2019-2020最新高三数学一轮复习第14讲平面向量的概念及应用教案
(完整word版)高三一轮复习平面向量复习优秀教案
平面向量第一课时平面向量的概念【重要知识】知识点一：向量的概念既有大小又有方向的量叫向量。
注意数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.知识点二：向量的表示法①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；①用有向线段表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.知识点三：有向线段（1）有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.（2）向量与有向线段的区别：①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.知识点四：两个特殊的向量（1）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。
知识点五：平行向量、共线向量（1）定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量。
（2）规定：规定0与任一向量平行.（3）共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：①综合(1)、(2)才是平行向量的完整定义;a b c平行，记作a∥b∥c②向量,,③平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；④共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.知识点六：相等向量（1） 定义长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（2）向量a 与b 相等，记作a b =；（3）零向量与零向量相等；（4）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.【典型例题】1．下列命题正确的是 （ ）A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若b a 、都是单位向量,则a b =C ．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同2．若b a 、都是单位向量，则||b a -的取值范围是 （） A ．（1，2） B ．（0，2）C ．［1，2］ D ．［0，2］3.在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，则2FA AB BO ED +++等于（ ）A ．FE B.AC C DC D FC 4. 如图，在△ABC 中，AB = a , BC = b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求：向量AG ．5．已知△ABC 及一点O ，求证：O 为△ABC 的重心的充要条件是.O OC OB OA =++D A B C ab G·6.设平面内有四边形ABCD 和O 点，,,,OA a OB b OC c OD d ====，若a c b d +=+，则四边形ABCD 的形状为 。
【高中教育】2020高三数学一轮复习第14讲平面向量的概念及应用教案
③若a r =(x,y)，则 a r=( x, y)；④若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr 。
二．典例分析给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB u u u r ＝DC u u ur 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中假命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．②正确．∵AB u u u r ＝DC u u u r ，∴|AB u u u r |＝|DC u u u r |且AB u u u r ∥DC u u ur 。
又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 是平行四边形．反之，若四边形ABCD 是平行四边形，则AB 綊DC 且AB u u u r 与DC u u ur 方向相同，因此AB u u u r ＝DC u u ur 。
③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．C由题悟法1．平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．2．几个重要结论(1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； (3)向量平行与起点的位置无关。
以题试法1．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0。
高中数学复习教案平面向量的基本概念回顾
高中数学复习教案平面向量的基本概念回顾高中数学复习教案：平面向量的基本概念回顾一、引言在高中数学学习中，平面向量是一个重要且基础的概念。
本教案将回顾平面向量的基本概念，包括向量的定义、表示方法以及向量的运算规则。
通过复习这些基本知识，学生们将能够更好地理解和应用向量相关的数学问题。
二、向量的定义向量可以看作是有大小和方向的量，通常用一个有方向的箭头来表示。
在二维平面中，一个向量由两个坐标表示，分别表示向量在横轴和纵轴上的分量。
假设有向量`AB`，则可以表示为`(x,y)`。
三、向量的表示方法1. 坐标表示法：向量`AB`可以用坐标`A(x1,y1)`和`B(x2,y2)`来表示，即`AB=(x2-x1, y2-y1)`。
2. 分量表示法：向量`AB`可以用其横轴分量`a`和纵轴分量`b`来表示，即`AB=(a,b)`。
3. 简化表示法：向量`AB`可以用一个小写字母加上一个向右箭头的符号来表示，即`→v`。
四、向量的运算规则1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
即对于向量`→v`、`→u`和`→w`，有`→v+→u=→u+→v`和`→v+(→u+→w)=(→v+→u)+→w`。
2. 向量的数量乘法：向量与一个实数相乘，其结果是一个方向相同（或相反）且长度是原向量长度的绝对值倍数的向量。
即对于实数`k`和向量`→v`，有`k→v=(kx, ky)`。
3. 向量的减法：向量的减法可以看作是加上一个相反向量。
即对于向量`→v`和`→u`，`→v-→u=→v+(-→u)`。
五、向量的基本性质1. 零向量：零向量是一个特殊的向量，表示大小和方向都为零。
