立体几何基础题题库二

立体几何基础题题库二（有详细答案）101. C B A '''∆是△ABC 在平面α上的射影，那么C B A '''∠和∠ABC 的大小关系是 ( ) (A) C B A '''∠<∠ABC (B) C B A '''∠>∠ABC(C) C B A '''∠≥∠ABC(D) 不能确定解析：D一个直角，当有一条直角边平行于平面时，则射影角可以等于原角大小，但一般情况不等．102. 已知: 如图, △ABC 中, ∠ACB = 90︒, CD ⊥平面α, AD , BD 和平面α所成的角分别为30︒和45︒, CD = h , 求: D 点到直线AB 的距离。

解析：1、先找出点D 到直线AB 的距离, 即过D 点作 DE ⊥AB , 从图形以及条件可知, 若把DE 放在△ABD 中不易求解。

2、由于CD ⊥平面α, 把DE 转化到直角三角形中求解, 从而转化为先求DE 在平面α内的射影长。

解: 连AC , BC , 过D 作DE ⊥AB , 连CE , 则DE 为D 到直线AB 的距离。

∵CD ⊥α∴AC , BC 分别是AD , BD 在α内的射影。

∴∠DAC , ∠DBC 分别是AD 和BD 与平面α所成的角 ∴∠DAC = 30︒, ∠DBC = 45︒ 在Rt △ACD 中, ∵CD = h , ∠DAC = 30︒ ∴AC =3h在Rt △BCD 中∵CD = h , ∠DBC = 45︒∴BC = h ∵CD ⊥α, DE ⊥AB ∴CE ⊥AB 在Rt △ACB 中 AB AC BC h =+=222S AC BC AB CE =⨯=1212· ∴CE AC BCABh h h h =⨯==3232·∴在Rt △DCE 中,DE DC CE h h h =+=+=22223272() ∴点D 到直线AB 的距离为72h 。

