优化建模与LINGO第11章
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优化模型讲解 附LINGO程序
数学建模培训讲义——优化模型与LINGO软件二○一一年七目录1 静态优化模型 (1)1.1 最优生产计划问题 (1)1.2 存贮模型 (2)2 线性规划模型 (2)2.1 LINGO简介 (2)2.2 配料问题 (3)2.3 练习：运输问题 (4)3 整数规划模型 (4)3.1 电影院广告问题 (4)3.2 练习：生产计划问题 (5)4 0-1规划 (5)4.1 背包问题 (5)4.2 矿井选址问题 (6)4.3 练习：混合泳接力队的选拔问题 (7)5 LINGO应用 (8)5.1 变量定界函数 (8)5.2 集合 (8)5.3 帆船生产问题 (9)5.4 派生集合 (11)5.5 通过电子表格（Excel）文件传递数据 (12)5.6 旅游问题 (13)优化模型与LINGO 软件优化问题是计划管理工作中经常要碰到的问题，比如，出门旅行就要考虑选择什么样的路线和交通工具，才能使旅行费用最省或使所花费的时间最少。
在工厂技术、经济管理和科学研究等领域中，最优化问题就更多，一个工厂要怎样安排产品的生产，才能获得最大利润？一个设计部门要考虑在满足结构强度的要求下怎样使得所用的材料的总重量最轻？比较有效的求解优化问题的一个方法使数学规划，它包括：线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划和多目标规划等等。
用数学建模的方法来处理一个优化问题的时候，首先要确定优化的目标是什么，寻求的决策是什么，决策受到哪些条件的限制（如果有限制的话），然后用数学工具（变量、函数等）表示它们。
1 静态优化模型静态优化模型，归结为微积分中的函数极值问题，可以直接用微分法求解。
1.1 最优生产计划问题一计算机公司引进A 、B 两种类型的芯片技术，总耗资400000元，准备生产这两种类型的芯片出售。
生产一片A 芯片的成本为1950元，而市场售价为3390元，生产一片B 芯片的成本为2250元，而市场售价3990元。
由于市场存在竞争，每售出一片A 芯片，A 芯片就会降价0.1元，并且令B 芯片降低0.04元，每售出一片B 芯片，B 芯片就会降价0.1元，并且令A 芯片降价0.03元。
(外校培训课件)优化模型与LINGO软件求解——LINGO学习集全资料文档
NLP: 非线性规划
(2)最优状态 全局全优
(3)最优目标值: 10
约束条件情况最优解： (1)约束总个数X4=100,按方法4 (2)非线性个数X6=50, 按方法6
25
[例1] 下料(截割问题)及求解
❖ [模型-2]的求解结果：
最优目标函 数值：90
x1=40, 按方法1截割 x2=20, 按方法2截割 x6=30. 按方法6截割
26
[例1] 下料(截割问题)及求解
❖ 求解结果分析：
在追求“余料最少”目标时，“≥”约 束把条件放宽了。
修正方法：改为“=”约束
模型(1)的求解结果： 最优目标(余料)=10m
(x4,x6)=(100,50) 耗用原料 = 150根
是否符 合原问 题要求?
不符合。 (1)问题出在哪里? (2)如何修正?
2
一、竞赛题中的优化模型总结
❖ 2.优化类竞赛题小结 ❖ 在全国数模竞赛中，优化问题是出现频率最
高的一类竞赛题。 ❖ 从1992-20××年全国大学生数模竞赛试题
的解题方法统计结果来看，优化模型共出现 了17次以上，占到了50%。 ❖ 即每两道竞赛题中就有一道涉及到利用优化 理论来建模和求解。
3
一、竞赛题中的优化模型总结
题
13
(三) 典型数学规划问题及求解
❖ 例1 下料(截割)问题及求解 ❖ 例2 运输问题及求解 ❖ 例3 非线性规划问题及求解 ❖ 例4 分派(选址)问题及求解 ❖ 例5 动态规划问题及求解
14
[例1] 下料(截割)问题及求解
1. 问题提出 2. 建立数学模型 3. 编写LINGO求解程序 4. 执行程序 5. 获得计算结果并分析 6. 修正模型，重新求解 7.课后作业 8.编程小结
LINGO软件在优化模型中的应用
羊羽lingo是linearinteractivegeneraloptimizer的缩写即交互式的线性和通用优化求解器由美国lindo系统公司推出的可以用于求解非线性规划也可以用于一些线性和非线性方程组的求解等功能十分强大是求解优化模型的最佳选择
LINGO软件 ——在优化模型中的应用
腾讯微博：羊羽
LINGO软件在优化模型中的应用
LINGO软件在优化模型中的应用
解：设每天用x1 桶牛奶在甲车间生产，用x2 桶牛 奶在乙车间生产，可获利z 元。
