第二类曲线积分的计算
第二类曲线积分的计算
第二类曲线积分的计算(1)转化为定积分的计算公式βα→⎩⎨⎧==:),(),(,),(),,(t t y y t x x L L y x Q y x P 的参数方程为续上连在定向光滑曲线弧设定理dtt y t y t x Q t x t y t x P dy y x Q dx y x P L )}()](),([)()](),([{),(),('+'=+⎰⎰βα则特殊情形.)(:)1(b a x x y y L ，终点为起点为=.)}()](,[)](,[{dx x y x y x Q x y x P Qdy Pdx ba L ⎰⎰'+=+则.)(:)2(d c y y x x L ，终点为起点为=.]}),([)(]),([{dy y y x Q y x y y x P Qdy Pdx dc L ⎰⎰+'=+则垂直性.0),(⎰=L dx y x p x L 轴的线段时，有是垂直于定向曲线故轴时垂直于因当,0cos ,=αx L ⎰⎰==LL ds y x p dx y x p 0cos ),(),(α.0),(⎰=Ldy y x p y L 轴的线段时，有是垂直于同理，当推广.)()](),(),([)()](),(),([{⎰⎰+'+'=++Γba t y t z t y t x Q t x t z t y t x P Rdz Qdy Pdx dtt z t z t y t x R )}()](),(),(['第二类曲线积分的计算(2).)0,()0,()2(;)1(,2的直线段轴到点沿从点的上半圆周针方向绕行、圆心为原点、按逆时半径为为其中计算a B x a A a L dx y L-⎰例1)0,(a A )0,(a B -例题解,sin cos :)1(⎩⎨⎧==θθa y a x L ，变到从πθ0⎰π=0原式θθθd a a )sin (sin 22-.343a -=,0:)2(=y L ，变到从a a x -⎰-=aa dx 0原式.0=⎰π=03a )(cos )cos 1(2θθd -.)0,4,3()5,4,3()0,0,2(,的折线段再到到是从点其中，计算曲线积分C B A xdz zdy ydx Γ++⎰Γ例2。
曲线积分的计算方法
曲线积分的计算方法曲线积分是微积分中的重要概念，它在物理学、工程学和数学分析中有着广泛的应用。
曲线积分的计算方法有多种，下面我们将介绍其中的一些常见方法。
首先，我们来看一下曲线积分的定义。
曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算，它描述了函数沿着曲线的变化情况。
曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分，它们分别对应着不同的计算方法。
对于第一类曲线积分，也称为向量场沿曲线的积分，计算方法如下，假设曲线的参数方程为r(t)=(x(t),y(t))，函数为P(x,y)dx+Q(x,y)dy，其中P、Q是定义在曲线上的连续函数。
那么第一类曲线积分的计算公式为∫C Pdx+Qdy=∫[a,b](P(x(t)),Q(y(t)))·(x'(t),y'(t))dt，其中[a,b]是曲线的参数区间。
对于第二类曲线积分，也称为标量场沿曲线的积分，计算方法如下，假设曲线的参数方程为r(t)=(x(t),y(t))，函数为f(x,y)，其中f是定义在曲线上的连续函数。
那么第二类曲线积分的计算公式为∫C f(x,y)ds=∫[a,b] f(x(t),y(t))·|r'(t)|dt，其中[a,b]是曲线的参数区间，|r'(t)|表示曲线在参数t处的切线长度。
除了以上介绍的基本计算方法外，还有一些特殊情况下的曲线积分计算方法，比如在极坐标系下的曲线积分、在三维空间中的曲线积分等。
这些方法在具体问题中有着重要的应用，需要根据具体情况进行灵活运用。
总之，曲线积分的计算方法是微积分中的重要内容，它涉及到向量场、标量场以及曲线的参数方程等多个概念。
