第二章_1_10.12

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二、 正弦量的相量表示法
1、性质 正弦量乘以常数，正弦量的微分、积分，同 频率正弦量的代数和等运算，结果还是一个同频 率的正弦量。 i
把频率作为已知量，
uS 只需求出幅值（或有效值）、 － 初相位即可。 uS(t)=Umsin(w t+ )
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＋
＋ u R －
复数及其运算（复习）
A a a1 ja2
i T t
i(t)=Imsin(w t+ )
7
0
（2） 大小 瞬时值：正弦量任一时刻的值。u，i i Im i(t)=Imsin(w t+ )
0
t
最大值（幅值）：瞬时值中最大的值。 Um，Im
有效值：能量等效成直流电对应的值。U，I
如：常用交流电表指示的电压、电流读数，标 准电压220V等。

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T
i(t) I
0
i R dt ＝ I RT
2
2
R

T
0
2 I i R dt ＝ RT
2
i(t)=Imsin(w t+ )
Im I 2
同理得： U U m 2
（3） 初相位 t=0时的相位角。 i(t)=Imsin(w t+ ) 一般规定：| | 。
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初相位(wt+)=
a.如何根据波形图读出初相位？ 变化起点：正弦量由负变正的零点。
i + u
I
L
+ U
相量 jwL 模型
wt i ) 设 i 2I sin( di 则 u L dt 2wLI cos( wt i )
2wLI sin( wt i 90)
I I i
U ＝jw L I
U
I
27
U U U u 又 ＝ u i I Iｉ I
u 100sin( wt - 30)V
23
相量图计算： 50 230 V U
1
50 290 V U 2
U U 50 2 30 V U 1 2
u 100sin( wt - 30)V
U 2 U 1
30° 30°
50 2
60°
24
U 2
u i =-90
I
U
U
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四、 电路的相量模型
将正弦稳态电路中的所有正弦量转换为相应的 相量，R、L、C分别用其相量模型表示所得到的电 路模型。
i
I
R L C +
瞬 时 值 模 型
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+
uR
− + +
+
R jωL
U R U L
U C

+ − +
+
u

uL
m出
= Im入
0
m
例1 判断下列方程是否成立 iA+ iB+ iC= 0
√
iA iB iC
I A I B
I I 0 √ I A B C
I A I B IC 0 ×
I Aｍ I Bｍ ICｍ 0 ×
特例
I C
i A 10 2 sinwt A iB 10 2 sin( wt 120 ) A
u, i u i 0
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wt
u, i u
=0，u 、i 同相：
0
i
wt
u, i
= ，u、i 反相：
0
u i wt
描述正弦量的三个要素
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需求分析： uS(t)=Umsin(w t+ )
电路分析涉及正弦量的微分、积分、和、差运算。 ∫sin x dx = -cos x + C d(sin x ) = cos x dx sin x +sin y = 2sin (x+y)/2 cos (x-y)/2 sin x -sin y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2 问题：正弦量运算复杂，有没有可以利用的数学 工具？
U
第2节正弦交流电路的相量模型
理想电路元件
i R + u − i + L u -
i +
C u -
u=iR
直流 U=IR
di u L dt
du iC dt
短路
开路
正弦交 流电
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U = I
一、电阻元件的相量模型
i
I
瞬时值 模型
+ u
R
+ U
R
相量 模型
设：i 2I sin( wt i )
2014诺贝尔物理学奖
赤崎勇
天野浩
中村修二
1
三位获奖者在发现新型高效、环境友好型光源， 即蓝色发光二极管（ LED ）方面做出巨大贡献。 在蓝光 LED 的帮助下，白光可以以新的方式被创 造出来。使用 LED 灯，我们可以拥有更加持久和 更加高效的灯光代替原来的光源。
照明效率高：当今世界的电力消耗有近四分之一 用于照明，如果全部使用高效节能的 LED 灯，那 么可以节约地球资源。

i4 20 sin(wt 135 )A
也可用相量图计算
I 4
＝ ＝1090 A I 10 0 A I 2 1
I 1
I 3
I 2
I 2
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总结： 1、正弦量计算转化为相量计算 已知正弦 量瞬时值 相量 表示 相量 计算 需求正弦 量瞬时值
1、三角形式与极坐标形式的转换 2、复数的计算规则
A a ( 1 2 ) B b
2、相量表示
正弦量瞬时值 u Um sin( wt u )
Um U 2 瞬 u Um sin( wt u )
复数 A r
时 值
i Im sin wt i
U
U
U u U 相 I i 量 I
I I i IR U i
U R I
I
(wt i ) 则 u＝ 2IR sin
u= R i
U
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U U U u 又 ＝ u i I Iｉ I
Hale Waihona Puke U R 大小关系 I u i =0 相位关系
二、电感元件的相量模型 瞬时值 模型
I 2＝ 100 A
I 1
I 3
=10 2 45 A
20
i3 20 sin( wt 45 ) A
a2 arctan a1
I －I I 4 1 2 =1090 －100 －10+10j =10 2135 A
I 4
I 1
I 2
0
＋
t
正弦量的正方向指正半周期时的方向。
5
2、三要素： i(t)=Imsin(w t+ ) 大小 快慢 初始相位
描述正弦量的三个要素
i
0

6
wt
（1）快慢 周期 T：正弦量变化一次所需要的时间。秒 （s） 频率 f：每秒变化的次数。 赫兹（ Hz ）。 1 f T 角频率 ω：每秒变化的弧度数。 弧度/秒（ rad/s） 2 w 2 f T
I C I I B C
I B I A
iC 10 2 sin( wt 120 ) A

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例2 已知电路如图所示，正弦交流电路中电流表的读 数分别为A1为5A，A2为20A，A3为25A。 求（1）图中电流表A的读数； （2）如果维持A1的读数不变，而把电源的频 率提高一倍，再求电流表A的读数。
2、特殊相量采用相量图进行和差运算。
I 4 I 1
I 3
I 2
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I 2
练习 已知
u1 100sin ( wt u2 100sin( wt


6 2
)V )V
a1 a cos a2 a sin
a a12 a2 2 a2 arctan a1
R
？
A
A1 A2
5A
C2
L C1
20A
A3
25A
wCU 90 I u U 1 I wC u i =-90
U 1 I wC
容抗
1 1 XC wC 2fC
单位：
f X C
U 1 ＝ j ＝ jX C I wC
容抗与频率成反比 通高频电流，阻低频电流
U 1 =X C I wC
i Im sin wt
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强调 在交流电路中，不同符号的含义 瞬时值 u， i 实数
最大值（幅值） Um，Im 有效值 相量 U，I

U
I
复数
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例1
已知 i1 10 2 sin( wt 90 )A
i2 10 2 sinwtA
求 i3＝i1＋i2，i4＝i1－i2。
时间起点：t=0的时刻。
初相位是变化起点距时间起点的电角度。
i
时间起点
变化起点
0

wt
10
i(t)=Imsin(w t+ )
i
变化起点在时间起点的左边，
i(t)=Imsin(w t+ )
wt
0
0
i
变化起点在时间起点的右边，
0
变化起点和时间起点重合，
0 i
wt
0
11
0
wt
b. 相位差:同频率