天津市九年级数学下册教案：26.3实际问题与二次函数教案(1)
26.3实际问题与二次函数(1)
= − 20 x + 100 x + 6000 (0≤x≤20)
2
当x = −
1 所以降价时,定价为 所以降价时 定价为 57 2 6125元. 元
b 5 5 5 = 时， y 最大 = − 20 × + 100 × + 6000 = 6125 2a 2 2 2
2
元，利润最大，最大利润为 利润最大，
S＝－ 2 +30l ＝－l ＝－ 因此， 因此，当 l = −
( 0 < l < 30 )
b 30 时 =− = 15 ， 2a 2× (−1)
4ac − b2 − 302 = = 225， S有最大值 有最大值 4a 4×(−1)
也就是说， 最大（ ＝ 也就是说， 当l是15m时，场地的面积 最大（S＝ 是 时 场地的面积S最大 225m2）.
6 4 2 0
x 2
-4 -2
探究
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 随矩形一边 用总长为 的篱笆围成矩形场地 的变化而变化， 是多少时，场地的面积S最大 最大？ 长 l 的变化而变化，当 l 是多少时，场地的面积 最大？
分析： 的函数关系式， 分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l值． s 矩形场地的周长是60m，一边长为 ， 矩形场地的周长是 ，一边长为l， 60 则另一边长为 − l m ，场地的面积 2 200 S＝l ( 30－l ) ＝ － 即 S＝－ +30l ＝－l ＝－
请大家带着以下几个问题读题
（1）题目中有几种调整价格的方法？ ）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些量之间的关系？ ）题目涉及到哪些量之间的关系？ (3)哪一个量是自变量？哪些量随之发生 哪一个量是自变量？ 哪一个量是自变量 了变化？ 了变化？
人教版九年级下册26.3实际问题与二次函数课程设计
人教版九年级下册26.3实际问题与二次函数课程设计本次课程设计的主题是“实际问题与二次函数”，在本学期的数学课程中，同学们已经学习了二次函数的定义、二次函数图像与性质、二次函数的解析式及其应用等相关知识。
本次课程设计的重点在于通过实际问题来理解和应用二次函数，提高学生的数学应用能力，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
本文将按照以下步骤展开：•第一部分：分析本课程设计的背景和意义•第二部分：设计本课程的教学目标及教学重点•第三部分：教学活动及教学过程安排•第四部分：教师应该注意的问题和解决方法第一部分：分析本课程设计的背景和意义二次函数是初中数学中的一个重要章节，它涉及到二次函数图像的特征、怎样从函数解析式中读出函数图像的信息、二次函数的应用问题等问题。
而在实际问题中，很多问题都可以通过建立适当的数学模型来解决，二次函数正是这类问题中常用的数学模型之一。
本次课程设计的背景是在掌握二次函数相关知识的基础上，将学习到的知识应用到实际问题中去，通过实际问题来启发学生的数学兴趣，提高数学实践能力和解决实际问题的能力。
第二部分：设计本课程的教学目标及教学重点2.1 教学目标：1.熟练掌握二次函数基本概念及性质2.能够运用二次函数完成实际问题的建模和求解3.培养学生的数学思维和解决实际问题的能力2.2 教学重点：1.熟练掌握二次函数图像的性质和变换规律，以及二次函数性质的应用2.能够建立实际问题的数学模型3.能够解决实际问题的数学方法和策略第三部分：教学活动及教学过程安排3.1 教学活动一：自我感受让学生回顾自己在二次函数学习中的收获，通过这个活动使学生更有针对性地思考本次课程的学习目标和价值。
3.2 教学活动二：引入问题通过引入一个实际问题，引导学生思考如何建立数学模型，并解决这个问题。
如下：一块长方形面积为216m2的地要用竹子篱笆围成，则最小需要多长的竹子？引导学生分析问题中已知条件和求解目标，然后通过分析运用二次函数来解决这个问题。
初中数学九年级《实际问题与二次函数：水位变化》公开课教学设计
26.3实际问题与二次函数：水位变化教学设计教学任务分析通过实际问题与二次函数关系的探究，让学生进一步掌握利用二次函数知识来知识技能解决生活中的实际问题。
通过对生活实际问题的研究，体会数学建模的思想。
通过对“水位的变化”和数学思考“篮球有没有投中”的学习和探究，渗透转化及分类的数学思想方法。
通过对生活中实际问题的研究，体会数学知识的现实意义，进一步认识如何利解决问题用二次函数的有关知识解决实际问题。
通过观察、操作、交流归纳等数学活动让学生亲自体会到学习数学的价值，发情感态度展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心．如何将实际问题转化为建立适当的坐标系，求得二次函的数解析式从而解决实际问题。
