立体几何2
(高中段)大题考法立体几何第二课时空间向量与空间角3
[解] (1)证明：在△ABC 中，BC＝2，AB＝4，∠ABC＝60°，所以 AC2＝ BC2＋AB2－2BC·AB·cos B＝12，
则有 AC2＋BC2＝AB2，即 AC⊥BC. 又因为 PA⊥BC，PA∩AC＝A，PA⊂平面 PAC，AC⊂平面 PAC，所以 BC ⊥平面 PAC. (2)由(1)知 AC⊥BC，以点 C 为坐标原点，CA，CB 所在 直线分别为 x，y 轴建立如图所示的坐标系 C-xyz. 则 C(0,0,0)，A(2 3，0,0)，B(0,2,0)，D( 3，－1,0)， 易知 P 在底面的射影为 AC 与 BD 的交点， 所以 P233，0，236，―PD→＝ 33，－1，－2 36，
由(1)知―A→P ＝0，1， 22是平面 PCB 的一个法向量，
记 n ＝―A→P ，则
n ，m
n ·m ＝
|n |·|m
|＝2 5
5 .
所以二面角
B-PC-E
的余弦值为2 5
5 .
融通方法 利用空间向量求二面角的解题模型
应用体验 (2020·河北“五个一”名校联考)在四棱锥 P-ABCD 中，AD ∥BC，AB＝BC＝CD＝12AD，G 是 PB 的中点，△PAD 是 等边三角形，平面 PAD⊥平面 ABCD. (1)求证：CD⊥平面 GAC； (2)求二面角 P-AG-C 大小的正弦值．
设平面 AEF 的一个法向量为 n ＝(x1，y1，z1)，
n ·―AE→＝0，
则 n
·―AF→＝0，
即x21x＋1＋z1λ＝y1＝0，0.
令 y1＝2，则zx11＝＝λ－. λ， ∴n ＝(－λ，2，λ)．
设平面 PCD 的一个法向量为 m ＝(x2，y2，z2)，
2021版理科数学全国通用版备战一轮复习(课件 课时跟踪检测)：第八章 立体几何 (2)
第八章立体几何第二节空间几何体的表面积与体积A级·基础过关|固根基|1.如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为()A．312B．34C．612D．64解析：选A易知三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，又三棱锥A－B1BC1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.2．(2020届大同调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为()A．11πB．14π3C．28π3D．16π解析：选C由三视图可知，该几何体的直观图为三棱锥，记为三棱锥A－BCD，将该三棱锥放在长方体中，如图所示，其中AB⊥平面BCD，AB＝2，△BCD为边长为2的正三角形．设O 1为正△BCD 的中心，O 为三棱锥A －BCD 外接球的球心，R 为外接球的半径．连接OO 1，OB ，O 1B ，则OO 1⊥平面BCD ，OO 1＝1，BO 1＝23×2×32＝233，则OB 2＝R 2＝12＋2332＝73，所以该几何体外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×73＝28π3，故选C ．3.如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间是高l 为6124的圆柱，上、下两端均是半径r 为2的半球，若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔化(不考虑过程中的原料损失)，熔成一个实心球，该球的直径为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 实心金属几何体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×8＋π×4×6124＝1256π.设实心球的半径为R ，由体积相等得43πR 3＝1256π，所以R ＝52，所以该球的直径为2R ＝5.4.如图，圆柱的底面半径为1，平面ABCD 为圆柱的轴截面，从A 点开始，沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C 点，若绳子的最短长度为3π，则该圆柱的侧面积为( )A ．42π2B ．22π2C ．52π2D ．4π2解析：选A 沿AD 将圆柱的侧面展开，绳子的最短长度即侧面展开图中A ，C 两点间的距离，连接AC ，所以AC ＝3π，展开后AB 的长度为π.设圆柱的高为h ，则AC 2＝AB 2＋h 2，即9π2＝π2＋h 2，解得h ＝22π，所以圆柱的侧面积为2×π×1×22π＝42π2.5．(2020届贵阳摸底)某几何体的三视图如图所示，则它的体积为()A．23B．43C．13D．16解析：选A根据三视图可知，该几何体为三棱锥，记为A－BCD，放在正方体中如图所示，则该几何体的体积V＝13·S△BCD×2＝13×12×2×1×2＝23.故选A．6．(2019届合肥市二检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为()A．17π＋12 B．12π＋12C．20π＋12 D．16π＋12解析：选C由三视图知，该几何体是一个由大半圆柱挖去一个小半圆柱得到的，两个半圆柱的底面半径分别为1和3，高均为3，所以该几何体的表面积为12×2π×3×3＋12×2π×1×3＋2×⎝⎛⎭⎪⎫12π×32－12π×12＋2×2×3＝20π＋12，故选C．7．(2019届福州市质检)如图，以棱长为1的正方体的顶点A为球心，以2为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为()A．3π4B．2πC．3π2D．9π4解析：选C正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以A1为圆心，1为半径的圆周长的14，所以所有弧长之和为3×2π4＝3π2.故选C．8．(2019届洛阳市第二次联考)已知正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面圆面积的最小值是()A．7π4B．2πC．9π4D．3π解析：选C设正三角形ABC的中心为O1，连接OO1，OA，O1A，由题意得O1O⊥平面ABC，O1O＝1，OA＝2，∴在Rt△O1OA中，O1A＝OA2－O1O2＝3，∴AB＝3.∵E为AB的中点，∴AE＝3 2.连接OE，则OE⊥AB．过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径r ＝32，可得截面圆面积的最小值为πr 2＝9π4，故选C ．9．(2019届南昌市二模)已知圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面，设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，有以下结论：①l ∶r ＝4∶3；②圆锥的侧面积与底面面积之比为4∶3；③圆锥的轴截面是锐角三角形．其中所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③解析：选A 设圆锥的母线长l ＝1.因为圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面，所以圆锥的侧面积为34π.又圆锥的底面半径为r ，所以由2πr ＝34×2π，得r ＝34，所以l r ＝43，故①正确；圆锥的侧面积与底面积之比为34ππ·⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝43，故②正确；设圆锥的轴截面三角形的顶角为θ，因为圆锥的底面直径为2×34＝32，所以cos θ＝12＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫3222×1×1＝－18，所以角θ为钝角，所以圆锥的轴截面是钝角三角形，故③错误．故选A ．10．(2019届惠州模拟)已知三棱锥S －ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，AB ＝2，SA ＝SB ＝SC ＝2，则三棱锥S －ABC 的外接球的球心到平面ABC 的距离是( )A ．33B ．1C ． 3D ．332解析：选A ∵三棱锥S －ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，SA ＝SB ＝SC ＝2，∴S 在底面ABC 内的射影为AB 的中点．设AB 的中点为H ，连接SH，CH，∴SH⊥平面ABC，∴SH上任意一点到A，B，C的距离相等，易知SH＝3，CH＝1，∴在Rt△SHC中，∠HSC＝30°.在面SHC内作SC的垂直平分线MO，交SH于点O，交SC于点M，则O为三棱锥S－ABC的外接球的球心．