则该问题的数学模型为： max z=72x1+64x2 s.t x1+x2≤50 12x1+8x2≤480 3x1≤100 x1,x2≥0
LINGO软件在优化模型中的应用
结果：
这个线性规划的最优解为x1=20，x2=30，最优值 为z=3360，即用20 桶牛奶在甲车间生产，30 桶 牛奶在乙车间生产，可获最大利润3360 元。
优点
3）强大的求解器 LINGO拥有一整套快速的，内建的求 解器用来求解线性、非线性、二次约束和 整数优化问题。
LINGO软件在优化模型中的应用
优点
4）交互式模型 在LINGO内可以直接创建和求解模型， 也可以从自己编写的应用程序中直接调用 LINGO。对于开发交互式模型，LINGO提 供了一整套建模环境，用来求解和分析构 建的模型。
从该问题的求解我们可以看到用LINGO 软件求 解线性规划是非常方便、快捷的，比单纯形法人 工计算效率高很多。
LINGO软ห้องสมุดไป่ตู้在优化模型中的应用
附加问题：
1） 若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？ 若投资，每天最多购买多少桶牛奶？ 2） 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临 时工人的工资最多是每小时几元？ 3） 由于市场需求变化，甲车间奶制品的获利增加 到30元，应否改变生产计划？
LINGO软件 ——在优化模型中的应用
腾讯微博：羊羽
LINGO软件在优化模型中的应用
LINGO软件在优化模型中的应用
解：设每天用x1 桶牛奶在甲车间生产，用x2 桶牛 奶在乙车间生产，可获利z 元。
则该问题的数学模型为： max z=72x1+64x2 s.t x1+x2≤50 12x1+8x2≤480 3x1≤100 x1,x2≥0
LINGO软件在优化模型中的应用
结果：
这个线性规划的最优解为x1=20，x2=30，最优值 为z=3360，即用20 桶牛奶在甲车间生产，30 桶 牛奶在乙车间生产，可获最大利润3360 元。
优点
3）强大的求解器 LINGO拥有一整套快速的，内建的求 解器用来求解线性、非线性、二次约束和 整数优化问题。
LINGO软件在优化模型中的应用
优点
4）交互式模型 在LINGO内可以直接创建和求解模型， 也可以从自己编写的应用程序中直接调用 LINGO。对于开发交互式模型，LINGO提 供了一整套建模环境，用来求解和分析构 建的模型。
从该问题的求解我们可以看到用LINGO 软件求 解线性规划是非常方便、快捷的，比单纯形法人 工计算效率高很多。
LINGO软ห้องสมุดไป่ตู้在优化模型中的应用
附加问题：
1） 若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？ 若投资，每天最多购买多少桶牛奶？ 2） 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临 时工人的工资最多是每小时几元？ 3） 由于市场需求变化，甲车间奶制品的获利增加 到30元，应否改变生产计划？
优化建模与LINGO第11章
( 3 ) Cpi（i= 1,2, …,m）表示第 i 种产品的单位存贮费；
( 4 ) J, WT分别表示每次订货可占用资金和库存总容量；
( 5 ) wi（i =1,2,…,m）表示第 i 种物品的单位库存占用．
优化建模
1 具有资金约束的 EOQ 模型
对于第i ( i = 1 , 2 ， … ，m）种物品，当每次订货
模型定义： 不允许缺货、货物生产 (或补充)的时间
很短（通常近似为0）.
经济订购批量存贮模型（EOQ）有以下假设：
( l ) 短缺费为无穷，即 Cs＝∞，
( 2 ) 当存贮降到零后，可以立即得到补充；
( 3 ) 需求是连续的、均匀的；
( 4 ) 每次的订货量不变，订购费不变；
( 5 ) 单位存贮费不变。
(1) 批量订货的订货费12000 元／次；
(2) 每个零件的单位成本为 10 元／件；
(3) 每个零件的存贮费用为 0.3元／(件 ·月)；
(4) 每个零件的缺货损失为 1.1 元／(件 ·月)。
公司应如何安排这些零件的订货时间与订货规模，使
得全部费用最少？
存贮论模型的基本概念
输入(供应)
储存
输出(需求)
m
m
in
m
CQ J,
st
..
i1
i
i
Q
0
, i
1
,2
, ,m
.
i
2 具有库容约束的 EOQ 模型
1
CD
D i
CQ
,
P
i i
Q
i12
i
m
m
in
m
st
..