掌握曲线积分的计算方法对于理解微积分的理论和应用具有重要意义，希望以上介绍能够对大家有所帮助。
考研数学第二类曲线积分的计算
2019考研数学：第二类曲线积分的计算来源：文都教育曲线曲面积分的计算是高等数学中非常重要的一部分知识，在考研数学一中每年都会考查。
下面，文都教育的数学老师给2019考研的同学们总结一下一些考研数学经常用到的计算第二类曲线积分的基本方法，希望对同学们有些帮助。
（一）直接法（1）设有光滑曲线L:):(,)()(βα→⎩⎨⎧==t t y y t x x ，其起点和终点分别对应参数βα==t t ,，),(),,(y x Q y x P 在L 上连续，则dtt y t y t x Q t x t y t x P Qdy Pdx L⎰⎰+=+βα)]('))(),(()('))(),(([这里的βα,谁大谁小无关紧要，关键是要和起点和终点分别对应。
（二）格林公式法设闭区域D 是分段光滑的曲线L 围成，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则有dxdy y P x Q Qdy Pdx D L ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+，D 其中L 为D 取正向的边界曲线（所谓正向就是当沿曲线正向行走时，区域在左手边）。
但是考研数学中涉及到格林公式时，一般不能直接使用，是因为命题人会故意破坏格林公式的使用条件：L 不是封闭曲线，也就没有有界闭区域；虽然有有界闭区域，但),(),,(y x Q y x P 在D 上没有一阶连续偏导数。
这就要求同学们要学会使用“补线法”，补上一条或多条曲线，使得封闭出满足格林公式使用条件的有界闭区域。
（三）利用线积分与路径无关 1. 理论依据：定理：设函数),(),,(y x Q y x P 在单连通区域D 上有一阶连续偏导数，则以下四条等价：（1） ⎰+L Qdy Pdx 与路径无关；（2）0=+⎰L Qdy Pdx ，其中L 为D 中任一分段光滑闭曲线； （3）yPx Q ∂∂=∂∂ （4）),(),(),(y x dF dy y x Q dx y x P =+ 2. 计算（1）改变积分路径：一般是沿平行于坐标轴的直线积分，⎰⎰⎰+=+21212211),(),(),(),(21),(),(x x y y y x y x dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P 或⎰⎰⎰+=+21212211),(),(),(),(21),(),(x x y y y x y x dx y x P dy y x Q dy y x Q dx y x P 。
第二类曲线积分
分
λ0 i1
曲
线
注 1° 关于第二类曲线积分的几个术语
F(
x
,
y)
d
r
第二类曲线积分的向量形式
L
P( x, ( x, y)dx 对 x 的曲线积分;
L
Q(x, y)dy
对 y 的曲线积分.
L
2° 若 为空间曲线弧 ,
F ( x, y, z) (P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z))
解 直线AB为:
内容小结
1.
定义 F ( x, y) d r
L
P( x, y)dx Q( x, y)d y
L
n
lim P(ξk , ηk ) xk Q(ξk , ηk ) yk ] λ0 i1
2. 性质 [α F 1( x, y) β F 2( x, y)] d r L
α F 1( x, y) d r β F 2( x, y) d r
(1)
2 当a b 时， 沿着L的方向移动时，参数 t 减少. d r r(t)d t
dt 0
故 d r 与r(t)方向相反，而与L的方向一致.
于是
d r ( e r ) d s
(2)
综合(1)、 (2)，得
d
r
e L
d
s
其中
eL
是与L同方向的单位切向量.