∵SC＝2，∴SM＝1.又∠OSM＝30°，∴SO＝233，OH＝33，∴球心O到平面ABC的距离为33，故选A．11．如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为________．解析：根据题意可知，所得几何体的上半部分为圆锥(底面半径为1，高为1)，下半部分为圆柱(底面半径为1，高为1)，如图所示，则所得几何体的表面积为圆锥侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面面积之和，即表面积为π×1×12＋12＋2π×1×1＋π×12＝(2＋3)π.答案：(2＋3)π12．(2020届贵阳摸底)在四面体ABCD中，若AB＝CD＝5，AC＝BD＝6，AD＝BC＝3，则四面体ABCD的外接球的表面积为________．解析：如图所示，将四面体补形为长方体，则四面体的四个顶点均为长方体的顶点，四面体的外接球即长方体的外接球．设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝9，a2＋c2＝6，b2＋c2＝5，三个等式相加得2(a2＋b2＋c2)＝20⇒a2＋b2＋c2＝10，设该四面体外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2＝10，即R＝102，所以该四面体外接球的表面积为4πR2＝4π×104＝10π.答案：10πB级·素养提升|练能力|13.(2019届合肥市二检)我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少．如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台的体积是(注：1丈＝10尺)()A．1 946立方尺B．3 892立方尺C．7 784立方尺D．11 676立方尺解析：选B解法一：如图，记正四棱台为A1B1C1D1－ABCD．该正四棱台由正四棱锥S－ABCD截得，O为正方形ABCD的中心，E为BC的中点，E1为B1C1的中点．设正四棱台的高为x，则由图中△SO1E1∽△SOE，得SO1SO＝O1E1OE，即30－x30＝310，解得x＝21，所以该正四棱台的体积V＝13×(62＋6×20＋202)×21＝3 892(立方尺)，故选B．解法二：如解法一中图，记正四棱台为A1B1C1D1－ABCD．该正四棱台由正四棱锥S－ABCD截得，O为正方形ABCD的中心，E为BC的中点，E1为B1C1的中点．设截去的正四棱锥的高为x，则由图中△SO1E1∽△SOE，得SO1SO ＝O1E1OE，即x 30＝310，解得x＝9，所以该正四棱台的体积V＝V正四棱锥S－ABCD－V正四棱锥S－A1B1C1D1＝13×202×30－13×62×9＝3 892(立方尺)，故选B．14．(2019届郑州市第二次质量预测)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝3，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD 内一动点，若直线D1P与平面EFG没有公共点，则△PBB1面积的最小值为()A．32B．1C．34D．12解析：选C记△PBB1的面积为S.因为P在底面ABCD上，所以PB⊥BB1，即△PBB1为直角三角形．又BB1＝DD1＝1，所以S＝12×BB1×PB＝12PB，所以当线段PB的长最小时，S取得最小值．因为D1P与平面EFG无公共点，所以D1P∥平面EFG.如图①，连接AD1，D1C，AC，易证GF∥AD1，EF∥AC，又GF∩EF ＝F，AD1∩AC＝A，所以平面AD1C∥平面EFG，所以D1P⊂平面AD1C，又点P 是底面ABCD内一动点，所以点P一定在线段AC上运动．如图②，当PB⊥AC时，线段PB的长最小，此时PB＝AB·BCAC＝32，故S min＝12×32＝34，故选C．15．在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A．4πB．9π2C．6πD．32π3解析：选B由题意可得，若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时半径R＝32，故该球的体积最大，V max＝43πR3＝4π3×278＝9π2.16．(2020届惠州调研)在三棱锥A－BCD中，底面BCD是直角三角形且BC⊥CD，斜边BD上的高为1，三棱锥A－BCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A－BCD体积的最大值为________．解析：如图，过点C作CH⊥BD于H.由外接球的表面积为16π，可得外接球的半径为2，则AB＝4.因为AB为外接球的直径，所以∠BDA＝90°，∠BCA ＝90°，即BD⊥AD，BC⊥CA，又BC⊥CD，CA∩CD＝C，所以BC⊥平面ACD，所以BC⊥AD，又BC∩BD＝B，所以AD⊥平面BCD，AD⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD，又平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CH⊥平面ABD．设AD＝x(0＜x＜4)，则BD＝16－x2.在△BCD中，BD边上的高CH＝1，所以V三棱锥A－BCD＝V三棱锥C－ABD＝13×12×x×16－x2×1＝16－x4＋16x2，当x2＝8时，V三棱锥A－BCD有最大值，故三棱锥A－BCD体积的最大值为4 3.答案：4 3。
(新课标全国I卷)2010_2019学年高考数学真题分类汇编专题07立体几何(2)文(含解析)
专题7 立体几何（2）立体几何大题：10年10考，每年1题．第1小题多为证明垂直问题，第2小题多为体积计算问题（2014年是求高）．1．（2019年）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．【解析】（1）连结B1C，ME，∵M，E分别是BB1，BC的中点，∴ME∥B1C，又N为A1D的中点，∴ND＝12A1D，由题设知A1B1//DC，∴B1C//A1D，∴ME//ND，∴四边形MNDE是平行四边形，∴MN∥ED，又MN⊄平面C1DE，∴MN∥平面C1DE．（2）过C作C1E的垂线，垂足为H，由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，∴DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH，∴CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到时平面C1DE的距离，由已知可得CE＝1，CC1＝4，∴C1E，故CH，∴点C 到平面C 1DE ． 2．（2018年）如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA ． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥Q ﹣ABP 的体积．【解析】（1）∵在平行四边形ABCM 中，∠ACM ＝90°，∴AB ⊥AC ， 又AB ⊥DA ．且AD ∩AC ＝A ， ∴AB ⊥面ADC ，∵AB ⊂面ABC ， ∴平面ACD ⊥平面ABC ；（2）∵AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°，∴AD ＝AM ＝∴BP ＝DQ ＝23DA ＝ 由（1）得DC ⊥AB ，又DC ⊥CA ，∴DC ⊥面ABC ，∴三棱锥Q ﹣ABP 的体积V ＝11DC 33S ∆ABP ⨯ ＝C 121DC 333S ∆AB ⨯⨯＝12113333323⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝1． 3．（2017年）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°． （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P ﹣ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【解析】（1）∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，∠BAP ＝∠CDP ＝90°， ∴AB ⊥PA ，CD ⊥PD ， 又AB ∥CD ，∴AB ⊥PD ， ∵PA ∩PD ＝P ，∴AB ⊥平面PAD ， ∵AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ．（2）设PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝a ，取AD 中点O ，连结PO ， ∵PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，平面PAB ⊥平面PAD ，∴PO ⊥底面ABCD ，且AD ，PO ＝2a ， ∵四棱锥P ﹣ABCD 的体积为83， 由AB ⊥平面PAD ，得AB ⊥AD ，∴V P ﹣ABCD ＝CD 13S AB ⨯⨯PO 四边形＝1D 3⨯AB⨯A ⨯PO ＝132a a ⨯⨯＝313a ＝83， 解得a ＝2，∴PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝PO ，∴PB ＝PC∴该四棱锥的侧面积：S 侧＝S △PAD +S △PAB +S △PDC +S △PBC＝1D 2⨯PA⨯P +12⨯PA⨯AB +1D DC 2⨯P ⨯+1C 2⨯B＝11112222222222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯＝6+4．（2016年）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（1）证明：G是AB的中点；（2）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．【解析】（1）∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面PAB内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE＝D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA＝PB，∴G是AB的中点；（2）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（1）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故CD ＝23CG ． 由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ，所以DE ∥PC ，因此PE ＝23PG ，DE ＝13PC ．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA ＝6，可得DE ＝2，PG ＝PE ＝ 在等腰直角三角形EFP 中，可得EF ＝PF ＝2． 所以四面体PDEF 的体积V ＝13×DE ×S △PEF ＝13×2×12×2×2＝43．5．（2015年）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD ． （1）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（2）若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ﹣ACD【解析】（1）∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD ， ∵BE ⊥平面ABCD ， ∴AC ⊥BE ， 则AC ⊥平面BED ， ∵AC ⊂平面AEC ， ∴平面AEC ⊥平面BED ；（2）设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，得AG ＝GC ，GB ＝GD ＝2x，∵BE ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥BG ，则△EBG 为直角三角形，∴EG ＝12AC ＝AG ＝2x ，则BE x ，∵三棱锥E ﹣ACD 的体积V ＝11C GD 32⨯A ⨯⨯BE 3x 解得x ＝2，即AB ＝2， ∵∠ABC ＝120°，∴AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC cos ABC ＝4+4﹣2×1222⎛⎫⨯⨯-⎪⎝⎭＝12，即AC ＝在三个直角三角形EBA ，EBD ，EBC 中，斜边AE ＝EC ＝ED ， ∵AE ⊥EC ，∴△EAC 为等腰三角形， 则AE 2+EC 2＝AC 2＝12， 即2AE 2＝12， ∴AE 2＝6，则AE ，∴从而得AE ＝EC ＝ED ，∴△EAC 的面积S ＝11C 22⨯EA⨯E =3， 在等腰三角形EAD 中，过E 作EF ⊥AD 于F ，则AE ，AF ＝1D 2A ＝1212⨯=，则EF =∴△EAD 的面积和△ECD 的面积均为S ＝122⨯故该三棱锥的侧面积为3+6．（2014年）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．【解析】（1）连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，∵AO⊥平面BB1C1C，∴AO⊥B1C，∵AO∩BC1＝O，∴B1C⊥平面ABO，∵AB⊂平面ABO，∴B1C⊥AB；（2）作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD，∴OH⊥BC，∵OH⊥AD，BC∩AD＝D，∴OH⊥平面ABC，∵∠CBB1＝60°，∴△CBB1为等边三角形，∵BC＝1，∴OD∵AC ⊥AB 1，∴OA ＝12B 1C ＝12，由OH •AD ＝OD •OA ，可得AD ，∴OH ＝14，∵O 为B 1C 的中点，∴B 1到平面ABC ，∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的高7．7．（2013年）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60° （1）证明：AB ⊥A 1C ； （2）若AB ＝CB ＝2，A 1C ＝，求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积．【解析】（1）如图，取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B ． 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB ．由于AB ＝AA 1，160∠BAA =，故△AA 1B 为等边三角形， 所以OA 1⊥AB ．因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C ． 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C ；（2）由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以1C O =OA =．又1C A =，则22211C C A =O +OA ，故OA 1⊥OC ．因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的高．又△ABC 的面积C S ∆AB故三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积C 1V 3S ∆AB =⨯OA ==．8．（2012年）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．（1）证明：平面BDC 1⊥平面BDC（2）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【解析】（1）由题意知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ， ∴BC ⊥平面ACC 1A 1，又DC 1⊂平面ACC 1A 1， ∴DC 1⊥BC ．由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，∴∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC ，又DC ∩BC ＝C ， ∴DC 1⊥平面BDC ，又DC 1⊂平面BDC 1， ∴平面BDC 1⊥平面BDC ；（2）设棱锥B ﹣DACC 1的体积为V 1，AC ＝1，由题意得V 1＝1121132+⨯⨯⨯＝12，又三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V ＝1， ∴（V ﹣V 1）：V 1＝1：1，∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．9．（2011年）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥BD；（2）设PD＝AD＝1，求棱锥D﹣PBC的高．【解析】（1）因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD D，从而BD2+AD2＝AB2，故BD⊥AD，又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．（2）解：作DE⊥PB于E，已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC，由（1）知，BD⊥AD，又BC∥AD，∴BC⊥BD．故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，则DE⊥平面PBC．由题设知PD＝1，则BD，PB＝2．根据DE•PB＝PD•BD，得DE即棱锥D﹣PBC10．（2010年）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．（1）证明：平面PAC⊥平面PBD；（2）若AB，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．。
