2020江苏省南通市通州区高一数学暑假自主学习单元检测十二
2024-2025学年江苏省部分校高一数学暑期成果验收卷附答案解析
2024-2025学年江苏省部分校高一数学暑期成果验收卷满分150分，考试用时120分钟一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列写法中正确的是（）A ．{}{}00,1∈B ．0∈∅C ．{}0∅⊆D ．{}0,1∅∈2．命题“任意x ∈R ，2240x x -+≤”的否定为（）A ．任意x ∈R ，2240x x -+≥B ．存在0x ∈R ，200240x x -+>C ．任意x ∉R ，2240x x -+≥D ．存在0x ∉R ，200240x x -+>3．已知集合{}|04M x x =<<，{}1,1,2,3N =-，则M N ⋂=（）A ．{0,1,2,3,4}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{2,3}4．设集合{|3,Z}U x x x =<∈，{}{}1,2,2,1,2A B ==--，则U A B = ð（）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}2D ．{}0,1,25．不等式252(1)x x +≥-的解集是（）A ．13,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(]1,11,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ 6．已知,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a b<B ．22a b >C ．a c b c>D ．2211a bc c >++7．函数()f x =）A ．14B ．12C ．2D ．18．若关于x 的不等式()21,x bx c b c ++≤∈R 的解集为3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b c +的值是（）A ．12-B ．32-C ．2D ．52-二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知集合{}{}|03,|11A x x B x x =<≤=-≤<，则（）A ．[]1,3A B ⋂=-B ．()0,1A B = C ．()0,1A B ⋃=D ．[]1,3A B ⋃=-10．设{}2540A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B A ⋃=，则实数a 的值可以是（）A ．0B ．14C ．4D ．111．已知函数()2f x ax bx c =++的图象如图所示，则（）A ．0b >B ．0c >C ．3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．不等式()()()0ax b bx c cx a +++<的解集是1(2-，()233∞⋃+，三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知函数2(2)2(2)4y a x a x =-+--，若对任意实数x ，函数值恒小于0，则a 的取值范围是13．已知R m ∈，则2231m m +-与242m m +-的大小关系为．14．若关于x 的不等式2240tx tx -+>的解集为R ，求实数t 的取值范围.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知{}3A xa x a =≤≤-+∣，{1B x x =<-∣或5}x >．(1)若A B ⋂=∅，求a 的取值范围；(2)若A B =R ，求a 的取值范围．16.（本小题15分）（1）求函数21(0)x x y x x++=<的最大值；（2）求函数()()52(1)1x x y x x ++=>-+的最小值．（3）若(),0,x y ∈+∞，且41x y +=，求11x y+的最小值.17.（本小题15分）（1）已知一元二次不等式2120ax bx ++>的解集为()3,2-，求实数a 、b 的值及不等式250bx x a ++≤的解集．（2）．已知0a >，解不等式：()10x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭．18.（本小题17分）(1)设集合{10A xx =+≤∣或40}x -≥，{}22B x a x a =≤≤+∣．①若A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围；②若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．（2）已知0a >，0b >，0c >，且1a b c ++=，求证：1119a b c++≥．19.（本小题17分）已知函数()()()2212R f x mx m x m =-++∈．(1)若0m >，解关于x 的不等式()0f x <；(2)若不等式()4f x x ≤-在{}|3x x x ∈>上有解，求实数m 的取值范围．数学参考答案选择题：题号1234567891011答案CBCDDDBDBDABDBCD填空题：12.22a -<≤132223142m m m m +->+-14.{}|04t t ≤<解答题：15.（本小题13分）已知{}3A xa x a =≤≤-+∣，{1B x x =<-∣或5}x >．(1)若A B ⋂=∅，求a 的取值范围；(2)若A B =R ，求a 的取值范围．【答案】(1)[)1,-+∞(2)(],2-∞-【详解】（1）①当A =∅时，A B ⋂=∅，∴3a a >-+，∴32a >．②当A ≠∅时，要使A B ⋂=∅，必须满足32351a a a ⎧≤⎪⎪-+≤⎨⎪≥-⎪⎩，解得312a -≤≤．综上所述，a 的取值范围是[)1,-+∞．（2）∵A B =R ，{}3A x a x a =≤≤-+∣，{1B x x =<-∣或5}x >，∴351a a -+≥⎧⎨≤-⎩，解得2a ≤-，故所求a 的取值范围为(],2-∞-．16.（本小题15分）（1）求函数21(0)x x y x x++=<的最大值；【答案】1-；【详解】（1）由0x <，得0x ->，因此21111()111x x y x x x x x ++==++=---+≤-=-，当且仅当1x x-=-，即=1x -时取等号，所以原函数的最大值为1-.（2）求函数()()52(1)1x x y x x ++=>-+的最小值．【答案】最小值为9．【详解】由1x >-，得10x +>，因此1(5)(2[()4][(1))11]1x x x y x x x +++++=+=++2(1)5(1)44(1)55911x x x x x ++++==+++≥=++，当且仅当411x x +=+，即1x =时取等号，所以原函数的最小值为9.（3）若(),0,x y ∈+∞，且41x y +=，求11x y+的最小值.【答案】9【详解】因为(),0,x y ∈+∞，且41x y +=，所以11444559x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+=，当且仅当4y x x y =，即224x y =时取等号，此时13x =，16y =，所以11x y +的最小值为9.17.（本小题15分）（1）已知一元二次不等式2120ax bx ++>的解集为()3,2-，求实数a 、b 的值及不等式250bx x a ++≤的解集．【答案】22a b =-⎧⎨=-⎩，[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ 【详解】由2120ax bx ++>的解集为()3,2-，知2120ax bx ++=的两根为3-，2，所以32,1232,ba a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩解得22.a b =-⎧⎨=-⎩所求不等式为22520x x -+-≤，变形为22520x x -+≥，即()()2120x x --≥，所以不等式的解集为[)1,2,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ ．（2）．已知0a >，解不等式：()10x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭．【答案】答案见解析【详解】解：原不等式为()10x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭．①若1a a >时，即1a >时，则原不等式的解集为1x x a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；②若1a a=时，即1a =时，则原不等式的解集为∅；③若1a a <时，即01a <<时，则原不等式的解集为1x a x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．综上可得，当1a >时，原不等式的解集为1x x a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当1a =时，则原不等式的解集为∅；当01a <<时，则原不等式的解集为1x a x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．18.（本小题17分）(1)设集合{10A xx =+≤∣或40}x -≥，{}22B x a x a =≤≤+∣．①若A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围；②若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．【答案】①{2a a =或12a ⎫≤-⎬⎭②{3aa ≤-∣或2}a ≥．【详解】①由题意，得{1A x x =≤-∣或4}x ≥．又{}22B xa x a =≤≤+∣，A B ⋂≠∅，则B ≠∅．结合数轴，可得22,21a a a ≤+⎧⎨≤-⎩或22,24,a a a ≤+⎧⎨+≥⎩解得12a ≤-或2a =．则实数a 的取值范围是{2aa =∣或12a ⎫≤-⎬⎭．②由A B A ⋃=，得B A ⊆．当B =∅时，22a a >+，即2a >，满足B A ⊆．当B ≠∅时，结合数轴，如图（1）（4），可得22,21a a a ≤+⎧⎨+≤-⎩或22,24,a a a ≤+⎧⎨≥⎩解得3a ≤-或2a =．则实数a 的取值范围是{3aa ≤-∣或2}a ≥．（2）已知0a >，0b >，0c >，且1a b c ++=，求证：1119a b c++≥．【答案】（2）∵0a >，0b >，0c >，且1a b c ++=，∴111a b c a b c a b ca b c a b c++++++++=++3b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭32b a c a c b a b a c b c≥+⋅⋅⋅32229=+++=，当且仅当a b c ==时取等号．19.（本小题17分）已知函数()()()2212R f x mx m x m =-++∈．(1)若0m >，解关于x 的不等式()0f x <；(2)若不等式()4f x x ≤-在{}|3x x x ∈>上有解，求实数m 的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2){}|23m m ≤【详解】（1）易得()()()0210(0)f x x mx m <⇔--当102m <<时，12x m <<，所以解集为1|2x x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当12m =时，x ∈∅，所以解集为∅；当12m >时，12x m <<，所以解集为1|2x x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）若()4f x x ≤-在{}|3x x x ∈>上有解，则()221240mx m x x -++-+≤在{}|3x x x ∈>上有解，故()22260mx m x -++≤，即()6220mx m x-++≤在{}|3x x x ∈>上有解，由6220mx m x --+≤，得6(2)2m x x-≤-，进而知()()622322x x m x x x --≤=--，令30t x =->，则3x t =+，设()()()()2322()232314x tg x x x t t t t-===≤--++++当且仅当t ={|2m m ≤．。
