传染病的数学模型
传染病传播的数学模型(一)
传染病传播的数学模型（一）引言概述：传染病的传播过程是一个复杂的系统，受到众多因素的影响。
为了对传染病的传播进行有效预测和控制，数学模型方法被广泛运用。
本文将探讨传染病传播的数学模型，分析其原理和应用。
正文内容：一、基本传染病传播模型1. 疾病的基本参数\t\t- 感染率\t\t- 恢复率\t\t- 接触率2. SIR模型\t\t- 模型基本假设\t\t- 方程形式\t\t- 模型解释与应用3. SEIR模型\t\t- 模型引入潜伏期因素\t\t- 方程形式\t\t- 模型优势与应用二、复杂传染病传播模型1. 非线性传染模型\t\t- 模型引入非线性因素\t\t- 方程形式\t\t- 模型解释与应用2. 空间传播模型\t\t- 模型引入空间因素\t\t- 方程形式\t\t- 模型优势与应用3. 多层次传播模型\t\t- 模型引入多层次因素\t\t- 方程形式\t\t- 模型解释与应用三、数学模型的参数估计和敏感性分析1. 参数估计方法\t\t- 极大似然估计法\t\t- 贝叶斯估计法2. 敏感性分析方法\t\t- 局部敏感性分析\t\t- 全局敏感性分析3. 参数估计与敏感性分析的应用案例四、数学模型在传染病控制中的应用1. 疫苗接种策略的优化\t\t- 预防性接种策略\t\t- 应急接种策略2. 隔离措施的决策分析\t\t- 隔离范围与强度的优化\t\t- 隔离时机的确定3. 传染病传播风险评估\t\t- 传播风险模型构建\t\t- 风险评估结果分析五、数学模型的局限性与发展方向1. 假设限制与误差影响2. 模型参数难以确定的问题3. 多个传染病因素交互作用的挑战4. 模型预测精度的提升策略总结：传染病传播的数学模型为我们提供了预测传染病传播趋势、指导防控措施的重要工具。
通过基本传染病传播模型的分析，我们可以更好地理解疾病传播的机制；复杂传染病传播模型的研究则能更准确地预测传播规律。
参数估计和敏感性分析为模型应用提供了优化手段，并在疫苗接种、隔离措施和传播风险评估等方面发挥重要作用。
传染病问题数学公式
传染病问题数学公式
传染病问题通常涉及到传染率、接触率、疾病治愈率、死亡率等参数。
在数学上，这些参数可以通过一系列模型和公式来描述和计算。
以下是一些常见的传染病问题的数学公式：
1. 基本复制数（Basic Reproduction Number, R0）：
R0 = β× D
其中，β表示传染率，D表示传染时间。
基本复制数表示一个感染者在人群中能够传染的人数。
当R0大于1时，疾病将继续传播；当R0小于1时，疾病将逐渐消失。
2. SEIR模型
SEIR模型用于描述一次传染病流行的过程。
该模型包括四类人群：易感人群（Susceptible）、潜伏期人群（Exposed）、感染者（Infectious）和康复者（Recovered）。
该模型的微分方程如下：
dS/dt = -βSI
dE/dt = βSI - αE
dI/dt = αE - γI
dR/dt = γI
其中，S、E、I、R分别表示四类人群的人数，β表示接触率，α表示潜伏期转化为感染期的概率，γ表示感染者恢复的概率。
3. SEIRD模型
SEIRD模型加入了死亡人群（Dead），用于描述一次传染病流行中的死亡情况。
该模型的微分方程如下：
dS/dt = -βSI
dE/dt = βSI - αE
dI/dt = αE - (γ+μ)I
dR/dt = γI
dD/dt = μI
其中，S、E、I、R、D分别表示五类人群的人数，β、α、γ、μ的含义与SEIR模型中相同，μ表示感染者死亡的概率。
传染病的数学模型有哪些(一)
传染病的数学模型有哪些（一）引言：传染病是一种对人类健康造成严重威胁的疾病，为了更好地理解和控制传染病的传播过程，研究人员利用数学模型对传染病进行建模和预测。
本文将介绍传染病的数学模型，为了更好地控制和预防传染病的传播提供参考。
正文：1. 推广SIR模型a. SIR模型是一种常见的传染病数学模型，包括易感者（Susceptible）、感染者（Infectious）和康复者（Recovered）三个状态。
b. SIR模型基于一组微分方程进行建模，描述了各个人群状态之间的转化过程。
c. SIR模型可以通过改变参数值来预测和控制传染病的传播速度和范围。
