人教版九年级数学下册教学设计(优秀)
人教版数学九年级下册教案【7篇】
人教版数学九年级下册教案【7篇】人教版数学九年级下册教案篇1一元二次方程1、定义：形如：ax2+bx+c=0(a≠0)的方程叫一元二次方程。
①是整式方程;②未知数的次数是二次;③只含有一个未知数;④二次项系数不为零。
2、化为一元二次方程的一般形式：按降幂排列，二次项系数通常为正，右端为零。
3、一元二次方程的根：代入使方程成立。
4、一元二次方程的解法：①配方法：移项→二次项系数化为一→两边同时加上一次项系数的一半→配方→开方→写出方程的解。
②公式法：x=(-b±√b2-4ac)/2a，③因式分解法：右端为零，左端分解为两个因式的乘积。
5、一元二次方程的根的判别式①当△>0时，方程有两个不相等的实数根;②当△=0时，方程有两个相等的实数根;③当△<0时，方程没有实数根。
注意：应用的前提条件是：a≠0.6、一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=-b/a，x1_x2=c/a.注意：应用的前提条件是：a≠0，△≥0.7、列方程解应用题：审题设元→列代数式、列方程→整理成一般形式→解方程→检验作答。
人教版数学九年级下册教案篇2一、锐角三角函数1.正弦：在rt△abc中，锐角∠a的对边a与斜边的比叫做∠a的正弦，记作sina，即sina=∠a的对边/斜边=a/c;2.余弦：在rt△abc中，锐角∠a的邻边b与斜边的比叫做∠a的余弦，记作cosa，即cosa=∠a的邻边/斜边=b/c;3.正切：在rt△abc中，锐角∠a的对边与邻边的比叫做∠a 的正切，记作tana，即tana=∠a的对边/∠a的邻边=a/b。
①tana是一个完整的符号，它表示∠a的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”;②tana没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠a的对边与邻边的比;③tana不表示“tan”乘以“a”;④tana的值越大，梯子越陡，∠a越大;∠a越大，梯子越陡，tana的值越大。
4.余切：定义：在rt△abc中，锐角∠a的邻边与对边的比叫做∠a的余切，记作cota，即cota=∠a的邻边/∠a的对边=b/a;5.一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
人教版九年级下册数学教案大全(5篇)
人教版九年级下册数学教案大全(5篇)人教版九年级下册数学教案大全篇1一、教材研读。
1、教材编排。
（1）逻辑分析：方程是等式里的一类特殊对象，传统教材都用属概念加种差的方式，按“等式+含有未知数→方程”的线索教学方程的意义，考虑到方程是在刻画生活中的等量关系时产生的，而且在北师大教材体系中一年级到四年级上册，学生对等式和不等式有所了解，只是没有把“等式”这样一个概念交给学生。
并且已经采取逐步渗透的方法来培养代数思维。
例如：（）＋8＝14，90－（）〉65，因此，在北师大教科书里没有从方程和等式的内涵上作太多比较，直接以等式为立足点，立足点较高。
（2）语言信息及价值分析：本课教材中的三幅情境图，由浅入深，由具体到抽象，循序渐进。
第一个场景让学生借助天平理解方程；第二个场景完成从数量关系到平等关系的转变；第三个场景引起学生的思考，让他们从不同的角度找到多种等价关系，列出方程。
2、教学目标。
（1）结合具体情境，建立方程的概念。
(2)寻找简单情况下的等价关系，会用方程表示。
(3)体验从生活场景到方程模型的过程，进一步感受数学与生活的密切关系。
3、教学重难点：（1）重点：在简单具体情境中寻找等量关系，并会用方程表示。
抓住“含有未知数”和“等式”两个核心关键词建立方程的概念。
（2）难点：数量关系向等量关系的转化。
二、学情分析：学生原有的认知经验是用算术方法来解决问题，算术思维是更接近日常生活的思维。
由于从算术思维到代数思维的认识发展是非连续的，所以列算式求答案的习惯性思维转向借助等量关系列方程的新思维方式比较困难。
列算式时以分析数量关系为主，知与未知，泾渭分明；在代数法中，辩证地处理知与未知、求与不求，使这一矛盾双方和谐地处于同一方程中。
三、流程设计：为了更好地引发学生的思考，提高学生解决问题的能力，我做了如下的设计：（一）引“典”激趣，诱发思考。
引用“曹冲称象”的故事，提出解决问题的策略，寻找相等关系，同时激发学生学习的兴趣。
初三下册数学人教版教案4篇
初三下册数学人教版教案4篇初三下册数学人教版教案11、教材分析(1)知识结构(2)重点、难点分析重点：三角形内切圆的概念及内心的性质.因为它是三角形的重要概念之一.难点：①难点是“接”与“切”的含义，学生容易混淆;②画三角形内切圆，学生不易画好.2、教学建议本节内容需要一个课时.(1)在教学中，组织学生自己画图、类比、分析、深刻理解三角形内切圆的概念及内心的性质;(2)在教学中，类比“三角形外接圆的画图、概念、性质”，开展活动式教学.教学目标：1、使学生了解尺规作的方法，理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念;2、应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力;3、激发学生动手、动脑主动参与课堂教学活动.教学重点：三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质.教学难点：三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质.教学活动设计(一)提出问题1、提出问题：如图，你能否在△ABC中画出一个圆?画出一个的圆?想一想，怎样画?2、分析、研究问题：让学生动脑筋、想办法，使学生认识作三角形内切圆的实际意义.3、解决问题：例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切.引导学生结合图，写出已知、求作，然后师生共同分析，寻找作法.提出以下几个问题进行讨论：①作圆的关键是什么?②假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三角形三边都相切，圆心I应满足什么条件?③这样的点I应在什么位置?④圆心I确定后半径如何找.A层学生自己用直尺圆规准确作图，并叙述作法;B层学生在老师指导下完成.完成这个题目后，启发学生得出如下结论：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个.(二)类比联想，学习新知识.1、概念：和三角形各边都相切的圆叫做，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.2、类比：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC;(2)外心不一定在三角形的内部.内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三边的距离相等;(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB;(3)内心在三角形内部.3、概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形.4、概念理解：引导学生理解及圆的外切三角形的概念，并与三角形的外接圆与圆的内接三角形概念相比较，以加深对这四个概念的理解.使学生弄清“内”与“外”、“接”与“切”的含义.“接”与“切”是说明三角形的顶点和边与圆的关系：三角形的顶点都在圆上，叫做“接”;三角形的边都与圆相切叫做“切”.(三)应用与反思例2 如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是三角形的内心.