数学建模流感问题模型
甲型流感流行趋势的模型
甲型流感流行趋势的模型随着甲型流感的不断出现和暴发，人们对其流行趋势的预测成为了一个重要的课题。
为了有效应对流感疫情，科学家们研发了多种模型来预测甲型流感的流行趋势。
本文将介绍一种常用的流感模型，并讨论其在应对疫情中的应用。
一、古菌依据的模型古菌模型是一种基于传染病流行理论的数学模型，被广泛应用于预测甲型流感的流行趋势。
该模型基于以下几个关键因素进行建模：1. 病毒传播速率：病毒的传播速率决定了感染者人数的增长速度。
通过研究病毒本身的传播性质，可以估计出病毒在人群中的传播速率。
2. 潜伏期和感染期：古菌模型考虑了病毒的潜伏期和感染期，这两个因素对病毒传播的速度和规模具有重要影响。
通过研究病毒的潜伏期和感染期，可以更好地理解和预测疫情的发展。
3. 人群免疫力：人群中已经感染并康复的个体拥有一定的免疫力，可以抵抗再次感染。
这一因素也会影响到疫情的传播速度和规模。
基于以上关键因素，古菌模型可以通过数学方程来模拟甲型流感的传播过程。
这种模型通常结合实际疫情数据进行参数估计和拟合，从而得出预测结果。
二、甲型流感的流行趋势预测使用古菌模型可以对甲型流感的流行趋势进行预测，帮助政府和公共卫生机构做好疫情防控工作。
通过模型预测，可以提前预知疫情发展的可能性和趋势，以便采取相应的措施。
1. 疫情爆发预测：古菌模型可以根据已有的疫情数据，预测未来一段时间内的疫情爆发情况。
通过模型预测，可以得出疫情爆发的时间、地点和规模等关键信息，帮助决策者有针对性地制定防控策略。
2. 防控措施评估：古菌模型还可以评估各种防控措施的有效性和影响力。
通过模型模拟，可以比较不同措施对疫情传播的控制效果，为实施最合适的防控策略提供科学依据。
3. 预警系统建设：古菌模型在甲型流感的预测中扮演着关键的角色。
通过建立流感预警系统，及时监测和预测疫情发展的趋势，可以帮助公众和决策者做出更加准确的判断，以便及时采取措施。
三、模型的局限性和未来发展古菌模型作为一种流感流行趋势预测的工具，虽然有很高的准确性和可靠性，但也存在一些局限性。
流感传染特征建模分析
流感传染特征建模分析流感是一种常见的呼吸道传染病，具有高度传染性和快速传播的特点。
了解流感传染的特征对于制定有效的防控策略具有重要意义。
本文将通过建立流感传染特征的数学模型，分析流感的传播机制、影响因素以及模型的应用前景。
首先，流感的传播机制是关键。
流感主要通过飞沫传播，当一个感染者咳嗽或打喷嚏时，会释放出含有病毒的飞沫，其他人吸入这些飞沫后可能被感染。
此外，流感还可以通过直接接触或间接接触传播，例如与患者共用物品或接触被病毒污染的表面。
了解这些传播机制可以帮助我们有效地制定防控措施，如加强个人卫生习惯、保持良好的室内通风等。
其次，影响流感传播的因素是多样的。
首先是个体特征因素，包括感染者的免疫状况、年龄、性别等。
老年人、儿童和免疫力低下的人更容易被流感病毒感染。
其次是环境因素，如人口密度、气候条件、季节等。
人口密度高的地区和气候寒冷的季节更容易传播流感。
此外，社交行为也是一个重要因素，如人们的接触频率、聚集活动等。
了解这些因素的影响程度可以帮助我们更好地预测和控制流感的传播。
建立数学模型是分析流感传染特征的有效方法之一。
常用的模型包括传染病动力学模型和网络模型。
传染病动力学模型是基于人口的一系列微分方程，通过描述人群的易感者、感染者和康复者之间的相互转换关系，可以模拟流感的传播过程。
网络模型则将人与人之间的接触关系建模为一个网络结构，通过分析网络中的节点、边和传播概率等属性，可以研究流感的传播路径和传播速度。
数学模型在流感防控中的应用前景广泛。
首先，我们可以利用模型预测流感的传播趋势，及时采取相应的干预措施。
例如，可以预测流感的高峰期，加强疫苗供应、提高医疗资源准备等。
其次，模型还可以评估和优化不同防控策略的效果。
通过模拟比较不同干预措施对流感传播的影响，可以找到最优的防控方案。
最后，模型还可以用于流感疫情的监测和预警。
通过实时收集和分析流感相关数据，结合模型的预测能力，可以提前发现流感疫情的蔓延趋势，及时发出预警，加强防控工作。
数学建模传染病模型例题
数学建模传染病模型例题（最新版）目录一、引言二、数学建模传染病模型的基本概念1.SEIR 模型2.SIS 模型3.SIR 模型三、数学建模传染病模型的例题1.模型假设2.模型建立3.模型求解四、结论正文一、引言随着全球化的发展，传染病的传播越来越引起人们的关注。
为了更好地预测和控制传染病的传播，数学建模传染病模型被广泛应用。
本文将以数学建模传染病模型为例，介绍相关的模型概念和例题。
二、数学建模传染病模型的基本概念（1）SEIR 模型SEIR 模型是传染病数学模型中最基本的模型之一，它将人群分为四类：易感者 (Susceptibles)、暴露者 (Exposed)、感染者 (Infectives) 和抵抗者 (Resistances)。
该模型假设人群数量不变，感染者会以一定的速率传染给易感者，同时易感者会以一定的速率转变为暴露者，暴露者在一定时间后转为感染者，感染者又会在一定时间后转为抵抗者。
（2）SIS 模型SIS 模型是 SEIR 模型的一种特殊形式，它将人群分为易感者(Susceptibles)、感染者 (Infectives) 和恢复者 (Recovered) 三类。