2. 扩展SEIR模型a. SEIR模型是对SIR模型的扩展，引入了潜伏者（Exposed）的概念。
b. 潜伏者是指已经感染病毒但尚未表现出症状的人群。
c. SEIR模型可以更准确地预测传染病的传播速度和范围，尤其对于具有潜伏期的传染病。
3. 基于网络的模型a. 基于网络的传染病模型将人群视为图网络中的节点，节点之间的连接表示传播途径。
b. 网络模型可以更好地考虑人群的空间结构和社交关系对传染病传播的影响。
c. 网络模型常使用随机图、小世界网络或无标度网络等来表示人群间的联系。
4. 多主体模型a. 多主体模型是一种把个体行为和人群行为结合起来的传染病模型。
b. 多主体模型通过建立个体决策规则、交流机制和协调行为，考虑个体之间的相互作用和行为变化。
c. 多主体模型可以模拟人群在传染病传播中的决策行为，为制定个性化的防控策略提供参考。
5. 结合机器学习的模型a. 机器学习模型可以通过学习数据中的模式和规律，对传染病进行预测和控制。
b. 机器学习方法可以结合传染病流行病学和社会行为数据，提高模型的预测准确性。
c. 机器学习模型可以通过监督学习、无监督学习和强化学习等方法，对传染病的传播机制和防控策略进行建模和优化。
总结：传染病的数学模型有多种类型，包括SIR模型、SEIR模型、基于网络的模型、多主体模型和结合机器学习的模型。
传染病的数学模型有哪些(二)2024
传染病的数学模型有哪些（二）引言概述：传染病是人类面临的重大公共卫生问题之一，而数学模型在传染病研究和预测中扮演着重要的角色。
本文旨在探讨传染病的数学模型，并介绍其中几种常见的模型类型和应用。
正文内容：I. 动态传染病模型1. SIR模型：介绍该模型的基本思想和假设a. 对潜伏期和感染期的描述b. 基本再生数的计算和其与传播速度的关系c. 模型的适用性和局限性2. SEIR模型：介绍该模型相较于SIR模型的改进之处a. 引入潜伏期状态的意义和影响b. 疫苗和隔离措施对模型的作用分析c. 实际应用案例分析II. 网络传播模型1. 小世界网络模型：介绍该模型的基本原理和构建方法a. 节点和边的定义和关系b. 六度分离理论及其在传染病传播中的应用c. 对抗措施的模拟实验和效果评估2. 随机网络模型：介绍该模型的基本假设和应用场景a. 随机群体中个体之间传播的特点b. 模型的构建方法和参数设定c. 模型预测在不同干预策略下的传播效果III. 空间传播模型1. 栅格模型：介绍以空间栅格为基础的传染病模型a. 栅格定义和相邻栅格之间的传播关系b. 人类活动和移动在模型中的考虑c. 模拟实验和预测效果的验证2. 代理人模型：介绍该模型的思想和应用范围a. 基于个体行为和移动规律的建模方式b. 分析社会网络对传染病传播的影响c. 模型的局限性和改进方向IV. 非线性传播模型1. SIS模型：介绍该模型相较于SIR模型的特点a. 健康和感染状态之间的转化b. 等式模型和微分方程模型的比较c. 改进和扩展的SIS模型及其应用案例2. SI模型：介绍该模型在简化传染病研究中的应用a. 仅考虑感染者和易感者的状态转化b. 模型的应用场景和方法c. 参数估计和模型优化策略V. 综合传染病模型1. 基于机器学习的传染病预测模型：介绍基于机器学习算法的预测模型a. 数据采集和特征工程的步骤b. 建模和训练的方法c. 实际应用案例和性能评估2. 基于混合模型的传染病控制策略：介绍综合多种模型的策略a. 结合动态传染病模型和空间传播模型b. 参数估计和优化方法c. 实例分析和效果评估总结：传染病的数学模型能够帮助我们理解疾病传播的规律和趋势，为公共卫生决策提供重要的依据。
数学建模——传染病模型
传染病模型摘要当今社会，人们开始意识到通过定量地研究传染病的传播规律，建立传染病的传播模型，可以为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。
本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述，且针对甲流，SARS等新生传染病模型进行建模和分析。
不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。
本文中，我们应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，运用联立微分方程组体现疫情发展过程中各类人的内在因果联系，并在此基础上建立方程求解算法。
