数学建模 传染病模型
基本数学模型-传染病模型
• 现有数据显示，天花的 值较小，麻疹等传染
病的 值较大，目前全世界已消灭天花疾病
17
模型验证
•
孟买某岛（1905.12.17-1906.7.21）
（
Kermack,McKendrick,1926）
• 该岛上80%－90%的感染者死亡，
dS dt dI dt
SI SI
I
视为移出者
• 在疾病传播期内所考察地区总人数 N 保持不变
• t 时刻易感者和感染者人数所占比例分别为 S(t)
和 I (t) ，S(t) I (t) 1 • 每个感染者单位时间内可使数量为 N 的人受到
感染，其中易感者数量为 NS ， 称为有效接触率
3
SI模型
N dI NSI dI I (1 I ) 1 dI dt
Jules Henri
Aleksandr
Poincaré
Mikhailovich
（1854－1912） 法国数学家、
Lyapunov （1857－1918）
物理学家
苏联数学家、 物理学家
11
自治系统
• 记 x (x1, x2 )T，F(t, x) ( f1(t, x), f2 (t, x))T，一阶常 微分方程组 dx F(t, x)称为自治（autonomous）
• III. Further Studies of the Problem of
电磁场理论，DNA双
Endemicity, 141, 94-122, 1933
螺旋结构等重要论文
均发表在该刊上
2
基本假设
• 人群分类
• 易感者（Susceptible）：易受疾病感染但尚未发病 • 感染者（Infective）：已感染且具传染性
数学建模传染病模型例题
数学建模传染病模型例题（最新版）目录一、引言二、数学建模传染病模型的基本概念1.SEIR 模型2.SIS 模型3.SIR 模型三、数学建模传染病模型的例题1.模型假设2.模型建立3.模型求解四、结论正文一、引言随着全球化的发展，传染病的传播越来越引起人们的关注。
为了更好地预测和控制传染病的传播，数学建模传染病模型被广泛应用。
本文将以数学建模传染病模型为例，介绍相关的模型概念和例题。
二、数学建模传染病模型的基本概念（1）SEIR 模型SEIR 模型是传染病数学模型中最基本的模型之一，它将人群分为四类：易感者 (Susceptibles)、暴露者 (Exposed)、感染者 (Infectives) 和抵抗者 (Resistances)。
该模型假设人群数量不变，感染者会以一定的速率传染给易感者，同时易感者会以一定的速率转变为暴露者，暴露者在一定时间后转为感染者，感染者又会在一定时间后转为抵抗者。
（2）SIS 模型SIS 模型是 SEIR 模型的一种特殊形式，它将人群分为易感者(Susceptibles)、感染者 (Infectives) 和恢复者 (Recovered) 三类。
该模型假设易感者与感染者的接触会导致疾病传播，感染者会在一定时间后恢复为易感者，恢复者则具有免疫力。
（3）SIR 模型SIR 模型是另一种常见的传染病数学模型，它将人群分为易感者(Susceptibles)、感染者 (Infectives) 和恢复者 (Recovered) 三类。
与 SIS 模型不同的是，SIR 模型假设感染者会以一定的速率恢复为易感者，而恢复者则具有免疫力。
SIR 模型适用于短期传染病，例如流感。
三、数学建模传染病模型的例题假设某个地区有 10000 人，其中易感者占 80%，感染率为 0.01，恢复率为 0.9。
我们需要建立一个数学模型来预测疾病传播的过程。
（1）模型假设我们假设疾病传播满足 SEIR 模型，人群分为易感者、暴露者、感染者和恢复者四类。
数学建模传染病模型例题
数学建模传染病模型例题一、传染病模型简介传染病模型是数学建模的一个重要分支，主要用于描述传染病在人群中的传播规律。
通过构建合适的数学模型，可以研究传染病的传播动力学、预测疫情发展趋势以及评估防控措施的效果。
本文将重点介绍几种常见的传染病模型及其应用。
二、传染病模型的类型及应用1.SIR模型SIR模型是一种基于微分方程的传染病模型，其中S、I、R分别代表易感者（Susceptible）、感染者（Infected）和康复者（Recovered）。
该模型通过描述易感者感染、感染者康复以及康复者不再易感的动态过程，揭示了传染病在人群中的传播规律。
SIR模型在分析疫情爆发、研究防控措施等方面具有广泛应用。
2.SEIR模型SEIR模型是在SIR模型基础上发展的一种传染病模型，其中E代表潜伏者（Exposed）。
与SIR模型相比，SEIR模型增加了潜伏期这一概念，使得模型更加符合实际情况。
该模型可以用于研究传染病的传播速度、预测疫情发展趋势以及评估疫苗的效果。
3.SI模型SI模型是一种简化的传染病模型，仅包含易感者和感染者两个群体。
该模型适用于分析短期传染病，如流感等。
通过研究易感者与感染者的动态关系，可以预测疫情爆发的时间和规模。
三、传染病模型的参数估计与预测传染病模型的参数估计是数学建模的关键环节，通常采用最大似然估计、贝叶斯估计等方法。
此外，基于传染病模型的预测技术在疫情防控中也具有重要意义。
通过构建时间序列模型，如ARIMA、SVM等，可以预测未来一段时间内疫情的发展趋势。
四、数学建模在传染病防控中的实际应用数学建模在传染病防控中具有广泛应用，如疫情监测、防控措施评估、疫苗研究等。
通过对传染病模型的深入研究，可以为政府部门提供科学依据，协助制定针对性的防控策略。
五、案例分析本文将结合具体案例，如我国2003年非典疫情、2020年新冠肺炎疫情等，详细阐述传染病模型在实际应用中的重要作用。
通过分析案例，可以加深对传染病模型的理解，为今后疫情防控提供借鉴。
传染病数学建模
传染病数学建模
传染病数学建模是一种使用数学方法来描述和预测传染病传播过程的手段。
通过建立数学模型，研究人员可以更好地理解疾病的传播机制，预测其在未来的发展趋势，并为防控措施的制定提供科学依据。
在传染病数学建模中，常见的模型有SIR 模型、SEIR 模型、SEIRS 模型等。