学生版立体几何（2）
立体几何（2）一、基础训练1. 一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是_________2. 已知点E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且直线EF ⋂直线GH=P ，那么P 在直线___________上. (填以A ，B ，C ，D 为起点和终点的直线)3. 在正方形1111D C B A ABCD -中，对角线D B 1与对角线AC 所成的角的大小为_______.4. 若直线a ∥直线b ，直线b ∥平面α，则a 与α的位置关系是_____________.5. 正三棱锥底面三角形的边长为3，侧棱长为2，则其体积为____________ 6．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．①若m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β； ②若m ⊂α，α∩β＝n ，α⊥β，则m ⊥n ； ③若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m ∥n ； ④若m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n ． 上述命题中为真命题的是___________（填写所有真命题的序号）．二、例题1. 已知四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABC ，,M N 分别是,AB PC 的中点． （1）求证：MN AB ⊥；（2）若PA AD =，求证：MN ⊥平面PCD ．2．已知：正方体1111ABCD-A B C D ，边长为1，E 为棱1CC 的中点． （1）求证：AE BD ⊥；（2）求二面角E-AD-C 的正切值A BC DD 1C 1B 1A 1 3．如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC ABC -中，D 、1D 分别是BC 和11B C 的中点． （1）求证：11A D ∥平面1AB D ；（2）若平面ABC ⊥平面11BCC B ，160O B BC ∠=，求三棱锥 1B ABC -的体积．4. 直四棱柱1111A B C D A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，222AB AD CD ===．11=BB（1）求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；（2）在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行？证明你的结论．三、作业1. 已知P 为ABC ∆所在平面外一点，点O 为点P 在平面ABC 上的射影，若PA ，PB ，PC 与底面成等角，则O 是ABC ∆的________心.2. 三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O ，若点P 到三个平面的距离分别为3,4,5，则OP 的长为________.3. 已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集。
高中数学一轮复习：第八章 立体几何(必修2)课后跟踪训练46
课后跟踪训练(四十六)基础巩固练一、选择题1．和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A．异面B．相交C．平行D．异面或相交[解析]当两条直线无公共点时，可知两直线异面；当两异面直线中的一条直线与两条直线交于一点时，可知两直线相交，故选D.[答案] D2.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M[解析]∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又C∈γ，M、C∈β，∴γ与β的交线必通过点C和点M.故选D.[答案] D3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是BD1的中点，直线A1C 交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是()A．A1、M、O三点共线B．M、O、A1、A四点共面C．A、O、C、M四点共面D．B、B1、O、M四点共面[解析]因为O是BD1的中点．由正方体的性质知，O也是A1C 的中点，所以点O在直线A1C上，又直线A1C交平面AB1D1于点M，则A1、M、O三点共线，A正确．又直线与直线外一点确定一个平面，所以B、C正确．故选D.[答案] D4．以下四个命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D 共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1C．2 D．3[解析]对于①，不共面的四点中，其中任意三点不共线，故①正确；对于②，若A，B，C共线时，A，B，C，D，E不一定共面，故②不正确；对于③，b，c也可异面，故③不正确；④是错误的．故选B.[答案] B5．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.45[解析] 如图，连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角或其补角．连接A 1C 1，设AB ＝1，则AA 1＝2，A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.故选D. [答案] D二、填空题6．(2019·陕西汉中调研)若直线a ⊥b ，且直线a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是________．[解析] 如图，在正方体中可知，b 与α相交或b ⊂α或b ∥α.[答案] b 与α相交或b ⊂α或b ∥α7．(2019·广东华山模拟)如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝2∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．[解析]取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，在Rt△AB1E中，∠AB1E即为所求．设AB＝1，则A1A＝2，AB1＝3，B1E＝32，AE＝32，故∠AB1E＝60°.[答案]60°8.(2019·江西上饶月考)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论号都填上) [解析]由题图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°.[答案]③④三、解答题9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，E，F四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．[证明](1)如图所示，因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面．即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.