然后，通过借助Matlab程序拟合出与实际较为符合的曲线并进行了疫情预测，评估各种控制措施的效果，从而不断完善文中的模型。
本文由简到难、全面地评价了该模型的合理性与实用性，而后对模型和数据也做了较为扼要的分析，进一步改进了模型的不妥之处。
同时，在对问题进行较为全面评价的基础上又引入更为全面合理的假设，运用双线性函数模型对卫生部的措施进行了评价并给出建议，做好模型的完善与优化工作。
关键词：传染病模型,简单模型，SI，SIS,SIR，微分方程，Matlab。
一、问题重述有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行，现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。
考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。
1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t 时刻的感染人数。
2、假设单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。
建立模型求t时刻的感染人数。
3、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t 时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。
数学建模——传染病模型_2022年学习资料
数学模型-模型2-di-dt-=2i1-iLogistic模型-i0=。-it=-1/2-io-tm-t= ,m,dildt最大-人n--tm~传染病高潮到来时刻-t>00→i>1?-2日接触率↓→tm↑-病人可以 愈！-0①
数学模型-模型3-传染病无免疫性一病人治愈成-为健康人，健康人可再次被感染-SIS模型-增加假设-3病人每 治愈的比例为4-4~日治愈率-建模W[it+△t-it]=Wstit△t-uWit△t-di-=2i1-i-入~日接触率-dt-i0=i。-1/μ ~感染期-6-、一个感染期内每个病人的-有效接触人数，称为接触数
数学模型-模型4-传染病有免疫性—病人治愈-SIR模型-后即移出感染系统，称移出者-假设-1总人数N不变， 人、健康人和移-出者的比例分别为it,t,rt-2病人的日接触率2，日治愈率山-接触数σ =入/4-建模-s +it+rt=1-需建立it,St,rt的两个方程-00①
数学模型-模型4-SIR模型-W[it+△t-it]=2Wstit△t-uWit△t-W[st+△t-st =-2Nstit△t-di-E见si-i-=-si-dr-人Z-i0=io,s0=So,i0=0-00①
数学模型-传染病模型-问题-·描述传染病的传播过程-·分析受感染人数的变化规律-·预报传染病高潮到来的时刻 ·预防传染病蔓延的手段-·按照传播过程的一般规律，-用机理分析方法建立模型-00①
数学模型-模型1-已感染人数（病人）t-假设-每个病人每天有效接触-足以使人致病人数为入-建模-it+△t it=入it△t-di-:i-dt-it=ie"-i0-io-0t→00→i→00？-若有效接触的是病人， 必须区分已感染者（病-则不能使病人数增加-人和未感染者（健康人）
传染病的数学模型
传染病模型详解2.2.2 SI/SIS,SIR 经典模型经典的传播模型大致将人群分为传播态S,易感染态/和免疫态R 。
S 态表示该个体 带有病毒或谣言的传播能力，一戸•接触到易感染个体就会以一泄概率导致对方成为传播态。
/表示该个体没有接触过病毒或谣言，容易被传播态个体感染。
R 表示当经过一个或多个 感染周期后，该个体永远不再被感染。
S/模型考虑了最简单的情况，即一个个体被感染，就永远成为感染态，向周用邻居不断传 播病毒或谣言等。
假设个体接触感染的概率为0,总人数为N.在各状态均匀混合网络中 建立传播模型如下:从而得到1-屮严_可见，起初绝大部分的个体为/态，任何一个S 态个体都会遇到/态个体并且传染给对 方，网络中的S 态个数随时间成指数增长。
与此同时，随着/态个体的减少，网络中S 态个 数达到饱和，逐渐网络中个体全部成为S 态。
然而在现实世界中，个体不可能一直都处于传播态。