求∠BOC的度数分析：要求∠BOC的度数，只要求出∠OBC和∠0CB的度数之和就可，即求∠l十∠3的度数.因为O是△ABC的内心，所以OB和OC分别为∠ABC和∠BCA 的平分线，于是有∠1十∠3= (∠ABC十∠ACB)，再由三角形的内角和定理易求出∠BOC的度数.解：(引导学生分析，写出解题过程)例3 如图，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D 求证：DE=DB分析：从条件想，E是内心，则E在∠A的平分线上，同时也在∠ABC的平分线上，考虑连结BE，得出∠3=∠4.从结论想，要证DE=DB，只要证明BDE为等腰三角形，同样考虑到连结BE.于是得到下述法.证明：连结BE.E是△ABC的内心又∵∠1=∠2∠1=∠2∴∠1+∠3=∠4+∠5∴∠BED=∠EBD∴DE=DB练习分析作出已知的锐角三角形、直角三角形、钝角，并说明三角形的内心是否都在三角形内.(四)小结1.教师先向学生提出问题：这节课学习了哪些概念?怎样作已知?学习时互该注意哪些问题?2.学生回答的基础上，归纳总结：(1)学习了三角形内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念.(2)利用作三角形的内角平分线，任意两条角平分线的交点就是内切圆的圆心，交点到任意一边的距离是圆的半径.(3)在学习有关概念时，应注意区别“内”与“外”，“接”与“切”;还应注意“连结内心和三角形顶点”这一辅助线的添加和应用.(五)作业教材P115习题中，A组1(3)，10，11，12题;A层学生多做B组3题.探究活动问题：如图1，有一张四边形ABCD纸片，且AB=AD=6cm，CB=CD=8cm，∠B=90°.(1)要把该四边形裁剪成一个面积的圆形纸片，你能否用折叠的方法找出圆心，若能请你度量出圆的半径(精确到0.1cm);(2)计算出的圆形纸片的半径(要求精确值).提示：(1)由条件可得AC为四边形似的对称轴，存在内切圆，能用折叠的方法找出圆心：如图2，①以AC为轴对折;②对折∠ABC，折线交AC于O;③使折线过O，且EB与EA边重合.则点O为所求圆的圆心，OE为半径.(2)如图3，设内切圆的半径为r，则通过面积可得：6r+8r=48，∴r=.初三下册数学人教版教案2函数一、教学目的1.使学生理解自变量的取值范围和函数值的意义。
人教版九年级下册数学全册教案教学设计(精编版)
教学目标知识和能力能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围过程和方法注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识情感态度价值观培养学生的良好的学习习惯教学重点能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
教学难点教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、试一试1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中，2．x3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数的关系式，对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。
对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。
形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。
对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式．二、提出问题某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。
将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?[利润=(售价－进价)³销售量]2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元?[10－8=2(元)，(10－8)³100=200(元)]3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品?[(10－8－x)；(100＋100x)]4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。
第一课时勾股定理优秀教学案例
1.布置巩固性作业：让学生运用勾股定理解决实际问题，如计算房屋建筑中的长度、设计直角三角形图案等。检查学生对勾股定理的理解和应用能力。
2.布置拓展性作业：让学生探索其他数学定理或公式，如平方根、立方根等。培养学生的探索精神和创新能力。
3.鼓励学生进行自我评价，反思自己在学习过程中的优点和不足。指导学生制定改进措施，提高学习效果。
此外，我还注重课堂评价的多元化，充分关注学生的个体差异，给予他们积极的评价和鼓励，使他们在课堂上充满自信，更好地投入到学习过程中。整个教学过程既注重知识的传授，又重视学生的全面发展，体现了新课程改革的理念和要求。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握勾股定理的内容，理解直角三角形三边之间的关系，能够运用勾股定理解决实际问题。
（一）导入新课
1.故事导入：讲述毕达哥拉斯如何通过观察木匠修鞋匠的鞋子长度比例，发现了勾股定理。引导学生关注古代数学家的伟大发现，激发学生学习兴趣。
2.实物模型导入：展示古代的勾股定理证明雕塑，让学生直观地感受数学与艺术的完美结合。引发学生对勾股定理的好奇心，激发他们的探究欲望。
3.现实生活实例导入：分析房屋建筑、自行车轮胎等实例，让学生感受到勾股定理在实际应用中的重要性，引发学生思考。
2.鼓励学生提出问题，培养他们的问题意识和批判性思维。例如，在教学过程中，让学生大胆质疑，挑战古代数学家的证明方法。
3.创设循序渐进的问题序列，引导学生逐步深入探究勾股定理。例如，从简单的情形开始，让学生观察、实验、猜测，逐步引导学生得出勾股定理的结论。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，培养他们的团队协作能力和沟通能力。例如，在探究勾股定理的过程中，让学生分组讨论，相互启发，共同解决问题。
人教版九年级下册数学教案5篇
人教版九年级下册数学教案5篇人教版九年级下册数学教案5篇教案是以系统方法为指导。
教案把教学各要素看成一个系统，分析教学问题和需求，确立解决的程序纲要，使教学效果最优化。
下面小编给大家带来关于人教版九年级下册数学教案，方便大家学习人教版九年级下册数学教案1教学目标1了解比例各部分的名称，探索并掌握比例的基本性质，会根据比例的基本性质正确判断两个比能否组成比例，能根据乘法等式写出正确的比例。
2通过观察猜测举例验证归纳等数学活动，经历探究比例基本性质的过程，渗透有序思考，感受变与不变的思想，体验比例基本性质的应用价值。
3引导学生自主参与知识探究过程，培养学生初步的观察分析比较判断概括的能力，发展学生的思维。
教学重难点教学重点：探索并掌握比例的基本性质。
教学难点：根据乘法等式写出正确的比例。
教学工具ppt课件教学过程一复习导入1我们已经认识了比例，谁能说一下什么叫比例?2应用比例的意义判断下面的比能否组成比例。
2.4:1.6和60:403今天老师将和大家再学习一种更快捷的方法来判断两个比能否组成比例) 板书：比例的基本性质二探究新知1教学比例各部分的名称. 同学们能正确地判断两个比能不能组成比例了，那么，比例各部分的名称是什么?请同学们翻开教材第43页看看什么叫比例的项外项和内项。