这些模型通过定义不同的状态变量来描述人群中不同个体的状态，如易感者（Susceptible）、感染者（Infected）、康复者（Recovered）等。
然后，通过建立微分方程或差分方程来描述这些状态变量之间的动态关系。
在SIR 模型中，假设人群中只有易感者和感染者两种状态，感染者经过一段时间后会自行康复并获得免疫力。
在SEIR 模型中，增加了“暴露”状态，表示已经接触但尚未表现出症状的个体。
而在SEIRS 模型中，除了“暴露”状态外，还增加了“易感”状态，表示从未被感染过且没有免疫力的人群。
除了以上提到的模型外，还有许多其他的数学模型用于描述传染病传播过程，如基于agent 的模型、网络模型、元胞自动机模型等。
这些模型各有优缺点，需要根据具体的研究问题和数据来选择合适的模型。
总之，传染病数学建模是一种重要的研究手段，可以帮
助我们更好地理解疾病的传播机制和预测未来的发展趋势。
通过建立数学模型，我们可以更好地制定防控措施，减少疾病的传播和影响。
数学模型之传染病模型的分析
多因素影响的研究
多种疾病的相互作用
研究多种疾病之间的相互作用及其对疾病传播的影响， 为防控策略提供更全面的依据。
免疫力和治疗的影响
研究免疫力和治疗对疾病传播和流行病学特征的影响， 为疫苗接种和治疗方案提供科学依据。
社会因素的作用
研究社会因素如人口结构、生活方式、文化习俗等对 疾病传播的影响，揭示其背后的机制。
参数的敏感性分析
总结词
参数的敏感性分析有助于了解模型对参数变化的敏感程度，从而更好地理解和预测传染病的发展趋势 。
详细描述
通过分析参数变化对模型结果的影响程度，可以了解哪些参数对模型结果具有较大的敏感性，哪些参 数对模型结果的影响较小。这种分析有助于更好地理解传染病传播的动力学机制，并为制定有效的防 控策略提供依据。
参数的优化与控制
总结词
参数的优化与控制是传染病模型分析的重要应用，它涉及到如何通过调整模型参数来优 化防控效果。
详细描述
在制定防控策略时，可以根据模型分析的结果来调整相关参数，以达到优化防控效果的 目的。例如，可以通过调整感染者的隔离和治疗率等参数来控制疾病的传播，从而降低 发病率和死亡率。同时，也需要根据实际情况不断调整和优化模型参数，以更好地反映
等。
解的稳定性
03
SEIR模型的解在特定的参数条件下具有稳定性，这有
助于预测疾病的长期发展趋势。
SEIR模型的应用
预测
SEIR模型可用于预测疾病的传播趋势和流行情况。
控制策略
通过调整模型参数，SEIR模型可以为防控措施提供理论支持，如疫苗接种、 隔离等。
政策制定
基于SEIR模型的预测结果，政府和卫生部门可以制定针对性的防控政策， 以控制疾病的传播。
数学建模传染病模型例题
以下是一个简单的数学建模传染病模型的例题：
问题：假设有一个小岛上住着100个人，其中有1个是传染病源。
初始时，这个人不知道自己已经患病，所以没有采取隔离措施。
其他人也不知道有传染病源在岛上。
假设每天，每个健康的人都有可能接触并感染患病的人，感染的概率是p。
另外，健康的人每天也有1个单位的时间用于自我保护，减少被感染的风险。
假设在t天后，岛上有x个人被感染。
我们需要找出p和时间t的关系，以及如何通过调整p来控制传染病的传播。
假设：
1. 每个人每天只能接触一次患病的人。
2. 每个人每天有1个单位的时间用于自我保护。
3. 每个人接触患病的人后，有p的概率被感染。
4. 初始时，只有1个人是患病者。
5. 没有新的外来感染者进入岛上。
模型建立：
根据上述假设，我们可以建立如下的微分方程模型：
dx/dt = p * (100 - x) * (1/100) - x/100
其中，x表示被感染的人数，p表示感染概率，t表示时间。
求解模型：
通过求解这个微分方程模型，我们可以得到x与t的关系。
由于这个方程较为简单，我们可以直接求解它，找出x的解。
然后我们可以根据解的情况，讨论p对x的影响，从而找到控制传染病传播的方法。
通过上述模型和求解过程，我们可以了解传染病的传播情况以及如何通过调整感染概率p来控制其传播。
这个例题可以帮助我们理解数学建模在传染病控制中的应用，并为实际的传染病控制提供理论支持。
数学建模之传染病模型
第五章 微 分 方 程 模 型如果实际对象的某特性就是随时间(或空间)变化的,那么分析它的变化规律,预测它的未来性态时,通常要建立此实际对象的动态模型,这就就是微分方程模型、§1 传 染 病 模 型建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮的到来等,一直就是各国有关专家与官员关注的课题、考虑某地区的传染病的传染情况,设该地区人口总数为N ,既不考虑生死,也不考虑迁移,时间以天为计量单位、一、 SI 模 型假设条件:1. 人群分为易感染者(Susceptible )与已感染者(Infective )两类人,简称为健康人与病人,在时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记作()t s 与()t i 、2. 每个病人每天有效接触的平均人数就是λ(常数),λ称为日接触率,当病人与健康人有效接触时,使健康者受感染变为病人、试建立描述()t i 变化的数学模型、解: ()()1=+t i t s Θ ()()N N t i N t s =+∴由假设2知,每个病人每天可使()t s λ个健康者变为病人,又由于病人数为()t i N ,∴每天共有()()t i N t s λ个健康人被感染、于就是i s N λ就就是病人数i N 的增加率,即有i s N dt di Nλ=………………………………………………(1) i s dtdi λ=∴ 而1=+i s 、 又记初始时刻(0=t )病人的比例为0i ,则()()⎪⎩⎪⎨⎧=-=001i i i i dt di λ 这就就是Logistic 模型,其解为 ()t e i t i λ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=1111［结果分析］di :1.