难点教学流程安排活动1创设情境引出问题通过对拱桥图片的欣赏，让学生从生活实际中发现数学问题，激发学生学习数学的兴趣。
设计巧妙的导入,可能会一石激起千层浪,起到激发学生主动学习的作用。
运用远程教育设备和资源，观察、分析桥拱的形状，由生活实际抽象为数学问题，发展学生分析问题的能力．通过建模，解决实际问题，体会数形结合思想，激发探索精神．体会建立适当坐标系的价值。
由学生总结，有利于培养学生的目标意识，有利于帮助学生学会归纳整理，养成良好的学习习惯通过对例题的类比模仿，建立数学模型，巩固二次函数的实际应用．体会数学来源于生活，又服务于生活。
回顾、反思、交流、总结．布置课后作业，巩固、发展提高．教学过程设计教师引导：题目中有抛物线，要利用抛物线二次函数解析式才能求出对应的数值。
创设问题情境，让学生马上联想到这个问题和抛物线有关联，从而把拱桥的生活问题转化为二次函数问题。
让学生从生活实际中发现数学问题，激发学生学习数学的兴趣。
设计巧妙的导入,可能会一石激起千层浪,起到激发学生主动学习的作用。
教师提出：首先面临的问题要求出二次函数解析是：求函数解析式？就应把拱桥问式，必须把拱桥抛物线放题中的数据转化成点的坐标。
故如在坐标系中，故而如何建何建立坐标系，是解决问题的第一立坐标系是解决这个问题的第一步。
天津市九年级数学下册教案：26.数学活动
数学活动
教学设计说明
二次函数是初中代数中的重要内容，函数思想本身就是辩证唯物主义运动的变化的观点．
两个活动都紧紧围绕着函数值这一概念，<活动一>由画图象，对折，描图，求解析式组成，特别是在求新函数时运用的函数值互为相反数，用代换的方法推出了新函数，方法很巧妙．用代数的方法解决图形问题，渗透了数形结合的思想．<活动二>是一个最值问题，用配方法不难解决，但学生容易忽略自变量的取值范围．在自变量取值范围内求最值，也是可以进行拓展的知识内容．
根据新课程标准，本课重点还在于让学生动手实践，发现问题，解决问题．在教学过程中要注意调动学生的积极性，多用鼓励性的语言激励学生．给学生充分的思考时间，有些过程要学生动笔写出来．。
天津市梅江中学九年级数学下册 26.3 实际问题与二次函数教案1 新人教版
教学目标知识技能生活实际问题转化为数学问题，体验二次函数在生活中的应用．数学思考在问题转化、建模过程中，体会二次函数最值的应用及数形结合的思想．解决问题1．通过实际问题，体验数学在生活实际中的广泛应用性，提高数学思维能力．2．在转化、建模中，学会合作、交流.情感态度1．通过对商品涨价与降价问题的分析，感受数学在生活中的应用，激发学习热情．2．在转化、建模中，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神．重点利用二次函数解决商品利润问题．难点建立二次函数数学模型，函数的最值．教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动1问题引入活动2利润问题活动3解决问题活动4 讨论活动5小结、布置作业通过对最值问题，利润问题的简单求解计算，激发学生对函数实际应用的探索兴趣．通过分析利润问题，把实际问题抽象为数学问题，发展学生分析问题的能力．通过建模，解决实际问题，体会数形结合思想，激发探索精神．掌握函数建模的实际应用价值，掌握实际问题的解决方法．回顾、反思、交流．布置课后作业，巩固、发展提高．教学过程设计问题与情境师生行为设计意图[活动1]问题引入：1.求下列函数的最大值或最小值．（1）（2）2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.已知商品的进价为每件40元，那么一周的利润是多少？3.我们能否设计出一道题，用二次函数最值解决商品利润问题呢？教师出示问题，学生板书．注意学生对函数最值的求解方法，及对x在某一个范围如何求解最值．教师关注：（1）最值的求解方法；（2）商品中利润与进价、售价之间的关系．复习巩固函数的最值知识，商品的利润知识，并通过第三问引出本节课的内容，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生学习热情．[活动2]展示问题某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件；已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？教师展示并提出问题；学生自主分析，得出结论：（1）利润随着价格的变化而变化；（2）利润＝销售额－进货额销售额＝销售单价×销售量进货额＝进货单价×进货量教师关注：（1）学生对商品利润问题的理解；（2）学生对两个变量的理解．商品价格上涨，销售量会随之下降；商品价格下降，销售量会随之增加．这两种情况都会引起利润的变化．激发学生探究的兴趣．问题与情境师生行为设计意图[活动3]1．分析问题（1）研究涨价的情况； （2）如何确定函数关系式？ （3）变量x 有范围要求吗？2．解决问题解：设每件涨价x 元． 由题意得：)10300(40)10300)(60(x x x y ---+=其中，300≤≤x ．