2019-2020学年江苏省南通市通州区高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏省南通市通州区高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知，是单位向量，且⊥，则•（﹣）＝（）A．﹣1B．0C．1D．2．在△ABC中，若sin A：sin B：sin C＝3：5：7，则C＝（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．使式子有意义的x的取值范围是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．[﹣2，3]D．（2，3]4．已知角α的终边为，则＝（）A．B．C．﹣D．﹣5．设集合，则A∩B中的元素个数为（）A．0B．1C．2D．36．我国古代典籍《周易》中用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从上到下排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“﹣﹣”，如图就是一个重卦，已知某重卦从上到下排列的前3个爻均为阴爻，若后3个爻随机产生，则该重卦恰含2个阳爻的概率为（）A．B．C．D．7．已知球O的表面积为16π，球心O到球内一点P的距离为1，则过点P的截面的面积的最小值为（）A．3πB．4πC．6πD．8π8．设直线l过点P（1，2），在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线l的条数为（）A．1B．2C．3D．4二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．某篮球运动员8场比赛中罚球次数的统计数据分别为：2，6，8，3，3，4，6，8，关于该组数据，下列说法正确的是（）A．中位数为3B．众数为3，6，8C．平均数为5D．方差为4.810．设a，b均为正数，且a+2b＝1，则下列结论正确的是（）A．ab有最大值B．有最大值C．a2+b2有最小值D．a2﹣b2有最小值11．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列结论正确的是（）A．异面直线BD1与B1C所成的角大小为90°B．四面体D1DBC的每个面都是直角三角形C．二面角D1﹣BC﹣B1的大小为30°D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为12．某同学在研究函数f（x）＝+|x﹣1|的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，（1，+∞）上单调递增B．函数f（x）的最小值为，没有最大值C．存在实数t，使得函数f（x）的图象关于直线x＝t对称D．方程f（x）＝2的实根个数为2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间中，已知直线l，两个不同的平面α，β，下列三个条件中，一定能推出“α∥β”的条件序号是．①l∥α，l∥β；②l⊥α，l⊥β；③l⊥α，l∥β14．圆C1：x2+（y﹣1）2＝4与圆C2：（x﹣3）2+y2＝1的公切线共有条．15．函数的图象上一点到坐标原点的距离的平方的最小值为．16．某地积极创建全国文明城市，考虑环保和美观，为城区街道统一换置了新型垃圾桶（如图），已知该垃圾桶由上、下两部分组成（上部为多面体，下部为长方体，高度比为1：2），垃圾桶最上面是正方形，与之相邻的四个面都是全等三角形，垃圾投入口是边长为a的正六边形，该垃圾桶下部长方体的容积为，该垃圾桶的顶部面积（最上面正方形及与之相邻的四个三角形的面积之和）为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①sin A＝ab这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，使得△ABC存在且唯一，并解答补充完整后的问题．问题：在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos B＝，____，____，求△ABC的面积．18．为了解学生“课外阅读日”的活动情况，某校以10%的比例对高二年级500名学生按选修物理和选修历史进行分层抽样调查，测得阅读时间（单位：分钟）的频数统计图如图：（1）分别估计该校高二年级选修物理和选修历史的人数；（2）估计该校高二年级学生阅读时间在60分钟以上的概率；（3）从样本中阅读时间在60～90分钟的选修物理的学生中任选2人，求至少有1人阅读时间在75～90之间的概率．19．为了解某小卖部冷饮销量与气温之间的关系，随机统计并制作了6天卖出的冷饮的数量与当天最高气温的对照表：气温x（℃）272930323335数量y121520272836（1）画出散点图，并求出y关于x的线性回归方程；（2）根据天气预报，某天最高气温为36.6℃，请你根据这些数据预测这天小卖部卖出的冷饮数量．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）的回归直线y＝a+bx的斜率和截距的最小二乘估计为＝，a＝﹣．20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，且AB＝BC＝1，AD＝2，PA＝PD，点M为AD中点，平面PAD⊥平面ABCD，直线PB与平面ABCD所成角的正切值为．（1）求证：BM∥平面PCD；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）用一个平面去截四棱锥P﹣ABCD，请作出一个平行四边形截面（无须证明），并写出你能作出的平行四边形截面的个数．21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在直线上，且圆心的横坐标为整数，圆C被x轴截得的弦长为8，点M（7，7）在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l的斜率为，在y轴上的截距t（t为常数），与圆C相交于点A，B．问：直线OA，OB是否关于x轴对称？若对称，请证明；若不对称，请说明理由．22．已知函数f（x）＝，其中a＞0．（1）若f（f（0））＝1，求a的值；（2）若函数f（x）的图象在x轴的上方，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知，是单位向量，且⊥，则•（﹣）＝（）A．﹣1B．0C．1D．【分析】由已知结合向量的数量积的性质即可求解．解：∵，是单位向量，且⊥，∴＝0，•（﹣）＝＝﹣1．故选：A．2．在△ABC中，若sin A：sin B：sin C＝3：5：7，则C＝（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】利用正弦定理把已知比例中的角的正弦化成边，分别设出三边的长，利用余弦定理求得答案．解：由正弦定理知＝2R，∴sin A＝，sin B＝，sin C＝，∵sin A：sin B：sin C＝3：5：7，∴a：b：c＝3：5：7，设a＝3t，b＝5t，c＝7t，∴cos C＝＝＝﹣，∵0°＜C＜180°，∴C＝120°．故选：C．3．使式子有意义的x的取值范围是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．[﹣2，3]D．（2，3]【分析】由题意可得，，解不等式即可求解．解：由题意可得，，解可得2＜x＜3．故选：B．4．已知角α的终边为，则＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，求得sin2α的值．解：∵角α的终边落在射线y＝x（x≥0）上，∴tanα＝，可得cosα＝，又∵sin2α+cos2α＝sin2α+（）2＝1，解得sinα＝，则＝﹣sinα＝﹣．故选：D．5．设集合，则A∩B中的元素个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】列方程组，求出A∩B，由此能求出A∩B中的元素的个数．解：∵集合，∴A∩B＝{（x，y）|}＝{（﹣1，0），（0，1），（1，0）}．∴A∩B中的元素个数为3．故选：D．6．我国古代典籍《周易》中用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从上到下排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“﹣﹣”，如图就是一个重卦，已知某重卦从上到下排列的前3个爻均为阴爻，若后3个爻随机产生，则该重卦恰含2个阳爻的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝23＝8，该重卦恰含2个阳爻包含的基本事件个数m＝，由此能求出该重卦恰含2个阳爻的概率．解：每一“重卦”由从上到下排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“﹣﹣”，某重卦从上到下排列的前3个爻均为阴爻，后3个爻随机产生，基本事件总数n＝23＝8，该重卦恰含2个阳爻包含的基本事件个数m＝，则该重卦恰含2个阳爻的概率为P＝．故选：B．7．已知球O的表面积为16π，球心O到球内一点P的距离为1，则过点P的截面的面积的最小值为（）A．3πB．4πC．6πD．8π【分析】由题意可得当OP垂直于截面时，截面的半径最小，即截面的面积最小，先球的表面积求出球的帮忙，再由r2＝R2﹣OP2求出截面的半径r2，进而求出截面的最小面积．解：设球的半径为R，截面面积最小的半径为r，由题意可得r2≥R2﹣OP2所以当OP垂直于截面时，截面的半径最小，即截面的面积最小，由题意可得4πR2＝16，所以R2＝4，由r2＝R2﹣OP2＝4﹣1＝3，所以截面的面积的最小值为S＝πr2＝3π，故选：A．8．设直线l过点P（1，2），在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线l的条数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】分两种情况考虑：当直线在坐标轴上的截距为0，则可设y＝kx，当直线在坐标轴上的截距不为0，则可设，由题意可得|a|＝|b|且，可求．解：当直线在坐标轴上的截距为0，则可设y＝kx，因为直线过P（2，1），则1＝2k即k＝，此时直线方程为y＝，当直线在坐标轴上的截距不为0，则可设，由题意可得|a|＝|b|且，解可得，a＝b＝3或b＝1，a＝﹣1，综上可得，满足条件的直线有3条．故选：C．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．某篮球运动员8场比赛中罚球次数的统计数据分别为：2，6，8，3，3，4，6，8，关于该组数据，下列说法正确的是（）A．中位数为3B．众数为3，6，8C．平均数为5D．方差为4.8【分析】先将原数据按照从小到大的顺序进行排列，再根据中位数、众数、平均数和方差的计算方法逐一求解即可．解：将原数据按从小到大的顺序进行排列：2，3，3，4，6，6，8，8，所以中位数为，众数为3，6，8，平均数为＝5，方差为×[（2﹣5）2+（3﹣5）2×2+（4﹣5）2+（6﹣5）2×2+（8﹣5）2×2]＝4.75．故选：BC．10．设a，b均为正数，且a+2b＝1，则下列结论正确的是（）A．ab有最大值B．有最大值C．a2+b2有最小值D．a2﹣b2有最小值【分析】由已知结合基本不等式及二次函数的性质分别检验各选项即可判断．解：因为a＞0，b＞0，a+2b＝1，由基本不等式可得1＝a+2b，解可得，ab，当且仅当a＝2b＝即a＝，b＝时取等号，故A正确；∵（）2＝×2＝1+2≤2，∴，即最大值，故B正确；∵，∴，结合二次函数的性质可知，a2+b2＝（1﹣2b）2+b2＝5b2﹣4b+1，故C正确；因为，结合二次函数的性质可得，a2﹣b2＝（1﹣2b）2﹣b2＝3b2﹣4b+1＞，故D错误．故选：ABC．11．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列结论正确的是（）A．异面直线BD1与B1C所成的角大小为90°B．四面体D1DBC的每个面都是直角三角形C．二面角D1﹣BC﹣B1的大小为30°D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为【分析】证明线面垂直，得到线线垂直判定A；由正方体的结构特征及直线与平面垂直的性质判断B；求出二面角D1﹣BC﹣B1的大小判断C；分别求出正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球与外接球的半径，作差判断D．