江苏省无锡市宜兴市和桥二中2015-2016学年八年级(上)第一次段考数学试卷(解析版)

2015-2016学年江苏省无锡市宜兴市和桥二中八年级（上）第一次段考数学试卷一、选择题1．下面的图形都是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80° B．80°或20°C．80°或50°D．20°3．如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色．现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=30°，∠EDC的度数是（）A．10° B．15° C．20° D．25°5．如图，将三角形纸片ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE．若∠B=82°，∠BAE=26°，则∠EAD的度数为（）A．28° B．30° C．36° D．45°6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5个B．4个C．3个D．2个7．在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（）A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点8．如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点（其中P、Q不与端点重合），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，下列结论：（1）BP=CM；（2）△ABQ≌△CAP；（3）∠CMQ的度数始终等于60°；（4）当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．正方形是轴对称图形，它共有条对称轴．10．等腰三角形的顶角是80°，一腰上的高与底边的夹角是°．11．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，AB=b，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，垂足为E，则△DEB的周长为．（用a、b代数式表示）12．若一个等腰三角形两边长分别为4cm和2cm，则它的周长为．13．等腰三角形的一条边长为6cm，周长为14cm，它的底边长为．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，∠CBE：∠A=1：2，则∠AED= °．15．一直角三角形的两条直角边长分别为12，5，则斜边长是，斜边上的中线是．16．在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为．17．平面上有A、B两个点，以线段AB为一边作等腰直角三角形能作个．18．如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AB，BD=AB，则∠DCB= ．19．如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC分别交DE、BE于点G、H，则∠EFC= ，图中共有个等腰三角形．三、解答题20．如图，锐角三角形ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB=OC（1）求证：AB=AC；（2）求证：点O在∠BAC的平分线上．21．如图，在△ABC中，AB=BC，点D在AB的延长线上．（1）利用尺规按要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．①作∠CBD的平分线；②作BC边的中垂线交BC边于点E，连接AE并延长交∠CBD的平分线于点F．（2）由（1）得：BF与边AC的位置关系是．22．如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．（1）若∠A=40°，求∠DCB的度数．（2）若AE=4，△DCB的周长为13，求△ABC的周长．23．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．24．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明．25．几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图2，正方形是大家喜爱的一种轴对称图形，它的对角线所在的直线就是对称轴．现在有一个边长为2的正方形ABCD，E为AB的中点，P是AC上一动点．请求出EP+PB的最小值．（2）如图3，∠AOC=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．2015-2016学年江苏省无锡市宜兴市和桥二中八年级（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．下面的图形都是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是（）A．B． C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80° B．80°或20°C．80°或50°D．20°【考点】等腰三角形的性质．【专题】分类讨论．【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．【解答】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．3．（2015秋•睢宁县期中）如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色．现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】利用轴对称设计图案．【分析】利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．【解答】解：如图所示：蓝色正方形位置都能使此图形是轴对称图形，故选：C．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=30°，∠EDC的度数是（）A．10° B．15° C．20° D．25°【考点】等腰三角形的性质．【分析】可以设∠EDC=x，∠B=∠C=y，根据∠ADE=∠AED=x+y，∠ADC=∠B+∠BAD即可列出方程，从而求解．【解答】解：设∠EDC=x，∠B=∠C=y，∠AED=∠EDC+∠C=x+y，又因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=x+y，则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y，又因为∠ADC=∠B+∠BAD，所以 2x+y=y+30，解得x=15，所以∠EDC的度数是15°．故选B．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角．正确确定相等关系列出方程是解题的关键．5．（2014秋•崇安区校级期中）如图，将三角形纸片ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE．若∠B=82°，∠BAE=26°，则∠EAD的度数为（）A．28° B．30° C．36° D．45°【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】求出∠AEC的度数，根据翻折变换的性质得到∠EAD=∠C，即可解决问题．【解答】解：由题意得：∠EAD=∠C；∵∠AEC=∠B+∠BAE=82°+26°=108°，∴∠EAD==36°，故选C．【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；灵活运用翻折变换的性质找出图形中隐含的等量关系，是解题的关键．6．（2015•淄博模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【考点】等腰三角形的判定；三角形内角和定理．【专题】证明题．【分析】根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案．【解答】解：共有5个．（1）∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形；（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC=∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；（3）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）=72°，又BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．故选：A．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．7．（2013秋•龙岗区期末）在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（）A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．故选：C．【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．8．（2014秋•忠县校级期末）如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点（其中P、Q不与端点重合），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，下列结论：（1）BP=CM；（2）△ABQ≌△CAP；（3）∠CMQ的度数始终等于60°；（4）当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】易证△ABQ≌△CAP，可得∠AQB=∠CPA，即可求得∠AMP=∠B=60°，易证∠CQM≠60°，可得CQ≠CM，根据t的值易求BP，BQ的长，即可求得PQ的长，即可解题．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，根据题意得：AP=BQ，在△ABQ和△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS），（2）正确；∴∠AQB=∠CPA，∵∠BAQ+∠APC+∠AMP=180°，∠BAQ+∠B+∠AQB=180°，∴∠AMP=∠B=60°，∴∠QMC=60°，（3）正确；∵∠QMC=60°，∠QCM≠60°，∴∠CQM≠60°，∴CQ≠CM，∵BP=CQ，∴CM≠BP，（1）错误；当t=时，BQ=，BP=4﹣=，∵PQ2=BP2+BQ2﹣2BP•BQcos60°，∴PQ=，∴△PBQ为直角三角形，同理t=时，△PBQ为直角三角形仍然成立，（4）正确；故选 C．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ABQ≌△CAP是解题的关键．二、填空题9．（2013秋•抚州期末）正方形是轴对称图形，它共有 4 条对称轴．【考点】轴对称图形．【分析】根据对称轴的定义，直接作出图形的对称轴即可．【解答】解：∵如图所示，正方形是轴对称图形，它共有4条对称轴．故答案为：4．【点评】此题主要考查了轴对称图形的定义，根据定义得出个正多边形的对称轴条数是解决问题的关键．10．（2014秋•崇安区校级期中）等腰三角形的顶角是80°，一腰上的高与底边的夹角是40 °．【考点】等腰三角形的性质．【分析】从已知条件根据等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半进行解答即可．【解答】解：因为等腰三角形的顶角是80°，根据等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半得所求的角为40°．故答案为：40．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质：等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半的理解及运用．11．（2014秋•江阴市期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=a，AB=b，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，垂足为E，则△DEB的周长为 b ．（用a、b代数式表示）【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．【分析】由题目的已知条件应用AAS易证△CAD≌△EAD．得到DE=CD，于是BD+DE=BC=AC=AE，则周长可利用对应边相等代换求解．【解答】解：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴∠CAD=∠BAD，∠C=∠AED．在△CAD和△EAD中，，∴△CAD≌△EAD（AAS），∴AC=AE，CD=DE．∵AC=BC，∴BC=AE．∴△DEB的周长为DB+DE+EB=DB+CD+EB=CB+BE=AE+BE=AB=b．故答案为：b．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质；解决本题的关键是利用全等把所求的三角形的周长的各边整理到已知的线段上．12．若一个等腰三角形两边长分别为4cm和2cm，则它的周长为10cm ．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论，当腰长为2cm或腰长为4cm两种情况．【解答】解：当腰长是2cm时，则三角形的三边是2cm，2cm，4cm，2cm+2cm=4cm不满足三角形的三边关系；当腰长是4cm时，三角形的三边是4cm，4cm，2cm，4cm+2cm=6cm＞4cm，能构成三角形，此时三角形的周长=4+4+2=10（cm），故答案为：10cm．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．13．（2014秋•江阴市校级期中）等腰三角形的一条边长为6cm，周长为14cm，它的底边长为6cm 或2cm ．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】根据题意得出两种情况，分别求出即可．