则Q是α与β的公共点，同理，P点也是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．10.(2019·河南许昌模拟)如图所示，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P －ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．[解] (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P －ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝43 3.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角)．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34. 故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.能力提升练11．两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是( )A ．两条相交直线B ．两条平行直线C．两个点D．一条直线和直线外一点[解析]如图，在正方体ABCD－EFGH中，M，N分别为BF，DH的中点，连接MN，DE，CF，EG.当异面直线为EG，MN所在直线时，它们在底面ABCD内的射影为两条相交直线；当异面直线为DE，GF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD，BC，是两条平行直线；当异面直线为DE，BF所在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD和点B，是一条直线和一个点，故选C.[答案] C12．如图，平面α与平面β交于直线l，A，C是平面α内不同的两点，B，D是平面β内不同的两点，且A，B，C，D不在直线l上，M，N分别是线段AB，CD的中点，下列判断正确的是() A．若AB与CD相交，且直线AC平行于l时，则直线BD与l 可能平行也有可能相交B．若AB，CD是异面直线时，则直线MN可能与l平行C．若存在异于AB，CD的直线同时与直线AC，MN，BD都相交，则AB，CD不可能是异面直线D．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交[解析]对于A，直线BD与l只能平行；对于B，直线MN与l 异面；对于C，AB与CD可能为异面直线．当直线AB与CD的中点M，N重合时，必有直线AC∥l，故不可能相交，综上所述，故选D.[答案] D13．如图所示，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，则下列结论正确的是__________．①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；②存在一个平面α0，使得GF∥EH∥BD；③存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上．[解析]当H，G分别为AD，BC的中点时，直线GF，EH，BD 平行，所以①错，②正确；若存在一个平面α0，使得点G在线段BC 上，点H在线段AD的延长线上，则平面α0与CD的交点不可能是CD的中点，故③错．[答案]②14.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．(1)求四棱锥O－ABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小．[解] (1)由已知可求得，正方形ABCD 的面积S ＝4，所以，四棱锥O －ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83.(2)连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE ，则∠EMD 为异面直线OC 与MD 所成的角(或其补角)，由已知，可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5，∵(2)2＋(3)2＝(5)2，∴△DEM 为直角三角形，∴tan ∠EMD ＝DE EM ＝23＝63. 拓展延伸练15．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A.334 B.233 C.324 D.32[解析]记该正方体为ABCD －A ′B ′C ′D ′，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A ′A ，A ′B ′，A ′D ′与平面α所成的角都相等．如图，连接AB ′，AD ′，B ′D ′，因为三棱锥A ′－AB ′D ′是正三棱锥，所以A ′A ，A ′B ′，A ′D ′与平面AB ′D ′所成的角都相等．分别取C ′D ′，B ′C ′，BB ′，AB ，AD ，DD ′中点的E ，F ，G ，H ，I ，J ，连接EF ，FG ，GH ，IH ，IJ ，JE ，易得E ，F ，G ，H ，I ，J 六点共面，平面EFGHIJ 与平面AB ′D ′平行，且截正方体所得截面的面积最大．又EF ＝FG ＝GH ＝IH ＝IJ＝JE ＝22，所以该正六边形的面积为6×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝334，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为334，故选A.[答案] A16．(2017·全国卷Ⅲ)a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB ，以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)[解析]由题意知，AB 是以AC 为轴，BC 为底面半径的圆锥的母线，又AC ⊥a .AC ⊥b ，AC ⊥圆锥底面，所以在底面内可以过点B ，作BD ∥a ，交底面圆C 于点D ，如图所示，连接DE ，则DE ⊥BD ，所以DE ∥b ，连接AD ，设BC ＝1，在等腰△ABD 中，AB ＝AD ＝2，当直线AB 与a成60°角时，∠ABD＝60°，故BD＝2，又在Rt△BDE中，BE＝2，所以DE＝2，过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，EF，所以BF＝DE＝2，所以△ABF为等边三角形，所以∠ABF＝60°，即AB与b成60°角，故②正确，①错误．由最小角定理可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，所以直线AB与a所成角的最大值为90°，④错误．所以正确的结论为②③.[答案]②③。
2020版高考数学人教版理科一轮复习第七章 立体几何 (2)
1．(方向 1)(2019·洛阳市第一次统考)某几何体的三视图如图所示，
则该几何体的体积是( B )
15π A. 2
17π C. 2
B．8π D．9π
解析：依题意，题中的几何体是由两个完全相同的圆柱各自 用一个不平行于其轴的平面去截后所得的部分拼接而成的组合 体(各自截后所得的部分也完全相同)，其中一个截后所得的部分 的底面半径为 1，最短母线长为 3、最长母线长为 5，将这两个截 后所得的部分拼接，恰好可以形成一个底面半径为 1，母线长为 5＋3＝8 的圆柱，因此题中的几何体的体积为 π×12×8＝8π，故 选 B.
又平面 B1D1D∩平面 B1EDF＝B1D，
所以 O1H⊥平面 B1EDF，
所以 O1H 等于四棱锥 C1-B1EDF 的高．
因为△B1O1H∽△B1DD1，
Байду номын сангаас
所以
O1H＝B1OB11·DDD1＝
6 6 a.
方向 3 利用体积法求点面距离 【例 4】 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PD ⊥底面 ABCD，M，N 分别为 AB，PC 的中点，PD＝AD＝2，AB＝4.
如图，连接 AB′，AD′，B′D′，因为三棱锥 A′-AB′D′ 是正三棱锥，所以 A′A，A′B′，A′D′与平面 AB′D′所成 的角都相等．分别取 C′D′，B′C′，BB′，AB，AD，DD′ 的中点 E，F，G，H，I，J，连接 EF，FG，GH，IH，IJ，JE， 易得 E，F，G，H，I，J 六点共面，平面 EFGHIJ 与平面 AB′D′ 平行，且截正方体所得截面的面积最大．又 EF＝FG＝GH＝IH ＝IJ＝JE＝ 22，所以该正六边形的面积为 6× 43×( 22)2＝343， 所以 α 截此正方体所得截面面积的最大值为34 3，故选 A.