103. 已知a 、b 、c 是平面α内相交于一点O 的三条直线，而直线l 和α相交，并且和a 、b 、c 三条直线成等角． 求证：l ⊥α证法一：分别在a 、b 、c 上取点A 、B 、C 并使AO = BO = CO ．设l 经过O ，在l 上取一点P ，在△POA 、△POB 、△POC 中，∵ PO 公用，AO = BO = CO ，∠POA =∠POB =∠POC ， ∴ △POA ≌△POB ≌△POC∴ P A = PB = PC ．取AB 中点D ．连结OD 、PD ，则OD ⊥AB ，PD ⊥AB ， ∵ D OD PD = ∴ AB ⊥平面POD ∵ PO ⊂平面POD ． ∴ PO ⊥AB ． 同理可证 PO ⊥BC∵ α⊂AB ，α⊂BC ，B BC AB = ∴ PO ⊥α，即l ⊥α若l 不经过O 时，可经过O 作l '∥l ．用上述方法证明l '⊥α， ∴ l ⊥α．证法二：采用反证法假设l 不和α垂直，则l 和α斜交于O ． 同证法一，得到P A = PB = PC ．过P 作α⊥'O P 于O '，则O C O B O A '='='，O 是△ABC 的外心．因为O 也是△ABC 的外心，这样，△ABC 有两个外心，这是不可能的． ∴ 假设l 不和α垂直是不成立的． ∴ l ⊥α若l 不经过O 点时，过O 作l '∥l ，用上述同样的方法可证l '⊥α， ∴ l ⊥α评述：（1）证明线面垂直时，一般都采用直接证法（如证法一），有时也采用反证法（如证法二）或同一法．104. P 是△ABC 所在平面外一点，O 是点P 在平面α上的射影． （1）若P A = PB = PC ，则O 是△ABC 的____________心．（2）若点P 到△ABC 的三边的距离相等，则O 是△ABC _________心． （3）若P A 、PB 、PC 两两垂直，则O 是△ABC _________心．（4）若△ABC 是直角三角形，且P A = PB = PC 则O 是△ABC 的____________心． （5）若△ABC 是等腰三角形，且P A = PB = PC ，则O 是△ABC 的____________心． （6）若P A 、PB 、PC 与平面ABC 所成的角相等，则O 是△ABC 的________心； 解析：（1）外心．∵ P A =PB =PC ，∴ OA =OB =OC ，∴ O 是△ABC 的外心．（2）内心（或旁心）．作OD ⊥AB 于D ，OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AC 于F ，连结PD 、PE 、PF ．∵ PO ⊥平面ABC ，∴ OD 、OE 、OF 分别为PD 、PE 、PF 在平面ABC 内的射影，由三垂线定理可知，PD ⊥AB ，PE ⊥BC ，PF ⊥AC ．由已知PD =PE =PF ，得OD =OE =OF ，∴ O 是△ABC 的内心．（如图答9-23） （3）垂心．（4）外心．（5）外心（6）外心．P A 与平面ABC 所成的角为∠P AO ，在△P AO 、△PBO 、△PCO 中，PO 是公共边，∠POA =∠POB =∠POC =90°，∠P AO =∠PBO =∠PCO ，∴ △P AO ≌△PBO ≌△PCO ，∴ OA =OB =OC ，∴ O 为△ABC 的外心．（此外心又在等腰三角形的底边高线上）．105. 将矩形ABCD 沿对角线BD 折起来，使点C 的新位置C '在面ABC 上的射影E 恰在AB 上． 求证：C B C A '⊥'分析：欲证C B C A '⊥'，只须证C B '与C A '所在平面D C A '垂直；而要证C B '⊥平面D C A '，只须证C B '⊥D C '且C B '⊥AD ．因此，如何利用三垂线定理证明线线垂直就成为关键步骤了． 证明：由题意，C B '⊥D C '，又斜线C B '在平面ABCD 上的射影是BA ， ∵ BA ⊥AD ，由三垂线定理，得AD B C ⊥'，D DA D C =' ． ∴ C B '⊥平面AD C '，而A C '⊂平面AD C ' ∴ C B '⊥C A '106. 已知异面直线l 1和l 2，l 1⊥l 2，MN 是l 1和l 2的公垂线，MN = 4，A ∈l 1，B ∈l 2，AM = BN = 2，O 是MN 中点．① 求l 1与OB 的成角．②求A 点到OB 距离． 分析：本题若将条件放入立方体的“原型”中，抓住“一个平面四条线”的图形特征及“直线平面垂直”的关键性条件，问题就显得简单明了．解析：（1）如图，画两个相连的正方体，将题目条件一一标在图中． OB 在底面上射影NB ⊥CD ，由三垂线定理，OB ⊥CD ，又CD ∥MA ，∴ OB ⊥MA 即OB 与l 1成90° （2）连结BO 并延长交上底面于E 点． ME = BN ，∴ ME = 2，又 ON = 2 ∴ 22==OE OB ． 作AQ ⊥BE ，连结MQ ．对于平面EMO 而言，AM 、AQ 、MQ 分别为垂线、斜线、斜线在平面内的射影，由三垂线逆定理得MQ ⊥EO ．在Rt △MEO 中，22222=⨯=⋅=EO MO ME MQ ． 评述：又在Rt △AMQ 中，62422=+=+=MQ AM AQ ，本题通过补形法使较困难的问题变得明显易解；求点到直线的距离，仍然是利用直线与平面垂直的关键条件，抓住“一个面四条线”的图形特征来解决的． 107. 已知各棱长均为a 的正四面体ABCD ，E 是AD 边的中点，连结CE ．