【解答】解：①当腰为6cm时，底边为14cm﹣6cm﹣6cm=2cm；②底边为6cm；故答案为：6cm或2cm．【点评】本题考查了等腰三角形的性质的应用，注意：等腰三角形的两腰相等，题目比较好，难度不是很大．14．（2014秋•江阴市校级期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，∠CBE：∠A=1：2，则∠AED= 54 °．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】由DE垂直平分AB，可得AE=BE，又由在△ABC中，∠C=90°，∠CBE：∠A=1：2，可设∠A=2x°，即可得方程：2x+3x=90，继而求得答案．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠A=∠ABE，∵在△ABC中，∠C=90°，∠CBE：∠A=1：2，设∠A=2x°，则∠ABC=∠ABE+∠CBE=2x+x=3x°，∴2x+3x=90，解得：x=18，∴∠A=36°，∴∠AED=90°﹣∠A=54°．故答案为：54．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．15．（2015秋•邗江区期中）一直角三角形的两条直角边长分别为12，5，则斜边长是13 ，斜边上的中线是 6.5 ．【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．【分析】根据勾股定理求出斜边长，再根据斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：根据勾股定理，斜边长为=13，斜边上的中线为13×=6.5，故答案为13，6.5．【点评】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的计算，同事要注意斜边上的中线等于斜边的一半．16．（2012•舟山）在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为 4 ．【考点】角平分线的性质．【专题】计算题．【分析】根据角平分线的性质定理，解答出即可；【解答】解：如右图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），∵CD=4，∴DE=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等．17．（2013秋•兴化市期中）平面上有A、B两个点，以线段AB为一边作等腰直角三角形能作 6 个．【考点】等腰直角三角形．【分析】如图，以AB为斜边可以作两个等腰直角三角形，以AB为直角边可以作4个等腰直角三角形．通过作图可以得出结论．【解答】解：根据题意，作出图形．以AB为斜边可以作两个等腰直角三角形：△ABC，△ABD，以AB为斜边可以作出4个等腰直角三角形：△ABE，△ABF，△ABG，△ABH．∴以线段AB为一边作等腰直角三角形能作6个．故答案为6．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，分类讨论思想的运用，作图在解决实际问题中的运用，解答时弄清等腰直角三角形的性质是关键．18．（2015秋•盐都区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AB，BD=AB，则∠DCB= 15°．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形．【分析】首先根据等边三角形和等腰直角三角形求得∠DBC的度数，然后利用等腰三角形的性质求得∠DCB的度数即可．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BD⊥AB，∴∠DBC=90°+60°=150°，∵BD=AB，∴DB=CB，∴∠DCB=（180°﹣150°）=15°，故答案为：15°．【点评】本题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，解题的关键是求得∠DBC的度数．19．（2014秋•江阴市期中）如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC分别交DE、BE于点G、H，则∠EFC= 45°，图中共有8 个等腰三角形．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．【分析】由已知条件，根据等边对等角，线段的垂直平分线的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质得到等腰三角形，根据等边对等角，利用三角形的内角和定理得出∠EFC的度数．【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．∵DE垂直平分AB，∴AE=BE．∴△ABE是等腰三角形；∵BE⊥AC，∴∠△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ABE=45°，∴△ADE和△BDF是等腰直角三角形；∵AF⊥BC，∴BF=FC，∴在RT△BEC中，EF=BF，EF=FC，∴△BEF和△EFC是等腰三角形．∵∠1=∠2，∠BAE=∠AED=45°，∴∠EGH=∠AHE，∴△GEH是等腰三角形，∵∠EBC=∠FAC，∠EBF=∠BEF，∴∠GEF=45°+∠BEF=∠ABF=∠FGE，∴△GEF是等腰三角形，∴图中共有 8个等腰三角形，∵△EFC是等腰三角形，∴∠C=∠FEC，∴∠EFC+2∠C=180°，∵∠BAC+2∠C=180°，∴∠EFC=∠BAC=45°．故答案为45°，6．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质及三角形内角和定理；熟练掌握性质定理是解题的关键．三、解答题20．（2015秋•工业园区期中）如图，锐角三角形ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB=OC （1）求证：AB=AC；（2）求证：点O在∠BAC的平分线上．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）先根据条件可以得出∠AEC=∠ADB=∠BEC=∠CDB=90°就可以得出△BCD≌△CBE，则∠DBC=∠ECB，故AB=AC．（2）由（1）中全等三角形的性质得到：BD=CE，就可以得出OE=OD，再证明△ODA≌△OEA就可以得出∠DAO=∠EAO而得出结论．【解答】证明：如图，连接AO．（1）∵CE⊥AB，BD⊥AC，∴∠AEC=∠ADB=∠BEC=∠CDB=90°．∵OB=OC，∴∠DBC=∠ECB．在△BCD和△CBE中，，∴△BCD≌△CBE（AAS），∴∠DBC=∠ECB，故AB=AC．（2）∵由（1）知，△BCD≌△CBE，∴BD=CE．∵OB=OC，∴BD﹣OB=EC﹣OC∴OD=OE．在Rt△ODA和Rt△OEA中，，∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），∴∠DAO=∠EAO，∴OA平分∠BAC．【点评】本题考查了垂直的性质的运用，AAS，HL证明三角形全等的运用，等式的性质的运用，角平分线的判定的运用，解答时证明三角形是关键．21．（2014秋•忠县校级期末）如图，在△ABC中，AB=BC，点D在AB的延长线上．