有些节点会因为传播的能力和意愿 的下降，从而自动转变为永不传播的R 态。
而有些节点可能会从S 态转变/态，因此简单 的S/模型就不能满足节点具有自愈能力的现实需求，因而岀现S/S 模型和S7R 模型。
S/R 是研究复杂网络谣言传播的经典的模型。
采用与病毒传播相似的过程中的S, I , R 态 代表传播过程中的三种状态。
Zanetee, Moreno 先后研究了小世界传播过程中的谣言传播。
Moreno 等人将人群分为S （传播谣言）、I （没有听到谣言），R （对谣言不再相信也不传 播）。
假设没有听到谣言/个体与s 个体接触，以概率久伙）变为s 个体，s 个体遇到s 个体 或/?个体以概率a 伙）变为如图2.9所示。
建立的平均场方程:- = ^■（1-0 dt・仇谊）=M 皿=罠0）对此方程进行求解可得: IS 2.9 SIR 模型的状态转移圏di(t) ・~;-= 一九(k)i ⑴ s(t)dt< = A(k一a伙)s(f)[s(/) + r(t)] dt= a(k)s(/)[$(f) + r(t)]dt与之前人得到的均匀网络的病毒传播的结论相反，谣言在均匀网络中传播没有阈值。
传染公式数学
传染公式数学
传染公式是描述传染病传播动态的数学模型，通常使用微分方程
或差分方程的形式表示。
下面是一个常见的传染公式，称为SIR模型：dS/dt = -β * S * I
dI/dt = β * S * I - γ * I
dR/dt = γ * I
其中，S，I和R分别代表易感人群、感染人群和康复/移除人群的数量，t代表时间。
β是感染率，γ是康复率或移除率。
该模型假设人群总数固定，不考虑人口的出生和死亡，并且假设
所有人都有相同的感染和康复速率。
模型的基本思想是，感染人群的
数量受到易感人群和感染人群之间的相互作用的影响，康复/移除人群
的数量受到感染人群的影响。
拓展：
除了SIR模型，还有其他一些常见的传染病传播模型，如SEIR模型、SI模型、SIS模型等。
这些模型会更加复杂，考虑到更多的因素，例如潜伏期、免疫力衰减等。
传染公式还可以用于预测传染病的传播趋势和控制策略。
通过调
整模型中的参数，比如感染率和康复率，可以研究不同的控制措施对
传染病传播的影响，从而辅助制定科学的防控策略。
传染公式是数学模型在传染病研究中的应用之一，它能够提供对
传染病传播的定量描述和预测，为公众健康政策制定和流行病控制提
供科学依据。
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222 SI/SIS,SIR 经典模型经典的传播模型大致将人群分为传播态S ,易感染态I 和免疫态R 。
S 态表示该个体带有病毒或谣言的传播能力，一旦接触到易感染个体就会以一定概率导致对方成为传播态。
I 表示该个体没有接触过病毒或谣言，容易被传播态个体感染。
R 表示当经过一个或多个感染周期后，该个体永远不再被感染。
SI 模型考虑了最简单的情况，即一个个体被感染， 就永远成为感染态， 向周围邻居不断传播病毒或谣言等。
假设个体接触感染的概率为Γι ,总人数为 N ,在各状态均匀混合网络中建立传播模型如下:dS - SI dU ：SI.t N从而得到对此方程进行求解可得:∣o e∣(t)-------—∣o +i °e可见，起初绝大部分的个体为I 态，任何一个S 态个体都会遇到I 态个体并且传染给对方，网络中的S 态个数随时间成指数增长。
与此同时，随着I 态个体的减少，网络中S 态个 数达到饱和，逐渐网络中个体全部成为 S 态。
然而在现实世界中，个体不可能一直都处于传播态。
有些节点会因为传播的能力和意愿 的下降，从而自动转变为永不传播的R 态。
而有些节点可能会从S 态转变I 态，因此简单的SI 模型就不能满足节点具有自愈能力的现实需求，因而出现SIS 模型和SIR 模型。
SIR 是研究复杂网络谣言传播的经典的模型。
采用与病毒传播相似的过程中的S , I , R 态代表传播过程中的三种状态。
Zanetee, Moreno 先后研究了小世界传播过程中的谣言传播。
Moreno 等人将人群分为 S （传播谣言）、I （没有听到谣言），R （对谣言不再相信也不传 播）。
假设没有听到谣言I 个体与S 个体接触，以概率,（k ）变为S 个体，S 个体遇到S 个体 或R 个体以概率:（k ）变为R ,如图2.9所示。