e L (cos , cos )
dx cos αds, dy cos ds,
ds 2(t) 2(t) dt
例1 将积分 P( x, y)dx Q( x, y)d y 化为对
L
弧长的积分, 其中L 沿上半圆周 x2 y2 2x 0
曲线积分基本概念
曲线积分基本概念曲线积分是微积分的一个重要概念，用于计算曲线上函数的积分值。
曲线积分可以帮助我们理解曲线上的物理量分布以及曲线所代表的实际问题。
一、曲线积分的定义曲线积分是将曲线划分为无限小的线段，然后计算每个线段上函数的值与线段长度的乘积，最后对所有线段的积分进行求和。
曲线积分可以分为第一类和第二类两种情况。
1. 第一类曲线积分第一类曲线积分是对曲线上的函数进行积分，计算的是函数在曲线上的沿曲线方向的积分值。
设曲线为C，函数为f(x,y)，曲线C的参数方程为x(t), y(t)，参数范围为[a, b]，则第一类曲线积分的计算公式为：∮C f(x,y) ds = ∫[a,b] f(x(t),y(t)) ||r'(t)|| dt其中，ds表示曲线的弧长元素，r'(t)表示曲线的导数。
2. 第二类曲线积分第二类曲线积分是对曲线上的向量场进行积分，计算的是向量场沿曲线方向的积分值。
设曲线为C，向量场为F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j，曲线C的参数方程为x(t), y(t)，参数范围为[a, b]，则第二类曲线积分的计算公式为：∮C F(x,y) · dr =∫[a,b] [P(x(t),y(t)) x'(t) + Q(x(t),y(t)) y'(t)] dt其中，·表示向量的点乘运算，dr表示曲线的切向量元素，x'(t)和y'(t)表示曲线参数方程的导数。
二、曲线积分的应用曲线积分在物理和工程领域有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 力学曲线积分可以用于计算物体在曲线路径上所受的力的功。
通过计算曲线上的力和位移的点积，可以求得沿曲线路径所做的功。
2. 电磁学在电磁学中，曲线积分可以用于计算沿闭合曲线的电场强度和磁场的环流。
根据所给的电场和磁场，可以计算出闭合曲线上的电场通量和磁场强度的环积分。
3. 流体力学曲线积分在流体力学中也有广泛应用。
第二类曲线积分的计算方法
第二类曲线积分的计算方法曲线积分是微积分中的一个重要概念，它是对曲线上某个向量场的积分。
曲线积分分为第一类和第二类曲线积分，其中第二类曲线积分是指对曲线上的标量场进行积分。
本文将介绍第二类曲线积分的计算方法。
第二类曲线积分的定义设曲线C是一个光滑曲线，f(x,y,z)是定义在C上的连续函数，则曲线积分的定义为：∫Cf(x,y,z)ds其中，ds表示曲线C上的弧长元素，即ds=√(dx^2+dy^2+dz^2)。
第二类曲线积分的计算方法第二类曲线积分的计算方法有两种，一种是参数化计算法，另一种是向量场计算法。
1. 参数化计算法参数化计算法是指将曲线C表示为参数方程形式，然后将曲线积分转化为对参数t的积分。
具体步骤如下：（1）将曲线C表示为参数方程形式：x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，a≤t≤b（2）计算ds：ds=√(dx^2+dy^2+dz^2)=√(x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2)dt（3）将f(x,y,z)表示为f(x(t),y(t),z(t))，然后将曲线积分转化为对参数t的积分：∫Cf(x,y,z)ds=∫bf(x(t),y(t),z(t))√(x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2)dt2. 向量场计算法向量场计算法是指将曲线C上的标量场f(x,y,z)转化为向量场F(x,y,z)=(f(x,y,z),0,0)，然后计算向量场F(x,y,z)沿曲线C的线积分。
具体步骤如下：（1）将曲线C表示为参数方程形式：x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，a≤t≤b（2）计算曲线C的切向量T(t)：T(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))（3）计算向量场F(x,y,z)在曲线C上的投影：F(x(t),y(t),z(t))·T(t)=f(x(t),y(t),z(t))x'(t)（4）计算向量场F(x,y,z)沿曲线C的线积分：∫CF(x,y,z)·ds=∫bF(x(t),y(t),z(t))·T(t)ds=∫bf(x(t),y(t),z(t))x'(t)dt两种方法的比较参数化计算法和向量场计算法都可以用来计算第二类曲线积分，但是它们的适用范围不同。
第二类曲面积分三种计算方法
第二类曲面积分三种计算方法
第二类曲面积分可分为三种计算方法：
1. 直接应用公式法：对于给定曲面和向量场，在直接计算二重积分时利用公式进行求解。
该方法适用于曲面比较简单、向量场表达式也较简单的情况。
2. 参数化法：先将曲面参数化，再利用曲面元素、向量场在参数化后的表达式计算出积分。
该方法适用于曲面较为复杂，但能够找到合适的参数化方程的情况。
3. Stokes公式法：通过应用Stokes公式将曲面积分转化为曲线积分的形式，再利用曲线积分的求解方法得到结果。
该方法适用于曲面较为复杂，但是能够找到与曲面边界相对应的曲线的情况。
第二类曲线积分的计算修订版