解：如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，D1C1⊥平面BB1C1C，则D1C1⊥B1C，又B1C⊥BC1，D1C1∩BC1＝C1，∴B1C⊥平面BC1D1，则B1C⊥BD1，即异面直线BD1与B1C所成的角大小为90°，故A正确；∵DD1⊥底面ABCD，∴DD1⊥DB，DD1⊥DC，再由BC⊥平面DD1C1C，可得BC⊥DC，BC⊥D1C，得四面体D1DBC的每个面都是直角三角形，故B正确；由BC⊥平面DD1C1C，可得BC⊥D1C，BC⊥CC1，即∠D1CC1为二面角D1﹣BC﹣B1的平面角，大小为45°，故C错误；正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的半径为，外接球的半径为，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为，故D正确．故选：ABD．12．某同学在研究函数f（x）＝+|x﹣1|的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，（1，+∞）上单调递增B．函数f（x）的最小值为，没有最大值C．存在实数t，使得函数f（x）的图象关于直线x＝t对称D．方程f（x）＝2的实根个数为2【分析】由题意画出图形，利用动点到两定点距离和的变化判断A；求出最小值，分析无最大值判断B；由对称性的定义判断C；由单调性与函数值的关系判断D．解：f（x））＝可理解为动点P（x，0）到两个定定点A（0，1），B（1，0）的距离和．如图：当x＜0时，随着x的增大，P越靠近原点O，PA越小，PB越小，则PA+PB越小，即f（x）越小，函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，当x＞1时，随着x的增大，P越远离点B，PA越大，PB越大，则PA+PB越大，即f （x）越大，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，故A正确；当P与B重合时，PA+PB最小为，P越向左远离O或向右远离B，PA+PB越大，无最大值，即函数f（x）的最小值为，没有最大值，故B正确；当P与B重合时，PA+PB最小为，若函数f（x）有对称轴，则对称轴方程为x＝1，而f（0）＝2，f（2）＝，f（0）≠f（2），则x＝1不是对称轴，∴存在实数t，使得函数f（x）的图象关于直线x ＝t对称错误，故C错误；∵当P与O重合时，f（x）＝2，当x＜0时，f（x）＞2，当0＜x＜1时，f（x）∈（，2），当x＞1时，f（x）＞．由f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴有一个x0＞，使得f（x）＝2，则方程f（x）＝2的实根个数为2，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间中，已知直线l，两个不同的平面α，β，下列三个条件中，一定能推出“α∥β”的条件序号是②．①l∥α，l∥β；②l⊥α，l⊥β；③l⊥α，l∥β【分析】对于①，α与β相交或平行；对于②，由面面平行的判定定理得α∥β；对于③，α与β相交或平行．解：由直线l，两个不同的平面α，β，知：对于①，l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故①错误；对于②，l⊥α，l⊥β，由面面平行的判定定理得α∥β，故②正确；对于③，l⊥α，l∥β，则α与β相交或平行，故③错误．故答案为：②．14．圆C1：x2+（y﹣1）2＝4与圆C2：（x﹣3）2+y2＝1的公切线共有4条．【分析】根据题意，分析两个圆的圆心以及半径，由圆与圆的位置关系分析可得两圆相离，据此分析可得答案．解：圆C1：x2+（y﹣1）2＝4，圆心C1（0，1），半径为2，圆C2：（x﹣3）2+y2＝4，圆心C2（3，0），半径为1，两圆的圆心距为＞2+1＝3，正好大于两圆的半径之和，故两圆相离，故两圆的公切线有4条，故答案为：4．15．函数的图象上一点到坐标原点的距离的平方的最小值为2．【分析】由题意利用点到直线的距离公式、基本不等式，求得结果．解：设函数的图象上一点A（a，a﹣），则A到坐标原点的距离的平方的为a2+＝2a2+﹣2≥2﹣2＝2﹣2，当且仅当a2＝时，取等号，故答案为：2﹣2．16．某地积极创建全国文明城市，考虑环保和美观，为城区街道统一换置了新型垃圾桶（如图），已知该垃圾桶由上、下两部分组成（上部为多面体，下部为长方体，高度比为1：2），垃圾桶最上面是正方形，与之相邻的四个面都是全等三角形，垃圾投入口是边长为a的正六边形，该垃圾桶下部长方体的容积为12a3，该垃圾桶的顶部面积（最上面正方形及与之相邻的四个三角形的面积之和）为a2．【分析】由正六边形的边长求出下部长方体的底面边长及高，再求出上面正方形的对角线长，得到正方形的边长，然后利用长方体体积公式及正方形与三角形的面积公式求解．解：如图，由正六边形边长为a，可得AD＝，则AC＝，OB＝a．由题意，下部长方体的底面为边长是a的正方形，高为4a，∴下部长方体的体积为；最上面正方形的对角线长为，则正方形边长为．∴每一个小三角形是等腰三角形，底边长为，腰长为a，则一个小三角形的面积为＝．∴垃圾桶的顶部面积为＝．故答案为：12a3；．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①sin A＝ab这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，使得△ABC存在且唯一，并解答补充完整后的问题．问题：在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos B＝，____，____，求△ABC的面积．【分析】选①②，由已知结合正弦定理可得a，b关系，然后结合余弦定理即可求解；选①③结合已知及正弦定理进行化简即可判断；选②③，由余弦定理可得cos C＝﹣，结合范围0＜C＜π，可求C的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，在△ABC中，由正弦定理可得b的值，可得a2+a ﹣4＝0，解方程可求a的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：选①②由sin A＝sin B，结合正弦定理可得a＝，因为c＝，cos B＝＝＝，解可得，b＝1或b＝5，此时三角形的解不唯一，选①③由sin A＝sin B，结合正弦定理可得a＝，因为a2+b2+c2＝﹣ab，联立此时a，b不存在，选②③，在△ABC中，由余弦定理可得cos C＝，因为a2+b2+c2＝﹣ab，①所以cos C＝﹣，又0＜C＜π，可得C＝，因为sin2B+cos2B＝1，cos B＝，由于0＜B＜π，所以sin B＝，在△ABC中，由正弦定理，可得b＝＝＝1，又c＝，代入①中，可得a2+a﹣4＝0，解得a＝（负值舍去），于是△ABC存在且唯一，所以S△ABC＝ab sin C＝＝．18．为了解学生“课外阅读日”的活动情况，某校以10%的比例对高二年级500名学生按选修物理和选修历史进行分层抽样调查，测得阅读时间（单位：分钟）的频数统计图如图：（1）分别估计该校高二年级选修物理和选修历史的人数；（2）估计该校高二年级学生阅读时间在60分钟以上的概率；（3）从样本中阅读时间在60～90分钟的选修物理的学生中任选2人，求至少有1人阅读时间在75～90之间的概率．【分析】（1）利用分层抽样能估计该校高二年级选修物理和选修历史的人数．（2）样本中，阅读时间在60分钟以上的人数为22人，样本总数为50，由此能求出样本中阅读时间在60分钟以上的频率．（3）样本中阅读时间在60～90分钟的选修物理的学生分两类：一类是阅读时间在60～75分钟的共有3人，记为a1，a2，a3，另一类是阅读时间在75～90分钟的共有2人，记为b1，b2，从这5人中任选2人，利用列举法能求出至少有1人阅读时间在75～90之间的概率．解：（1）∵以10%的比例对高二年级500名学生按选修物理和选修历史进行分层抽样，∴该校高二年级选修物理的人数约为：（6+9+9+3+2+1）×10＝300（人），∴该校高二年级选修历史的人数约为：500﹣300＝200（人）．（2）样本中，阅读时间在60分钟以上的人数为：（3+2+1）+（9+6+1）＝22（人），∵样本总数为：10%×500＝50，∴样本中阅读时间在60分钟以上的频率为：．（3）样本中阅读时间在60～90分钟的选修物理的学生分两类：一类是阅读时间在60～75分钟的共有3人，记为a1，a2，a3，另一类是阅读时间在75～90分钟的共有2人，记为b1，b2，从这5人中任选2人，共有10种等可能基本事件，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），记事件A为：“至少有1人阅读时间在75～90之间”，则事件为：“2人阅读都在60～75之间”，且包含3个基本事件：（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），∴至少有1人阅读时间在75～90之间的概率为：P＝1﹣P（）＝1﹣．19．为了解某小卖部冷饮销量与气温之间的关系，随机统计并制作了6天卖出的冷饮的数量与当天最高气温的对照表：气温x（℃）272930323335数量y121520272836（1）画出散点图，并求出y关于x的线性回归方程；（2）根据天气预报，某天最高气温为36.6℃，请你根据这些数据预测这天小卖部卖出的冷饮数量．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）的回归直线y＝a+bx的斜率和截距的最小二乘估计为＝，a＝﹣．【分析】（1）根据题意画出散点图，计算、，求出回归系数、，写出回归方程；（2）计算x＝36.6时的值，即可预测这天小卖部卖出的冷饮数量．解：（1）根据题意画出散点图，如图所示；根据销量与气温对照表知，＝×（27+29+30+32+33+35）＝31，＝×（12+15+20+27+28+36）＝23；所以＝＝＝＝，＝﹣＝23﹣×31＝﹣；所以y关于x的线性回归方程是＝x﹣，（2）计算x＝36.6时，＝×36.6﹣＝40.2≈40，所以当气温为36.6℃时，可预测这天小卖部卖出的冷饮数量为40．20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，且AB＝BC＝1，AD＝2，PA＝PD，点M为AD中点，平面PAD⊥平面ABCD，直线PB与平面ABCD所成角的正切值为．（1）求证：BM∥平面PCD；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）用一个平面去截四棱锥P﹣ABCD，请作出一个平行四边形截面（无须证明），并写出你能作出的平行四边形截面的个数．【分析】（1）推导出BC∥MD，BC＝MD，四边形BCDM是平行四边形，从而BM∥CD，由此能证明BM∥平面PCD．（2）连结PM，推导出PM⊥AD，PM⊥平面ABCD，四棱锥P﹣ABCD的体积为V P﹣ABCD ＝．（3）取PD、PA的中点E，F，连结CE，EF，FB，则截面BCEF是平行四边形截面，作出的平行四边形截面的个数是无数个．解：（1）证明：∵AD∥BC，BC＝1，AD＝2，点M为AD的中点，∴BC∥MD，BC＝MD，∴四边形BCDM是平行四边形，∴BM∥CD，∵BM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴BM∥平面PCD．（2）解：连结PM，∵PA＝PD，M为AD的中点，∴PM⊥AD，又平面PAD⊥平面ABC，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PM⊂平面PAD，∴PM⊥平面ABCD，∴直线PB与平面ABCD所成角为∠PBM，且tan∠PBM＝＝，∵∠BAD＝90°，AB＝AM＝1，∴BM＝，PM＝1，∴四棱锥P﹣ABCD的体积为：V P﹣ABCD＝＝．（3）解：取PD、PA的中点E，F，连结CE，EF，FB，则截面BCEF是平行四边形截面，作出的平行四边形截面的个数是无数个．21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在直线上，且圆心的横坐标为整数，圆C被x轴截得的弦长为8，点M（7，7）在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l的斜率为，在y轴上的截距t（t为常数），与圆C相交于点A，B．问：直线OA，OB是否关于x轴对称？若对称，请证明；若不对称，请说明理由．【分析】（1）设圆C的标准方程，可得圆心坐标，由题意可得a，b的关系，再求出在x轴的弦长，由题意可得a，b，r的关系，再由点M在圆上，可得a，b，r的关系，由a为整数可得a，b，r的值，进而求出圆C的方程；（2）由题意可得直线l的方程，将直线l与圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出直线OA，OB的斜率之和，代入整理可得斜率之和为0，可得直线OA，OB关于x轴对称．