高二数学寒假作业立体几何2
立体几何22作业（文科）知识回顾一、旋转体和多面体 1．旋转体的形成几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 任一边所在的直线 圆锥 直角三角形 任一直角边所在的直线 圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线2.多面体的结构特征3．直观图(1)画法：常用斜二测画法． (2)规则：①在已知图形中建立直角坐标系xOy ，画直观图时，它们分别对应x ′轴和y ′轴，两轴交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；②已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴和y ′轴的线段； ③已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的12.4．三视图(1)三视图的画法规则：主、俯视图长对正，主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等，前后对应． (2)画简单组合体的三视图应注意的两个问题：①首先，确定主视、俯视、左视的方向，同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．②其次，简单组合体是由哪几个基本几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置．典例1、如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是 ( )二、空间图形的基本关系与公理 1．空间图形的公理(1)公理1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)． (2)公理2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． 2．空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：过空间任意一点P 分别引两条异面直线a ，b 的平行线l 1，l 2(a ∥l 1，b ∥l 2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a ，b 所成的角．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. (3)定理(等角定理)空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)空间中直线与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面α内aα有无数个公共点直线在平面外直线a与平面α平行a∥α没有公共点直线a与平面α斜交a∩α＝A有且只有一个公共点直线a与平面α垂直a⊥α(2)空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行α∥β没有公共点两平面相交斜交α∩β＝l有一条公共直线垂直α⊥β且α∩β＝a典例2、如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()A B C D三、线面平行1．线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)∵l∥a，aα，lα，∴l∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)∵l∥α，lβ，α∩β＝b，∴l∥b2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，aα，bα，∴α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b 1111①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.四、线面垂直1．直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．(2)定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫aαbαl⊥al⊥ba∩b＝A⇒l⊥α性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒ a∥b2.二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．(2)二面角的度量——二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫作直二面角．3．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l⊥αlβ⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎬⎫α⊥βlβα∩β＝al⊥a⇒l⊥αA．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ 五、空间几何体的表面积与体积 1．多面体的表(侧)面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrlS 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l三者关系S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝r S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl名称几何体表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13Sh台体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 31．正四面体的表面积与体积棱长为a 的正四面体，其表面积为3a 2，体积为212a 3. 2．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ；③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1，棱长为a 的正四面体，其内切球半径R 内＝612a ，外接球半径R 外＝64a . 典例5、如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．强化训练一、单选题1．正四棱台的上､下底面边长分别为1cm,3cm 2cm ，则棱台的侧面积为（ ） A ．24cmB ．28cmC ．243cmD ．23cm2．设a ，b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列命题： ①若,,a b a b αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥ ②若,,a b αβαβ⊂⊂∥，则a b ∥ ③若,,a b αβαβ⊂⊥∥，则a b ⊥ ④若,,a b a b αβ⊥⊥∥，则αβ∥ 其中为真命题的是（ ） A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④3．正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1DD 上，过点C 作平面1BMC 的平行平面α，记平面α与平面11BCC B 的交线为l ，则1A C 与l 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 4．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F ，G 分别是棱AD ，1C C ，11B C 的中点，则下列结论中正确的是（ ） A ．BE ⊥平面DFGB ．1//A E 平面DFGC ．//CE 平面DFGD ．平面1//A EB 平面DFG5．以下结论中错误的是（ ） A ．经过不共面的四点的球有且仅有一个 B ．平行六面体的每个面都是平行四边形 C ．正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直D ．棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直6．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为（ ） A ．4π B ．2π C ．23π D ．π7．如图是一个长方体的展开图，如果将它还原为长方体，那么线段AB 与线段CD 所在的直线（ ）A ．平行B ．相交C ．是异面直线D ．可能相交，也可能是异面直线8．如图为一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A ．13B ．23C ．12D ．439．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．210．“圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切，则该圆柱的体积与球的体积之比为（ ） A ．2 B ．32C ．3D ．π3二、填空题11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外接球的表面积为________．12．已知圆锥的顶点为P ，母线PA ，PB 所成角的余弦值为34，PA 与圆锥底面所成角为60°，若PAB △的面积为7，则该圆锥的体积为______.13．某圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，则该圆柱一个底面的面积为___________. 14．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是侧面11BB C C 内的一个动点，则三棱锥1D AED -的体积为_________.三、解答题15．如图，在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是直角三角形，2AC BC ==，PB PC =，D 为AB 的中点．(1)证明：BC PD ⊥；(2)若3PA =，5PB =，求点A 到平面PDC 的距离．16．如图1，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，DE AB ⊥于E ，将AED 沿DE 翻折到A ED '，使A E BE '⊥，如图2．(1)求三棱锥C A BD -'的体积；(2)在线段A D '上是否存在一点F ，使EF ∥平面A BC '？若存在，求DFFA '的值；若不存在，说明理由．17．如图，在三棱锥P -ABC 中，底面ABC 是直角三角形，AC =BC =2，PB =PC ，D 为AB 的中点.(1)证明：BC⊥PD；(2)若AC⊥PB，PA=3，求直线PA与平面PBC所成的角的正弦值.。
专题二 第2讲 立体几何中的算、证、求问题
(3) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD
＝3，E为棱CD上一点，若三棱锥E-PAB的体积为4，则PA的长为____4____．
【解析】
(例1(3)))
因为△EAB的面积为S＝
1 2
×2×3＝3，所以三棱锥E-PAB的体积为V＝
13×3×PA＝4，所以PA＝4.
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(变式(2))
二轮提优导学案 ·数学
(2) 求证：平面BDM⊥平面ADEF. 【解答】 设DC＝1，由题意知DC⊥BC，BC＝1，BD＝ 2. 在梯形ABCD中，AB∥CD，所以∠ABD＝∠BDC＝45°. 因为AB＝2DC＝2， 所以在△ABD中，由余弦定理知 AD＝ AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD＝ 2. 因为AB＝2，所以AD2＋BD2＝AB2， 所以∠ADB＝90°，所以AD⊥BD.
【解析】 设圆柱的底面半径为R，则圆锥的底面半径也为R，圆柱和圆锥的高均为
h＝2R.因为S1＝2πR×2R＝4πR2，圆锥的母线长为 R2＋2R2＝ 5R，所以S2＝12×2πR
×
5R＝
5πR2，所以SS21＝
5 4.
