导数与函数的极值、最值(文)

导数与函数的极值、最值1．下列命题中正确的是( )A ．导数为0的点一定是极值点B ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0且f ′(x 0)＝0，那么f (x 0)是极大值C ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0且f ′(x 0)＝0，那么f (x 0)是极小值D ．如果在点x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0且f ′(x 0)＝0，那么f (x 0)是最小值2．函数y ＝x ＋1x 的极值情况是( )A ．既无极小值，也无极大值B ．当x ＝1时，极小值为2，但无极大值C ．当x ＝－1时，极大值为－2，但无极小值D ．当x ＝1时，极小值为2，当x ＝－1时，极大值为－23．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．54．已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(1，则( )图K15－1A ．函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点B ．函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点C ．函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点D ．函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点5． 函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1a处有极值，则ab 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－36．设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x <0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数7． 若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．98．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <329． 设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图象不可能．．．为y ＝f (x )的图象是( )图K15－210．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为________． 11． 已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＋n ＝________.12．已知函数y ＝f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________．13．已知函数f(x)＝13x3－bx2＋c(b，c为常数)．当x＝2时，函数f(x)取得极值，若函数f(x)只有三个零点，则实数c的取值范围为________．14．(10分)已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1，仅当x＝－1，x＝1时取得极值，且极大值比极小值大4.(1)求a、b的值；(2)求f(x)的极大值和极小值．15．(13分)已知f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.(1)若f(x)在x＝1时有极值－1，求b、c的值；(2)在(1)的条件下，若函数y＝f(x)的图象与函数y＝k的图象恰有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．16．(12分)已知函数f(x)＝x ln x.(1)求f(x)的最小值；(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1成立，求实数a的取值范围．课时作业(十五)A【基础热身】1．B [解析] 根据可导函数极值的判别方法，如果在点x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值，反之是极小值，而导数为0的点不一定是极值点．2．D [解析] 函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ′＝1－1x 2＝x 2－1x 2，令y ′＝0，得x＝－13．D [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意得f ′(－3)＝0，解得a ＝5.4．A [解析] x 1、x 4是导函数的不变号零点，因此它们不是极值点，而x 2与x 3是变号零点，因此它们是极值点，且x 2是极大值点，x 3是极小值点．【能力提升】5．D [解析] 由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋b ＝0，可得ab ＝－3.故选D. 6．A [解析] 由题意可得f ′(x )＝2－1x 2(x <0)，令f ′(x )＝0得x ＝－22(舍正)，列表如下：f (x )在－∞，－22单调递增，在－22，0单调递减，故选A.7．D [解析] f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，∵f (x )在x ＝1处有极值， ∴f ′(1)＝0，即12－2a －2b ＝0，化简得 a ＋b ＝6，∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时，ab 有最大值，最大值为9，故选D. 8．A [解析] 因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.9．