解：（1）设圆C的的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），则圆心（a，b）在直线y＝x，且圆心的横坐标为整数，所以b＝a，①在方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2中，令y＝0，则x＝a±，则圆C被x轴截得的弦长为2＝4，即r2﹣b2＝16 ②又M在圆C上，所以（7﹣a）2+（7﹣b）2＝r2，③由①②③可得2a2﹣49a+164＝0，所以a＝4或a＝（舍），所以b＝3，r2＝25，所以圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25；（2）因为直线l的斜率为，在y轴上的截距t（t为常数），所以直线l的方程为：y＝x+t，设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），联立直线l与圆的方程，整理可得：x2+（﹣16）x+t2﹣6t＝0，则x1+x2＝﹣，x1x2＝，从而k OA+k OB＝+＝＝＝＝+＝+t•＝0，所以∠AOx＝∠BOx，即直线OA，OB关于x轴对称．22．已知函数f（x）＝，其中a＞0．（1）若f（f（0））＝1，求a的值；（2）若函数f（x）的图象在x轴的上方，求a的取值范围．【分析】（1）由已知分段函数求得f（0）＝1，再对a分类利用f（f（0））＝1求a的值；（2）函数f（x）的图象在x轴的上方，即对任意x∈R，f（x）＞0成立，分x＜与x≥求解函数的最小值，由最小值大于0求解a的范围．解：（1）∵a＞0，∴＞0，从而f（0）＝1．当＞1，即0＜a＜2时，f（f（0））＝f（1）＝1﹣a+1＝1，解得a＝1符合；当≤1，即a≥2时，f（f（0））＝f（1）＝1+a﹣3＝1，解得a＝3符合．∴a的值为1或3；（2）∵函数f（x）的图象在x轴的上方，∴对任意x∈R，f（x）＞0成立．①当x＜时，x2﹣ax+1＞0恒成立，其中a＞0．若＜，即0＜a＜2，则＞0，解得0＜a＜2；若≥，即a≥2，则，解得0＜a≤2，∴a＝2．∴0＜a≤2；②当x≥时，x2+ax﹣3＞0恒成立，其中a＞0．则＞0，解得0＜a＜2．综上，0＜a＜2，∴a的取值范围为（0，2）．。
江苏省南通市通州区高一数学暑假自主学习 单元检测九
高一数学暑假自主学习单元检测九函数（1）一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．1．已知集合{}{}1,1,2,4,1,0,2A =--，则A B =I ．2．已知函数()()()()2212712f x m x m x m m =-+-+-+为偶函数，则m 的值是 ．3．若集合{}01432<+-=x x x A ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=11x xB ，则=B A Y ． 4．设集合}065|{2=+-=x x x A ， }01|{=+=ax x B ，其中R x ∈，若A B B =I ，则实数a 的值为 ．5． 函数()f x 在R 上为奇函数，且()1,0f x x =+>，则当0x <时，()f x = ． 6． 若函数()248f x x kx =--在[]5,8上是单调函数，则k 的取值范围是 ．7． 已知函数()()()()2030x x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()5f = ．8． 已知f ( x ) = x 5+ ax 3– bx - 8，且f (-2) = 10，则f (2) = ．9． 函数()221x f x x =+的值域为 ．10．定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()1f x f x +=-，且在区间[]1,0-上为递增，则()(),2,3ff f 的大小关系是 ．（请用不等号连接）. 11．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()2011f =．12．设定义在[-3，3]上的偶函数f ( x )在[0，3]上是单调递增，当f ( a – 1 ) < f ( a )时，则a 的取值范围是 ．13．已知定义在R 上的函数()201,01,x x f x x x a ≥⎧+=⎨<+-⎩，若()f x 在(),-∞+∞上单调递增，则数a 的取值范围是 ．14．设函数()y f x =是定义在R 上以1为周期的函数，若()()2g x f x x =- 在区间[]2,3上的值域为[]2,6-，则函数()g x 在[]12,12-上的值域为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)判断下列函数的奇偶性：（1）()22f x x =+- ；（2） ()()()2200x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩．16．(本小题满分14分)已知}023|{2=+-=x x x A ，}01|{2=-+-=a ax x x B ，}02|{2=+-=mx x x C ．（1）若A B A =U ，求a 的值； （2）若A C C =U ，求m 的值； （3）若A C C =I ，求m 的取值范围.17． (本小题满分14分)已知函数()()10f x x x x=+≠. （1）作出函数()f x 的图象，并写出()f x 的值域； （2）用定义证明函数()f x 在区间(]0,1上是减函数．18．(本小题满分16分)已知函数f ( x ) = x 2- 2ax + a 2-1.（1）若函数f ( x )在区间[0，2]上是单调的，求实数a 的取值范围；（2）当x ∈[-1，1]时，求函数f ( x )的最小值g ( a )，并画出最小值函数y = g ( a )的图象．19．(本小题满分16分)已知函数()f x 定义域为[]1,1-，若对于任意的[],1,1x y ∈-，都有()()()f x y f x f y +=+， 且0x >时，有()0f x >．（1）证明：()f x 为奇函数；（2）证明：()f x 在[]1,1-上为单调递增函数；（3）设()11f =,若()221f x m am <-+,对所有[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立,求实数m的取值范围．20．(本小题满分16分)设关于x 的方程210x mx --=有两个实根βα，，且βα<.定义函数12)(2+-=x m x x f ．（Ⅰ）当1,1αβ=-=时，判断)(x f 在R 上的单调性，并加以证明； （Ⅱ）求()()f f ααββ+的值．高一数学暑假自主学习单元检测九参考答案一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分． 1.{}1,2-. 解析：略.2. 2m =. 解析：依据偶函数的定义()()f x f x -=即可求得.3. 113A B xx ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭U .解析：113A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭Q ，{}01B x x =<<，∴ 113A B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭U4. 0或12-或13-. 解析：,A B B B A =∴⊆Q I .①当0a =时，B =∅，满足B A ⊆；②当0a ≠时，1B a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，由B A ⊆得12a =-或13-，综上a 的值为0或12-或13-.5.()1f x =.解析：当x <时，x ->，()()11f x f x ⎤=--=-=⎦6. 40k ≤或64k ≥. 解析：()f x 是开口向上的二次函数，由题可知，区间[]5,8在对称轴8k x =的同侧，从而58k ≤或88k≥，即40k ≤或64k ≥. 7.1.2 解析：()()()()()11553223122f f f f f -=-==-=-== 8. 26-. 解析：法一：∵f (-2)=(-2)5+(-2)3a -(-2)b -8 = -32-8a + 2b – 8 = -40 - 8a+ 2b = 10∴8a - 2b = -50 ∴ f ( 2 ) = 25+ 23a - 2b – 8 = 8a - 2b + 24 = -50 + 24 = -26法二：令g ( x ) = f ( x ) + 8易证g ( x )为奇函数∴ g ( -2 ) = - g ( 2 ) ∴ f ( -2 ) + 8 = - f ( 2 ) - 8 ∴ f ( 2 ) = - f ( -2 ) – 16 = - 10 – 16 = -26.9. [)0,1. 解析：法一：()2221111x f x x x ==-++，211x +≥Q ，21011x ∴<≤+，210111x ∴≤-<+，即()f x 的值域为[)0,1；法二：设221x y x =+，则21y x y =-，由20x ≥可以推得01yy≥-， ∴ 01y ≤<，即()f x 的值域为[)0,1. 10. ()()32f ff <<.解析：由()()1f x f x +=-可得()()()21f x f x f x +=-+=，2T ∴=，又()f x 是偶函数，其图象关于直线0x =对称，由周期知图象也关于直线2x =对称. 由()f x 在区间[]1,0-上为递增得()f x 在区间[]1,2上递增，在区间[]2,3上递减，从而()()32f f f <<.11.132. 解析：由()()213f x f x ⋅+=得()()132f x f x +=，()()()1342f x f x f x ∴+==+，4T ∴=()()()()()131320114502331212f f f f f =⨯+==+==. 12.132a <≤. 解析：∵ f ( a – 1 ) < f ( a ) ∴ f ( | a – 1 | ) < f ( | a | ) 而 | a – 1 | ，| a | ∈ [ 0，3 ]131333a aa a ⎧-<⎪∴-≤-≤⎨⎪-≤≤⎩132a ∴<≤.13. 2a ≤. 解析：作出函数图象，可以看出要确保函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增，必须有11a -≤，故有2a ≤.14. []20,34-. 解析：由题可设()()min 22g x f a a =-=-，()()max 26g b f b b =-=，[],2,3a b ∈由周期性可知，[]12,11x ∈--，[]1412,11a -∈--，()[]26,34g x ∈，同理[]11,10x ∈--，[]311,10a -∈--，()[]24,32g x ∈，…，[]11,12x ∈，[]911,12a +∈，()[]20,12g x ∈--，故函数)(x g 在[12,12]-上的值域为[20,34]-。
江苏省南通中学2020-2021学年高一第一学期阶段性质量检测数学试题 含答案
江苏省南通中学2020学年高一第一学期阶段性质量检测数学一、单项选择题1．集合{22}A x Nx =∈−<<∣的真子集个数是（ ） A ．8 B ．7 C ．4 D ．3．2．下列表述正确的是（ ）A ．{0}∅⊆B ．{0}∅∈C ．0∈∅D ．{0}⊆∅3．已知集合{}22,4,10A a a a =−+，若3A −∈，则实数a 的值为（ ）A ．-1B ．-3C ．-3或-1D ．无解 4．如图，U 是全集，集合A 、B 是集合U 的两个子集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()ðU AB ⋂ B ．()ðU B A ⋂C ．()()ððU U A B ⋂D ．ð()U A B ⋂ 5．命题:p x R ∀∈，210x +>，则p ⌝（ ）A ．0:p x R ∃∈，0210x +>；B ．0:p x R ∃∈，0210x +≤；C ．0:p x R ∃∈，0210x +≥；D ．0:p x R ⌝∃∈，0210x +<．6．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）A ．log log log a c c b b a ⋅=B ．log log log a c c b a b ⋅=C ．log ()log log a a a bc b c =⋅D ．log ()log log a a a b c b c +=+．7．下列说法中正确的是（ ） A ．当1x >时，1x x+的最小值为2 B ．当0x <时，1x x +的最小值为-2C ．当01x <<的最小值为2D ．当2x >的最小值为8．已知二次函数2(,)y x ax b a b R =++∈的最小值为0，若关于x 的不等式y c <的解集为区间(),6m m +，则实数c 的值为（ ）A ．9B ．6C ．3D ．13 二、多项选择题9．设{}220A x x x =−−=，{}10B x mx =−=，若AB B =，则实数m 的值可以为（ ） A ．