该模型假设易感者与感染者的接触会导致疾病传播，感染者会在一定时间后恢复为易感者，恢复者则具有免疫力。
（3）SIR 模型SIR 模型是另一种常见的传染病数学模型，它将人群分为易感者(Susceptibles)、感染者 (Infectives) 和恢复者 (Recovered) 三类。
与 SIS 模型不同的是，SIR 模型假设感染者会以一定的速率恢复为易感者，而恢复者则具有免疫力。
SIR 模型适用于短期传染病，例如流感。
三、数学建模传染病模型的例题假设某个地区有 10000 人，其中易感者占 80%，感染率为 0.01，恢复率为 0.9。
我们需要建立一个数学模型来预测疾病传播的过程。
（1）模型假设我们假设疾病传播满足 SEIR 模型，人群分为易感者、暴露者、感染者和恢复者四类。
数学建模传染病模型例题
数学建模传染病模型例题一、传染病模型简介传染病模型是数学建模的一个重要分支，主要用于描述传染病在人群中的传播规律。
通过构建合适的数学模型，可以研究传染病的传播动力学、预测疫情发展趋势以及评估防控措施的效果。
本文将重点介绍几种常见的传染病模型及其应用。
二、传染病模型的类型及应用1.SIR模型SIR模型是一种基于微分方程的传染病模型，其中S、I、R分别代表易感者（Susceptible）、感染者（Infected）和康复者（Recovered）。
该模型通过描述易感者感染、感染者康复以及康复者不再易感的动态过程，揭示了传染病在人群中的传播规律。
SIR模型在分析疫情爆发、研究防控措施等方面具有广泛应用。
2.SEIR模型SEIR模型是在SIR模型基础上发展的一种传染病模型，其中E代表潜伏者（Exposed）。
与SIR模型相比，SEIR模型增加了潜伏期这一概念，使得模型更加符合实际情况。
该模型可以用于研究传染病的传播速度、预测疫情发展趋势以及评估疫苗的效果。
3.SI模型SI模型是一种简化的传染病模型，仅包含易感者和感染者两个群体。
该模型适用于分析短期传染病，如流感等。
通过研究易感者与感染者的动态关系，可以预测疫情爆发的时间和规模。
三、传染病模型的参数估计与预测传染病模型的参数估计是数学建模的关键环节，通常采用最大似然估计、贝叶斯估计等方法。
此外，基于传染病模型的预测技术在疫情防控中也具有重要意义。
通过构建时间序列模型，如ARIMA、SVM等，可以预测未来一段时间内疫情的发展趋势。
四、数学建模在传染病防控中的实际应用数学建模在传染病防控中具有广泛应用，如疫情监测、防控措施评估、疫苗研究等。
通过对传染病模型的深入研究，可以为政府部门提供科学依据，协助制定针对性的防控策略。
五、案例分析本文将结合具体案例，如我国2003年非典疫情、2020年新冠肺炎疫情等，详细阐述传染病模型在实际应用中的重要作用。
通过分析案例，可以加深对传染病模型的理解，为今后疫情防控提供借鉴。
数学建模传染病模型例题
以下是一个简单的数学建模传染病模型的例题：
问题：假设有一个小岛上住着100个人，其中有1个是传染病源。
初始时，这个人不知道自己已经患病，所以没有采取隔离措施。
其他人也不知道有传染病源在岛上。
假设每天，每个健康的人都有可能接触并感染患病的人，感染的概率是p。
另外，健康的人每天也有1个单位的时间用于自我保护，减少被感染的风险。
假设在t天后，岛上有x个人被感染。
我们需要找出p和时间t的关系，以及如何通过调整p来控制传染病的传播。
假设：
1. 每个人每天只能接触一次患病的人。
2. 每个人每天有1个单位的时间用于自我保护。
3. 每个人接触患病的人后，有p的概率被感染。
4. 初始时，只有1个人是患病者。
5. 没有新的外来感染者进入岛上。
模型建立：
根据上述假设，我们可以建立如下的微分方程模型：
dx/dt = p * (100 - x) * (1/100) - x/100
其中，x表示被感染的人数，p表示感染概率，t表示时间。
求解模型：
通过求解这个微分方程模型，我们可以得到x与t的关系。
由于这个方程较为简单，我们可以直接求解它，找出x的解。
然后我们可以根据解的情况，讨论p对x的影响，从而找到控制传染病传播的方法。
通过上述模型和求解过程，我们可以了解传染病的传播情况以及如何通过调整感染概率p来控制其传播。
这个例题可以帮助我们理解数学建模在传染病控制中的应用，并为实际的传染病控制提供理论支持。
数学建模实验(传染病模型)
实验二：传染病模型1、SI 模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。
（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。
人口始终保持一个常数，即()K t N ≡。
（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。
假设t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数()t S 成正比，比例系数为β，从而在t 时刻单位时间内被所有病人传染的人数为()()t I t S β。
2、SIS 模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点，给出参数，图示模型曲线。
（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。