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二轮提优导学案 ·数学
专题二 立体几何
(2) (2019·南方凤凰台密题)若正方体的棱长为 2，则以该正方体各个面的中心为顶
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专题二 立体几何
二轮提优导学案 ·数学
专题二 立体几何
(2) 若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE； 【解答】 因为底面ABCD是菱形且∠ABC＝60°，所以△ACD为正三角形，又E为 CD的中点，所以AE⊥CD. 因为AB∥CD，所以AE⊥AB. 因为PA⊥平面ABCD，AE⊂ 平面ABCD， 所以AE⊥PA. 因为PA∩AB＝A，PA，AB⊂ 平面PAB， 所以AE⊥平面PAB. 又AE⊂ 平面PAE，所以平面PAB⊥平面PAE.
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立体几何专项1． A 、B 、C 、D 四点在半径为225的球面上，且AC=BD=5，AD=BC=41，AB=CD ，则三棱锥D-ABC 的体积是______________.2． 已知点A 是以BC 为直径的圆O 上异于B ，C 的动点，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC ⊥平面ABC ，，22=PB ，5=PC ，则三棱锥P -ABC 外接球的表面积为____________3．已知三棱锥的顶点在球的表面上，球的表面积为36，那么到平面距离的最大值为_______________.4．在△中，，，且在边上分别取两点，点关于线段的对称点正好落在边上，则线段长度的最小值为．P ABC -、、B 、C P A O ABC ∆O πP ABC ABC 5AB AC ==6BC =,AB AC ,M N A MN P BC AM5.如图，四棱锥M ABCD -中，底面ABCD 为矩形，MD ABCD ⊥平面，且1M D DA ==，E 为MA 中点。
（1）求证：DE MB ⊥；（2）若2DC =，求二面角B DE C --的余弦值。
6.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AC AB ⊥，AD DC ⊥，60DAC ∠= ，2PA AC ==，1AB =，点E 在棱PC上，且DE PB ⊥。
(Ⅰ) 求CE 的长；ECP(Ⅱ) 求二面角A PB C --的正弦值。
7.已知四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是边长为2的菱形， 且3π=∠BAD ，⊥1AA 平面ABCD ，11=AA ，设E 为CD 的中点（1）求证：⊥E D 1平面1BEC（2）点F 在线段11B A 上，且//AF 平面1BEC ， 求平面ADF 和平面1BEC 所成锐角的余弦值．8.如图，四边形是圆柱的轴截面，点在圆柱的底面圆周上，是的中点，圆柱的底面圆的半径，侧面积为，．ABCD OQ P OQ G DP OQ 2OA=120AOP ∠=︒（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．9.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，平面AED ⊥平面ABCD ，ED EA AB 22==，BD EF //.（I ）证明:CD AE ⊥;AG BD ⊥P AG B --ODBCAGPQ（II ）在棱ED 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面EFBD 所成角的正弦值为36？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由.10.如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥． （1）证明：1AC AB =；第9题图（2）若011,60AC AB CBB ⊥∠=，AB BC =，求二面角111A A B C --的余弦值．立体几何专项1． A 、B 、C 、D 四点在半径为225的球面上，且AC=BD=5，AD=BC=41，AB=CD ，则三棱锥D-ABC 的体积是______.20 【解析】如图，设长方体的三条棱长分别为a ，b ，c ，则有2522=+b a ，4122=+c a ，50222=++c b a ，解得a=4，b=3，c=5，所以三棱锥的体积是20.2．已知点A 是以BC 为直径的圆O 上异于B ，C 的动点，P 为平面ABC 外一点，且平面PBC ⊥平面ABC ，，22=PB ，5=PC ，则三棱锥P -ABC 外接球的表面积为________π103．已知三棱锥的顶点在球的表面上，球的表面积为36，那么到平面距离的最大值为_______________.【解析】由题意，得到平面距离的最大值为球心到面的距离与球的半径之和；因为球的表面积为，所以球的半径为；又，则，所以到平面距离的最大值为；故填．4．在△中，，，且在边上分别取两点，点 关于线段的对称点正好落在边上，则线段长度的最小值为．【解析】方法一：设，∵A 点与点P 关于线段MN 对称， ∴，，在中，，，，，由正弦定理：P ABC -、、B 、C P A O ABC ∆O πP ABC 223+P ABC ABC OH R O ππ3642=R 3=R 132323=⨯⨯=AH 2222=-=AH R OH P ABC 223+223+ABC 5AB AC ==6BC =,AB AC ,M N A MN P BC AM 920,MAP AM x θ∠==AM MP x ==MPA θ∠=BM P ∆3cos 5B =4sin 5B =2BMP θ∠=2MPB B πθ∠=--sin sin MP BMB BPM=∠554sin(2)sin(2)5x x x B B πθθ--⇒==--+则，当时此时，.方法二：建立如图如示坐标系由得，设，，与交于点，由，得，， 此时．5.如图，四棱锥M ABCD -中，底面ABCD 为矩形，M D A B C D ⊥平面，且1MD DA ==，E 为MA 中点。
（1）求证：DE MB ⊥；（2）若2DC =，求二面角B DE C --的余弦值。
44sin(2)5x B θ=++22B πθ+=min 4204915x ==+4cos2sin 5B θ==35,cos 5AB AC B ===(3,0)(0,4)B A -34,(,4)55AM a M a a =--(,0)P m AP MN G (,2),(3,3)2mG m ∈-1MG AP k k =- 42(4)53425a m m a --=+25161663m a m +=- 1625516329[()]166333m m ⨯=-+--5403220[]6339≥⨯-=43m =-xy6.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面A B C D ，AC AB ⊥，AD DC ⊥，60DAC ∠=，2PA AC ==，1AB =，点E 在棱PC 上，且DE PB ⊥。
(Ⅰ) 求CE 的长；(Ⅱ) 求二面角A PB C --的正弦值。
