2018届四川南充市高三三诊联合诊断考试数学理科(解析版)

2018届四川南充市高三三诊联合诊断考试数学理科（解析版）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由集合，所以，故选C.2. 设复数,在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（）A. 10B. -10C.D.【答案】B【解析】由题意，复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，由，所以，所以，故选B.3. 已知，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：诱导公式，注意，，所以选Ａ考点：诱导公式4. 如图,正方形中，点，分别是，的中点，那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为点是的中点，所以，点是的中点，所以，所以，故选D.5. 为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是，，则下列说法正确的是（）A. ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B. ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C. ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D. ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛【答案】D【解析】由茎叶图可知，甲的平均数是，乙的平均数是，所以乙的平均数大于甲的平均数，即，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，应选乙参加比赛，故选D.6. 执行如图所示的程序框图,输出的值为A. 3B. -6C. 10D. -15【答案】C【解析】试题分析：模拟算法：开始成立；是奇数，，，成立；是偶数，，，成立；是奇数，，，成立；是偶数，，，不成立；输出，结束算法，故选C.考点：程序框图.7. 直线过点且与圆交于，两点，如果，那么直线的方程为（）A. B. 或C. D. 或【答案】D【解析】因为，所以圆心到直线的距离。

因为直线经过点，当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为3，符合；当直线斜率存在时，设直线方程为，则有，解得。