记作`→0`。
2. 负向量：对于向量`→v`，其负向量是方向相反、长度相同的向量，记作`-→v`。
3. 向量的模：向量的模表示向量的长度，记作`|→v|`。
在二维平面中，向量`→v=(x,y)`的模为`|→v|=√(x^2+y^2)`。
4. 单位向量：单位向量是长度为1的向量。
高中数学备课教案平面向量的运算与应用
高中数学备课教案平面向量的运算与应用高中数学备课教案平面向量的运算与应用一、引言在高中数学的学习中，平面向量是一个重要的概念和工具。
它有着广泛的应用，涉及到各个领域，如物理学、几何学、计算机科学等。
本教案将重点讲述平面向量的运算及其应用，旨在帮助学生深入理解和掌握这一概念，并能灵活运用于解决实际问题。
二、基本概念1. 平面向量的定义平面向量可以看作是具有大小和方向的量，通常用一个有向线段来表示。
对于平面上的点A和点B，连接这两点的有向线段AB就表示了一个平面向量，记作→AB。
2. 平面向量的表示平面向量可以用坐标表示法来表示。
设点A的坐标为(x₁, y₁)，点B的坐标为(x₂, y₂)，则有向线段→AB的坐标表示为(x₂ - x₁, y₂ - y₁)。
3. 平面向量的运算平面向量的运算包括加法、数乘和减法。
- 平面向量的加法：设有向线段→AB和→CD，连接线段AB和线段CD的有向线段是→AD，它的坐标表示为((x₂ - x₁) + (x₄ - x₃), (y₂ - y₁) + (y₄ - y₃))。
- 平面向量的数乘：将向量的每个坐标都乘以一个实数k，得到的向量记作k→AB，它的坐标表示为(k(x₂ - x₁), k(y₂ - y₁))。
- 平面向量的减法：设有向线段→AB和→CD，求得向量→AD，可以用向量加法和向量数乘来表示，即→AD = →AB + (-1)→CD。
4. 平面向量的模长平面向量的模长表示向量的大小，用||→AB||来表示。
设向量→AB 的坐标为(x, y)，则向量→AB的模长为√(x² + y²)。
三、平面向量的应用1. 向量的共线与垂直两个向量→AB和→CD共线的条件是存在一个实数k使得→AB = k→CD。
两个向量的内积为0时，称这两个向量垂直。
即→AB·→CD = 0。
2. 向量的夹角两个向量→AB和→CD的夹角θ可以通过向量的内积来计算，即cosθ = (→AB·→CD) / (||→AB|| ||→CD||)。
平面向量的基本概念教案
平面向量的基本概念教案一、引言平面向量是数学中重要的概念之一，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
本教案将介绍平面向量的基本概念，包括向量的定义、性质以及运算法则等内容。
通过学习本教案，学生将能够全面理解平面向量的概念，并能够灵活运用其相关知识。
二、向量的定义向量是具有大小和方向的量，用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量通常用大写字母表示，如A、B、C等。
向量的起点和终点分别表示向量的起点和终点。
三、向量的表示方式向量可以使用不同的表示方式来表示，包括坐标表示、定点表示、列向量表示等。
1. 坐标表示在二维坐标系中，向量可以使用有序数对表示。
例如，向量A的坐标表示为(Ax, Ay)，其中Ax表示向量A在x轴上的分量，Ay表示向量A在y轴上的分量。
2. 定点表示向量还可以使用定点表示，即通过起点和终点的坐标表示向量。
例如，向量AB可以表示为从点A指向点B的箭头。
3. 列向量表示向量还可以使用列向量表示。
例如，向量A可以表示为A = [Ax, Ay]^T，其中^T表示转置。
四、向量的性质1. 平行向量如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
平行向量的大小可以相等，也可以不相等。
2. 直角向量如果两个向量的夹角为90度，则它们是直角向量。
直角向量的点积为0。
3. 零向量大小为0的向量称为零向量，用0表示。
五、向量的运算向量之间可以进行加法和乘法运算。
1. 向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
即将两个向量的起点放在一起，然后将它们的箭头相接，得到一个新的向量，新向量的起点与前两个向量的起点相同，终点与前两个向量的终点相同。
2. 向量的乘法a) 数乘：向量与标量的乘积称为数乘。
数乘的结果是一个新的向量，新向量的大小为原向量的大小与标量的乘积，方向与原向量的方向相同或相反。
b) 点乘：两个向量的数量积称为点乘。
点乘的结果是一个标量，等于两个向量的大小乘积与它们的夹角的余弦值。
平面向量的概念及线性运算(优质课)教案
1.6平面向量的基本概念与线性运算（优质课）教案教学目标：1、了解向量、向量的相等、共线向量等概念；2、掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．3、熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则.教学过程：*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1一、平面向量的概念：1、平面向量：在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．BaA图7－22、向量的模长：向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．3、零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．4、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．5、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．6、 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．7、相反向量：与向量a 长度相等且方向相反的向量叫做a 的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．二、平面向量的基本运算：一般地，λa ＋μb 叫做a , b 的一个线性组合（其中λ,μ均为系数）．如果l ＝λa ＋μ b ，则称l 可以用a ，b 线性表示．向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．1、三角形法则：位移AC 叫做位移AB 与位移BC 的和，记作AC =AB +BC ．一般地，设向量a 与向量b 不共线，在平面上任取一点A (如图7－6)，依次作AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做向量a 与向量b 的和，记作a ＋b ，即 a ＋b =AB ＋BC =AC （7．