第二类曲线积分的计算 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998第二类曲线积分的计算 定义设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中A =n MB M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ∆,分割T 的细度为}{max 1i ni S T ∆=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = .在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限∑=→∆ni iiiT xP 1),(limηξ∑=→∆+ni iiiT yQ 1),(limηξ存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(或 ⎰+ABdy y x Q dx y x P ),(),(也可记作⎰⎰+LLdy y x Q dx y x P ),(),( 或 ⎰⎰+ABABdy y x Q dx y x P ),(),(注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,=则上述记号可写成向量形式:⎰⋅Ls d F .(2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L),,(),,(),,(++⎰按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为⎰+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二类曲线积分有 ⎰⎰-=BAAB,定积分是第二类曲线积分中当曲线为x 轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x F =沿空间曲线AB L 所作的功. 为空间曲线AB L 上的第二类曲线积分 ⎰++ABdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.与第一类曲线积分的区别首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是201(,)lim (,)ni i ili f x y ds s λξη→==∆∑⎰第二类曲线积分就是1(,)(,)lim (,)(,)niiiiiili P x y dx Q x y dy P x Q y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰ （1）这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分中是乘的s i ，s i 是一小段弧的弧长，s i 总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的x,y 坐标的增量x i =x i −x i−1，y i =y i −y i−1，x i 与y i 是可正可负的。
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第二类曲线积分的计算 Jenny was compiled in January 2021
第二类曲线积分的计算 定义
设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中
A =n M
B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ∆,分割T 的细度为
}{max 1i n
i S T ∆=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记
11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = .
在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限
∑=→∆n
i i
i
i
T x
P 1
),(lim
ηξ∑=→∆+n
i i
i
i
T y
Q 1
),(lim
ηξ
存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为
⎰+L
dy y x Q dx y x P ),(),(或 ⎰+AB
dy y x Q dx y x P ),(),(
也可记作
⎰⎰+L
L
dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ⎰⎰+AB
AB
dy y x Q dx y x P ),(),(
注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,=
则上述记号可写成向量
形式:⎰⋅L
s d F
.
(2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,
),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿
空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为
dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L
),,(),,(),,(++⎰
按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为⎰+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的
方向性 . 对二类曲线积分有 ⎰
⎰
-=BA
AB
,定积分是第二类曲线积分中当
曲线为x 轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场
()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x F =沿空间曲线AB L 所作的功. 为空
间曲线AB L 上的第二类曲线积分
⎰++AB
dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.