(学生看书时，教师板书：2.4：1.6=60：40)让学生指出板书中的比例的外项和内项。
学生回答的同时，板书：组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
例如：2. 4 : 1.6 = 60 : 40 外项内项学生认一认，说一说比例中的外项和内项。
2教学比例的基本性质。
出示例1 (1)教师：比例有什么性质呢?现在我们就来研究。
(板书：比例的基本性质) 学生分别计算出这个比例中两个内项的积和两个外项的积。
教师板书：两个外项的积是2.4×40=96 两个内项的积是1.6×60=96 (2)教师：你发现了什么，两个外项的积等于两个内项的积是不是所有的比例都存在这样的特点呢? 学生分组计算前面判断过的比例。
人教版九年级数学下册教学设计(全册教案)
人教版九年级数学下册（全册）教案九年级数学下册教学计划一、基本情况分析1.学生情况通过一个学期的努力多数同学学习数学的兴趣渐浓，学习的自觉性明显提高，学习成绩在不断进步，但是由于一些学生数学基础太差，学生数学成绩两极分化的现象没有显著改观，给教学带来很大难度。
设法关注每一个学生，重视学生的全面协调发展是教学的首要地位。
2.学习内容分析本期教学进程主要分为新课教学和总复习教学两大阶段。
新课教学共分四章。
第一章《反比例函数》、《相似》、《锐角三角函数》、《投影与视图》。
总复习是本期教学的一个重点。
通过系统的总复习使学生全面熟悉初中数学教学内容，在牢固掌握基础知识的前提下，能娴熟的运用所学知识分析和解决问题。
本学期就将开始进入专题总复习，将九年制义务教育数学课本教学内容分成代数、几何两大部分，其中初中数学教学中的六大版块即：“实数与统计”、“方程与函数”、“解直角三角形”、“三角形”、“四边形”、“圆”是学业考试考中的重点内容。
在《课标》要求下，培养学生创新精神和实践能力是当前课堂教学的目标。
在近几年的中考试卷中逐渐出现了一些新颖的题目，如探索开放性问题，阅读理解问题，以及与生活实际相联系的应用问题。
这些新题型在中考试题中也占有一定的位置，并且有逐年扩大的趋势。
如果想在综合题以及应用性问题和开放性问题中获得好成绩，那么必须具备扎实的基础知识和知识迁移能力。
因此在总复习阶段，必须牢牢抓住基础不放，对一些常见题解题中的通性通法须掌握。
学生解题过程中存在的主要问题：（1）审题不清，不能正确理解题意；（2）解题时自己画几何图形不会画或有偏差，从而给解题带来障碍；（3）对所学知识综合应用能力不够；（4）几何依然对部分同学是一个难点，主要是几何分析能力和推理能力较差。
（5）阅读理解能力偏差，见到字数比较多的解答题先产生畏惧心理。
（6）不能对知识灵活应用。
二、学习目标师生共同努力，使绝大多数学生达到或基本达到《课标》的要求，注重基础训练，顾及多数人的水平和接受能力，促进全体学生的全面协调发展。
人教版九年级数学下册全套教案设计
人教版九年级数学下册全套教案设计教学目标- 掌握九年级数学下册的重点知识和技能- 培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力- 培养学生的合作意识和团队合作能力教学内容1. 第一单元：有理数的加减运算- 教学重点：正负数的加减法规则- 教学方法：讲解与实例分析相结合- 教学资源：教材、白板、多媒体设备2. 第二单元：平面直角坐标系与直线方程- 教学重点：直线方程的求解- 教学方法：示范演练和小组讨论- 教学资源：教材、练册、计算器3. 第三单元：平面图形的性质与计算- 教学重点：平面图形的周长和面积计算- 教学方法：实物展示和问题解决- 教学资源：教材、练册、几何工具4. 第四单元：函数与方程- 教学重点：函数的概念和图像- 教学方法：探究式教学和讨论- 教学资源：教材、练册、图表绘制工具5. 第五单元：统计与概率- 教学重点：统计数据的收集和分析- 教学方法：实际案例分析和小组合作- 教学资源：教材、调查问卷、统计软件教学过程1. 对每个单元的教学内容进行预和介绍2. 开展知识点讲解和示范演练3. 组织学生进行练和作业布置4. 进行个别辅导和答疑解惑5. 进行单元复和检测，及时进行评价和反馈教学评价- 采用形成性评价和终结性评价相结合- 随堂测试、作业评定、小组活动评估等形式- 对学生的研究情况进行记录和反馈总结通过本套教案设计，希望能够全面提升九年级学生的数学学习能力和思维能力，使其能够运用数学知识解决实际问题，培养他们的合作意识和团队合作能力。
同时，教学评价的有效运用也将有助于教师了解学生的学习情况，及时进行调整和改进。
人教版九年级数学下册教案(板书版)
人教版九年级数学下册教案(板书版)第一课：平面直角坐标系教学目标1. 了解平面直角坐标系的概念和性质；2. 掌握平面直角坐标系的画法及其应用；3. 培养学生的观察能力和解决问题的能力。
教学内容1. 平面直角坐标系的概念和性质；2. 平面直角坐标系的画法及其应用；3. 平面直角坐标系在几何问题中的应用。
教学重点和难点1. 掌握平面直角坐标系的画法及其应用；2. 能够把实际问题转化为几何问题，并采用平面直角坐标系解决。
教学方法1. 形象化的教学方法；2. 案例教学法；3. 合作研究法。
教学过程1. 导入（5分钟）通过课堂小调查、纷呈的图片、惊险的小视频等形式，创设生动、活泼的课堂气氛，引起学生研究的兴趣，调动学生的注意力。
2. 研究“平面直角坐标系”的概念和性质（15分钟）教师结合PPT和实物样品，讲解平面直角坐标系的概念和性质，引导学生进行思考和讨论。
3. 研究“平面直角坐标系”的画法及其应用（30分钟）教师以实际应用为出发点，给学生举例讲解平面直角坐标系的画法及其应用，让学生进行模仿、练。
4. 研究“平面直角坐标系”的应用（20分钟）以几何问题为例子，教师带领学生尝试将实际问题转化为几何问题，并通过平面直角坐标系解决问题。
5. 总结（10分钟）通过小结和回答问题等方式，让学生再次回顾所学知识，并提高学生的自学能力，激发学生对数学的兴趣和探究欲望。
教学资源1. 教师PPT；2. 实物样品；3. 配套练册。
教学评估1. 通过课堂练，检测学生是否掌握了平面直角坐标系的画法及其应用；2. 评估学生是否能够将实际问题转化为几何问题，并采用平面直角坐标系解决。
人教版九年级数学下册全册教案(完整版)教学设计
人教版九年级数学下册全册教案（完整版）教学设计26．1 反比例函数26．1.1 反比例函数(第1课时)教学目标一、基本目标【知识与技能】1．理解并掌握反比例函数的定义，能判断一个给定的函数是否为反比例函数．2．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想．【过程与方法】1．用类比的思想方法，从实际问题中抽象出反比例函数的概念，发展学生的观察能力、探究能力及交流总结能力．2．经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，体会建立函数模型的思想．【情感态度与价值观】通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，体验数学来源于生活，又应用于生活，提高学生应用数学的意识．二、重难点目标【教学重点】1．理解并掌握反比例函数的定义．2．能根据已知条件确定反比例函数的解析式．【教学难点】根据已知条件，求反比例函数的解析式．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．如果两个变量x、y满足xy＝k(k为常数，k≠0)，那么x、y就成为反比例关系．例如，速度v、时间t与路程s之间满足vt＝s，如果路程s一定，那么速度v与时间t就成反比例关系．2．一般地，在某一变化过程有两个变量x和y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，我们就称y 是x 的函数.