人口始终保持一个常数。
即()K t N ≡。
（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。
假设t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数()t S 成正比，比例系数为β，从而在t 时刻单位时间内被所有病人传染的人数为()()t I t S β。
（3）t 时刻，单位时间内从染病者中治愈的人与病人数量成正比，比例系数为γ，单位时间内治愈的人不具有免疫，将再成为易感者。
3、SIR 模型的建立基于以下三个假设，求出平衡点、给出参数、图示模型曲线。
（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。
人口始终保持一个常数，即()K t N ≡。
（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。
假设t 时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数()t S 成正比，比例系数为β，从而在t 时刻单位时间内被所有病人传染的人数为()()t I t S β。
（3）t 时刻，单位时间内从传染者中移出的人数与病人数量成正比，比例系数为γ，单位时间内移出者的数量为γ)(t I 。
求解过程1、SI 模型：由题目条件假设可以得到微分方程：K()()dIK S t I t dtβ=，又因为()()1S t I t +=， 令初始时刻病人的比例为0I ，则有：0()(1()),(0)dII t I t I I dtβ=-= %求平衡点,r 为有效传染率,x 病人比例 syms r xsolve('r*x*(1-x)','x') ans = 0 1 %方程求解syms i r t dsolve('Di=r*i*(1-i)','i(0)=i0','t')ans =1/(1-exp(-r*t)*(-1+i0)/i0) %绘制图形r=0.5,i0=0.01 fplot('1/(1-exp(-r*t)*(-1+i0)/i0)',[0,40]) fplot('1/(1-exp(-0.5*t)*(-1+0.01)/0.01)',[0,40]) function di=isf(t,i)di=0.5*i*(1-i); [t,i]=ode45(@isf,[0 40],[0.01]);plot(t,i)t ♓i♎♓ ♎♦图示4 SI 模型的i~t 曲线 图示5 SI 模型的di/dt~i 曲线2、SIS 模型 根据SI 模型及增加的假设条件，可得：)()()(t KI t I t KS dtdiKγβ-=，即： 0)0(),())(1)((I I t I t I t I dtdi=--=γβ 记 γβσ=， 则方程改写为 )]1([σβ---=i i i dt di%求解方程syms r b i t % b 为有效传染率,r 为治愈率dsolve('Di=b*i*(1-i)-r*i','i(0)=i0','t')ans =(b-r)/(b-exp(-(b-r)*t)*(-b+r+i0*b)/i0/(b-r)*b+exp(-(b-r)*t)*(-b+r +i0*b)/i0/(b-r)*r)%求平衡点syms x %(b=0.5,r=0.2)solve('0.5*x*(1-x)-0.2*x; ')ans =0..60000000000000000000000000000000%绘制图形function di=sisf(t,i)di=0.5*i*(1-i)-0.2*i;[t,i]=ode45(@sisf,[0 40],[0.01]);plot(t,i)t♓t ♓图示6 SIS 模型的i~t 曲线（σ>1） 图示7 SIS 模型的i~t 曲线（σ≤1）fplot('-0.5*x*[x-(1-1/20)]',[0,1]) fplot('-0.5*x*[x-(1-2)]',[ 0,1])i♎♓ ♎♦i♎♓ ♎♦图示8SIS 模型的di/dt~i 曲线（σ>1） 图示9SIS 模型的di/dt~i 曲线（σ≤1） 3、 SIR 模型模型的方程为{00()()(),(0)()(),(0)dIS t I t I t I I dtdSS t I t S S dtβγβ=-==-=function dx=sirf(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=0.5*x(1)*x(2)-0.2*x(1); %x(1)表示i,x(2)表示s dx(2)=-0.5*x(1)*x(2);[t,x]=ode45(@sirf,[0 50],[0.01 0.99]);plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid,pauseplot(x(:,2),x(:,1)),grid00.20.40.60.81s图示10 SIR模型的图形)(),(tStI图示11 SIR模型的相轨线备注：由于Matlab与Word连接不好，所绘制的图形上标的字符在Word中看不清楚。
数学建模甲型H1N1流感论文