师生共同分析： （1）销售额为多少？ （2）进货额为多少？（3）利润y 与每件涨价x 元的函数关系式是什么？（4）变量x 的范围如何确定？ （5）如何求解最值？教师关注：（1）学生能否用函数的观点来认识问题；（2）学生能否建立函数模型； （3）学生能否找到两个变量之间 的关系；（4）学生能否从利润问题中体会到函数模型对解决实际问题的价值．师生共同得到：当x = 时，y 最大．在涨价情况下，涨价 元，即定价 元时，利润最大，最大利润是 元．教师关注：（1）二次函数是生活中实际问题的 一种数学模型，可以解决现实问题；（2）通过数学模型的使用，感受数 学的应用价值．通过对实际问题的分析，把问题转化为二次函数求最值问题，让学生体会数学建模思想．通过实际问题的解决，并对解决方法进行反思，获得解决问题的经验，感受数学的价值．问题与情境 师生行为 设计意图y0 1 5 x图26.3-1-1对于降价情况，学生参考涨价的讨论自己得出答案．[活动4]讨论由（1）（2）的讨论及现在的销售情况，你知道应如何定价能使利润最大吗？[活动5]小结．作业：教师关注：（1）学生能否独立建立数学模型；（2）学生能否独立找到两个变量之间的关系；（3）如何求解二次函数的最值；（4）能否借助函数图象求解最值．学生讨论，教师指导．教师关注：（1）变量x的范围；（2）函数的性质与图象的应用；（3）函数模型为现实服务．学生谈体会．教师进行补充、总结．教师关注：（1）实际问题中抽象出数学问题；（2）建立数学模型，解决实际问题；（3）掌握数形结合思想；（4）感受数学在生活实际中的使用价值．布置作业，学生结合例题完成．通过本题，让学生体会数学模型的建立．最值的求解可以用解析式本身的特征，还可以利用图象．培养学生解决实际问题的能力．讨论是让学生更清楚地掌握函数建模的实际应用价值，掌握实际问题的解决方法．总结、归纳学习内容，帮助学生加深对数形结合思想的理解，培养学生的数学应用意识．教学设计说明1 0 x y本节课是在学习了二次函数的概念、图象、性质后，进一步应用函数知识解决实际问题的一节应用课．主要内容包括：生活中利润问题转化为数学问题进行解决；掌握数学建模思想在实际问题中的应用；体现数学的实际应用价值．二次函数与现实生活联系紧密，运用函数知识解决生活实际问题是数学的实际应用价值的体现．本节课的设计就是从现实生活入手，通过对图形的理解和分析，将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，让学生在解题的过程中体会数学的应用价值，培养学生的数学实践能力．教学从实际问题出发，激发学生的学习兴趣，让学生体会解决现实生活问题的快乐．。
数学：26.3实际问题与二次函数(3课时)教案(人教新课标九年级下)
课题：26.3实际问题与二次函数（1）教学目标：1、知识与技能：经历数学建模的基本过程.2、方法与技能：会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.3、情感、态度与价值观：体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值. 教学重点和难点：重点：二次函数在最优化问题中的应用.难点：例1是从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解.教学方法：学生学法：教学设计：一、创设情境、提出问题给你长8m的铝合金条，设问：①你能用它制成一矩形窗框吗？②怎样设计，窗框的透光面积最大？③如何验证？二、观察分析，研究问题演示动画，引导学生观察、思考、发现：当矩形的一边变化时，另一边和面积也随之改变.深入探究如设矩形的一边长为x 米，则另一边长为(4-x)米，再设面积为ym 2,则它们的函数关系式为x x y 42+-=，并当x =2时，即当设计为正方形时，面积最大=4(m 2)引导学生总结，确定问题的解决方法：在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决.步骤：第一步设自变量；第二步建立函数的解析式；第三步确定自变量的取值范围；第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）.三、例练应用，解决问题在上面的矩形中加上一条与宽平行的线段，出示图形设问：用长为8m 的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，问窗框的宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？ 引导学生分析，板书解题过程.变式（即课本例1）：现在用长为8米的铝合金条制成如图所示的窗框（把矩形的窗框改为上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形），那么如何设计使窗框的透光面积最大？（结果精确到0.01米）四、知识整理，形成系统1、这节课学习了用什么知识解决哪类问题？