其中，x 是自变量，y 是因变量．3．形如y ＝kx(k 是常数，k ≠0)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是因变量.自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．4．y ＝k x，y ＝kx －1，xy ＝k 是反比例函数的三种表现形式．其中k 是常数，k ≠0. 5．下列函数中，反比例函数有哪些？每一个反比例函数相应的k 值是多少？ ①y ＝2x ＋1；②y ＝2x 2；③y ＝15x ；④y ＝－23x ；⑤xy ＝3；⑥2y ＝x ；⑦xy ＝－1.解：反比例函数有③④⑤⑦.③y ＝15x 中k ＝15；④y ＝－23x 中k ＝－23；⑤xy ＝3中k ＝3；⑦xy ＝－1中k ＝－1.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】已知y 是x 的反比例函数，当x ＝2时，y ＝6. (1)写出y 与x 的函数关系式； (2)求当x ＝4时y 的值．【互动探索】(引发学生思考)因为y 是x 的反比例函数，所以设y ＝k x，再把x ＝2时，y ＝6代入上式就可求出常数k 的值．【解答】(1)设y ＝k x，因为当x ＝2时y ＝6， 则有6＝k2，解得k ＝12.∴y ＝12x.(2)把x ＝4代入y ＝12x ，得y ＝124＝3.【互动总结】(学生总结，老师点评)用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：①设出含有待定系数的反比例函数解析式，形如y ＝kx(k 为常数，k ≠0)；②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数；④写出解析式．【例2】已知函数y ＝(2m 2＋m －1)x 2m 2＋3m －3是反比例函数，求m 的值．【互动探索】(引发学生思考)在反比例函数y ＝kx －1中的隐含条件是x 的次数为－1，k ≠0.【解答】∵y ＝(2m 2＋m －1)x 2m 2＋3m －3是反比例函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋3m －3＝－1，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝－2.【互动总结】(学生总结，老师点评)反比例函数也可以写成y ＝kx －1(k ≠0)的形式，注意x 的次数为－1，系数不等于0.活动2 巩固练习(学生独学)1．反比例函数y ＝(m ＋1)x －1中m 的取值范围是( B ) A ．m ≠1 B ．m ≠－1 C ．m ≠±1D ．全体实数2．当m ＝6时，y ＝3xm －7是反比例函数．3．某蓄水池的排水管每小时排水8 m 3,6 h 可将满池水全部排空． (1)蓄水池的容积为48 m 3;(2)若每小时排水用Q (m 3)表示，则排水时间t (h)与Q (m 3)的函数解析式为t ＝48Q.4．已知y 与3x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝23.(1)写出y 与x 的函数解析式； (2)当x ＝13时，求y 的值；(3)当y ＝12时，求x 的值．解：(1)y ＝23x . (2)y ＝2. (3) x ＝43.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知y ＝y 1＋y 2，y 1与(x －1)成正比例，y 2与(x ＋1)成反比例，当x ＝0时，y ＝－3；当x ＝1时，y ＝－1.求：(1)y 关于x 的关系式； (2)当x ＝－12时，y 的值．【互动探索】根据正比例函数和反比例函数的定义设出y 1、y 2的关系式，进而得到y 的关系式，把所给两组数据代入即可求出相应的比例系数，也就求得了所要求的关系式．【解答】 (1)∵y 1与(x －1)成正比例，y 2与(x ＋1)成反比例， ∴设y 1＝k 1(x －1)(k 1≠0)，y 2＝k 2x ＋1(k 2≠0)．∵y ＝y 1＋y 2，∴y ＝k 1(x －1)＋k 2x ＋1.∵当x ＝0时，y ＝－3；当x ＝1时，y ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3＝－k 1＋k 2，－1＝12k 2，解得k 1＝1，k 2＝－2，∴y ＝x －1－2x ＋1. (2)把x ＝－12代入(1)中函数关系式，得y ＝－112.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据题意设出y 1、y 2的函数关系式并用待定系数法求得函数关系式是解答此题的关键．注意不同的函数关系要用不同的待定系数，如本题y 1的待定系数用k 1, y 2的待定系数用k 2.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)反比例函数⎩⎪⎨⎪⎧定义三种常见形式：y ＝k x 、xy ＝k 、y ＝k－1其中k 为常数，k ≠0求解析式的方法：待定系数法练习设计请完成本课时对应练习！26．1.2 反比例函数的图象和性质 第2课时 反比例函数的图象和性质教学目标 一、基本目标 【知识与技能】1．用描点法画出反比例函数y ＝kx的图象． 2．根据图象理解和掌握反比例函数y ＝k x的性质． 【过程与方法】1．经历探索和发现反比例函数的图象的特点和性质的过程，获得研究函数性质的经验． 2．通过函数图象探究函数性质，进一步体会运用数形结合思想研究函数的性质的方法． 3．经历知识的形成过程，了解从特殊到一般的认识过程，培养学生观察、探究、归纳及动手能力．【情感态度与价值观】1．经历画图、观察、猜想、思考、交流等活动，获得研究问题和合作交流的方法与经验，体验数学活动中的探索性和创造性．2．在学习过程中，感受数学美，发现学习数学的乐趣． 二、重难点目标 【教学重点】用描点法画反比例函数的图象，探索反比例函数的图象特点和性质． 【教学难点】运用反比例函数的图象和性质解决问题． 教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P4～P6的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．用“描点法”画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.2．反比例函数y ＝k x(k 为常数，k ≠0)中，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数． 3．反比例函数图象是双曲线.4．在反比例函数y ＝k x(k ≠0，k 为常数)中，(1)当k >0时，双曲线位于第一、三象限，在每一个象限内y 随x 的增大而减小；(2)当k <0时，双曲线位于第二、四象限，在每一个象限内y 随x 的增大而增大.5．反比例函数y ＝－5x的图象大致是( D )6．已知反比例函数y ＝4－kx.(1)若函数的图象位于第一、三象限，则k ＜4； (2)若在每一象限内，y 随x 增大而增大，则k ＞4. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】画出反比例函数y ＝6x 和y ＝12x的图象．【互动探索】(引发学生思考)描点法：列表→描点→连线 【解答】列表表示几组x 与y 的对应值：x … －6 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 6 … y ＝6x … －1 －1.5 －2 －3 －6 6 3 2 1.5 1 … y ＝12x…－2－3－4－6－12126432…描点连线：以表中各对应值为坐标，描出各点，并用平滑的曲线顺次连结这些点，就得到函数y ＝6x 和y ＝12x的图象．