建立的平均场方程:传染病模型详解[,i ° =K O ) BI 1 9 SlR 權峑眄优■业趨图古=-Uk)i(t)s(t)dtds(t) r(k)i(t)s(t)-: (k)s(t)[s(t) r(t)]dt響=α(k)s(t)[s(t)+r(t)]dt与之前人得到的均匀网络的病毒传播的结论相反，谣言在均匀网络中传播没有阈值。
Moreno等人将此模型推广到幕率分布的网络，考察了R态的稳定值和耗散时间，得出R态稳定值与感染概率:(k)有着紧密联系，而与传播源的度k i无关。
这与一般意义下的病毒传播的结论“传播各状态的密度与传染源节点的度紧密相连”有很大不同。
SIS模型与SIS模型的区别就在于节点成为传播态之后的恢复的状态不同。
在SIR 模型中，传播态节点在传播过程中会根据概率成为免疫状态，而在SIS模型中每一个传播节点会以恒值成为I态，如图2.10o图2√IO Sl模型的状态转移图从而得到SIS模型的微分方程：兰二i JsidtG — Si - idt化简得到：i(t)i°( - )e亠”i(t) θ JP -Y 1从而得到其稳态值为i二^—=1 。
若■ <1 ,那么i(t)指数下降区域零，意味着谣言P λ不再扩散。
在这之后，许多学者在这些经典模型的基础上提出了改进的模型。
如周苗苗等人在经SIR谣模型的基础上研究了社会网络上的谣言传播并构建了数学模型，得出了最终集合AS 的期望值的相关结论。
孙庆山等人在经典SIS和SI模型的基础上，研究了社会网络的谣言传播，首次将信息的吸引力作为传播因素引入传播模型中。
VeSPignani提出了网络动力学传播模型，详尽分析了单种群中的动力学过程[31]。
这些模型有的已经摆脱了平均场方程的表达传播过程方法，采用元胞自动机以及随机过程的方法表达，但是思想仍是采用SIR这样的传播状态和规则。
国内外关于建立网络谣言传播模型方面和网络免疫策略方面的研究已取得了一些有益进展。
Zanette D H率先在小世界网络上建立谣言传播模型。
Moreno Y等人在无标度网络上建立了谣言传播模型，通过随机分析方法以及计算机仿真得出结论。
文献利用构建改进的Potts自旋系统来量化谣言传播因素并建立起基于Potts谣言传播模型。
元胞自动机作为研究传播的方法之一也取得了较多成果。
宣慧玉和张发利用元胞自动机研究了谣言在个体之间流传的的局部交互的过程。
刘常昱等人利用元胞自动机和Agent设计个体的局部相互作用规则来研究了基于小世界模型构建的人际关系网络中的舆论传播。
除此以外，人们发现谣言传播与网络的拓扑性质也有着密切的联系，汪小帆团队发现网络的聚类系数对传播的影响并给出了相应抑制谣言的策略。
针对各种谣言传播模型的免疫干扰研究也是相对比较成熟。
免疫策略可分为随机免疫，熟人免疫和目标免疫。
随机免疫方法就是完全随机的选取网络中的节点进行免疫。
但在无标度网络中使用随机免疫策略的话，几乎要对网络中所有的节点进行免疫才可能使谣言不得扩散出去。
相对随机免疫的缺陷，目标免疫通过去除网络中少量度大的节点的连边，切断传播的途径来降低谣言的散步范围就更有实际意义，。
虽然目标免疫的效果比较明显，但是要是想目标免疫能够发挥威力就必须知道网络的全局信息从而选择目标节点，而在庞大且复杂的社会网络中获取全局信息是难以做到的。
熟人免疫策略巧妙的回避了这一点，它从N 个节点中随机选取一部分节点，在从每个一个被选出来的节点中随机选取一个邻居节点进行免疫。
但是熟人免疫也存在着局限性，比如随机选取的节点可能会拥有部分共同好友，就会导致免疫的重复和浪费，因此，免疫策略的进一步研究离不开对网络深层次拓扑特征的探索。
近年来网络中重要节点排序和衡量取得很大的突破，如基于Pagera nk的重要节点算法以及K-核算法的提出为网络拓扑结构的进一步研究打下了坚实的基础。
虽然SIR传播模型在许多网络中得到了扩展和研究，也是当前研究的热点，然而却不能准确的表达当前在线社交网络的传播现实，如谣言传播过程中的从众性、传播意愿的累积性等，因此根据传播关键因素建立合理的传播模型是当前研究的重点。
第四章基于SIR改进的SHKR谣言传播模型4.1问题描述与建模4.1.1问题描述在SNS中，当一个好友发布了某消息，好友往往就会以一定的概率将此消息传播出去。