数学建模甲型H1N1流感论文2009年西北师范大学数学建模大赛参赛题目：甲型H1N1流感防治的数学模型指导教师：曹海玲参赛队员：杨海、朱丹丹、林爱军所在学院：经济管理学院所在专业：信息管理与信息系统所在年级：2007级参赛时间：2009/6/1—2009/6/8目录摘要 (1)一、初始模型 (3)1、提出问题 (3)2、假设增长率K(t)为常数 (3)3、假设增长率K(t)为一个连续函数 (3)4、模型分析 (4)5、小结 (4)二、优化模型 (4)1、提出问题 (4)2、预测 (5)3、小结 (6)三、防治方案层次结构分析图 (7)1、防治效益图 (7)2、防治代价图 (8)四、模型与防治方案综合分析 (9)五、总结 (9)六、建模过程示意图 (10)七、推荐信 (11)八、甲型H1N1流感相关知识介绍 (12)九、参考文献 (14)一、初始模型1、提出问题：如何证明预防越早越有效参数说明：N ：代表病人总数.N 0：表示初始时刻的病例数N(t)：代表t 时刻的病例数K （t ）：代表t 时刻的病例增长率，即K （t ）=△N(t)/tN(t)（单位时间内N （t ）的增量与N （t ）的比例系数）K(t)N(t)：代表单位时间内病例增加量根据以上对参数的假设可得，N （t ）满足微分方程：（1）2、假设：增长率K （t ）为常数（在爆发初期，该病例人数增长较快，增长率为K(t)）设K （t ）≡K 0，则（1）变为（2） 解之得：()00K t N t N e = （3）表明甲型H1N1流感病人将按指数规律无限增长（K>0）。
将t 以天为单位离散化，（3）式表明甲型H1N1流感病人以0k e 为公比的等比例增长。
因为此时K 表示天增长率，通常K 0〉1，故可用近似关系0k e ≈1+K 0，将（3）式写为()()001tN t N K ≈+ （4）比较（1）和（4）可知，模型（1）不过是指数增长率模型离散形式的近似表示。
数学建模——传染病模型
传染病模型摘要当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。
本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。
不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。
本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。
然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。
本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。
同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。
关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。
一、问题重述有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。
考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。
1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。
2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。
建立模型求t时刻的感染人数。
3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t 时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
摘要甲型H1N1流感为急性呼吸道传染病，其病原体是一种新型的甲型H1N1流感病毒，在人群中传播。
与以往或目前的季节性流感病毒不同，该病毒毒株包含有猪流感、禽流感和人流感三种流感病毒的基因片段。
人群对甲型H1N1流感病毒普遍易感，并可以人传染人，但是要提醒大家的是甲型H1N1流感是可防、可控的。
只要积极作好预防，也是比较安全的。
目前预防甲型H1N1流感的疫苗已投入使用。
本论文通过建立甲流传染模型，分析被传人数多少与哪些因素有关，如何预报传染病高潮的到来，如何处理潜伏期等等问题。
甲型H1N1流感问题的研究一﹑模型假设①.在甲流传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。
总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N。
人群分为以下三类：易感染者(Susceptibles)，其数量比例记为s(t)，表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t 时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；潜伏期者（incubation），其数量比例为q(t),表示在t时刻，染病但未被发现、可感染、不可治愈，在潜伏期之后变为感染病者；恢复者(Recovered)，其数量比例记为r(t)，表示t时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。
）占总人数的比例。