12 B ．-1C ．0D ．12− 10．下列说法正确的是（ ）A ．设a ，b ，c R ∈，则关于x 的方程20ax bx c ++=有一根为-1的一个充要条件是0a b c −+=B ．a R ∀∈，x R ∃∈，使得2ax >：C ．函数21y x x =++没有零点；D ．方程)4x =的解为2x =．11．若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(3,)−∞−⋃+∞，则（ ）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集是{}6xx <−∣ C ．0a b c ++>D ，不等式20cx bx a −+<的解集为11,,32⎛⎫⎛⎫−∞−⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．已知0a >，0b >，且2a b +=，则（ ）A 2≤B ．224a b +≥C ．112a b −−+≥D ．332a b +≥ 三、填空题13．某班45名学生中，有围棋爱好者22人，足球爱好者30人，同时爱好这两项的人最少有______人．14．最新版高中数学教材必修第一册42P 的（阅读题）《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然，体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想．请问，文中的“小故”指的是逻辑中的（选“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”之一填空）．15．最新版高中数学教材必修第一册92P 的（探究题）告诉我们：任何一个正实数N 可以表示成()10110,n N a a n Z =⨯≤≤∈，此时(lg lg 0l 1)g N n a a =+≤<，当0n >时，N 是1n +位数．据此，可判断数1022的位数是______．（取lg 20.3010=）．16．实数x ，y 满足226x y +=4x +的最大值为______．四、解答题17．已知集合{}A x x a =<，{}16B xx =<<∣． （1）若5a =时，求A B ⋂，A B ⋃．（2）若R R C A C B ⊆，求实数a 的取值范围．18．给出如下三个条件：①充分不必要；②必要不充分；③充要．请从中选择一个条件补充到下面的横线上．已知集合14{|}P x x =≤≤，1{}1|S x m x m =−≤<+，则x P ∈是x S ∈的条件．若存在实数m ，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（1）不查表计算：1032235lg 5lg 2lg 428−⎛⎫⎛⎫−++⨯− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）已知18log 9a =，185b =，试用a ，b 表示36log 5=．20．已知3()1ax y a R x −=∈+． （1）若关于x 的不等式1y <的解集为区间(14)−,，求a 的值；（2）设0a ≤，解关于x 的不等式0y >．21．已知22c y a x x b =+−（a ，b ，c 为常数，且0a >，0c >）． （1）当1a =，0b =时，求证：||2y c ≥；（2）当1b =时，如果对任意的1x >都有y a >恒成立．求证：21a c +>．22．如图，长方形ABCD 表示一张612⨯（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板．木板上一瑕疵（记为点P ）到外边框AB ，AD 的距离分别为1分米，2分米．现欲经过点P 锯掉一块三角形废料MAN ，其中M ，N 分别在AB ，AD 上．设AM ，AN 的长分别为m 分米，n 分米．（1）求证：211m n+=； （2）为使剩下木板MBCDN 的面积最大，试确定m ，n 的值；（3）求剩下木板MBCDN 的外边框长度（MB ，BC ，CD ，DN 的长度之和）的最大值及取得最大值时m ，n 的值．江苏省南通中学2020学年高一第一学期阶段性质量检测数学答案一、单项选择题1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】B ．6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】A二、多项选择题9．【答案】A ．B ．C ． 10．【答案】A ．C ．D ． 11．【答案】A ．B ．D ． 12．【答案】A ．C ．D ．三、填空题13．【答案】当围棋爱好者的集合与足球爱好者的集合的并集为全集时，同时爱好这两项的人最少，设其为x ，则()()223045x x x −++−=，所以7x =．14．【答案】必要条件15．【答案】因为1021024=，所以101024lg 2lg 210241210240.3010308.224g ===⨯=， 所以，数1022的位数是309．16．222x y ≤+，244x x ≤+212y ≤+，()()2222223441514222x y x y x x y ⎛⎫⎛⎫++≤+++++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2x =，y =“=”，4x +的最大值为14．另解：因为226x y +=，由三元柯西不等式()()()2222222123123112233a a a b b b a b a b a b ++++≥++得2222222421()()4)x y y x x ++++≥+即()()222222221428724214)x y y x x =⨯=++++≥+，414x +≤4x +的最大值为14．四、解答题【解析】（1）5a =时，{}A x x a =<，{}16B x x =<<∣，{}15A B x x ∴⋂=<<∣，{}6A B x x ⋃=<∣18．【解析】①，即x P ∈是x S ∈的充分不必要条件，则P S 则S ≠∅， 即11m m −≤+，解得0m ≥，且11,14,m m −≤⎧⎨+≥⎩两个等号不同时成立， 解得3m ≥，故3m ≥，即实数m 的取值范围是[3,)+∞．若选择②，即x P ∈是x S ∈的必要不充分条件，则S P ．当S ≠∅时，11m m −>+，解得0m <． 当S ≠∅时，11m m −≤+，解得0m ≥，且11,14,m m −≥⎧⎨+≤⎩两个等号不同时成立，解得0m ≤，所以0m =．综上，实数m 的取值范围是(],0−∞．若选择③，即x P ∈是x S ∈的充要条件，则P S =，即11,14,m m −=⎧⎨+=⎩此方程组无解， 则不存在实数m ，使x P ∈是x S ∈的充要条件19．【解析】（1）原式=1；（2）由185b =得18log 5b =，1818361818log 5log 5log 5log 36log (49)===⨯ ()181818181818log 5log 52log 2log 921log 9log 92b a==+−+−． 20．【解析】（1）由1y <得311ax x −<+，即3101ax x −−<+，即(1)401a x x −−<+， 所以[(1)4](1)0a x x −−+<，由题意得441a =−，则2a = （2）0y >即301ax x −>+，即()()310ax x −+>． ①当0a =时，不等式即为()310x −+>，则1x <−，此时原不等式解集为(,1)−∞−；②当0a <时，不等式即为3(1)0x x a ⎛⎫−+< ⎪⎝⎭． 1°若3a <−，则31a >−，所以31x a −<<，此时原不等式解集为31,a ⎛⎫− ⎪⎝⎭；2°若3a =−，则31a=−，不等式为()210x +<，x 不存在，此时原不等式解集为∅； 3°若30a −<<，则31a <−，所以31x a <<−，此时原不等式解集为3,1a ⎛⎫− ⎪⎝⎭． 21．【解析】（1）当1a =，0b =时，2c y x x=+．当0x >时，22||2c c y x x c x x =+=+≥=，当且仅当2c x x =即x c =时取“=”；当0x <时，0x −>，22||2c c y x x c x x =+=−+≥=−， 当且仅当2c x x−=−，即x c =−时取“=”． 综上，||2y c ≥；（2）当1b =时，对任意的1x >都有0y >恒成立，即2201c y a x x =+>−对任意的1x >恒成立， 即min y a >．因为1x >，所以2222222(1)211c c y a x a x a a ac a x x =+=−++≥=+−−． 当且仅当22(1)1c a x x −=−即1c x a =+时取“=”，所以22ac a a +>， 又0a >，所以21a c +>．22．【解析】（1）证明：过点P 分别作AB ，AD 的垂线，垂足分别为E ，F ，则PNF △与MPE △相似， 从而PF NF ME PE =，所以2121n m −=−， 即2mn m n =+，所以211m n +=． （2）欲使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料MAN 的面积12S mn =最小．由（1）知，211m n =+≥8mm ≥（当且仅当21m n=，即4m =，2n =时，“=”成立）， 此时min 4S =（平方分米） ．（3）欲使剩下木板的外边框长度最大，即要m n +最小．而212()333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+=+⎪⎝⎭（当且仅当2n m m n=，即2m =1n =时，“=”成立），此时剩下木板外边框长度最大，为33−分米．答：（2）m ，n 的值分别为4，2；（3）剩下木板的外边框长度的最大值为33−分米，此时2m =1n =．。
江苏省南通市通州区2020年高一数学暑假自主学习单元检测一直线与方程
高一数学暑期自主学习单元检测一直线与方程一、填空题：本大题共14 题，每题 5 分，共 70 分．1．直线 l ： ax ＋y － 2－ a ＝0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则a 的值是 ______．2．若直线的倾斜角的余弦值为 4______5，则与此直线垂直的直线的斜率为．3．两条直线 ax ＋ y － 4＝ 0 与 x － y － 2 ＝ 0 订交于第一象限，则实数 a 的取值范围是 ______．4．设直线 l 与 x 轴的交点是 P ，且倾斜角为α，若将此直线绕点P 按逆时针方向旋转 45°，获得直线的倾斜角为α＋45°，则 α 的取值范围为 ______ ．5．直线 x cos α ＋3y ＋ 2＝ 0 的倾斜角的范围是 ______．6．已知点 A ( － 2,4) 、 B (4,2) ，直线 l 过点 P (0 ，－ 2) 与线段 AB 订交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 ____ __ ．7．已知直线 l 1：y ＝ 2x ＋3，直线 l 2 与 l 1 对于直线 y ＝－ x 对称，则直线 l 2 的斜率为 ____ __．8．过点(1,2) 作直线l ，使直线l 与点(2,3) 和点(4 ，－ 5) 距离相等，则直线 l的方程为PMN____ __ ．9．如图，已知 A (4 ，0) 、B (0,4) ，从点 P (2,0) 射出的光芒经直线AB 反射后再射到直线 OB上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光芒所经过的行程是 ____ __．10．一条直线过点P (1,2) 且被两条平行直线4x ＋ 3y ＋ 1＝ 0 和 4x ＋ 3y ＋ 6＝ 0 截取的线段长为2，求这条直线的方程______ ．11．设 l 的倾斜角为π 绕其上一点 P 沿逆时针方向旋转 α 角得直线 l，1α， α∈(0 ， 2 ) ， l12l 2的纵截距为－ 2，2 绕P 沿逆时针方向旋转 π－ α 角得直线 l 3： ＋ 2 － 1＝0，则 l 1的方l2 x y程为 ________．12．已知 b >0，直线 ( b 2＋1) x ＋ ay ＋ 2＝ 0 与直线 x － b 2y ＝ 0 相互垂直，则 ab 的最小值等于_______．13．已知△ ABC 的两个极点坐标为 B (1,4) 、 C (6,2) ，极点 A 在直线 x － y ＋ 3＝0 上，若△ ABC的面积为 21. 则极点 A 的坐标为 ____ __ ．14．已知 0<k <4，直线 l1：kx －2y － 2k ＋8＝ 0 和直线 l2：2x ＋ k 2y － 4k 2－ 4＝ 0 与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为 ______ ．