当21=i 时,dt di 取到最大值mdt di ⎪⎭⎫ ⎝⎛,此时刻为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-11ln 01i t m λ 2. 当∞→t 时,1→i 即所有人终将被传染,全变为病人(这就是不实际的)、二、 SIS 模 型在前面假设1、2之下,再考虑病人可以医治,并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低,可以假定无免疫性,于就是病人被治愈后变成健康者,健康者还可以被感染再变成病人,此模型称SIS 模型、假设1、2同SI 模型,增加假设:3. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为μ,称为日治愈率、病人治愈后成为易感染者(健康人)、显然μ1就是这种传染病的平均传染期、解:在假设1、2、3之下,模型(1)修正为i N i Ns dtdi N μλ-= 于就是 ()()⎪⎩⎪⎨⎧=--=001i i i i i dt di μλ解得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=--- ＝ －μλλμλμλλμλλμλ,1,11010i t e i t i t ［结果分析］1. 令μλσ=、注意到λ与μ1的含义,可知σ就是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数,称为接触数、2. 接触数1=σ就是一个阈值、当1≤σ时,病人比例()t i 越来越小当1>σ时,()t i 的增减性取决于0i 的大小,其极限值()σ11-=∞i 、3. SI 模型就是SIS 模型中0=μ的情形、 1-三、 SIR 模 型大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力,所以病愈的人既非健康者,也非病人,她们已经退出传染系统,此时模型的假设为1、人群分为健康者、病人与病愈免疫的移出者三类,称为SIR 模型、三类人在总人数N 中占的比例分别记作()i s 、()t i 与()t r 、1. 病人的日接解率为λ,日治愈率为μ(与SIS 模型相同),传染期接触数为μλσ＝、解:由假设1,有()()()1=++t r t i t s 0=++∴dtdr dt di dt ds 由假设2,得i N dt dr N μ= N i N i s dt di N μλ-= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==∴i i s dtdi i dt dr μλμ 又设()()()00,0,000===r i i s s 于就是()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00s 0s ,0i i i s dt ds ii s dt di λμλ……………………………………………(2) 我们在相平面上来讨论解的性质、相轨线的定义域为(){}1s ,0,0s ,s ≤+≥≥=i i i D 由(2)式消去dt ,得⎪⎩⎪⎨⎧=-==0s s 01s 1s i i d di σ 这里 μλσ= 解得()000s s ln 1s -i s σ++=i ………………………………………(3) 在定义域D 内,(3)式表示的曲线即为相轨线、。
数学建模——传染病模型_2022年学习资料
数学模型-模型2-di-dt-=2i1-iLogistic模型-i0=。-it=-1/2-io-tm-t= ,m,dildt最大-人n--tm~传染病高潮到来时刻-t>00→i>1?-2日接触率↓→tm↑-病人可以 愈！-0①
数学模型-模型3-传染病无免疫性一病人治愈成-为健康人，健康人可再次被感染-SIS模型-增加假设-3病人每 治愈的比例为4-4~日治愈率-建模W[it+△t-it]=Wstit△t-uWit△t-di-=2i1-i-入~日接触率-dt-i0=i。-1/μ ~感染期-6-、一个感染期内每个病人的-有效接触人数，称为接触数
数学模型-模型4-传染病有免疫性—病人治愈-SIR模型-后即移出感染系统，称移出者-假设-1总人数N不变， 人、健康人和移-出者的比例分别为it,t,rt-2病人的日接触率2，日治愈率山-接触数σ =入/4-建模-s +it+rt=1-需建立it,St,rt的两个方程-00①
数学模型-模型4-SIR模型-W[it+△t-it]=2Wstit△t-uWit△t-W[st+△t-st =-2Nstit△t-di-E见si-i-=-si-dr-人Z-i0=io,s0=So,i0=0-00①
数学模型-传染病模型-问题-·描述传染病的传播过程-·分析受感染人数的变化规律-·预报传染病高潮到来的时刻 ·预防传染病蔓延的手段-·按照传播过程的一般规律，-用机理分析方法建立模型-00①
数学模型-模型1-已感染人数（病人）t-假设-每个病人每天有效接触-足以使人致病人数为入-建模-it+△t it=入it△t-di-:i-dt-it=ie"-i0-io-0t→00→i→00？-若有效接触的是病人， 必须区分已感染者（病-则不能使病人数增加-人和未感染者（健康人）
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传染病模型摘要当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。
本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。
不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。