【互动总结】(学生总结，老师点评)作反比例函数图象时要注意：(1)列表时：自变量的值可以选取一些互为相反数的值，这样既可简化计算，又便于对称描点；(2)列表描点时：要尽量多取一些数值，多描一些点，这样既可以方便连线，又可以准确地表达函数变化趋势；(3)连线时：一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连结，从中体会函数的增减性．【例2】若点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)都是反比例函数y ＝－1x图象上的点，并且x 1＜0＜x 2＜x 3，判断y 1、y 2、y 3的大小关系．【互动探索】(引发学生思考)要根据函数值的大小判断自变量的大小，需考虑函数的增减性．先画出函数图象，再描出已知点位置，最后判断y 1、y 2、y 3的大小关系．【解答】∵反比例函数y ＝－1x中k ＝－1＜0，∴此函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内y 随x 的增大而增大，如图． ∵x 1＜0＜x 2＜x 3，∴点(x 1，y 1)在第四象限，(x 2，y 2)、(x 3，y 3)两点均在第二象限， ∴y 2＜y 3＜y 1.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用反比例函数的性质比较函数值或自变量的大小的方法：(1)看k 的符号，明确函数的增减情况；(2)看两点是否在同一个象限内；若不在同一个象限内，借助图象即可判断函数值或自变量的大小，若在同一个象限内，则比较两个横(纵)坐标的大小，根据函数的增减情况，得出函数值(自变量)的大小．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列四个点中，在反比例函数y ＝－6x的图象上的是( A )A ．(3，－2)B ．(3,2)C ．(2,3)D ．(－2，－3)2．设x 为一切实数，在下列函数中，当x 减小时，y 的值总是增大的函数是( C ) A ．y ＝－5x －1B ．y ＝x2C ．y ＝－2x ＋2D ．y ＝4x3．对于反比例函数y ＝3x，下列说法正确的是( D )A ．图象经过点(1，－3)B ．图象在第二、四象限C ．x >0时，y 随x 的增大而增大D ．x <0时，y 随x 的增大而减小4．若反比例函数y ＝k x(k <0)的图象过点P (2，m )，Q (1，n )，则m 与n 的大小关系是：m >n .活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】若ab <0，则正比例函数y ＝ax 和反比例函数y ＝b x在同一坐标系中的大致图象可能是下图中的( )【互动探索】∵ab <0，∴a 、b 异号，分两种情况：(1)当a >0，b <0时，正比例函数y ＝ax 的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限内，无此选项；(2)当a <0，b >0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限内，选项C 符合．【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评)这类题既可以用分析法，也可以用排除法．用分析法时，根据题干逐一分析，得出不同条件下的结果，再与选项对比得出答案．用排除法时，每个选项逐一分析，看是否满足题干条件．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．反比例函数的图象：双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形． 2．反比例函数的性质：(1)当k ＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而减小；(2)当k ＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而增大．练习设计请完成本课时对应练习！第3课时 反比例函数图象与性质的综合应用教学目标 一、基本目标 【知识与技能】1．进一步理解和掌握反比例函数的图象与性质，并能用待定系数法求反比例函数解析式．2．理解并掌握反比例函数y ＝k x(k ≠0)中比例系数k 的几何意义． 3．运用反比例函数的图象和性质解决与其他函数或几何知识综合的问题． 【过程与方法】1．通过探究反比例函数性质的应用，感受反比例函数解析式与图象之间的联系，体会数形结合思想的魅力．2．经历观察、思考、分析、交流等学习过程，提高学生数学学习能力及合作精神，逐步提高学生分析问题、解决问题的能力．【情感态度与价值观】通过解决反比例函数与一次函数、二次函数有关的综合题，增强学生的自信心，培养学生学习的兴趣，提高学生综合运用知识解决问题的能力．二、重难点目标 【教学重点】灵活运用反比例函数图象与性质解决综合问题． 【教学难点】比例系数k 的几何意义． 教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P7～P8的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．填表分析正比例函数和反比例函数的区别.函数 正比例函数反比例函数解析式 y ＝kx (k ≠0)y ＝kx(k ≠0) 图象形状直线 双曲线 k >0位置第一、三象限第一、三象限增减性y 随x 的增大而增大每个象限内，y 随x 的增大而减小k <0位置第二、四象限第二、四象限增减性y 随x 的增大而减小 每个象限内，y 随x 的增大而增大2.反比例函数y ＝x的图象经过点(2,5)，若点(1，n )在反比例函数图象上，则n 等于( A )A ．10B ．5C ．2D ．－63．下列各点在反比例函数y ＝－2x的图象上的是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－32B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，43 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，834．反比例函数y ＝k x的图象经过(2，－1)，则k 的值为－2. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】已知反比例函数的图象经过点A (2,6)．(1)这个函数的图象分布在哪些象限？y 随x 的增大如何变化？ (2)点B (3,4)、C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－212，－445和D (2,5)是否在这个函数的图象上？【互动探索】(引发学生思考)(1)求出反比例函数的解析式，再判断该函数的性质；(2)若点满足所求函数的解析式，则点在这个函数的图象上，否则不在这个函数的图象上．【解答】(1)解法1：见教材P7例3. 解法2：设这个反比例函数为y ＝k x， ∵图象过点A (2,6)，∴6＝k2，解得k ＝12. ∴这个反比例函数的表达式为y ＝12x.∵k >0，∴这个函数的图象在第一、三象限．在每个象限内，y 随x 的增大而减小． (2)把点B 、C 、D 的坐标代入y ＝12x，可知点B 、C 的坐标满足函数关系式，点D 的坐标不满足函数关系式，故点B 、C 在函数y ＝12x的图象上，点D 不在这个函数的图象上．【互动总结】(学生总结，老师点评)求反比例函数的解析式一般用待定系数法． 