与第一类曲线积分的区别
首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是
20
1
(,)lim (,)n
i i i
l
i f x y ds s λξη→==∆∑⎰
第二类曲线积分就是
1
(,)(,)lim (,)(,)n
i
i
i
i
i
i
l
i P x y dx Q x y dy P x Q y λ
ξηξη→=+=∆+∆∑⎰
（1）
这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分中是乘的
s s ，s s 是一小段弧的弧长，s s 总是正值；而第二类曲线积分和积分
和中是乘的一段弧的x ,y坐标的增量s s =s s −s s −1，s s =s s −
s s −1，s s 与s s 是可正可负的。
当积分的路径反向时，s s 不变，而s s 与s s 反号，因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号，在这
一性质上，第二类曲线积分与定积分是一样的。
计算曲线积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积分，但两类曲线积分有些不同。
设曲线的参数方程为{
s =s (s )
y =y (t )
α≤t ≤β
则第一类曲线积分的计算公式为
ds ===
这里要注意α≤β，即对t 的定积分中，下限比上限小时才有ss >
0，也就有|ss |=ss ，这样才有上述计算公式。
这个问题在计算中也
要特别注意。
沿曲线上的点由A 变到B ，即t 的下限α对应曲线积分的起点A ，他的上限β对应曲线积分的起点A ，t 的上限β对应终点B 。
历年真题
1、设曲线L :s (s ,s )=1，s (s ,s )具有一阶连续偏导数，过第二象限内的点M 和第四象限内的点N ，Γ为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列小于零的选项是
(A)∫s (s ,s )ss Γ (B)∫s (s ,s )ss Γ
(C)∫s (s ,s )ss Γ (D)∫s s ′(s ,s )ss Γ+s s ′(s ,s )ss
(2007，数一，
4分)
【解析】
设点s ，s 的坐标分别为s (s 1,s 1)，s (s 2,s 2)，则有题设可知
∫s (s ,s )ss Γ
=∫ss Γ
=s 2−s 1>0
∫s (s ,s )ss Γ
=∫ss Γ
=s 2−s 1<0
∫s (s ,s )ss Γ
=∫ss Γ
>0
∫s s′(s,s)ss Γ+s s′(s,s)ss=∫0ss
Γ
+0ss=0
答案为B。
2、计算曲线积分∫sss2sss+2(s2−1)sss
s
，其中s是曲线
s=ssss上从点(0,0)到点(s,0)的一段。
(2008，数一，9
分)【解析】
∫sss2sss+2(s2−1)sss
s
=∫sss2sss+2(s2−1)ssssssssss
s
=∫s2sss2sss=−s s2
2
sss2s|
s
+∫ssss2sss s
=−s2
2
+
s
2
sss2s|
s
−
1
2
∫sss2sss=−
s2
2
s
3、设s是柱面s2+s2=1与平面s=s+s的交线，从s轴正方向往s轴负方向看去为逆时针方向，则曲线积分∮ssss+sss+
s
s2
2
ss=
(2011，数一，4分)【解析】
采用斯托克斯公式直接计算
∮ssss +sss +s 2
2ss
s
=∬
sssss +sssss +ssss
s =s +s
=∬(1−s −s )ssss
s 2+s 2≤1
=∫
ss ∫(1−sssss −sssss )sss =s 1
2s
4、已知s 是第一象限中从点(0,0)沿圆周s 2+s 2=2s 到点(2,0),再沿圆周s 2+s 2=4到点(0,2)的曲线段，计算曲线积分s =∫3s 2sss +s (s 3+s −2s )ss
(2012，数一，10分)
【解析】
s =∫(s +s )ss +(s 2−s 2+s )ss +s 2s 2ss
s
=∬ssss −∫(−2s )ss =
s
2
−40
2
s
5、已知s 的方程{s =√2−s 2
−s 2
s =s
，起点为s (0,√2,0)，终点为
s (0,−√2,0)，计算曲线积分s =∫(s +s )ss +(s 2−s 2+s s )ss +s 2s 2ss
(2015，数一，10分)
【解析】
曲线L 的参数方程为：{
s =ssss
y =√2z =cosθ
sinθ
s =∫(s +s )ss +(s 2−s 2+s )ss +s 2s 2ss
s
=∫
[−(√2ssss +ssss )ssss
−
s 2
s 2
+√2ssss √2ssss
−2sss 2ssss 2sssss ]ss =−√2∫
sss 2
sss =
√2
2
s −
s 2
s 2。