1）求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则． 2、平行四边形法则：如图7－9所示， ABCD 为平行四边形，由于AD =BC ，根据三角形法则得AB ＋AD =AB ＋BC =AC这说明，在平行四边形ABCD 中， AC 所表示的向量就是AB 与AD 的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质： （1）a ＋0 = 0＋a = a ； a ＋（−a ）= 0； （2）a ＋b =b ＋a ；图7－7ACBaba +bab图7－9ADCB（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c ）． 3、平面向量减法法则：与数的运算相类似，可以将向量a 与向量b 的负向量的和定义为向量a 与向量b 的差．即a −b = a ＋(−b )．设a =OA ，b =OB ，则()= OA OB OA OB OA BO BO OA BA −=+−+=+=．即 OA OB −=BA （7．2）观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a 、 b ，其差a －b 仍然是一个向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b 的终点，终点是被减向量a 的终点．一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为||||||a a λ=λ （7．3）若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ⇔=a b a b ∥ （7．4） 一般地，有 0a = 0,λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=−=−a a a a ， ；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４ ．aAa -bBbO图7－13题型1 平面向量的基本概念 例1 给出下列六个命题：① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a |＝|b |，则a ＝b ；③ 若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形； ④ 在ABCD 中，一定有AB →＝DC →；⑤ 若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题有________．(填序号) 答案：①②③⑥解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a 、b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A 、B 、C 、D 在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．例2 在平行四边形ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点． （1）找出与向量DA 相等的向量； （2）找出向量DC 的负向量； （3）找出与向量AB 平行的向量．分析 要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．解 由平行四边形的性质，得 （1）CB =DA ；（2）BA =DC −,CD DC =−； （3）BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ．练习：1． 如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写出ADCB图7－5O（1）与EF 相等的向量；（2）与AD 共线的向量．2．如图，O 点是正六边形ABCDEF 的中心，试写出 （1）与OC 相等的向量； （2）OC 的负向量； （3）与OC题型2 向量的线性表示例3 一艘船以12 km/h 的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h ，求该船的实际航行速度．解 如图7－10所示，AB 表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然22AD AB AC =+=22125+=13．又512tan =∠CAD ，利用计算器求得6723CAD '∠≈︒1． 即船的实际航行速度大小是13km/h ，其方向与河岸线(水流方向)的夹角约6723'︒．*例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k ，两条绳子与垂线的夹角为θ，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力1F 与2F 的大小．分析 由于两条同样的绳子与竖直垂线所成的角都是θ，所以12F F =．解决问题不考虑其它因素，只考虑受力的平衡，所以12F F k +=−.解 利用平行四边形法则，可以得到1212cos F F F k +==θ，所以12cos k F =θ．练习：1． 如图，已知a ，b ，求a ＋b ．F AD BE C（练习题第1题图EFAB C DO （图1－8）第2题图 A BDC图7－10F 1F 2kθ 图7－112．填空（向量如图所示）：（1）a ＋b =_____________ ,答案：→AC （2）b ＋c =_____________ ,答案：→BD （3）a ＋b ＋c =_____________ ．答案：→AD 3．计算：（1）AB ＋BC ＋CD ； （2）OB ＋BC ＋CA ． 答案：（1）→AD （2）→OA例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a －b ．解 如图7－14（2）所示，以平面上任一点O 为起点，作OA =a ，OB =b ，连接BA ，则向量BA 为所求的差向量，即BA = a －b ． 练习：1．填空：（1）AB AD −=_______________，答案：→DABbOaAba（1）（2）图7－14（图1－15）bbaa（1）（2）第1题图（2）BC BA −=______________，答案：→AC （3）OD OA −=______________．答案：→AD2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB ．解：AC =a+b ，BD =b-a,DB =a －b例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．分析 因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD . 解 ：AC ＝a ＋b ,BD ＝b −a ， 因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以 1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ，OD ＝12BD ＝12（b −a ）＝−12a +12b ．练习：1． 计算：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）；（2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）．解：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）=3a -6b-4a-2b=4 b-a （2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）=-11b2．设a , b 不共线，求作有向线段OA ，使OA ＝12（a ＋b ）． 解：如图所示。
高三数学一轮复习教案――平面向量(附高考分类汇编)
高三数学一轮复习精品教案――平面向量一、本章知识结构：二、重点知识回顾1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b等表示；③平面向量的坐标表示：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。
任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得axi yj =+ ，),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)= 。
a =；若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=，A B =3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.就是单位向量）4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
②向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。
即：a -b = a+ (-b )；差向量的意义： OA = a, OB =b, 则BA =a- b③平面向量的坐标运算：若11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则a b +),(2121y y x x ++=，a b -),(2121y y x x --=，(,)a x y λλλ= 。
④向量加法的交换律：a +b =b +a ；向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )7．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa =0；（3）运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa +λb8． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa。
2019-2020年高三数学向量应用专题教案人教版
在立体几何的学习中，求各种“空间角”、和空间“距离”的难点在于作出相应的“角”及作出表示“距离”的线段，并给出相应的证明。
高中新教材对解决这类问题引入了向量这个强大的工具，避开了“作”、“证”这个难点，提供了解决求空间角、距离及证明“垂直”、“平行”的通法。
同时也进一步强化了“坐标法”、“数形结合”和“转化”等数学思想方法。
本文拟就向量在立体几何中的应用作初步的总结和探讨。
专题一空间各种距离的计算一、空间两点间的距离方法：设A、B是空间两点，则A、B两点间的距离 d=||例1：已知二面角α-l-β的大小是120o ,A、C l,Bα,且CD⊥l,AB=CD=a,AC=2a。
求BD的长。
解：∵ CD⊥l,AB⊥l,α-l-β=120o∴<,>=120o⇒<, >=60o∵∴||2=BACDACBA+=++2)(2=a2+4a2+a2+0+0+2a⋅acos60o=7a2 ∴||=例2：正方体正方形ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M、N分别是AA1、D1C1的中点。
求M、N两点间的距离。
解：建立空间直角坐标系D-xyz则M（1，0，），N（0，，1）∴26)21()21()1(222=++-=故M、N两点间的距离为二、两条异面直线间的距离方法：设a、b是两条异面直线，是a、b a,B 则异面直线a、b间的距离d=即方向上的射影长为异面直线a、b间的距离。
例3：如图，正方形ABCD-A1B1C1D1的棱长为1。
1) 求异面直线A1C1与B1C的距离。
2）求异面直线A1A1与BD1的距离解：1）建立空间直角坐标系D-xyz（如图）则A1（1,0,1），C1(0,1,1),B1(1,1,1),C(0,1,0)∴)1,0,1(),0,1,1(111=-=CBCA设111,),,(CAzyx⊥⊥=且则：得：z y x z x y x -==⇒⎩⎨⎧=+=+-00 取又 ∴∴3331==故异面直线。
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——教学资料参考参考范本——2019-2020最新高三数学一轮复习第14讲平面向量的概念及应用教案______年______月______日____________________部门教学目标（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；③了解向量的线性运算性质及其几何意义。
（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义；②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
命题走向本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。
以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。
此类题难度不大，分值5~9分。
预测20xx年高考：（1）题型可能为1道选择题或1道填空题；（2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。
教学准备多媒体课件教学过程一．知识梳理：1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。
向量一般用cba,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB几何表示法，；坐标表示法。