二、解答题：本大题共 6 小题，共90 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． ( 本小题满分 14 分)已知两直线 l 1：＋ y sin θ －1＝0 和l 2：2 x sinθ ＋ y ＋ 1＝0，试求θ 的值，使得：(1) l 1 ∥ 2；xl(2)l 1⊥ l 2．16． ( 本小题满分14 分 )已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形面积为3，分别求知足以下条件的直线l 的方程：（ 1）斜率为1的直线；（2）过定点A( 3,4)的直线. 617． ( 本小题满分14 分 )已知三条直线l 1：4x＋ y－4＝0，l 2： mx＋ y＝0及 l 3：2x－3my－4＝0，求 m的值，使 l 1，l 2， l 3三条直线能围成三角形．18． ( 本小题满分16 分 )已知三直线l 1：2x－＋＝ 0(a＞ 0) ，直线l2：－4＋2 ＋1＝0 和l3：＋－1＝0 且l1 y a x y x y与 l 2的距离是75．10(1)求 a 的值；(2) 可否找到一点P，使 P 同时知足以下三个条件：① P 是第一象限的点；②P 点到 l 1的距离是 P 点到 l距离的1的距离与 P 点到 l的距离之比是 2∶5？若能，求出P22；③ P 点到 l13点的坐标；若不可以，说明原因．19． ( 本小题满分16 分 )已知直线 l ：kx－ y＋1＋2k＝0( k∈ R)．(1)证明：直线 l 过定点；(2) 若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A，交 y 轴正半轴于 B，△ AOB的面积为 S，求 S的最小值并求此时直线 l 的方程．20． ( 本小题满分16 分 )将一块直角三角板ABO （45o角）置于直角坐标系中，已知AB OB 1, AB OB ，点 P( 1,1) 是三角板内一点，现因三角板中部分（POB ）受破坏，要把破坏的部分锯掉，2 4可用经过 P 的随意向来线MN （M、N可分别与O、B重合）将其锯成AMN ．(1)求直线 MN 的斜率的取值范围；(2)uuur uuurMN 能否存在，如不存在，请说明原因；若存若 P点知足MP 1 PN，这样的直线3在，求出此时直线 MN 的方程；(3)怎样确立直线 MN 的斜率，才能使锯成的AMN 的面积最大和最小，并求出最值？MP A NO B高一数学暑期自主学习单元检测一参照答案一、填空题：a ＋ 21．答案：－ 2 或 1分析：由 a ＋2＝a ，∴ a ＝－ 2 或 1．44 π2．答案：－ 3分析：设直线的倾斜角为θ ，由题意知， cos θ＝ 5，θ∈(0 ， 2 ) ， 3 sin θ 3 4∴ sin θ＝ ， k ＝tan θ ＝ cos θ ＝ . ∴与此直线垂直的直线的斜率为－ ．5 4 363．答案： ( － 1,2)ax ＋ y － 4＝ 0， x ＝ 1＋ a ，由 x ＞ 0，y ＞ 0，分析：由得y ＝ 4－ 2a . x － y － 2＝0，1＋ a6得1＋ a ＞ 0 ，解得，－1＜ a ＜ 2.4－ 21＋ a ＞ 04．答案： 0°＜ α＜135°分析：由0°＜ α＜180°，∴ 0°＜ α＜135°.0°≤ α＋45°＜ 180°π 5π5．答案： [0 ， 6 ] ∪[ 6 ，π) 分析：由直线 x cos α＋ 3y ＋ 2＝ 0，因此直线的斜率为k ＝cos α－.3ββcos α3cos α33β3设直线的倾斜角为，则 tan ＝－3 ，又由于－ 3 ≤－3 ≤ 3 ，即－3 ≤tan ≤ 3 ，π5π因此 β∈[0 ， 6 ] ∪[ 6 ，π ) ．6．答案： ( －∞，－ 3] ∪[1 ，＋∞ ) 分析：由 k PA ＝－ 3，k PB ＝ 1，由图得直线l 的斜率 k 的取值范围是 ( －∞，－ 3] ∪[1 ，＋∞ ) ．1分析：∵ l 、l对于 y ＝－ x 对称，∴ l137．答案： 2的方程为－ x ＝－ 2y ＋3，即 y ＝2x ＋2，212∴l 的斜率为 12.28．答案： 4x ＋ y － 6＝ 0 或 3x ＋ 2 y － 7＝ 0 分析：直线 l 为与MN 平行或经过 MN 的中点的直线，当l 与 平行时，斜率为－ 4，故直线方程为 － 2＝－ 4( x －1) ，即 4 ＋ － 6＝ 0；当lMNyx y33经过 MN 的中点时， MN 的中点为 (3 ，－ 1) ，直线 l 的斜率为－ 2，故直线方程为 y －2＝－ 2( x－ 1) ，即 3x ＋2y － 7＝ 0.9．答案： 210 分析：分别求 P 对于直线 x ＋ y ＝ 4 及 y 轴的对称点， 为 P 1(4,2) 、P 2( － 2,0) ，由物理知识知，光芒所经行程即为 | PP | ＝2 10.1 210．答案： x ＋ 7y － 15＝ 0 或 7x － y －5＝ 0分析： (1)当斜率不存在时，直线方程为x ＝ 1，5 105 10 5与两直线交点 A (1 ，－ 3) ，B (1 ，－ 3 ) ，∴ AB ＝ － －－＝ 3≠ 2. ∴ x ＝ 1 不是所求直33线．(2) 当斜率存在时，设为k ，则所求直线的方程为 y － 2＝ k ( x － 1) ，它与两已知直线分别联立方程组，求出它与两已知直线的交点坐标分别是A ( 3k －7 －5 k ＋ 8， ) ，3k ＋ 4 3k ＋ 4( 3k － 12 8－ 10k) ．由2＝( 52＋(5k22，得＝ 7 或13k ＋ 4，4AB)3k ＋ 4 ) ＝ k k ＝－ .B 3k ＋3k ＋ 47故所求直线的方程为x ＋7 －15＝0 或 7 x － －5＝0.yy11．答案： 2x －y ＋ 8＝ 0分析：∵ l 1⊥ l 3，∴ k 1＝tan α＝2， k 2＝ tan2 α2tan α 4＝1－ tan 2α＝－3.4y ＝－ 4x － 2，l2，∴ly－ 2.3∴ ( － 3,2)∵2的纵截距为－2的方程为 ＝－由，3xx ＋ 2y － 1＝0，Pl 1过P 点，∴l 1的方程为 2x － ＋8＝0.yb 2＋ 1 1b 2＋ 112．答案： 2 分析：由两条直线垂直可得：－a ·b 2 ＝－ 1，解得 a ＝ b 2，b 2＋ 1 b 2＋ 1 111因此 ab ＝ b 2 · b ＝ b ＝ b ＋ b . 又由于 b >0，故 b ＋ b ≥2b ·b ＝ 2，1当且仅当 b ＝ b ，即 b ＝ 1 时取“＝”．|6 － 2＋3|13．答案： (7,10) 或 ( － 5，－ 2) 分析：点 C (6,2) 到直线 x －y ＋ 3＝ 0 的距离为 d ＝2＝ 7 ，由于点 A 在直线 x － ＋3＝ 0 上，能够考证点(1,4) 也在直线 x － ＋3＝ 0 上，因此设 2y B yA ( x ， y ) ．|1 －x|又由于直线 x － y ＋ 3＝ 0 的倾斜角为 45°，因此 | AB | ＝ cos45°＝2|1 － x | ，因此三角形面积117S ＝ 2| AB | d ＝ 2× 2|1 － x | · 2 ＝21. 因此 x ＝ 7 或 x ＝－ 5. 故 A 点坐标为 (7,10) 或( － 5，－ 2) ． 1 分析： l ：k ( x -2)-2 y +8=0 过定点 (2,4) 2 x 也过定点 (2,4)， 14．答案：8 ， l ： k ( y-4)=4-21 2如图， (0,4-)， (2 21224+(4-+4)212 -+8. 当1获得最小k+2,0) ， =kk =4kk = 时，SAB kS 22k 8值 .二、解答题：15．解： (1) 法一：当 sin θ＝ 0 时， l1的斜率不存在， l 2 的斜率为零， l 1 明显不平行于 l 2.当 sinθ ≠0时，1＝－ 1 ， k 2＝－ 2sinθ ，欲使 l 1∥ 2，只需－ 1 ＝－ 2sin θ ， sin θk sin θ lsin θ2＝± 2，∴ θ＝k π± π， k ∈Z ，此时两直线截距不相等．∴当θ＝ k π± π， k ∈Z 时， l 1∥l 2.442212法二：由 A 1B 2－ A 2B 1＝0，即 2sin θ－ 1＝ 0，得 sin θ＝2，∴ sin θ＝± 2 ，由 B 1C 2－ B 2C 1≠0，即 1＋ sin ≠0，即 sin ≠－ 1，得 ＝ π ＝ k π± π l 1∥ l 2.θ θ θ k 4 k θ k4(2) ∵ l 1 ⊥l 2 ∴A 1A 2＋ B 1B 2＝ 0，∴ 2sin θ＋sin θ＝ 0，即 sin θ ＝ 0，∴ θ＝ k π(k ∈Z) ，∴当 θ＝ k π， k ∈Z 时， l 1⊥ l 2.16．解：（ 1）设直线 l 的方程为 y 1 x b ，则直线 l 与坐标轴的交点为 A( 6b,0) 、 B(0, b)依题设有 1|6b |6 1|b | 3 ，得 b1 ，则直线 l 的方程为 y x1263 4 13a3 （ 2）设直线 l 的方程为x ya ba1，则由，解得ab12 或23b4 b| ab |2则直线 l 方程为x y 1 或 xy 1即 24 x 3y 120 或 2x 3 y 634 3 2217．解： (1) 若 l1，l 2， l 3 三条直线交于一点．明显 m ≠4，若 m ＝ 4，则 l 1∥ l 2.4x ＋ y － 4＝0，得 l 1， l 2 的交点坐标为 (4－ 4m由， ) ．＋ ＝ 04－ m 4－ mmx y代入l 3的方程得 8· －4m2－ 3 － 4＝0. 解得＝－1或 ＝，4－m m 4－ mmm32∴当 m ＝－ 1 或 m ＝ 3时， l 1，l 2，l 3 交于一点．1(2) 若 l 1 ∥l 2，则 m ＝4，若 l 1∥l 3，则 m ＝－ 6，若 l 2∥l 3，则 m ∈?.(3) 若 l 1 ∥l 2∥ l 3，则 m ∈ ?.21综上知：当 m ＝－ 1 或 m ＝3或 m ＝ 4 或 m ＝－ 6时，三条直线不可以组成三角形，即组成三角形的条件是1 12 2m ∈( －∞，－ 1) ∪( － 1，－ ) ∪( －， )∪( ，4)∪(4，＋∞)．663311| a ＋ 2|7 518．解： (1) ∵ l 2 ：2x － y － 2＝ 0，∴ l 1 与 l 2 的距离 d ＝5＝ 10 ，∵ a ＞ 0，∴ a ＝ 3.(2) 设存在点 P ( x 0， y 0) 知足②，则 P 点在与 l 1、 l 2 平行的直线 l ′： 2x － y ＋c ＝ 0 上，1| c － 3| 1 | c ＋ 2|13 111311且5 ＝ 2· 5 ，即 c ＝ 2 或 c ＝6 ，∴2x 0－ y 0＋ 2 ＝ 0 或 2x 0 －y 0＋ 6 ＝ 0，若 P 点知足条件③，由点到直线的距离公式有：|2 x 0 － y 0 ＋3| ＝2| x 0 ＋y 0－ 1| ，55 2即|2 x 0－ y 0＋ 3| ＝ | x 0＋ y 0－1|. ∴ x 0－ 2y 0 ＋4＝ 0 或 3x 0＋ 2＝ 0， ∵P 在第一象限，∴3 x 0 ＋2＝ 0 不行能，13x 0＝－ 3，11 2x 0－ y 0＋ ＝ 0，1(舍去)2x 0－ y 0＋ ＝ 0， 联立 2解得由 6x 0－ 2y 0＋ 4＝ 0.y 0＝ 2.x 0－ 2 0＋ 4＝ 0，y11 37x ＝ 9，得∴P ( 9， 18) 即为同时知足条件的点．y 0＝ 37，1819．解： (1)证明：直线 l 的方程是： k ( x ＋2) ＋ (1 － y ) ＝ 0，x ＋ 2＝0x ＝－ 2 令解之得y ＝ 1，1－ y ＝0∴不论 k 取何值，直线总经过定点 ( － 2,1) ．(2) 由方程知，当k ≠0时直线在 x 轴上的截距为－1＋ 2k，k－1＋2k≤－ 2 在 y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则一定有k，1＋2k ≥1解之得 k ＞ 0；当 k ＝ 0 时，直线为y ＝ 1，合题意，故 ≥0.k1＋ 2k1＋ 2k (3) 由 l 的方程，得 A －－ k ＜ 0，， 0 ， B(0,1 ＋ 2k) ．依题意得，解得 kk1＋2k ＞ 0＞ 0.11 1＋ 2k1(1 ＋2k) 2 1 1 1∵S ＝ 2·|OA| ·|OB| ＝ 2·k·|1 ＋ 2k| ＝ 2·k＝ 2 4k ＋ k ＋4 ≥ 2(2 ×2＋ 4)＝ 4，“＝”建立的条件是k ＞0且 41 k 1＝ ，即 ＝ ，k k 2∴S min ＝4，此时 l ： x － 2y ＋4＝ 0．20．解： (1)由图知 A(1,1), B(1,0) ， k OP1, k BP 1 ,22设直线 MN 的斜率为 k ，直线 MN 与POB 不可以订交，因此1≤ k ≤ 1，22（ 2）直线 MN 的方程为 y1 k( x 1) ，令 x 1 得 y 2k 1 N (1, 2k 1 )4 2 44 令 y x 得 x y2k 1M ( 2k 1 , 2k 1 )4( k 1)4(k 1) 4(k 1)uuur1 uuur1 2k1 1 2k 111 2k1 1 ) ∴ k 1∵ MPPN ，∴(4(k,44(k )(1,442321) 1) 32∴ MN 的方程为 x2 y 1 0 ，此时和 BP 重合．（ 3）由（ 2）知 | AN |2k 13 2 k12k 12k 3 144, 点 M 到直线 AN 的距离为4(k 1)4 (k 1)S AMN 1 3 2k 2k 3 1[(1 k) 1 1]244(k 1) 8 4(1 k)Q1≤ k ≤11≤ 1 k ≤ 3而函数 yx1 在[1, ) 上是增函数，故当22 224x 21k3,即 k1 时 S AMN 获得最大值1当 1 k1 ,即 k1时，22322S AMN 获得最小值1（最小值也可用基本不等式直接获得）.4。