【例2】如图是反比例函数y ＝m －5x的图象的一支，根据图象回答下列问题： (1)图象的另一支在哪个象限？常数m 的取值范围是什么？(2)在这个函数图象的某一支上任取点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，如果x 1>x 2，那么y 1和y 2有怎样的大小关系？【互动探索】(引发学生思考)(1)反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、三象限，或者在第二、四象限．(2)根据反比例函数的性质解答．【解答】(1)∵这个函数的图象的一支在第一象限， ∴另一支必在第三象限．∵函数的图象在第一、三象限， ∴m －5＞0，解得m ＞5.(2)解法1(性质法)：详细解答参考教材P7～P8例4. 解法2(图象法或数形结合法)： ∵函数的图象在第一、三象限， 如图，在图中描出符合条件的两个点， ∴由图象易知y 1<y 2.【互动总结】(学生总结，老师点评)在解决问题(2)时，用数形结合法能更快速准确地求出结果．活动2 巩固练习(学生独学)1．正比例函数y ＝6x 的图象与反比例函数y ＝6x的图象的交点位于( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第一、三象限2．若反比例函数y ＝k x的图象经过点A (－1，－2)，则当x >1时，函数值y 的取值范围是( D )A ．y >1B ．0<y <1C ．y >2D ．0<y <23．如图所示，在直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是双曲线y ＝3x(x >0)上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，△OAB 的面积将会( C )A ．逐渐增大B ．不变C ．逐渐减小D ．先增大后减小4．如图所示，四边形OABC 是矩形，ADEF 是正方形，点A 、D 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB 上，点B 、E 在反比例函数y ＝k x(x >0)的图象上，OA ＝1，OC ＝6，则正方形ADEF 的边长为2.5．如图所示，已知反比例函数y ＝mx的图象与一次函数y ＝ax ＋b 的图象相交于点A (1,4)和点B (n ，－2)．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)当一次函数的值小于反比例函数的值时，直接写出x 的取值范围．解：(1)把点A (1,4)代入y ＝m x，得m ＝1×4＝4，∴反比例函数解析式为y ＝4x.把点B (n ，－2)代入y ＝4x，得－2n ＝4，∴n ＝－2，∴点B 坐标为(－2，－2)．把(1,4)，(－2，－2)代入y ＝ax ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，－2a ＋b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，∴所求一次函数解析式为y ＝2x ＋2.(2)x <－2或0<x <1.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图所示，点A 在反比例函数y ＝k x的图象上，AC 垂直x 轴于点C ，且△AOC 的面积为2，求该反比例函数的表达式．【互动探索】反比例函数的比例系数与三角形的面积有什么关系？ 【解答】∵点A 在反比例函数y ＝k x的图象上， ∴x A ·y A ＝k ，∴S △AOC ＝12·k ＝2，∴k ＝4，∴反比例函数的表达式为y ＝4x.【互动总结】(学生总结，老师点评)过双曲线上任意一点与原点所连的线段与坐标轴和向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积等于|k |2.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．反比例函数中系数k 的几何意义； 2．反比例函数图象上点的坐标特征； 3．反比例函数与一次函数的交点问题． 练习设计请完成本课时对应练习！26．2 实际问题与反比例函数教学目标 一、基本目标 【知识与技能】1．能运用反比例函数的意义和性质解决相关的实际问题． 2．建立反比例函数模型，解决实际问题．3．综合运用反比例函数知识与几何、方程、不等式、物理等跨学科知识解决相关的实际问题．【过程与方法】1．经历利用反比例函数解决实际问题的过程，学会用数学的思想方法去观察、研究和解决日常生活中所遇到的问题，体验数学建模的思想．2．经历“实际问题——建立模型——求解模型——拓展应用”的过程，增强学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力．【情感态度与价值观】1．通过将反比例函数的有关知识灵活应用于实际，让学生体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感．2．体会数学与实际生活紧密联系，经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体会数学中转化和数形结合的思想．二、重难点目标 【教学重点】运用反比例函数的意义和性质解决生活实际问题和跨学科问题． 【教学难点】根据实际问题建立反比例函数的数学模型．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P12～P15的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．(1)反比例函数y ＝kx(k 为常数，k ≠0)的图象是双曲线；(2)当k ＞0，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；(3)当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大；2．地下室的体积V 一定，那么底面积S 和深度h 的关系是反比例函数；表达式是S ＝V h . 3．运货物的路程s 一定，那么运货物的速度v 和时间t 是反比例函数；表达式是v ＝s t. 4．电学知识告诉我们，用电器的输出功率P 、两端的电压U 和电器的电阻R 有如下关系：PR ＝U 2.这个关系式还可以写成P ＝U 2R ，或R ＝U 2P.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) (一)反比例函数模型在生活中的应用【例1】市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m 3的圆柱形煤气储存室． (1)储存室的底面积S (单位：m 2)与其深度d (单位：m)有怎样的函数关系？ (2)公司决定把储存室的底面积S 定为500 m 2，施工队施工时应该向下掘进多深？ (3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15 m 时，碰上了坚硬的岩石．为了节约建设资金，公司临时改变计划，把储存室的深改为15 m ，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)?【温馨提示】详细解答过程见教材P12例1.【例2】码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间． (1)轮船到达目的地后开始卸货，平均速度v (单位：吨/天)与卸货天数t 之间有怎样的函数关系？(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天要卸载多少吨？