（1）利用尺规按要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．①作∠CBD的平分线；②作BC边的中垂线交BC边于点E，连接AE并延长交∠CBD的平分线于点F．（2）由（1）得：BF与边AC的位置关系是平行．【考点】作图—复杂作图；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）①利用角平分线的作法得出BM；②首先作出BC的垂直平分线，进而得出BC的中点，进而得出边BC上的中线AE；（2）利用三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质得出即可．【解答】解：（1）①如图所示：BM即为所求；②如图所示：AF即为所求；（2）∵AB=BC，∴∠CAB=∠C，∵∠C+∠CAB=∠CBD，∠CBM=∠MBD，∴∠C=∠CBM，∴BF∥AC．故答案为：平行．【点评】此题主要考查了复杂作图以及三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质等知识，正确利用角平分线的性质得出是解题关键．22．（2014秋•江阴市期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．（1）若∠A=40°，求∠DCB的度数．（2）若AE=4，△DCB的周长为13，求△ABC的周长．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ACB的度数，又由线段垂直平分线的性质，可得AD=CD，即可求得∠ACD的度数，继而求得答案；（2）由AE=4，△DCB的周长为13，即可求得△ABC的周长．【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠ACB==70°，∵DE垂直平分AC，∴DA=DC，∴在△DAC中，∠DCA=∠A=40°，∴∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=30°；（2）∵DE垂直平分AC，∴DA=DC，EC=EA=4，∴AC=2AE=8，∴△ABC的周长为：AC+BC+BD+DA=8+BC+BD+DC=8+13=21．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．23．（2014秋•江阴市期中）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF ⊥AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）连接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质，即可得DE=DF，又由DG⊥BC且平分BC，根据线段垂直平分线的性质，可得BD=CD，继而可证得Rt△BED≌Rt△CFD，则可得BE=CF；（2）首先证得△AED≌△AFD，即可得AE=AF，然后设BE=x，由AB﹣BE=AC+CF，即可得方程5﹣x=3+x，解方程即可求得答案．【解答】（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，设BE=x，则CF=x，∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，∴5﹣x=3+x，解得：x=1，∴BE=1，AE=AB﹣BE=5﹣1=4．【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解．24．（2014秋•滨湖区期中）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【分析】（1）易证BD=AD，可得△ADC≌△BDC，即可求得∠ACD=∠BCD=45°即可解题．（2）连接MC，易证△MCD为等边三角形，即可证明△BDC≌△EMC即可解题．【解答】证明：（1）∵AC=BC，∴∠CBA=∠CAB，又∵∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°，又∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠DBA=∠DAB=30°，∴∠BDE=30°+30°=60°，∵AC=BC，∠CAD=∠C BD=15°，∴BD=AD，在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SAS），∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CDE=60°，∵∠CDE=∠BDE=60°，∴DE平分∠BDC；（2）ME=BD，连接MC，∵DC=DM，∠CDE=60°，∴△MCD为等边三角形，∴CM=CD，∵EC=CA，∠EMC=120°，∴∠ECM=∠BCD=45°在△BDC和△EMC中，，∴△BDC≌△EMC（SAS），∴ME=BD．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ADC ≌△BDC 是解题的关键．25．（2014秋•江阴市校级期中）几何模型：条件：如图1，A 、B 是直线l 同旁的两个定点．问题：在直线l 上确定一点P ，使PA+PB 的值最小．方法：作点A 关于直线l 的对称点A′，连结A′B 交l 于点P ，则PA+PB=A′B 的值最小（不必证明）． 模型应用：（1）如图2，正方形是大家喜爱的一种轴对称图形，它的对角线所在的直线就是对称轴．现在有一个边长为2的正方形ABCD ，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点． 请求出EP+PB 的最小值．（2）如图3，∠AOC=45°，P 是∠AOB 内一点，PO=10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．【考点】轴对称-最短路线问题．【分析】（1）根据正方形的性质，点B 、D 关于AC 对称，连接DE 与AC 的交点即为所求点P ，EP+PB 的最小值等于DE ，然后利用勾股定理列式计算即可得解；（2）作点P 关于OA 的对称点P 1，关于OB 的对称点P 2，连接P 1P 2，求出△PQR 周长的最小值=P 1P 2，连接OP 1、OP 2，根据轴对称的性质求出△OP 1P 2是等腰直角三角形，然后求解即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 、D 关于AC 对称，∴连接DE 与AC 的交点即为所求点P ，EP+PB 的最小值=DE ，由勾股定理得，DE==；（2）作点P 关于OA 的对称点P 1，关于OB 的对称点P 2，连接P 1P 2，则△PQR 周长的最小值=P 1P 2，连接OP 1、OP 2，则OP=OP 1=OP 2，∠AOP=∠AOP 1，∠BOP=∠BOP 2，所以，OP 1=OP 2，∠P 1OP 2=2∠AOB=2×45°=90°，所以，△OP 1P 2是等腰直角三角形，∵PO=10，∴PO 1=10，∴P 1P 2=PO 1=10，即△PQR 周长的最小值为10．【点评】本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，等腰直角三角形的判定与性质，熟记轴对称的性质以及最短路线的确定方法是解题的关键．。