江苏省南通市通州区高一数学暑假自主学习 单元检测八 三角与向量
高一数学暑假自主学习单元检测八（三角与向量）一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．1．已知→a ＝(cos40︒，sin40︒)，→b ＝(cos20︒，sin20︒)，则→a ·→b ＝ ．2．设→a ＝(32,sin α)，→b ＝(cos α,13)，且→a ∥→b ，则锐角α为 ．3．已知平面向量a r =（1，－3），b r =（4，－2），a b λ+r r 与a r垂直，则λ是 ．4．已知锐角ABC ∆的面积为4,3BC CA ==，则角C 的大小为 ．5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2+c 2-b 2，则角B 的值 ． 6．已知向量a →＝(6，－4)，b →＝(0，2),c →＝a →＋λb →，若C 点在函数y ＝sin π12x 的图象上，实数λ ．7．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos ．8．a r ，b r 的夹角为120o，1a =r，3b =r 则5a b -=r r ．9．ABC ∆的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若,2a A B ==，cos B = ．10．由向量把函数y ＝sin(x ＋5π6)的图象按向量→a ＝(m ，0)(m ＞0)平移所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为 ．11．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：→OP ＝→OA ＋λ(→AB ＋→AC)，λ∈(0,＋∞)，则直线AP 一定通过△ABC 的 心．12．设0≤θ≤2π时，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→长度的最大值是 ．13．若等边ABC ∆的边长为M 满足1263CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，则MA MB ⋅=u u u r u u u r．14．在ABC ∆中，已知21tan =A ，10103cos =B ，若ABC ∆长是 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）ABC ∆中，c b a 、、分别为角A 、B 、C 的对边，且2222)sin())sin a b A B a b C +-=-（（， 试判断ABC ∆的形状．16．（本小题满分14分）已知点(cos ,1cos 2)A x x +，(,cos )B x x λ-+，()0,x π∈，向量()1,0a =r.（1）若向量BA u u u r 与a r共线，求实数的值；（2）若向量BA a ⊥u u u r r，求实数λ的取值范围．17.（本小题满分14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，且满足.272cos 2sin 42=-+A C B （1）求角A 的度数；（2）若3,,,a b c b c b c =+=<且求的值．18．（本小题满分16分）在ABC ∆中，已知内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，向量 ),sin 2,3(B -= 22cos 1,cos 22B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，且//，B 为锐角．（1）求角B 的大小；（2）设2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值．19．（本小题满分16分）已知向量m =（sin B ，1－cos B )，且与向量=（2，0）所成角为3π，其中A, B, C 是ABC ∆ 的内角．（1）求角Ｂ的大小； （2）求sinA+sinC 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知向量,cos x x αωω=u r），cos ,cos )x x βωω=u r（，记函数()f x αβ=⋅u r u r ， 且)(x f 的周期为π．（1）求正数ω之值；（2）当x 表示△ABC 的内角B 的度数，且△ABC 三内角A 、B 、C 满足2sin sin sin B A C =⋅，试求)(x f 的值域．高一数学暑假自主学习单元检测八参考答案一、填空题： 1．32 解析：由数量积的坐标表示知→a ·→b ＝cos40︒sin20︒＋sin40︒cos20︒＝sin60︒＝32. 2．45︒ 解析：由平行的充要条件得32×13－sin αcos α＝0，sin2α＝1，2α＝90︒，α＝45︒.3.－1 解析：a b λ+r r =)234(--+λλ，，且a b λ+r r 与a r垂直，0)23(34)(=---+=⋅+λλλa b a ρρρ， 1-=λ4. 60° 解析：由B CA BC S sin 21⋅=∆得23sin =C 故锐角3π=C 5.6π解析：由余弦定理得 232cos 222=-+=ac b c a B ，∵)0(π，∈C ，∴6π=C6．52 解析：c →＝a →＋λb →＝(6，－4＋2λ)，代入y ＝sin π12x 得，－4＋2λ＝sin π2＝1，解得λ＝52.解析：由正弦定理得C A A C B cos sin cos )sin sin 3(=-， B C A C A A C A B sin )sin(cos sin cos sin cos sin 3=+=+=，0sin ≠B ，33cos =A 8.7 解析：23120cos -=︒=⋅b a b a ρρρρ，b a b a b a b a ρρρρρρρ⋅-+=-=-1025)5(52222=49，∴5a b -=r r79.4解析： 由正弦定理得B A sin 25sin =，又B A 2=，所以B B sin 252sin = 即B B B sin 25cos sin 2=， 0sin ≠B ，45cos =B 10．π3 解析：把函数y ＝sin(x ＋5π6)的图象按向量→a ＝(m ，0)(m ＞0)平移后得函数)65sin(π+-=m x y 的图象，据对称性可知0=x 时1±=y ，即1)65sin(±=+-πm ，Z k k m ∈+=+-,265πππ，Z k k m ∈-=,3ππ，又m ＞0，所以m 的最小值为3π 11．重心 解析：设BC 的中点为D ，则→AB ＋→AC ＝2→AD ，又由→OP ＝→OA ＋λ(→AB ＋→AC)，→AP ＝2λ→AD，所以→AP与→AD 共线，即有直线AP 与直线AD 重合，即直线AP 一定通过△ABC 的重心． 12. 23 解析：P 1P 2→|＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2＝10－8cosθ≤3 2. 13. -2 解析：1222==CB CA ，660cos 3232=︒⋅=⋅，CB CA CM CA MA 6131-=-=，CB CA CM CB MB 3265-=-=，MA MB ⋅=u u u r u u u r ⋅-)6131(CB CA )32(CB CA -=21873659222-=⋅+--CB CA CB CA 14. 2 解析：易得1010sin =B ，31tan =B ，1)tan(tan -=+-=B A C ， ∴B A C >>，最长边10=c ，最短边CBc b sin sin =2=二、解答题：15.解：由2222)sin())sin a b A B a b C +-=-（（及)sin(sin B A C +=得 BA B A B A B A B A B A b a sin cos cos sin )sin()sin()sin()sin(22=--+-++= 由正弦定理得B A B A B A sin cos cos sin sin sin 22=，即ABB A cos cos sin sin = 故B A 2sin 2sin = ∵)0(π，、∈B A ∴π=+=B B A 2A 222或即2A π=+=B B A 或∴ABC ∆是等腰三角形或直角三角形。
江苏省南通市通州区高一数学暑假自主学习 单元检测十一 综合试卷1
高一数学暑假自主学习单元检测十一综合试卷1一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分． 1．若{}m m m 2,02-∈，则实数m 的值为 ．2．已知f (x )＝ax 3+b sin x +1，且f (－1)＝5，则f (1)＝ ．3．已知不等式ax 2－bx ＋2＜0的解集为{x |1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝_______． 4．已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点34(3,(4,),)P a Q a 的直线的斜率 ． 5．若函数y =f (x )的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x 轴向左平移π2个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数y =12sin x 的图象，则y =f (x )是 ．6．在样本的频率分布直方图中，共有4个长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等差数列{a n }，已知a 2 = 2a 1，且样本容量为400，则小长方形面积最大的一组的频数为 ． 7．已知sin()6a πθ-=，则2cos()3πθ-的值为 ． 8．对于下列的伪代码（n ∈N *），给出如下判断： ①当输入n =2时，输出结果为1； ②当输入n =3时，输出结果为1；③当输入n =99时，输出结果一定是非负的． 其中所有正确命题的序号为 ． 9．在等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上随机取一点M ，则∠ACM ≤30°的概率为 ．10．在△ABC 中，a b c , , 分别是角A B C , , 的对边，若222a b c ,, 成等差数列，则cos B 的最小值为 ． 11．如图，设P 是单位圆和x 轴正半轴的交点， M 、N 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，3POM π∠=，POM α∠=,[0,]απ∈，()f OM ON α=+u u u u r u u u r，则()f α的范围为 ．12．设点(1,0)A ,(2,1)B ,如果直线1ax by +=与线段AB有一第11题图公共点,那么22a b +的最小值为 ．13．数列{}n a 中，16a =，且111n n n a a a n n---=++（*n ∈N ，2n ≥），则这个数列的通项公式 n a = ．14．已知函数()32-=x x f ，若120+<<b a ，且()()32+=b f a f ，则b a T +=23的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知集合{}2280A x x x =--≤，{}22(23)30B x x m x m m m =--+-∈R ≤, ． （1）若[]24A B =I ,，求实数m 的值； （2）设全集为R ，若A B ⊆R ð，求实数m 的取值范围．16．(本小题满分14分)已知ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且2b ac =，向量()()cos ,1A C =-m 和 ()1,cos B =n 满足32⋅=m n ． （1）求sin sin A C 的值；（2）求证：ABC ∆为等边三角形．17．(本小题满分14分)已知函数22()32log ,()log f x x g x x =-=．（1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()()1()h x f x g x =+⋅的值域；（2）如果对任意的[]1,4x ∈，不等式2()()f x f k g x ⋅>⋅恒成立，求实数k 的取值范围．18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB 、AD 边分别在x 轴、 y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图所示）。