【温馨提示】详细解答过程见教材P13例2.(二)反比例函数在物理中的应用【例3】小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为1200 N和0.5 m.(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？【温馨提示】详细解答过程见教材P14例3.【例4】一个电器的电阻是可调节的，其范围为110～220 Ω.已知电压为220 V，这个用电器的电路图如图所示．(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系？(2)这个用电器功率的范围是多少？【温馨提示】详细解答过程见教材P15例4.活动2 巩固练习(学生独学)1．下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是( C )A．小明完成100 m赛跑时，时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的关系B．菱形的面积为48 cm2，它的两条对角线的长为y(cm)与x(cm)的关系C．一个玻璃容器的体积为30 L时，所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关系D．压力为600 N时，压强p与受力面积S之间的关系2．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是( A )3．有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的13，若下底长为x ，高为y ，则y 与x的函数关系是y ＝90x.4．实验表明，当导线的长度一定时，导线的电阻与它的横截面面积成反比例．一条长为100 km 的铝导线的电阻R (Ω)与它的横截面面积S (cm 2)的函数关系如图所示，那么当S ＝5 cm 2时，R ＝295Ω.5．在某一电路中保持电压不变，电流I (A)与电阻R (Ω)将如何变化？若已知当电阻R ＝5 Ω时，电流I ＝2 A.(1)求I 与R 之间的关系式； (2)电阻是8 Ω时，电流是多少？(3)如果要求电流的最大值为10 A ，那么电阻R 的最小值是多少？ 解：(1)由物理知识知U ＝IR . ∵R ＝5，I ＝2，∴U ＝5×2＝10， ∴I 与R 之间的关系式为I ＝10R(R >0)．(2)当R ＝8时，I ＝108＝1.25，∴电流是1.25 A.(3)当I ＝10时，R ＝1010＝1，∴电阻的最小值为1 Ω. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例5】如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y ℃，从加热开始计算的时间为x 分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y 与时间x 成一次函数关系，已知该材料在加热前的温度为4 ℃，加热一段时间使材料温度达到28 ℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y 与时间x 成反比例函数关系．已知第12分钟时，材料温度是14 ℃.(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y 与x 的函数关系式(写出x 的取值范围)； (2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于12 ℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？【互动探索】 (1)材料加热时，温度y 与时间x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例函数关系，将题中数据代入即可求得两个函数的关系式；(2)把y ＝12分别代入两个函数关系式中，求出对应自变量的值，从而可得对该材料进行特殊处理所用的时间．【解答】 (1)设加热停止后反比例函数表达式为y ＝k 1x(k 1≠0)． ∵y ＝k 1x过(12,14)， ∴k 1＝12×14＝168，则y ＝168x.当y ＝28时，28＝168x，解得x ＝6.设加热过程中一次函数表达式为y ＝k 2x ＋b (k 2≠0)． 由图象知y ＝k 2x ＋b 过点(0,4)与(6,28)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，6k 2＋b ＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，b ＝4，即一次函数的关系式为y ＝4x ＋4. ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋40≤x ≤6，168xx >6.(2)令12＝4x ＋4，解得x ＝2. 令12＝168x，解得x ＝14.∴对该材料进行特殊处理所用的时间为14－2＝12(分钟)．【互动总结】(学生总结，老师点评)现实生活中存在大量成反比例函数关系的两个变量，解答此类问题的关键是首先确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)建立反比例函数模型，解决实际问题的一般步骤：(1)审题：弄清题意，分析问题中等量关系；(2)建模：根据等量关系，将实际问题转化为数学问题，利用反比例函数知识建立数学模型；(3)解模：根据反比例函数的性质解决问题．练习设计请完成本课时对应练习！27．1 图形的相似第1课时相似图形教学目标一、基本目标【知识与技能】1．在具体生活实例中认识相似图形，理解和掌握两个图形相似的概念．2．理解相似图形的特征，掌握相似图形的识别方法．【过程与方法】通过观察实际生活中的图形，辨析相似图形，让学生体会数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣．【情感态度与价值观】通过识别生活中的相似图形，激发学生探究、发现数学问题的兴趣．二、重难点目标【教学重点】理解并掌握相似图形、相似多边形的概念及特征．【教学难点】理解相似图形的特征，掌握识别相似图形的方法．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P24～P25的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．把形状相同的图形图形叫做相似图形．两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大和缩小得到的．2. 下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角是80°的两个等腰三角形；⑤两个正六边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形．其中一定是相似图形的是②⑤⑥.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例题】观察下列图形，哪些是相似图形？第一组：第二组：【互动探索】(引发学生思考)要找出图中的相似图形，只要仔细观察每个图形特征，通过图形变化后是否具备“形状相同”这一特征．【解答】第一组图，图1,2,5是相似图形．第二组相似图形分别是：(1)和(8)；(2)和(6)；(3)和(7)．【互动总结】(学生总结，老师点评)所谓“形状相同”，与图形的大小、位置无关，与摆放角度、摆放方向也无关．有些图形之间虽然只有很小的形状差异，但也不能认为是“形状相同”．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列四个命题：①所有的直角三角形都相似；②所有的等腰三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的菱形都相似．其中正确的有( D )A．2个B．3个C．4个D．1个2．下列图形不是相似图形的是( C )A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片B．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案C．某人的侧身照片和正面照片。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二十六章 反比例函数