2、解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？3、学到了哪些思考问题的方法？三、布置作业：1、必做题：2、选做题：课题：26.3实际问题与二次函数(2)教学目标：1、知识与技能：继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程.2、方法与技能：会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题.3、情感、态度与价值观：发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值.教学重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题.教学难点：例2将现实问题数学化，情景比较复杂.教学方法：学生学法：教学过程：一、复习：1、利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：(1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围.(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值.2、上节课我们讨论了用二次函数的性质求面积的最值问题.出示上节课的引例的动态图形（在周长为8米的矩形中）（多媒体动态显示）设问：（1）对角线（L）与边长（x）有什何关系？（2）对角线（L）是否也有最值？如果有怎样求？L与x 并不是二次函数关系，而被开方数却可看成是关于x 的二次函数，并且有最小值.引导学生回忆算术平方根的性质：被开方数越大（小）则它的算术平方根也越大（小）.指出：当被开方数取最小值时，对角线也为最小值.二、例题讲解例题2：B船位于A船正东26km处，现在A、B两船同时出发，A船发每小时12km的速度朝正北方向行驶，B船发每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？多媒体动态演示，提出思考问题：（1）两船的距离随着什么的变化而变化？(2)经过t小时后，两船的行程是多少？两船的距离如何用t来表示？设经过t小时后AB两船分别到达A’，B’，两船之间距离为A’B’=AB'2+AA'2 =(26-5t)2+(12t)2=169t2-260t+676 .（这里估计学生会联想刚才解决类似的问题）因此只要求出被开方式169t2-260t+676的最小值，就可以求出两船之间的距离s 的最小值.解:设经过t时后，A，B AB两船分别到达A’，B’，两船之间距离为S=A ’B ’=AB'2+AA'2 =(26-5t)2+(12t)2 =169t 2-260t+676 = 169（t-1013 ）2+576 （t>0） 当t=1013 时，被开方式169（t-1013）2+576有最小值576. 所以当t=1013 时，S 最小值=576 =24（km ）答：经过1013时，两船之间的距离最近，最近距离为24km 练习：直角三角形的两条直角边的和为2，求斜边的最小值.三、小结应用二次函数解决实际问题的一般步骤四、 布置作业1、必做题：2、选做题：课题：26.3实际问题与二次函数(3)教学目标：1、知识与技能：继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程.2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题.3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值.教学重点和难点：重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题.难点：例3将现实问题数学化，情景比较复杂.教学方法：学生学法：教学过程：一、例题讲解例3某饮料经营部每天的固定成本为200元,某销售的饮料每瓶进价为5元.(1)若记销售单价比每瓶进价多x元时，日均毛利润(毛利润＝售价－进价－固定成本)为y元，求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围；(2)若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元(精确到0.1元)？最大日均毛利润为多少？二、作业：1、必做题：2、选做题：。
实际问题与二次函数第三课时教案
26.3实际问题与二次函数教案教学设计思路本节安排了一个探究性问题，以和拱桥桥洞的有关问题为背景，运用二次函数分析和解决实际问题。
教科书从实际问题出发，引导学生分析问题中的数量关系，建立相应的数学模型即列出函数关系式，进而利用二次函数的性质和图象研究问题的解法。
通过这一节的学习可以使学生对解决实际问题的数学模型的认识再提高一步，从而提高运用数学分析问题和解决问题的能力。