本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。
然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。
本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。
同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。
关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。
一、问题重述有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。
考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。
1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。
2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。
建立模型求t时刻的感染人数。
3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t 时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。
二、问题分析1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。
2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。
3、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。
但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。
因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。
三、模型假设模型二和模型三的假设条件：假设一：在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。
人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类（取两个词的第一个字母，称之为SI模型），以下简称健康者和病人。
时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作s(t)和i(t)。
假设二：每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率。
当病人与健康者接触时，使健康者受感染变为病人。
假设三：模型三在假设一和假设二的基础上进行考虑，然后设病人每天治愈的比例为μ，称为日治愈率。
病人治愈后成为仍可被感染的健康者，显然1/μ是这种传染病的平均传染期。
模型四的假设条件：假设四：总人数N不变。
人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三类，称SIR模型。
三类人在总数N中占的比例分别记作s(t),i(t)和r(t)。
假设五：病人的日接触率为，日治愈率为（与SI模型相同），传染期接触为=/。
四、符号说明t ·······························某一具体时刻x(t)·····························病人人数λ·······························每天每个病人有效接触的人数N································总人数s(t)·····························健康者总人数i(t)·····························病人总人数······························初始时刻病人的比例i····························病人的最大值tm`μ····························日治愈率1/μ···························平均传染率σ·····························接触率r(t)···························移出者·····························初始时刻健康者的比例s五、模型的建立与求解模型1在这个最简单的模型中，设时刻t 的病人人数x(t)是连续、可微函数，并且每天每个病人有效接触（足以使人致病的接触）的人数为常数λ，考察t 到病人人数的增加，就有方程（1）的解为结果表明，随着t 的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的。
建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别这两种人。
模型2（SI 模型）又因为方程（5）是Logistic 模型。
它的解为这时病人增加的最快，可以认为是医院的门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。
况。
，这显然不符合实际情将被传染，全变为病人即所有人终时到来。
第二，当可以推迟传染病高潮的健设施、提高卫生水平以改善保越小卫生水平越高。
所，表示该地区的卫生水平成反比，因为日接触率与,1→∞→i t t m λλλ 其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。
模型3（SIS 模型）有些传染病如伤风、痢疾等愈合后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，所以这个模型成为SIS 模型。