若该好友对其内容不具有传播意愿则成为知道谣言但不会传播的人；若该好友对这则内容相信或感兴趣则会分享，那么此好友就成为传播者；有部分好友，一开始不相信，后来在周围好友多次的传播分享下，意愿受到强化而成为传播者也是很常见的。
考虑到以上的传播规则，本文对传统的谣言传播模型将人群分为传播，免疫和未感染三类进行了改进。
我们把网络中的节点分为传播节点S,健康节点H，知道谣言但不传播的节点K ,免疫节点R四种状态。
传播节点表示该节点接受信息并具有传播能力的节点。
健康节点表示没有接触到谣言的节点，对谣言处于未知状态。
知道信息但不传播的节点表示知道了谣言但对谣言没有传播的人。
免疫节点表示永远不会传播谣言的人。
可见，谣言在传播过程中，不仅与节点自身的状态有关，也与节点的邻居节点的状态相关。
传播的规则如下，如图 4.1所示：(1)当谣言传播节点与健康节点接触时，健康节点以概率R变为传播节点S,以概率F2变为接受谣言但不传播的节点K,以概率F3成为免疫者R；(2)当谣言传播节点与知道谣言但不传播的节点接触，作传播节点则以概率R4变为传播节点。
3)传播节点不会一直传播谣言，会以速度V转化为免疫者，V就为遗忘率。
在第二章提到，SIR传播模型虽然应用的比较广研究也较多但是对于当前在线社交网络的中的传播现实却不能准确的表达，如谣言传播过程中的从众性、传播意愿的累积性等。
此外，谣言传播与病毒传播明显的区别就在于其多次传播对节点的影响，这点在MlT斯隆管理学院的博士的实验结果也得到了体现。
斯隆管理学院的博士等在两个不同网络中，每个志愿者分别以邮件的方式邀请好友注册论坛，如果好友完成了注册即会以邮件的方式向他(她)的好友继续发邮件邀请他们注册论坛。
在这次实验中，网络中的一个用户往往会被其周围的好友多次邀请而强化了其注册的意愿。
可见在谣言传播过程中，本来不传播的节点受到社会强化作用变为传播者，所以本文提出了一个新的状态，即知道谣言不传播的状态且在一定的概率作用下会改变为传播节点。
那么在这样的传播机制下，每个节点都会对谣言的传播及相信与否做出自己的选择，这更贴近现实的真实情况，因为并不是每个人听到谣言都会传播。
则基于以上定义：(1)分别定义H(t)，S(t)，K(t)，R(t)为健康者，传播者，知道谣言但不传播者和免疫者的比重。
显然H(t)+ S(t)+K(t)+ R(t)=1 。
(2)在消息传播过程中，不考虑人数的迁入迁出及出生和死亡，即总人数不随时间的改变而改变。
(3)假设总人数为N。
4.1.2数学建模(1)健康者H考察t到r '4时间按内各人数的变化情况:这段时间内，健康者的人数增加了N *[ H (t •厶t - H (t)],而每个传播者可以让N * S(t)*( R P2 P5)* H (t)* .■:t由健康者变为其他状态的节点，则可列出满足条件的方程：N*[ H(t ：t)—H(t)] =「N*S(t)*( p1p2p3)* H(t)* . ：t两边同除Ut ,则得到微分方程：(Pl p2 p3)H(t)S(t)dt(2)免疫者R这段时间内，免疫者增加的人数N *[ R(t ∙ .It) - R(t)],每个传播者可以让N * v* S(t) 成为免疫者，则可得到微分方程：dR(t) EvS(t) P4S k(t)H k(t) (H k(t))dt(3)传播者S这段时间内，传播者增加的人数为N *[ S(t) -S(t •氏)],健康者变为传播者的人数为N*S(t)* P i * H (t)，传播者变为免疫者的人数为N * V* S(t)，知道谣言并不传播者变为传播者的人数为N * S(t)*p4 * K(t),则可得到微分方程为：竽=p i S(t)H(t) p4S(t)K(t) - vS(t)4)知道但不传播谣言者K这段时间内，增加的人数为N *[ K(t * At) - K(t)],而健康者变为知道但不传播者的人数为N* S(t)* p2* H (t)，而知道谣言但不传播者在这段时间内变为传播者的人数是N* S(t)* P4* K(t),则得到微分方程为:dK(t)= P2S(t)H(t) - P4S(t)K(t)dt-])—-(P 1+P 2 + P 3)S(t) H (t) dt dR(t )——=vS(t) + p 4S(t)H (t)’ dt響=P ιS(t)H(t) + p 4S(t)K(t) -vS(t) dtdκ^=P 2S(t)H(t)-p 4S(t)K(t) J dt考虑到传播节点和未感染节点之间不可能始终是均匀分布。