江苏省南通市通州区2020年高一数学暑假自主学习单元检测三数列(2)
高一数学暑期自主学习单元检测三数列（ 2）一、填空题：本大题共14 题，每题 5 分，共 70 分．1．若数列 a n知足：a11,a n 12a n , n1，2，3L L，则a1a2a n．2．数列a n的通项公式是 a n1，若其前 n 项的和为10，则项数 n 为．n n13．数列11,21,31,41,L L的前 n 项的和为．248164．设S是等差数列｛a｝的前n项和，若S3 1S6．S ＝3，则S＝n n6125．等差数列a n前 n 项和为 S n，已知 a10, S4 S11 ,n 为时， S n最大.6．已知a n是等比数列， a22，a51a2 a3a n a n 1=，则 a1a2．47．已知某等差数列共有10 项，其奇数项之和为 15，偶数项之和为30，则其公差为．8．数列{a n} 的通项公式a n n cos n1 ，其前n项和为S n，则S2012．29．某市 2020 年共有 1 万辆燃油型公交车. 为响应国家节能环保的呼吁，市政府计划于2020年投入128 辆新能源公交车，随后新能源公交车每年的投入比上一年增添50%，则到年末，新能源公交车的数目开始超出该市公交车总量的 1 ．310．等比数列{ a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{ a n} 的公比为．11．若数列a的前 n 项和 S n n2 10n(n1，2，3，L ) ，则数列na n中数值最小的项是第n项．12．已知数列a n , b n都是公差为 1 的等差数列，其首项分别为 a1 ,b1，且a1 b1 5, a1 , b1N ，设 C n a b (n N * ) ，则C n数列的前10 项和等于．n13．数列 { a } 中，a =8, a =2且知足 a =2a－ a ,(*n∈N ) ，设 S =｜ a ｜ +｜ a ｜+ +｜ a ｜，n14n+2n+1n n12n 则 S n=．14．如图，一个计算装置有两个数据输进口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ，当Ⅰ、Ⅱ分别输入正整数m, n 时，输出结果记为 f (m, n)，且计算装置运算原理以下：①若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则 f (1,1)1；②若Ⅰ输入固定的正整数，Ⅱ输入的正整数增大1，则输出结果比本来增大3；③若Ⅱ输入1，Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为本来 3 倍.则 f (m, n)=．二、解答题：本大题共15． ( 本小题满分14 分 )6 小题，共90 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知等差数列a n的第二项为8，前10 项和为185．（1）求数列a n的通项公式；（2）若从数列a n中，挨次拿出第 2 项，第 4 项，第 8 项，，第2n项，按原来次序构成一个新b n数列，试求数列b n的通项公式和前n 项的和．16． ( 本小题满分14 分)已知数列 { 2n 1a n } 的前n项和 S n 96n ．（1）求数列 { a } 的通项公式；n（2）设 b n n 3 log 2| an|，求数列1的前 n 项和T n．3b n17． ( 本小题满分 14 分)已知) 在函数2na 1=2( a n , a n 1f (x) x 2x的图象上，此中 =1 23，点，， ，（ 1）证明：数列｛ lg(1+ a n ) ｝是等比数列；（ 2）设 T n =(1+ a 1) (1+ a 2)(1+ a n ) ，求 T n 及数列｛ a n ｝的通项．18． ( 本小题满分 16 分 )在等差数列a n 中， a 1S2n4n 2 1，前 n 项和 S n 知足条件n, n 1,2,3,LS n1（1）求数列a n 的通项公式；（2）记 b na n p a n ( p0)，求数列b n 的前 n 项和 T n ．19． ( 本小题满分16 分)已知数列{ a n} 的前n 项和为S n，且a2a n S2S n对全部正整数n 都建立．（ 1）求a1， a2的值；（2）设a10 ，数列{lg 10a1 }a n的前n 项和为T n，当n 为什么值时，T n最大？并求出T n的最大值．20． ( 本小题满分16 分 )已知数列｛ a n｝中，1在直线y x上，此中 n=1,2,3 a1, 点（ n、2a n 1a n）2(1) 令b n a n 1 a n 3,求证 : 数列 b n是等比数列；(2)求数列 a n的通项；(3) 设S n、T n分别为数列a n、 b n的前n项和,能否存在实数S n T n ，使得数列n为等差数列？若存在，试求出. 若不存在 , 则说明原因．高一数学暑期自主学习单元检测三参照答案一、填空题：1．答案： 2n1 分析：数列 a n 为公比为2 的等比数列2．答案： 120分析：a nn 1 n ，利用叠加法可得n 11 =10， n 1203．答案：n(n1) 1分析：利用分组乞降法即得212n4．答案：3 分析：依据等差数列的性质S m , S 2 m S m ,S 3 m S 2m 成等差数列，即可得解105．答案： 7 或 8 分析：由 S 4S 11 ，则 a 8 0 ，易知 a n 是递减数列，则S 7或 S 8 最大6．答案：32（ 14 n） 分析：由 a 51=a 2 q 3 =2q3q=1，342∴数列 a a n 1 还是等比数列，其首项是a a =8 ，公比为 1 ，n1 248 1 1 n4 =321 4n ．∴ a aa a L aa=n 11 22 3n11 347．答案： 3 分析：已知奇数项和偶数项都有 5 项，故 S 偶S 奇5d =158．答案： 3018分析： a 4n 1(4n 1) cos(4n1)1 (4n1) cos 101，cos( 4n2)22a 4n2(4n 2) 1( 4n 2) cos1 (4n2) 1，2a 4n 3(4n 3) cos( 4n3) 1(4n 3) cos31 01 ，22a4n(4n 4)( 4n 4)1(4n 4)cos21 4n41，4cos2所以 a 4n 1a 4n2a 4n 3a 4n46即S201220126 301849．答案：2020分析：该市逐年投入的新能源公交车的数目构成等比数列 { a n } ，此中 a 1＝ 128，q ＝ 1.5 ，数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，依照题意得：S n110000S n3化简得： 1． 5 n> 657，则有 n ≈ 7． 5，所以 n ≥ 8．10．答案：1321 分析： Q 4S 2S 1 3S 3 ，∴ S 2S 1 3(S 3 S 2 ) ，即 a 2 3a 3 ，故 q311 311．答案： 3 分析： na n2n 2 11n ，此中数值最小的项应是最凑近对称轴n 的项，4 ∴第 3 项是数列 na n 中数值最小的项．12．答案： 85分析： C na ba 1b n1 a 1 b 1 n2 n 3n13．答案： S n =n 29n1 n5分析：可知 { a n } 成等差数列， d =a 4a 1=－ 2,n 2 9n40n 54 1∴ a =10－2n 再分两种状况议论 a 的正负．nn14．答案： 3m 13(n 1) 分析： fm,1 3 f m 1,1 32 f m2,13m 1 f 1,13m 1f m, n f m, n 1 3f m, n 2 3 2f m,1 3 n 13m 13 n 1 ．二、解答题：15．解：（ 1）依题意a 1 d8a 1 5a n 3n 2 ；解得d3 ，10a 145d185（ 2）由（ 1）得 ba3 2n2 ，n2nb 1 b 2b n3 2 23 2 2 23 2 n23 22 22 n2n3 2 2n 12n3 2 n 12n6 ．2116．解： (1)n 1 时， a 1n 163,n 13 ； n2 时， a nS nS n 16,a na n622 n 1,, n 22n 1（ 2） n1 时， b 1 3 ； n2 时， b nn(3 2 n)n(n 1) 11 1)1 1 ，b n n(n n n 1∴ n 1时，T 11；3n 2 时， T n1111 1 L 1 1 1 5 15n 1 ，3 2 33 4n n 6 n 16(n 1)T 11T n = 5n1 ．合适上式，故36(n 1)17．解：（ 1）由已知a n 1a n22a n，an 11(a n1)2Q a1 2a n11，两边取对数得：lg(1a n 1 )2lg(1a n ) ，即lg(1a n 1 )2 lg(1a n ){lg(1a n )} 是公比为 2 的等比数列（ 2）由（ 1）知lg(1a n )2n 1lg(1a1 ) 2n 1lg3lg32n 11a32n 1（ * ）nT n(1(1+an)3202132232n-1 1 222+2 n-1=32n -1 a1 )(1 a2 )33由（ * ）式得a n 32n1118．解：（ 1）设等差数列a n的公差为 d ,由S2n4n 2 得： a1a2 3 ，所以 a2 2 ，S n n1a1即 d a2a1 1 ，a n 1 ( n 1) 1 n（ 2）由b n a n p a n，得b n np n所以 T n p 2 p2 3 p3 L(n 1) p n 1np n，当 p1时， T n n1；2当 p1时， pT n p22p3 3 p4L ( n 1) p n np n 1，(1P)T p p2p3L p n1p n np n 1p(1p n )np n 1 n1pn1p1,T n2p(1p n )np n1, p1 1p19．【 2020 年四川高考题】解：（ 1）取 n=1, 得a2a1s2s12a1a2 ,①取 n=2, 得a222a12a2 ,②又② ①，得a2 (a2a1 )a2③10若 a2=0,由①知 a1=0,0若 a④22a2a11,由①④得： a121, a222;或a11 2 ,a222;（ 2）当a1 >0 时 , 由（ 1）知，a121, a222;当 n2时，有（ 22） a n s2s n, (2+ 2 ) a n1 =S 2+S n-1两式相减得： a n=2a n 1 ( n2)所以 a n a1 ( 2 )n 1( 2 1) ( 2) n 1b nlg 10a 1,则 b n1lg( 2 )n 11100 b n lg 2 lg 2令a nlg2n 1n12，22所以，数列 {b n } 是以1lg 2为公差，且单一递减的等差数列 .2则 b 1 >b >b > >b = lg 10lg 1 02378当 n ≥8时，81 lg 100 1 0b n ≤b =2 128lg 12所以， n=7 时， T n 获得最大值，且 T 的最大值为 T 7= （7 b 1b 7） 7 21 lg 2n2220 ．解：（ 1）由已知得a 11, 2a n 1 a n n,2Q a 23 , a 2 a 1 1 3 1 1 3 ,4 4 24又 b n an 1a n 1,b n 1an 2a n 1 1, bn 1an 1a n 1an 1(n 1) a nn a n 1a n 1 1222.b nan 2a n 1 1an 1a n 1an 1a n 1 2{b n } 是以 3 为首项，以 1为公比的等比数列 .4 2（ 2）由（ 1）知， b n3( 1 )n 13 1n ,4222a n 1 a n 13 1n ,2 2 a 2 a 1 13 12 ,2a 3 a 2 13 1 , a na n 1 13 1 （ n 2 ）2 22 2 2n 1将以上各式相加得：a n a 1 ( n 1)3 ( 1112 2 22 n 1),211a na 1n 13 2 (1 2n 1)1 ( n 1) 3 (1 13n 2.（ n2 ）21 12 2 2n 1 )2n2Q a 11合适上式a n 3n 2. （ n N * ）22n（ 3）存在2 ，使数列 { S nT n} 是等差数列 .nQ S n a 1a 2a n111 n) 2n3(12 2 n ) (1 2221 132 (1 2n)n(n 1) 2n 3(1 1 ) n 2 2 3n3 n 23n 3.1 122n 2n223 14 (1 2n )3133T n b 1 b 2b n11 2 (1 2n)22n 1 .2Q 数列 {S nT n} 是等差数列S nT nnAn B,( A 、 B 是常数 )S nT nAn 2 Bn,n又 S nT n3 n 23n3(331 )n 23n )(1 1 n222n23(1 2n )22当且仅当10，即2 时，数列 {S nn T n} 为等差数列 .2。