向量的大小即向量的模（长度），记作||即向量的大小，记作｜|。
向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
②零向量长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝｜｜＝0。
由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）③单位向量模为1个单位长度的向量，向量为单位向量｜｜＝1。
④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作∥。
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
⑤相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为。
大小相等，方向相同༄。
2．向量的运算（1）向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。
设，则+==。
规定：（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连”。
（2）向量的减法①相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。
记作,零向量的相反向量仍是零向量。
关于相反向量有：（i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=。
②向量减法向量加上的相反向量叫做与的差，记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）。
（3）实数与向量的积①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的。
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。
3．两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。
4．平面向量的基本定理如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
5．平面向量的坐标表示（1）平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。
规定：（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。
（2）平面向量的坐标运算：①若，则；②若，则；③若=(x,y)，则=(x, y)；④若，则。
二．典例分析给出下列命题：①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中假命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．②正确．∵＝，∴||＝||且∥.又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD是平行四边形．反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC且与方向相同，因此＝.③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．C由题悟法1．平面向量的概念辨析题的解题方法准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．2．几个重要结论(1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性；(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量；(3)向量平行与起点的位置无关.以题试法1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.向量的线性运算典题导入(1)(20xx·四川高考)如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )A．0 B．C．D．(2)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝1 3＋λ，则λ等于( )A.23B.13C．－13D．－23(1)如图，∵在正六边形ABCDEF中，＝，＝，∴＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝CF―→.(2)∵＝＋，＝＋，∴2＝＋＋＋.又∵＝2，∴2＝＋＋1 3＝＋＋13(－)＝23＋43.∴＝13＋23，即λ＝23.(1)D (2)A若(2)中的条件作如下改变：若点D是AB边延长线上一点且||＝||，若＝λ＋μ，则λ－μ的值为________．解析：∵＝＋＝＋2＝＋2(－)＝2－＝λ＋μ.∴λ＝2，μ＝－1.∴λ－μ＝3.答案：3由题悟法在进行向量的线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则求解，并注意利用平面几何的性质，如三角形中位线、相似三角形等知识．以题试法2．(20xx·汉阳调研)若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①＋＝＋；②＋＝＋；③－＝＋.其中正确的有( )A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选 C ①式的等价式是－＝－，左边＝＋，右边＝＋，不一定相等；②式的等价式是－＝－，＋＝＋＝成立；③式的等价式是－＝＋，＝成立．共线向量典题导入设两个非零向量a与b不共线．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D 三点共线；(2)试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.∴，共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵k a＋b与a＋k b共线，∴存在实数λ，使k a＋b＝λ(a＋k b)，即k a＋b＝λa＋λk b.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，即k2－1＝0.∴k＝±1.由题悟法1．当两向量共线时，只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，解决向量共线问题要注意待定系数法和方程思想的运用．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．以题试法3．