一、教学目标：1．知识与技能能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题。
2．过程与方法经历探索“抛物线形拱桥水面宽度问题”的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验。
3．情感态度与价值观体会二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便。
二、教学重点难点：1．重点通过对实际问题的分析，使学生理解二次函数是在实际生活中解决问题的一种重要模型。
2．难点利用二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便。
三、教学过程：(一)创设情境导入新课小明家门前有一座抛物线形拱桥（如图所示）．当水面在L时，拱顶离水面2 m，水面宽4m。
水面下降1 m时，水面宽度增加多少?(二)探究：①想一想：二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．从而求出水面下降1 m时，水面宽度增加多少。
怎么建立坐标系呢？②建立模型：建立坐标系后需要求出抛物线解析式，可设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2(a≠0)由题意知抛物线经过点A(2，-2)，可得-2=a·2,a=-1/2。
即抛物线的表达式.③解决问题：当水面下降1 m时，水面的纵坐标为y=-3，代人y=-x2，计算可得此时水面宽度，两者相减既得问题答案。
教师关注：（１）学生能否用函数的观点来认识问题；（2）学生能否建立函数模型；（3）学生能否找到两个变量之间的关系；（4）学生能否从拱桥问题中体会到函数模型对解决实际问题的价值．解法探讨：以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.归纳总结：(1)用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系。
实际问题与二次函数教案
实际问题与二次函数教案教案标题：实际问题与二次函数教案教案目标：1. 理解实际问题与二次函数之间的关系。
2. 能够将实际问题转化为二次函数模型，并解决相关问题。
3. 培养学生的问题解决能力和数学建模思维。
教学重点：1. 理解实际问题与二次函数之间的联系。
2. 学会将实际问题转化为二次函数模型。
3. 掌握解决实际问题所需的二次函数相关知识和技巧。
教学难点：1. 如何将实际问题转化为二次函数模型。
2. 如何利用二次函数解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教案、教学课件、实际问题的案例、黑板、白板笔。
2. 学生准备：教材、笔记本、笔。
教学过程：步骤一：导入（5分钟）1. 引入实际问题与二次函数的关系，例如：小明从一个高度为10米的平台上抛掷一个物体，物体的运动轨迹是否可以用二次函数来表示？2. 通过讨论引发学生对实际问题与二次函数的思考。
步骤二：知识讲解（15分钟）1. 讲解二次函数的基本形式和特点，例如：f(x) = ax^2 + bx + c。
2. 解释二次函数的图像特征，包括开口方向、顶点坐标、对称轴等。
3. 引导学生理解二次函数与实际问题之间的联系，例如：抛物线的形状与物体的运动轨迹的关系。
步骤三：实例分析（20分钟）1. 给出几个实际问题的案例，例如：抛体运动、物体自由落体等。
2. 引导学生分析实际问题，找出与二次函数相关的变量和关系。
3. 教师与学生共同讨论，将实际问题转化为二次函数模型，并解决相关问题。
步骤四：练习与巩固（15分钟）1. 学生独立或小组完成几个实际问题的练习题，要求将问题转化为二次函数模型，并求解相关问题。
2. 教师巡回指导，解答学生的问题，引导他们运用二次函数知识解决实际问题。
步骤五：拓展与应用（10分钟）1. 引导学生思考更复杂的实际问题，例如：抛物线的最大高度、最远距离等。
2. 学生自主或小组完成更高难度的实际问题，运用二次函数知识解决，并展示解题过程和答案。
3. 教师评价学生的解题过程和答案，给予积极的肯定和指导。
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26.3实际问题与二次函数（第1课时）
教学设计说明
本节课是在学习了二次函数的概念、图象、性质后，进一步应用函数知识解决实际问题的一节应用课．主要内容包括：生活中利润问题转化为数学问题进行解决；掌握数学建模思想在实际问题中的应用；体现数学的实际应用价值．
二次函数与现实生活联系紧密，运用函数知识解决生活实际问题是数学的实际应用价值的体现．本节课的设计就是从现实生活入手，通过对图形的理解和分析，将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，让学生在解题的过程中体会数学的应用价值，培养学生的数学实践能力．教学从实际问题出发，激发学生的学习兴趣，让学生体会解决现实生活问题的快乐．。