D [解析] 设F (x )＝f (x )e x ，∴F ′(x )＝e x f ′(x )＋e x f (x )＝e x (2ax ＋b ＋ax 2＋bx ＋c )，又∵x ＝－1为f (x )e x 的一个极值点，∴F ′(－1)＝e －1(－a ＋c )＝0，即a ＝c ，∴Δ＝b 2－4ac ＝b 2－4a 2，当Δ＝0时，b ＝±2a ，即对称轴所在直线方程为x ＝±1；当Δ>0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2a >1，即对称轴在直线x ＝－1的左边或在直线x ＝1的右边． 又f (－1)＝a －b ＋c ＝2a －b ＜0，故D 错，选D.10.12 [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )＝x －1x >0，x >0，得x >1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(x )＝x －1x <0，x >0，得0<x <1，∴f (x )在x ＝1时，取得最小值f (1)＝12－ln1＝12.11．11 [解析] f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n ，依题意有⎩⎨⎧ f (－1)＝0，f ′(－1)＝0，即⎩⎨⎧m 2＋3m －n －1＝0，－6m ＋n ＋3＝0， 解得⎩⎨⎧ m ＝2，n ＝9或⎩⎨⎧ m ＝1，n ＝3，检验知当⎩⎨⎧ m ＝1，n ＝3时，函数没有极值．所以m ＋n ＝11. 12．4 [解析] ∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ，∴⎩⎨⎧ 3×22＋6a ×2＋3b ＝0，3×12＋6a ×1＋3b ＝－3⇒⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝0.∴y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，则x ＝0或x ＝2，∴f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4.13.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43 [解析] ∵f (x )＝13x 3－bx 2＋c ，∴f ′(x )＝x 2－2bx .∵x ＝2时，f (x )取得极值，∴22－2b ×2＝0，解得b ＝1.∴当x ∈(0,2)时，f (x )单调递减，当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f (x )单调递增．若f (x )＝0有3个实根，则⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝c >0，f (2)＝13×23－22＋c <0，解得0＜c ＜43. 14．[解答] (1)∵f (x )＝x 5＋ax 3＋bx ＋1，∴f ′(x )＝5x 4＋3ax 2＋b .∵x ＝±1时有极值，∴5＋3a ＋b ＝0，∴b ＝－3a －5①，代入f ′(x )得f ′(x )＝5x 4＋3ax 2－3a －5＝5(x 4－1)＋3a (x 2－1)＝(x 2－1)[5(x 2＋1)＋3a ] ＝(x ＋1)(x －1)[5x 2＋(3a ＋5)]．∵f (x )仅当x ＝±1时有极值，∴5x 2＋(3a ＋5)≠0对任意x 成立．∴3a ＋5>0，a >－53.考察f (x )、f ′(x )随x 的变化情况：∴f (－1)－f (1)＝4，即[(－1)5＋a (－1)3＋b (－1)＋1]－(15＋a ·13＋b ·1＋1)＝4，整理得a ＋b ＝－3②，由①②解得⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝－2.(2)∵a ＝－1，b ＝－2，∴f (x )＝x 5－x 3－2x ＋1.∴f (x )的极大值为f (－1)＝3.f (x )的极小值为f (1)＝－1.15．[解答] (1)∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由已知得f ′(1)＝0，f (1)＝－1，∴⎩⎨⎧3＋2b ＋c ＝0，1＋b ＋c ＋2＝－1，解得b ＝1，c ＝－5. 经验证，b ＝1，c ＝－5符合题意．(2)由(1)知f (x )＝x 3＋x 2－5x ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2x －5.由f ′(x )＝0得x 1＝－53，x 2＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：根据上表，当x ＝－53时函数取得极大值且极大值为f ⎝ ⎭⎪⎫－53＝22927，当x ＝1时函数取得极小值且极小值为f (1)＝－1.根据题意结合上图可知k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22927. 【难点突破】16．[解答] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (x )的导数f ′(x )＝1＋ln x .令f ′(x )>0，解得x >1e ；令f ′(x )<0，解得0<x <1e .从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞单调递增． 所以，当x ＝1e 时，f (x )取得最小值－1e .(2)法一：令g (x )＝f (x )－(ax －1)，则g ′(x )＝f ′(x )－a ＝1－a ＋ln x ，①若a ≤1，当x >1时，g ′(x )＝1－a ＋ln x >1－a ≥0，故g (x )在(1，＋∞)上为增函数，所以，x ≥1时，g (x )≥g (1)＝1－a ≥0，即f (x )≥ax －1. ②若a >1，方程g ′(x )＝0的根为x 0＝e a －1，此时，若x ∈(1，x 0)，则g ′(x )<0，故g (x )在该区间为减函数．所以x∈(1，x0)时，g(x)<g(1)＝1－a<0，即f(x)<ax－1，与题设f(x)≥ax－1相矛盾．综上，满足条件的a的取值范围是(－∞，1]．法二：依题意，得f(x)≥ax－1在[1，＋∞)上恒成立，即不等式a≤ln x＋1x对于x∈[1，＋∞)恒成立．令g(x)＝ln x＋1x，则g′(x)＝1x－1x2＝1x⎝⎛⎭⎪⎫1－1x.当x>1时，因为g′(x)＝1x⎝⎛⎭⎪⎫1－1x>0，故g(x)是(1，＋∞)上的增函数，所以g(x)的最小值是g(1)＝1，所以a的取值范围是(－∞，1]．。