所以直线方程为，即。

综上可得，直线的方程为或，故选D8. 已知函数在定义域上是单调函数，若对于任意，都有，则的值是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】因为函数在定义域上是单调函数，且，所以为一个常数，则，令这个常数为，则有，且，将代入上式可得，解得，所以，所以，故选B.9. 已知长方体内接于球，底面是边长为2的正方形，为的中点，平面，则球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为长方体内接于球，底面是边长为的正方形，设为的中点，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，则，若平面，则，即，解得，所以球的半径满足，故球的表面积，故选B.10. 在中，角,,所对的边分别为，且，，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，则，即，又，所以，又，所以，解得，又因为，即，即，在中，由余弦定理，当且仅当时等号成立，即，所以所以，即的最小值为，故选A.11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作平行于的渐近线的直线交于点，若，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示，设，根据题意可得，双曲线的方程为，直线的方程为， (1)直线的方程为， (2)又点在双曲线上，所以， (3)联立(1)(3)方程组可得联立(1)(2)可得，所以，所以，即，所以，所以双曲线的渐近线方程为，故选C.点睛：本题考查了双曲线的几何性质的应用，其中双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题受到出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是；③双曲线的顶点到渐近线的距离是.12. 已知定义在上的偶函数在上单调递减，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为定义在上的偶函数在上递减，所以在上单调递增，若不等式对于上恒成立，则对于上恒成立，即对于上恒成立，所以对于上恒成立，即对于上恒成立，令，则由，求得，（1）当时，即或时，在上恒成立，单调递增，因为最小值，最大值，所以，综上可得；（2）当，即时，在上恒成立，单调递减，因为最大值，最小值，所以，综合可得，无解，（3）当，即时，在上，恒成立，为减函数，在上，恒成立，单调递增，故函数最小值为，若，即，因为，则最大值为，此时，由，求得，综上可得；若，即，因为，则最大值为，此时，最小值，最大值为，求得，综合可得，综合（1）（2）（3）可得或或，即，故选A.点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，着重考查了转化思想、分类讨论的数学思想方法，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中利用函数的奇偶性、单调性，可得在上恒成立，令，求的函数的最大值和最小值，从而得到实数的取值范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中的系数为__________．【答案】-21.【解析】利用通项公式，令，，则展开式中的系数为.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项.根据通项公式,根据所求项的要求，解出，再给出所求答案.14. 若实数，满足且的最小值为3，则__________．【答案】.【解析】试题分析：画出可行域，当目标函数过点B时取得最小值，由得,则考点：线性规划15. 在中，，，边上的中线，则的面积为__________．【答案】.【解析】由题意，延长至，使得，可证，其面积相等，故的面积等于的面积，由已知数据可得，在中由余弦定理可得，所以，所以.16. 已知单位向量，，两两的夹角均为(，且)，若空间向量，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系 (为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作，有下列命题：①已知，，则；②已知，，其中，，均为正数，则当且仅当时，向量，的夹角取得最小值；③已知，，则；④已知，，，则三棱锥的表面积.其中真命题为__________．(写出所有真命题的序号)【答案】②③.【解析】由题意，①若，，则，则，所以不正确；②由，其中，向量的夹角取得最小值，两向量同向时，存在实数，满足，根据仿射的定义，可知是正确的；③已知，，则，所以，所以是正确的；④由，则三棱锥为正四面体，棱长为，其表面积为，所以不正确，故选②③.点睛：本题主要考查了向量的新定义运算，此类问题正确理解新定义的运算方式是解答的关键，对于向量问题：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知是等比数列，，且，，成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列前项的和.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）设数列公比为，根据题设条件，求得，即可可得数列的通项公式；（Ⅱ）由（1）得，利用等差数列的求和公式，即可求解数列的前项和.试题解析：（Ⅰ）设数列公比为，则，，因为成等差数列，所以，即，整理得，因为，所以，所以，（Ⅱ）因为，所以18. 某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为，当时,产品为一级品；当时，产品为二级品，当时，产品为三级品，现用两种新配方(分别称为配方和配方)做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：(以下均视频率为概率)配方的频数分配表配方的频数分配表（Ⅰ）若从配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的配方产品中至少1件二级品”为事件，求事件发生的概率；（Ⅱ）若两种新产品的利润率与质量指标满足如下关系：其中，从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）投资配方产品的平均利润率较大.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知，求得配方产品中随机抽取一次抽中二级品的概率，即可利用对立事件的概率，求得概率；（Ⅱ）根据数学期望的公式，求得，再由，得到，即可得到结论.试题解析：（Ⅰ）由题意知，从配方产品中随机抽取一次抽中二级品的概率为，则没有抽中二级品的概率为，所以，.（Ⅱ）配方立品的利润分布列为所以配方产品的利润分布列为所以，因为，所以所以投资配方产品的平均利润率较大.19. 如图，四边形中，，，，，，分别在，上，，现将四边形沿折起，使平面平面.（Ⅰ）若，在折叠后的线段上是否存在一点，且，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）在存在一点，且，使平面.（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）折叠后，连结，得，进而得平面，再由，，得到平面平面，进而得平面，即可得到结论；（Ⅱ）根据题意得时，取是最大值，再由（Ⅰ）可以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求得平面和的的法向量，利用向量的夹角公式即可求解二面角的余弦值.试题解析：（Ⅰ）在折叠后的图中过作，交于，过作交于，连结，在四边形中，，，所以.折起后，，又平面平面，平面平面，所以平面.又平面，所以，所以，，，因为，，所以平面平面，因为平面，所以平面.所以在存在一点，且，使平面.（Ⅱ）设，所以，，故所以当时，取是最大值.由（Ⅰ）可以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，，设平面的法向量，则即令，则，，则，设平面的法向量，则即令，则，，则所以.所以二面角的余弦值为20. 已知椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个长轴端点恰好是抛物线的焦点，（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知，是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点.①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值.②当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？请说明理由.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）①.②的斜率为定值.【解析】试题分析：（Ⅰ）由抛物线焦点为，求得所以，再由，进而求得的值，即可得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）①设直线的方程为，联立方程组，求得，，得到的表达式，即可求解面积的最大值；②设的方程为，联立方程组，根据根据与系数的关系，求得，再利用斜率公式，即可得到的斜率为定值.试题解析：（Ⅰ）因为抛物线方程，所以抛物线焦点为所以又，所以，.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）①设，，设直线的方程为联立消，得又在直线两侧的动点，所以.所以，.又，所以当时，四边形面积取得最大值为.②当时，，斜率之和为.设直线的斜率为，则直线的斜率为.设的方程为，联立,消得，，所以，同理.所以所以.所以的斜率为定值点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等21. 已知函数，其中，为参数，且.（Ⅰ）当时，判断函数是否有极值.（Ⅱ）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围.（Ⅲ）若对（Ⅱ）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）无极值.（Ⅱ）.（Ⅲ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，，得到，所以无极值.（Ⅱ）由，得，，由（Ⅰ），只需分当和两情况讨论，即可得到使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围.（Ⅲ）由题设，函数在内是增函数，且由（Ⅱ）参数时要使恒成立，列出不等式，即可求解实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）当时，，，所以，所以无极值.（Ⅱ）因为，设，得，由（Ⅰ），只需分下面两情况讨论：①当时当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以当时，取得极小值，极小值，要使则有，所以，因为，故或；②当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以当时，取得极小值.极小值若，则，矛盾.所以当时，的极小值不会大于零.综上所述，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围是：.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，函数在区间与内都是增函数，由题设，函数在内是增函数，则或由（Ⅱ）参数时要使恒成立，必有即且综上：或.所以的取值范围是.点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及利用函数的单调求解参数的取值范围等，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题；(4)考查数形结合思想的应用.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线过点，倾斜角为.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程与直线的参数方程；（Ⅱ）设直线与曲线交于两点，求的值.【答案】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为：，直线的参数方程为 (为参数).（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到的直角坐标方程，进而得到直线的参数方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，求的，即可利用的几何意义，求得.试题解析：（Ⅰ）因为，所以所以，即曲线的直角坐标方程为：直线的参数方程(为参数)即 (为参数)（Ⅱ）设点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得整理，得，所以因为，，所以.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若，且，证明：.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）分类讨论，即可求解不等式解集；（Ⅱ）由，化简得，再由因为，所以，所以，即可得到证明.试题解析：（Ⅰ）解：当时，，；当时，，，无解；当时，，.综上,不等式的解集为：.（Ⅱ）证明：.因为，所以，所以，.。