已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．解：由题设知，＝d －c ＝2b －3a ，＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得＝k，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .因为a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝65.故存在实数t ＝65使C ，D ，E 三点在一条直线上．(20xx·苏北四市联考)如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设＝a ，＝b ，若＝2，则＝________(用向量a 和b 表示)．∵＝2，∴△DOC ∽△BOA ，且OC OA ＝12，∴＝23＝23(＋)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝23a ＋13b .23a ＋13b由题悟法用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，也就是利用已知向量表示未知向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．以题试法1．(20xx·南宁模拟)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D．1解析：选 A 设＝m＝m(－)(0≤m≤1)，则＝＋＝(1－m) ＋m，＝12＝m2＋1－m2，所以λ＋μ＝m2＋1－m2＝12.平面向量的坐标运算典题导入(1)(20xx·西城期末)已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－2)．若实数k与向量c满足a＋2b＝k c，则c可以是( )A．(3，－1) B．(－1，－3)C．(－3，－1) D．(－1, 3)(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c.①求3a＋b－3c；②求满足a＝m b＋n c的实数m，n.(1)∵a＝(3，1)，b＝(0，－2)，∴a＋2b＝(3，－3)＝－3(－1，3)．(2)由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．①3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．②∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )， ∴⎩⎨⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝－1.(1)D本例中第(2)题增加条件＝3c ，＝2b ，求M ，N 的坐标及向量的坐标． 解：∵＝－＝3c ，∴＝3c ＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M (0,20)．又∵＝－＝－2b ，∴＝－2b ＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)．∴＝(9，－18)．由题悟法1．向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算．2．两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同．此时注意方程(组)思想的应用．向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都发生变化，但向量的坐标不变．以题试法2．(20xx·淮安模拟)已知向量a ＝(6,4)，b ＝(0,2)，＝a ＋λb ，O 为坐标原点，若点C 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12x 的图象上，则实数λ的值为________．解析：由题意得＝(6,4)＋λ(0,2)＝(6,4＋2λ)，故点C 的坐标为(6,4＋2λ)，根据条件得4＋2λ＝sin 6π12＝1，解得λ＝－32.答案：－32平面向量共线的坐标表示典题导入(20xx·广东高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝( )A.14B.12C．1 D．2可得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c得(1＋λ)×4－3×2＝0，所以λ＝1 2 .B在本例条件下，问是否存在非零常数λ，使a＋λb和a－λc平行？若平行，是同向还是反向？解：∵a＋λb＝(1＋λ，2)，a－λc＝(1－3λ，2－4λ)，若(a＋λb)∥(a－λc)，∴(1＋λ)(2－4λ)－2(1－3λ)＝0.∴λ＝1.∴a＋λb＝(2,2)与a－λc＝(－2，－2)反向．即存在λ＝1使a＋λb与a－λc平行且反向．由题悟法a∥b的充要条件有两种表达方式(1)a∥b(b≠0)⇔a＝λb(λ∈R)；(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.两种充要条件的表达形式不同．第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b ≠0，而第(2)种无b ≠0限制．以题试法3．(1)(20xx·北京东××区综合练习)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn＝( )A ．－2B ．2C ．－12D.12解析：选C 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，因为m a ＋n b 与a －2b 共线，所以(2m －n )×(－1)－(3m ＋2n )×4＝0，整理得m n ＝－12.(2)(20xx·嘉兴模拟)已知a ，b 是不共线的向量，＝λa ＋b ，＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件为( ) A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：选 D ∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数t ，满足＝t ，即λa ＋b ＝t a ＋μt b ，又a ，b 是不共线的向量， ∴⎩⎨⎧λ＝t ，1＝μt ，即λμ＝1.板书设计平面向量的概念及应用 1．向量的概念①向量 ②零向量 ③单位向量 ④平行向量（共线向量） ⑤相等向量 2．向量的运算 （1）向量加法（2）向量的减法（3）实数与向量的积3．两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。