解：(Ⅰ) 如图，以,,AB AC AP分别为,,x y z 轴的正半轴方向，建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(0,0,0),P A (1,0,0),B 1(0,2,0),(,0)2C D ． …2分 过E 作EF AC ⊥于F ，由已知，得EF ∥PA ，19题图EDCBPA设EF h =，则(0,2,)E h h -． …………3分3,),(1,0,2)2DE h h PB ∴=-=- ．DE PB ⊥，202DE PB h ∴⋅=-=，4h =………5分CE ∴==． ……………………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得(0,2,2),(1,0,2)PC PB =-=- ，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则 0,n PC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩．220,20y z x z -=⎧∴⎨-=⎩，取1z =，得(2,1,1)n = ． 易知(0,2,0)AC =是平面PAB 的法向量， ………cos ,n AC n AC n AC ⋅∴==⋅则二面角A PB C --的正弦值为sin ,n AC = ………7.已知四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是边长为2的菱形， 且3π=∠BAD ，⊥1AA 平面ABCD ，11=AA ，设E 为CD 的中点（1）求证：⊥E D 1平面1BEC（2）点F 在线段11B A 上，且//AF 平面1BEC ， 求平面ADF 和平面1BEC 所成锐角的余弦值．（1）证明：由已知该四棱柱为直四棱柱，且BCD ∆为等边三角形，CD BE ⊥ 所以⊥BE 平面11C CDD ，而⊆E D 1平面11C CDD ，故E D BE 1⊥因为E D C 11∆的三边长分别为2,21111===D C E D E C ，故E D C 11∆为等腰直角三角形所以E C E D 11⊥，结合BE E D ⊥1知：⊥E D 1平面1BEC （2）解：取AB 中点G ，则由ABD ∆为等边三角形 知AB DG ⊥，从而DC DG ⊥以1,,DD DG DC 为坐标轴，建立如图所示的坐标系 此时)0,0,1(),1,0,0(),0,3,1(),0,0,0(1E D A D -,)1,3,1(),1,3,1(11B A -，设)1,3,(λF由上面的讨论知平面1BEC 的法向量为)1,0,1(1-=E D由于⊄AF 平面1BEC ，故//AF 平面1BEC 011=⋅⇔⊥⇔D D 故001)1()1,0,1()1,0,1(=⇒=-+=-⋅+λλλ，故)1,3,0(F设平面ADF 的法向量为),,(z y x =，)1,3,0(),0,3,1(=-=由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00知⎩⎨⎧=+=+-0303z y y x ，取3,1,3-===z y x ，故)3,1,3(-= 设平面ADF 和平面1BEC 所成锐角为θ，则7422732cos =⋅==θ 即平面ADF 和平面1BEC 所成锐角的余弦值为7428.如图，四边形是圆柱的轴截面，点在圆柱的底面圆周上，是的中点，圆柱的底面圆的半径，侧面积为，． （Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．（Ⅰ）(解法一)：由题意可知，解得……分 在中，，…………分∴，又∵是的中点，∴. ① …………分 ∵为圆的直径，∴. 由已知知，∴， ∴ . …………分 ∴. ②∴由①②可知：，∴. …………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，∴，， ∴是二面角的平面角 . …………8分, , . ∴.. ………12分(解法二)：建立如图所示的直角坐标系，由题意可知.解得则，，，， ∵是的中点，ABCD OQ P OQ G DP OQ 2OA =120AOP ∠=︒AG BD ⊥P AG B --22AD π=⨯⋅AD =1AOP∆AP 2AP AD =G DP DP AG ⊥3AB O BP AP ⊥ABP DA 底面⊥BP DA ⊥DAP BP 平面⊥5AG BP ⊥DPB AG 平面⊥BD AG ⊥DPB AG 平面⊥BG AG ⊥PG AG ⊥PGB ∠B AG P --622121=⨯==AP PD PG 2==OP BP 90BPG ∠=︒1022=+=BP PG BG 515106cos ===∠BG PG PGB 22AD π=⨯⋅AD =()0,0,0A ()0,4,0B ()32,0,0D ()0,3,3P G DP ODBCAGPQ∴可求得. …………3分 （Ⅰ），，∴. ∵， ∴. …………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知,，，， . ∵，.∴是平面的法向量. ……8分设是平面的法向量，由，， 解得………10分. 所以二面角的平面角的余弦值. …………12分 9.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，平面AED ⊥平面ABCD ，ED EA AB 22==，BD EF //.（I ）证明:CD AE ⊥;（II ）在棱ED 上是否存在点M ，使得直线AM 与平面EFBD 所成角的正弦值为36？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由.(1)证明： 四边形ABCD 为正方形∴CD AD ⊥平面ADE ⊥平面ABCD,并且平面ADE ⋂平面ABCD=AD ∴CD ⊥平面ADE AE ADE ⊂平面 ∴CD AE ⊥即AE CD ⊥…………4分⎪⎪⎭⎫⎝⎛3,23,23G ()0,1,3-=()32,4,0-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3,23,23()032,4,03,23,23=-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅BD AG ⊥()0,1,3-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3,23,23⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3,23,23⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3,25,230=⋅0=⋅BPAPG ()1,,y x =ABG 0=⋅AG n 0=⋅AB n ()1,0,2-=cos BP n BP nθ⋅===⋅ B AG P --5第19题图(2)令AE=1 ,(01)DM DE λλ=≤≤,(在图形中要体现坐标系)(A,D(B(AD DE DB ===AM AD DE λ=+=设平面EFBD 的法向量为(,,z)m x y = 则0,m DB m DB ⋅=⋅00x ⎧+=+=令1x =，则-11x z ==-， ∴(1-1,1)m =m AM m AM⋅=⇒=1λ ∴存在M,当M 与E 点重合时满足条件。