求CE 与底面BCD 所成角的正弦值． 解析：作AH ⊥底面BCD ，垂足H 是正△BCD 中心， 连DH 延长交BC 于F ，则平面AHD ⊥平面BCD ， 作EO ⊥HD 于O ，连结EC ， 则∠ECO 是EC 与底面BCD 所成的角 则EO ⊥底面BCD ．a a DF HD 33233232=⨯==a a a HD AD AH 3632222=-=-=a a AH EO 66362121=⨯==，a CE 23= ∥∴ 322366sin ===∠a a EC EO ECO 108. 已知四面体S －ABC 中，SA ⊥底面ABC ，△ABC 是锐角三角形，H 是点A 在面SBC 上的射影．求证：H 不可能是△SBC 的垂心．分析：本题因不易直接证明，故采用反证法．证明：假设H 是△SBC 的垂心，连结BH ，并延长交SC 于D 点，则BH ⊥SC ∵ AH ⊥平面SBC ，∴ BH 是AB 在平面SBC 内的射影 ∴ SC ⊥AB （三垂线定理）又∵ SA ⊥底面ABC ，AC 是SC 在面内的射影 ∴ AB ⊥AC （三垂线定理的逆定理）∴ △ABC 是Rt △与已知△ABC 是锐角三角形相矛盾，于是假设不成立． 故H 不可能是△SBC 的垂心．109. 已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC ＝2．求点B 到平面EFG 的距离．解析：如图，连结EG 、FG 、EF 、BD 、AC 、EF 、BD 分别交AC 于H 、O ． 因为ABCD 是正方形，E 、F 分别为AB 和AD 的中点，故EF ∥BD ，H 为AO 的中点．BD 不在平面EFG 上．否则，平面EFG 和平面ABCD 重合，从而点G 在平面的ABCD 上，与题设矛盾． 由直线和平面平行的判定定理知BD ∥平面EFG ，所以BD 和平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离． ——4分 ∵ BD ⊥AC ， ∴ EF ⊥HC ． ∵ GC ⊥平面ABCD ， ∴ EF ⊥GC ， ∴ EF ⊥平面HCG ．ABCHDS∴ 平面EFG ⊥平面HCG ，HG 是这两个垂直平面的交线． ——6分作OK ⊥HG 交HG 于点K ，由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ，所以线段OK 的长就是点B 到平面EFG 的距离． ——8分 ∵ 正方形ABCD 的边长为4，GC =2， ∴ AC=42，HO =2，HC =32． ∴ 在Rt △HCG 中，HG =()2222322=+．由于Rt △HKO 和Rt △HCG 有一个锐角是公共的，故Rt △HKO ∽△HCG ．∴ OK =111122222=⨯=⋅HG GC HO ． 即点B 到平面EFG 的距离为11112． ——10分 注：未证明“BD 不在平面EFG 上”不扣分．110. 已知：AB 与CD 为异面直线，AC ＝BC ，AD ＝BD ． 求证：AB ⊥CD ．说明：（1）应用判定定理，掌握线线垂直的一般思路．（2）思路：欲证线线垂直，只需证线面垂直，再证线线垂直，而由已知构造线线垂直是关键． （3）教学方法，引导学生分析等腰三角形三线合一的性质构造图形，找到证明方法． 证明：如图，取AB 中点E ，连结CE 、DE ∵AC ＝BC ，E 为AB 中点． ∴CE ⊥AB同理DE ⊥AB ，又CE ∩DE ＝E ，且CE ⊂平面CDE ，DE ⊂平面CDE ． ∴AB ⊥平面CDE 又CD ⊂平面CDE ∴AB ⊥CD ．111. 两个相交平面α、β 都垂直于第三个平面γ ，那么它们的交线a 一定和第三个平面垂直． 证明：在γ 内取一点P ，过P 作P A 垂直α 与γ 的交线；过P 作PB 垂直β 与γ 的交线． ∵ α⊥γ 且β⊥γ ∴ P A ⊥α且PB ⊥β ∴ P A ⊥a 且PB ⊥a ∴ a ⊥γ112. 在立体图形P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ，Q 是PC 中点． AC ，BD 交于O 点．（Ⅰ）求二面角Q －BD －C 的大小： （Ⅱ）求二面角B －QD －C 的大小． 解析：（Ⅰ）解：连QO ，则QO ∥P A 且QO ＝21P A ＝21AB ∵ P A ⊥面ABCD ∴ QO ⊥面ABCD 面QBD 过QO ， ∴ 面QBD ⊥面ABCD故二面角Q －BD －C 等于90°．（Ⅱ）解：过O 作OH ⊥QD ，垂足为H ，连CH ．∵ 面QBD ⊥面BCD ，又∵ CO ⊥BD CO ⊥面QBDCH 在面QBD 内的射影是OH ∵ OH ⊥QD ∴ CH ⊥QDDCBHQO于是∠OHC 是二面角的平面角． 设正方形ABCD 边长2，则OQ ＝1，OD ＝2，QD ＝3． ∵ OH ·QD ＝OQ ·OD∴ OH ＝32．又OC ＝2在Rt △COH 中：tan ∠OHC ＝OH OC ＝2·32＝3 ∴ ∠OHC ＝60°故二面角B －QD －C 等于60°．113. 如图在ΔABC 中， AD ⊥BC ， ED=2AE ， 过E 作FG ∥BC ， 且将ΔAFG 沿FG 折起，使∠A 'ED=60°，求证:A 'E ⊥平面A 'BC解析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。