②.病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数λ，感染者的日接触率（每个感染者每天有效接触的平均人数）为2λ，日治愈率（每天被治愈的病人占总病人数的比例）为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触数为σ=λ／μ。
二﹑模型构成在假设1s(t) + i(t) + r(t)+q(t) = 1对于病愈免疫的移出者的数量应为rtdN Nidμ=（1）不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别r td N Ni d μ= SIR 基础模型用微分方程组表示如下：22di dt ds dt dr dt 1()()qsi isi qs i dq si k sq dt λμλλμλλμ⎧=-⎪⎪⎪=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎪=-+-⎪⎪⎩ （2）上述（2）方程无法求出s(t) ， i(t)的解析解，我们先做数值计算。
三．数值计算在方程（2）中设λ=2，μ=0.4，i （0）= 0.01，s （0）=0.99，用MATLAB 软件编程：function y=ill(t,x)a=0.91;b=0.4;c=1.1;d=1;y=[d*x(3)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)-c*x(2)*x(3),(a-d)*(x(2)*x(1)+x(3)*x(2))]';ts=0:50;x0=[0.02,0.98,0.18];[t,x]=ode45('ill',ts,x0); [t,x];plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'g',t,x(:,3),'b');legend('病人','康复者','潜伏期者');pauseplot(x(:,2)+x(:,3),x(:,1));title('病人，潜伏期感染者与康复者相轨线');,四．相频线分析我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解i （t ）,s （t ）的性质。
D = ｛（s ，i ）| s≥0，i≥0 ， s + i ≤1｝在方程（2）中消去t d 并注意到σ的定义，可得 11i s d d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭s σ 00|s s i i == （3）所以：11i s d d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭s σ ⇒00i 11s i s i s d d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰s σ （4）利用积分特性容易求出方程(3)的解为：0001()ln s i s i s s σ=+-= （5） 在定义域D 内,(4)式表示的曲线即为相轨线,如图3所示.其中箭头表示了随着时间t 的增加s(t)和i(t)的变化趋向下面根据(1),(5)式和上图分析s(t),i(t)和r(t)的变化情况(t→∞时它们的极限值分别记作（s ∞, i ∞和r ∞).1. 不论初始条件s0,i0如何,病人消失将消失,即：00i =2.最终未被感染的健康者的比例是 ,在(5)式中令i=0得到, 是方程0001ln 0s s i s s σ∞∞+-+=在(0,1/σ)内的根.在图形上 是相轨线与s 轴在(0,1/σ)内交点的横坐标3.若0s >1/σ,则开始有11i s d o d ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭s σ，i(t)先增加, 令11i s d d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭s σ=0，可得当s=1/σ时,i(t)达到最大值：00011ln )m i s i s σσ=+-+（ 然后s<1/σ时，有11i s d o d ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭s σ ，所以i(t)减小且趋于零,s(t)则单调减小至s ∞,如图3中由P1(0s ，0i )出发的轨线4.若0s ≤1/σ,则恒有110i s d d ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭s σ，i(t)单调减小至零,s(t)单调减小至s ∞,如图3中由P2(s0,i0)出发的轨线可以看出,如果仅当病人比例i(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延,那么1/σ是一个阈值,当0s >1/σ(即σ>1/s0)时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数σ,即提高阈值1/σ使得0s ≤1/σ(即σ ≤1/0s ),传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值0s 是一定的,通常可认为0s 接近1)。