( 4 ) J, WT分别表示每次订货可占用资金和库存总容量；
( 5 ) wi（i =1,2,…,m）表示第 i 种物品的单位库存占用．
优化建模
1 具有资金约束的 EOQ 模型
对于第i ( i = 1 , 2 ， … ，m）种物品，当每次订货
模型定义： 不允许缺货、货物生产 (或补充)的时间
很短（通常近似为0）.
经济订购批量存贮模型（EOQ）有以下假设：
( l ) 短缺费为无穷，即 Cs＝∞，
( 2 ) 当存贮降到零后，可以立即得到补充；
( 3 ) 需求是连续的、均匀的；
( 4 ) 每次的订货量不变，订购费不变；
( 5 ) 单位存贮费不变。
(1) 批量订货的订货费12000 元／次；
(2) 每个零件的单位成本为 10 元／件；
(3) 每个零件的存贮费用为 0.3元／(件 ·月)；
(4) 每个零件的缺货损失为 1.1 元／(件 ·月)。
公司应如何安排这些零件的订货时间与订货规模，使
得全部费用最少？
存贮论模型的基本概念
输入(供应)
储存
输出(需求)
m
m
in
m
CQ J,
st
..
i1
i
i
Q
0
, i
1
,2
, ,m
.
i
2 具有库容约束的 EOQ 模型
1
CD
D i
CQ
,
P
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Q
i12
i
m
m
in
m
st
..
优化建模入门与LINGOLINDO简介
优化建模
整数规划问题对应的松弛问题
取消整数规划中决策变量为整数的限制（松弛），对 应的连续优化问题称为原问题的松弛问题 整数规划问题 最优解
最优解 凸多边形的某个顶点
求解LP的基本思想
凸多面体的某个顶点
思路：从可行域的某一顶点开始，只需在有限多个 顶点中一个一个找下去，一定能得到最优解。
LP的通常解法是单纯形法(G. B. Dantzig, 1947)
优化建模
LP其他算法
内点算法(Interior point method)
• 20世纪80年代人们提出的一类新的算法——内点算法 • 也是迭代法，但不再从可行域的一个顶点转换到另一个 顶点，而是直接从可行域的内部逼近最优解。
f ( x)
优化建模
s.t.
hi ( x) 0, i 1,...,m g j ( x) 0, j 1,...,l
整数规划问题的分类
• 整数线性规划(ILP) 目标和约束均为线性函数 • 整数非线性规划(NLP) 目标或约束中存在非线性函数 • 纯(全)整数规划(PIP) 决策变量均为整数 • 混合整数规划(MIP) 决策变量有整数，也有实数 • 0-1规划 决策变量只取0或1
决策变量：周一至周日每天(新)聘用人数 x1, x2,x7 目标函数：7天(新)聘用人数之和 约束条件：周一至周日每天需要人数
设系统已进入稳态（不是开始的几周） 连续工作5天 周一工作的应是(上)周四至周一聘用的 x4 x5 x6 x7 x1 50
min s.t. z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x1 x4 x5 x6 x7 50
优化建模
优化问题的一般形式
优化问题三要素：决策变量；目标函数；约束条件 目标函数 约 束 条 件
优化建模与lingo优化软件
Teaching Plan on Optimization in Lingo
• 1992年: (Ａ)作物生长的施肥效果问 题 (B)化学试验室的实验数据分解问题 • 1993年: (Ａ)通讯中非线性交调的频率设计问题 (Ｂ)足球甲级联赛排名问题
（1）1992-2008全国大学生数学建 模竞赛题目如下：
4、合理设定变量上下界，尽可能给出变量初始值
5、模型中使用的参数数量级要适当 (如小于103)
Teaching Plan on Optimization in Lingo
优化问题1：
min z ( x1 1) 2 ( x1 x 2) 2 ( x 2 x3) 2 ( x3 x 4) 2 ( x 4 x5) 2
Teaching Plan on Optimization in Lingo
• 2009 (A)制动器试验台的控制方法分析 (B)眼科病床的合理安排 (C)卫星和飞船的跟踪测控 (D)会议筹备
Teaching Plan on Optimization in Lingo
(最)优化理论是运筹学的基本内容
3 x1 x2 2 x3 3 2 x2 x3 x4 2 s.t x1 x5 2 5 x 5 i
i 1,2,5
Teaching Plan on Optimization in Lingo
需要掌握的几个重要方面
LINGO：
掌握集合(SETS)的应用；
非 线 性 规 划
整 数 规 划
组 合 优 化
不 确 定 规 划
多 目 标 规 划
目 标 规 划
网 络 优 化
动 态 规 划
Teaching Plan on Optimization in Lingo
