如果函数y =f （x ）的导函数的图象如下图所示,给出下列判断:①函数y =f （x ）在区间（－3,－21）内单调递增; ②函数y =f （x ）在区间（－21,3）内单调递减; ③函数y =f （x ）在区间（4,5）内单调递增; ④当x =2时,函数y =f （x ）有极小值; ⑤当x =－21时,函数y =f （x ）有极大值. 则上述判断中正确的是_____________ 解析:当x ∈（4,5）时,恒有f ′（x ）＞0. 答案:③5.已知f （x ）=2ax －x b +ln x 在x =－1,x =21处取得极值. （1）求a 、b 的值；（2）若对x ∈［41,4］时，f （x ）＞c 恒成立，求c 的取值范围. 解:（1）∵f （x ）=2ax －xb+ln x ,∴f ′（x ）=2a +2x b +x1.∵f （x ）在x =－1与x =21处取得极值，∴f ′（－1）=0,f ′（21）=0,即⎩⎨⎧=++=-+.0242,012b a b a 解得⎩⎨⎧-==.1,1b a∴所求a 、b 的值分别为1、－1.（2）由（1）得f ′（x ）=2－21x +x 1=21x （2x 2+x －1）=21x （2x －1）（x +1）.∴当x ∈［41,21］时，f ′（x ）＜0;当x ∈［21,4］时，f ′（x ）＞0.∴f （21）是f （x ）在［41,4］上的极小值.又∵只有一个极小值， ∴f （x ）min =f （21）=3－ln2.∵f （x ）＞c 恒成立，∴c ＜f （x ）min =3－ln2. ∴c 的取值范围为c ＜3－ln2.6.（2004年全国Ⅰ,理19）已知a ∈R ，求函数f （x ）=x 2e ax 的单调区间.解:f ′（x ）=2x e ax +ax 2e ax =（2x +ax 2）e ax .①当a =0时，若x ＜0，则f ′（x ）＜0，若x ＞0,则f ′（x ）＞0.所以当a =0时，函数f （x ）在区间（－∞,0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增 函数.②当a ＞0时，由2x +ax 2＞0，解得x ＜－a 2或x ＞0;由2x +ax 2＜0,得－a2＜x ＜0. 所以当a ＞0时，函数f （x ）在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a2,0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.③当a ＜0时，由2x +ax 2＞0，得0＜x ＜－a2. 由2x +ax 2＜0，得x ＜0或x ＞－a2. 所以当a ＜0时，函数f （x ）在区间（－∞,0）内为减函数，在区间（0，－a2）内为增函数，在区间（－a2,+∞）内为减函数. 培养能力7.已知x ∈R ,求证：e x ≥x +1.证明:设f （x ）=e x －x －1,则f ′（x ）=e x －1. ∴当x =0时，f ′（x ）=0,f （x ）=0.当x ＞0时，f ′（x ）＞0,∴f （x ）在（0,+∞）上是增函数.∴f （x ）＞f （0）=0. 当x ＜0时，f ′（x ）＜0,f （x ）在（－∞,0）上是减函数，∴f （x ）＞f （0）=0. ∴对x ∈R 都有f （x ）≥0.∴e x ≥x +1. 8.（2004年全国Ⅱ，文21）若函数f （x ）=31x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1,4）内为减函数，在区间（6，＋∞）上为增函数，试求实数a 的取值范围.解:函数f （x ）的导数f ′（x ）=x 2－ax +a －1. 令f ′（x ）=0,解得x =1或x =a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f （x ）在（1,+∞）上为增函数，不合题意.当a －1＞1,即a ＞2时，函数f （x ）在（－∞,1）上为增函数，在（1,a －1）内为减函数，在（a －1,+∞）上为增函数.依题意应有当x ∈（1,4）时，f ′（x ）＜0, 当x ∈（6,+∞）时，f ′（x ）＞0. 所以4≤a －1≤6,解得5≤a ≤7. 所以a 的取值范围是［5,7］. 探究创新9.已知函数f （x ）的图象与函数h （x ）=x +x1+2的图象关于点A （0，1）对称. （1）求f （x ）的解析式； （2）若g （x ）=f （x ）+xa,且g （x ）在区间（0，2］上为减函数，求实数a 的取值范围.解:（1）设f （x ）图象上任一点坐标为（x ,y ），点（x ,y ）关于点A （0，1）的对称点（－x ,2－y ）在h （x ）图象上.∴2－y =－x +x-1+2. ∴y =x +x 1,即f （x ）=x +x1. （2）g （x ）=x + x a 1+,∵g ′（x ）=1－21xa +,g （x ）在（0，2］上递减，∴1－21xa +≤0在x ∈（0,2］时恒成立,即a ≥x 2－1在x ∈（0,2）时恒成立. ∵x ∈（0,2]时，（x 2－1） max =3,∴a ≥3. ●思悟小结1.函数单调性的充分条件，若f ′（x ）＞0（或＜0），则f （x ）为增函数（或减函数）.2.函数单调性的必要条件，设f （x ）在（a ,b ）内可导，若f （x ）在（a ,b ）上单调递增（或递减），则f ′（x ）≥0（或f ′（x ）≤0）且f ′（x ）在（a ,b ）的任意子区间上都不恒为零.3.可以用单调性求函数的极值、最值. ●教师下载中心 教学点睛利用导数解有关函数的单调性、极值、最值的问题是本节的主要题型，也是高考考查的重点，复习时应引起足够的重视.解单调性的题目时要注意判断端点能否取到，用导数求单调函数的最值时要注意由极值到最值的过渡.拓展题例【例题】 设函数y =f （x ）=ax 3+bx 2+cx +d 图象与y 轴的交点为P ,且曲线在P 点处的切线方程为24x +y －12=0,若函数在x =2处取得极值－16,试求函数解析式,并确定函数的单调递减区间.错因点评：有的同学不知道P 点处的斜率为y ′|p x ,即y ′|x =0为已知切线方程的斜率 －24.又当x =2时有极值,且极值为－16,找不到与a 、b 、c 、d 的关系,从而无法求出a 、b 、c 、d ,导致错解.正确思路：由y ′=3ax 2+2bx +c ⇒f ′（0）=c , ∵切线24x +y －12=0的斜率k =－24,∴c =－24,把x =0代入24x +y －12=0得y =12.得P 点的坐标为（0,12）,由此得d =12,f （x ）即可写成f （x ）=ax 3+bx 2－24x +12. 由函数f （x ）在x =2处取得极值－16,则得⎩⎨⎧-+=-+=-,244120,364816b a b a 解得⎩⎨⎧==.3,1b a ∴f （x ）=x 3+3x 2－24x +12,f ′（x ）=3x 2+6x －24.令f ′（x ）＜0,得－4＜x ＜2. ∴递减区间为（－4,2）.。