并且,即使0s >1/σ,从(19),(20)式可以看出, σ减小时, s ∞增加(通过作图分析), m i 降低,也控制了蔓延的程度.我们注意到在σ=λμ中,人们的卫生水平越高,日接触率λ越小;医疗水平越高,日治愈率μ越大,于是σ越小,所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延.从另一方面看, 1/s s σλμ=•是传染期内一个病人传染的健康者的平均数,称为交换数,其含义是一病人被s σ个健康者交换.所以当 01/s σ≤ 即01s σ≤时必有 .既然交换数不超过1,病人比例i(t)绝不会增加,传染病不会蔓延。
五﹑群体免疫和预防根据对SIR 模型的分析,当01/s σ≤ 时传染病不会蔓延.所以为制止蔓延,除了提高卫生和医疗水平,使阈值1/σ变大以外,另一个途径是降低0s ,这可以通过比如预防接种使群体免疫的办法做到.忽略病人比例的初始值0i 有001s r =-,于是传染病不会蔓延的条件01/s σ≤ 可以表为011r σ≥- 这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例（即免疫比例）满足上式，就可以制止传染病的蔓延。
这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是很难做到的。
据估计当时印度等国天花传染病的接触数 σ=5，由上式至少要有80%的人接受免疫才行。
世界卫生组织总干事陈冯富珍2010年8月10号宣布，甲型H1N1流感的大流行期已经结束，但世卫呼吁各国继续监察新型流感，防范病毒变种。
陈冯富珍听取世卫紧急委员会专家的意见后，宣布解除新流感的最高警戒。
但她预期，未来几年新型流感会好像季节性流感一样继续流行，流感病毒也会对部分国家和地区存在隐患。
即使花费大量资金提高 ，也因很难做到免疫者的均匀分布，使得甲流H1N1才在全世界根除。
而如果新流感的σ更高，根除就更加困难。
六﹑模型验证新型流感2009年4月开始在墨西哥爆发，之后陆续在美国等地蔓延，五月香港确诊首起新型流感个案，为亚洲首宗确诊病例。
六月世卫将流感大流行警戒级别，调升至第六级别，世界各地因此储存新流感疫苗，以防万一。
不过随着疫情减轻，本年初多个国家及地区，开始销毁疫苗，以及取消为民众接种疫苗。
而新型流感爆发以来，在全球造成18449人死亡。
死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者的人数，即有了r td d 的实际数据，世卫组织用这组数据对SIR 模型作了验证。
首先，由方程（1），（2）可以得到s r t d d si si s d dt λσμσ=-=-=- 1s r d d sσ⇒=-t 上式两边同时乘以d 可 ，两边积分得 0001sr s r s r d d s σ==-⎰⎰0ln |s s s r σ⇒=-0r s e s σ-⇒= 所以： ()0()r t s t s e σ-= (6) 再0(1)(1)r r td i r s r se d σμμμ-⇒==--=-- (7) 当 1/r σ≤ 时，取（7）式右端r e σ-Taylor 展开式的前3项得：22000(1)2r t s r d r s s r d σμσ=--+- 在初始值0r =0 下解高阶常微分方程得:0201()(1)()2t r t s th s αμσαϕσ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦其中222000(1)2s s i ασσ=-+，01s th σϕα-= 从而容易由（7）式得出：22202()2r t d t d s ch αμαμσϕ=- 然后取定参数 s0, σ等，画出（7）式的图形，如图4中的曲线，实际数据在图中用圆点表示，可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。
七﹑被传染比例的估计在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比例是健康者人数比例的初始值0s 与s ∞之差，记作x,即0x s s ∞=- (8)当i0很小，s0接近于1时，由（8）式可得 01ln(1)0x x s σ+-≈ (9) 取对数函数Taylor 展开的前两项有2001(1)02x x s s σσ--≈ (10)记 01s δσ=+ , δ 可视为该地区人口比例超过阈值1σ的部分。
当 1δσ≤时（10）式给出00122x s s σδσ⎛⎫≈-≈ ⎪⎝⎭ （11） 这个结果表明，被传染人数比例约为δ的2倍。
对一种传染病，当该地区的卫生和医疗水平不变，即δ不变时，这个比例就不会改变。
而当阈值1σ提高时，δ减小，于是这个比例就会降低。
八．模型评价1，本模型根据甲流实际传染情况建设了数学模型，并考虑了其中的潜伏期、日治愈率、日接触率等因素，对于如何控制流感爆发具有一定的科学借鉴价值；2，所选取的数值虽然参考了卫生部信息通告，但由于取样的数据量太小，没有大量采集相关的数据，可能导致运算结果有所偏差；3，本篇论文还有很多值得改进的地方，如如何利用数学建模推迟传染病高潮的爆发期、群体免疫和防治等等方面。