数学建模优化模型与Lingo Lindo软件
型
表二 ：5名队员4中泳姿百米平均成绩
队员
甲
乙
丙
丁
戊
蝶泳 66.8 57.2
78
70
67.4
仰泳 75.6
66
67.8
74.2
71
蛙泳
87
66.4 84.6
69.6
83.8
自由泳 58.6
53
59.4
57.2
62.4
线 性 规
·划
模 型
决策变量：引入0-1变量xij 若选择队员 i 参加泳姿 j
例-1 某服务部门一周中每天需要不同数目的
雇员：周一到周四每天至少需要50人，周五
需要80人，周六和周日需要90人。现规定应
聘者需连续工作5天，试确定聘用方案，即周
线
一到周日每天聘用多少人，是5在满足需要的 前况下聘用总人数最少？
性
优化模型
规
决策变量：记周一到周日每天聘用的人数分别为X1，
划
X2，X3，X4，X5，X6 ，X7，这就是问题的决策变量。
的比赛，记 xij=1，否则记 xij=0.这就是问题的决策变量， 共20个。
目标函数：当队员队员 i 入选泳姿 j 的比赛时，
cij xij表示他的成绩，否则cij xij=0。于是接力队的成绩
可以表示为：
45
f
cij xij
j1 i1
约束条件：根据组成接力队的要求， xij 应该满足下面
方案。显然这不是解决问题的最好方法，随着问题
线
规模的变大，穷举法的计算量是无法接受的。
性
可以用0-1变量表示一个队员是否入选接力队， 从而建立这个问题的0-1规划模型.
lINGO11使用
6 5 4 3 2 1 0 20 4 7 3 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
6
稠密集合与稀疏集合
包含了两个基本集合构成的所有二元有序对的派生集合 称为稠密集合(简称稠集)。有时候，在实际问题中，一 些属性(数组) 只在笛卡儿积的一个真子集合上定义，这 种派生集合称为稀疏集合(简称疏集)。
D:稀疏集合ROADS对应的属性变量(给定的距离)
本例的计算 S
L A1 6, L A2 3, L A3 3;
56 6 A2 8 3 6 7 3 A3 4
A1
B1
7 B2
6 8 9
C1 5 C2 6 T
L B1 min L A1 6, L A2 8, L A3 7 10 L A3 7; L B 2 min L A1 5, L A2 6, L A3 4 7 L A3 4; L C1 min L B1 6, L B 2 8 15 L B 2 8; L C 2 min L B1 7, L B 2 9 16 L B 2 9; L T min L C 1 5, L C 2 6 20 L C 1 5.
LINGO软件的基本使用方法
LINGO入门
LINGO的界面
• LINGO软件的主窗口（用 户界面），所有其他窗口 都在这个窗口之内。
• 当前光标 的位置 • 模型窗口（Model Window），用于输入 LINGO优化模型（即 LINGO程序）。
• 状态行（最左边显 示“Ready”，表示 “准备就绪”）
a b d
建立模型 记工地的位置为 ( a , b ) ，水泥日用量为 d , i 1, 6 ；料场 位置为( x , y ) ，日储量为 e , j 1, 2 ；从料场 j 向工地 i 的 运送量为 c 。
6
稠密集合与稀疏集合
包含了两个基本集合构成的所有二元有序对的派生集合 称为稠密集合(简称稠集)。有时候，在实际问题中，一 些属性(数组) 只在笛卡儿积的一个真子集合上定义，这 种派生集合称为稀疏集合(简称疏集)。
D:稀疏集合ROADS对应的属性变量(给定的距离)
本例的计算 S
L A1 6, L A2 3, L A3 3;
56 6 A2 8 3 6 7 3 A3 4
A1
B1
7 B2
6 8 9
C1 5 C2 6 T
L B1 min L A1 6, L A2 8, L A3 7 10 L A3 7; L B 2 min L A1 5, L A2 6, L A3 4 7 L A3 4; L C1 min L B1 6, L B 2 8 15 L B 2 8; L C 2 min L B1 7, L B 2 9 16 L B 2 9; L T min L C 1 5, L C 2 6 20 L C 1 5.
LINGO软件的基本使用方法
LINGO入门
LINGO的界面
• LINGO软件的主窗口（用 户界面），所有其他窗口 都在这个窗口之内。
• 当前光标 的位置 • 模型窗口（Model Window），用于输入 LINGO优化模型（即 LINGO程序）。
• 状态行（最左边显 示“Ready”，表示 “准备就绪”）
a b d
建立模型 记工地的位置为 ( a , b ) ，水泥日用量为 d , i 1, 6 ；料场 位置为( x , y ) ，日储量为 e , j 1, 2 ；从料场 j 向工地 i 的 运送量为 c 。