26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数
1．理解反比例函数的概念；(难点)
2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式；(重点)
3．能根据实际问题中的条件建立反比例函数模型．(重点)
一、情境导入
1．京广高铁全程为2298km ，某次列车的平均速度v (单位：km/h)与此次列车的全程运行时间t (单位：h)有什么样的等量关系？
2．冷冻一个物体，使它的温度从20℃下降到零下100℃，每分钟平均变化的温度T (单位：℃)与冷冻时间t (单位：min)有什么样的等量关系？
问题：这些关系式有什么共同点？
二、合作探究
探究点一：反比例函数的定义
【类型一】 反比例函数的识别
下列函数中：①y ＝32x ；②3xy ＝1；③y ＝1－2x ；④y ＝x 2
.反比例函数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
解析：①y ＝32x 是反比例函数，正确；②3xy ＝1可化为y ＝13x
，是反比例函数，正确；③y ＝1－2x 是反比例函数，正确；④y ＝x 2
是正比例函数，错误．故选C. 方法总结：判断一个函数是否是反比例函数，首先要看两个变量是否具有反比例关系，
然后根据反比例函数的定义去判断，其形式为y ＝k x
(k 为常数，k ≠0)，y ＝kx －1(k 为常数，k ≠0)或xy ＝k (k 为常数，k ≠0)．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
【类型二】 根据反比例函数的定义确定字母的值
已知函数y ＝(2m 2＋m －1)x 2m 2＋3m －3是反比例函数，求m 的值．
解析：由反比例函数的定义可得 2m 2＋3m －3＝－1，2m 2＋m －1≠0，然后求解即可．
解：∵y ＝(2m 2＋m －1)x 2m 2＋3m －3是反比例函数，∴⎩
⎪⎨⎪⎧2m 2＋3m －3＝－1，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝－2.
方法总结：反比例函数也可以写成y ＝kx －
1(k ≠0)的形式，注意x 的次数为－1，系数不等于0.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
探究点二：用待定系数法确定反比例函数解析式
【类型一】 确定反比例函数解析式
已知变量y 与x 成反比例，且当x ＝2时，y ＝－6.求：
(1)y 与x 之间的函数解析式；
(2)当y ＝2时，x 的值．
解析：(1)由题意中变量y 与x 成反比例，设出函数的解析式，利用待定系数法进行求解．(2)代入求得的函数解析式，解得x 的值即可．
解：(1)∵变量y 与x 成反比例，∴设y ＝k x
(k ≠0)，∵当x ＝2时，y ＝－6，∴k ＝2×(－6)＝－12，∴y 与x 之间的函数解析式是y ＝－12x
； (2)当y ＝2时，y ＝－12x
＝2，解得x ＝－6. 方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式时要注意：①设出含有待定系数的反比例
函数解析式，形如y ＝k x (k 为常数，k ≠0)；②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数；④写出解析式． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型二】 解决与正比例函数和反比例函数有关的问题
已知y ＝y 1＋y 2，y 1与(x －1)成正比例，y 2与(x ＋1)成反比例，当x ＝0时，y ＝－3；当x ＝1时，y ＝－1.求：
(1)y 关于x 的关系式；
(2)当x ＝－12
时，y 的值． 解析：根据正比例函数和反比例函数的定义得到y 1，y 2的关系式，进而得到y 的关系式，把所给两组数据代入即可求出相应的比例系数，也就求得了所要求的关系式．
解：(1)∵y 1与(x －1)成正比例，y 2与(x ＋1)成反比例，∴设y 1＝k 1(x －1)(k 1≠0)，y 2＝k 2x ＋1
(k 2≠0)，∵y ＝y 1＋y 2，∴y ＝k 1(x －1)＋k 2x ＋1
.当x ＝0时，y ＝－3；当x ＝1时，y ＝－1，∴⎩
⎪⎨⎪⎧－3＝－k 1＋k 2，－1＝12k 2，∴k 1＝1，k 2＝－2，∴y ＝x －1－2x ＋1； (2)把x ＝－12代入(1)中函数关系式得y ＝－112
. 方法总结：能根据题意设出y 1，y 2的函数关系式并用待定系数法求得等量关系是解答此
题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
探究点三：建立反比例函数模型及其相关问题
写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是否为反比例函数．
(1)底边为3cm 的三角形的面积y cm 2随底边上的高x cm 的变化而变化；
(2)一艘轮船从相距s km 的甲地驶往乙地，轮船的速度v km/h 与航行时间t h 的关系；
(3)在检修100m 长的管道时，每天能完成10m ，剩下的未检修的管道长y m 随检修天数x 的变化而变化．
解析：根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义判断其是否为反比例函数．
解：(1)两个变量之间的函数表达式为：y ＝32
x ，不是反比例函数； (2)两个变量之间的函数表达式为：v ＝s t
，是反比例函数； (3)两个变量之间的函数表达式为：y ＝100－10x ，不是反比例函数．
方法总结：解决本题的关键是根据实际问题中的等量关系，列出函数解析式，然后根据解析式的特点判断是什么函数．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
三、板书设计
1．反比例函数的定义：
形如y ＝k x
(k 为常数，k ≠0)的函数称为反比例函数．其中x 是自变量，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．
2．反比例函数的形式：
(1)y ＝k x
(k 为常数，k ≠0)； (2)xy ＝k (k 为常数，k ≠0)；
(3)y ＝kx －1(k 为常数，k ≠0)．
3．确定反比例函数的解析式：待定系数法．
4．建立反比例函数模型．
让学生从生活实际中发现数学问题，从而引入学习内容，这不仅激发了学生学习数学的兴趣，还激起了学生自主参与的积极性和主动性，为自主探究新知创造了现实背景．因为反比例函数这一部分内容与正比例函数相似，在教学过程中，以学生学习的正比例函数为基础，在学生之间创设相互交流、相互合作、相互帮助的关系，让学生通过充分讨论交流后得出它们的相同点，在此基础上来揭示反比例函数的意义.。