甘肃省兰州第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学(解析版)
甘肃省兰州市高一上学期期末考试数学试题Word版含答案
高一数学说明 : 本试卷分第Ⅰ卷( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分 , 满分 100 分 , 考试时间 100 分钟 .答案写在答题卡上, 交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题, 共 40分)一、选择题 ( 本大题共10 小题 , 每题 4 分，共 40 分 . 在每题给出的四个选项中, 只有一项是切合题目要求的, 请将答案写在答题卡上.)1 ．过点A(4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是()A ． x y 5B ． x y 5C ． x y 5或 x 4 y 0D ． x y 5或 x 4 y02 ．已知m, n表示两条不一样直线，表示平面．以下说法正确的选项是()A ．若 m // , n // ,则 m // nB ．若 m, n,则 m nC ．若 m, m n, 则 n //D ．若 m // , m n, 则 n3．如图，矩形O ' A' B ' C '是水平搁置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，此中 O ' A'6cm,C ' D '2cm ，则原图形是()A ．正方形B ．矩形C ．梯形D ．菱形4．如图，将正方形ABCD 沿对角线AC 折成一个直二面角，则异面直线AB和CD 所成的角是( )A．30 B．45 C ．60 D．90DCO B A5．若圆锥的高等于其内切球半径长的 3 倍，则圆锥侧面积与球表面积的比值为()A ．1B ．3C ．1D ．4 2 2 3 36．已知三棱锥P ABC 的四个极点 P, A, B, C 都在半径为R的同一个球面上, 若 PA,PB, PC两两互相垂直,且PA1, PB 2,PC 3 ,则R等于()A ．14B ． 14C ．13D ． 3227．如图，已知两点A( 4,0), B(0,4) ，从点 P( 2,0) 射出的光芒经直线 AB 反射后射到直线 OB 上，再经直线 OB 反射后射 到 P 点，则光芒所经过的行程PM MN MNP 等于( )NA ．2 10B ． 6C ．3 3D ．2 58．定义在 R 上的奇函数 f (x) 知足：当 x 0时， f ( x) 2017 xlog 2017 x ，则在 R 上，函数 f ( x) 零点的个数为 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A ．5 2B ．4 2C ． 4D ． 610．已知点 A( 1,0), B(1,0), C ( 0,1),直线 y kx b(k 0) 将 ABC 切割为面积相等的两部分 , 则 b 的取值范围是 ()A ． (0,1)B ．[1 , 1)C ．[12 , 1] D ．[12,1)3 22 32 2第Ⅱ卷 ( 非选择题 )二、填空题 ( 本大题共 4 小题 , 每题 4 分，共 16 分 , 请将答案写在答题卡上.)11．如图，长方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB 3, BC 4 ，CC 1 5 , 则沿着长方体表面从 A 到 C 1 的最短路线长为 ________ ．12．若幂函数 f ( x) x ( 为常数 ) 的图象恒过定点 A ,直线 kx y 2k 1 3 0 恒过定点 B, 则直线AB 的倾斜角是________．13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100 万元，每生产1件该产品还需要增添投资1 万元，年产量为x( x N ) 件．当 x 20 时，年销售总收入为(33 x x 2 ) 万元；当 x 20 时，年销售总收入为 260 万元．则该工厂的年产量为________件时，所得年收益最大 . ( 年收益 =年销售总收入－年总投资) ．14．已知函数 f ( x) 2 x a (x 1)若 f ( x) 0 恰有2个实数根，4(x a)( x 2a) (x 1).则实数 a 的取值范围是_______________.三、解答题 ( 本大题共 5 小题，共44 分． )15． ( 本小题 8 分 ) 如图，在三棱柱ABC A1 B1C1中，侧棱垂直于底面，AB AC ，E,F , H分别是A1C1,BC, AC的中点. E(1)A 1 C 1 求证：平面 C 1 HF // 平面 ABE .B 1(2) 求证：平面 AEF 平面 B1 BCC1HA CFB16． ( 本小题 8 分)(1) 已知直线l1: ax 2 y 6 0 和直线 l 2 : x (a 1) y a 2 1 0 .当 l1 // l 2时，求a的值.(2) 已知点P(2, 1)，求过P点且与原点距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离. 17． ( 本小题 8 分 ) 如图，长方体ABCD A1 B1C1D1中，D1D DC 4，ADD1 C1 2 ，E为D1C的中点．B1A1 EDC(1) 求三棱锥 D 1 ADE 的体积 .(2)AC 边上能否存在一点 M ,使得 D 1 A // 平面 MDE ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明原因．18． ( 本小题 10 分 ) 如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA平面 ABCD , ABAD, ACCD ，ABC 60 ， PA AB BC ， E 是 PC 的中点．(1) 求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小 .(2) 求二面角 A PD C 的正弦值．19. ( 本小题 10 分 ) 设二次函数 f (x) x 2 axa ．(1)若方程 f ( x) x 0 的两实根x 1和 x 2 知足0 1 x 21 ．x务实数 a 的取值范围 .(2)求函数 g( x) af (x) a 2 (x1) 2x 在区间 [ 0,1] 上的最小值．兰州一中 2016-2017-1 学期期末考试高一数学答题卡第Ⅰ卷 ( 选择题 )一、选择题 ( 本大题共 10 小题 , 每题 4 分，共 40 分 .)题号 12 345678910答案第Ⅱ卷 ( 非选择题 )二、填空题 ( 本大题共 4 小题 , 每题 4 分，共 16 分 .)11.________________12.______________________13.________________ 14.______________________EA1三、解答题 ( 本大题共 5 小题，共 44 分． ) C 1 15． ( 本小题 8 分) B 1HA CFB16． ( 本小题 8 分)17． ( 本小题 8 分)D1 C1B1A1 ED18．(本小题 10 分)19.(本小题10分)兰州一中 2016-2017-1 学期期末考试高一数学答案一、选择题 ( 本大题共 10 小题 , 每题 4 分，共 40 分 .)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CBDCBAACDD二、填空题 ( 本大题共 4 小题 , 每题 4 分，共 16 分 .)11.7412.15013. 1614.[1,1) [2,)2提示: 8.别漏了 (0,0)9. 结构正方体模型 ( 如左以下图 ) 该多面体为三棱锥ADBCA BCDCMABNO10.k0 时 ,b12; k 0 时, 如右上图 ,b k b2N ( ,0), y M1kk 令S MNB1 (1 b ) k b 1,得 kb 2b11 022k k 1 22b14. 当时 ,方程f ( x)0 无实根 ;a 0当 0a1时 ,要使 f (x) 0 恰有 2 个实数根，须 2a1 a11 ,2当 a 1时 , 要使 f ( x) 0 恰有 2 个实数根，须 21a0 a 2综上 ,所求为 [ 1,1) [ 2,)2三、解答题 ( 本大题共 5 小题，共 44 分 .)15 (8 )如图，在三棱柱 ABC 1 1 1中，侧棱垂直于底面， AB AC ， E,F,H． 本小题 分 A B C分别是 A 1C 1 , BC , AC 的中点 .(1) 求证：平面 C 1 HF // 平面 ABE .EA 1C 1B 1(2) 求证：平面 AEF 平面 B1 BCC1证明 : (1) F , H 分别是 BC, AC 的中点，HF//AB.又E, H 分别是 A1C1, AC 的中点，EC1 // AH又EC1 AH 四边形 EC1 HA 为平行四边形.C1H // AE ，又C1H HF H,AE AB A，因此平面 C 1 HF // 平面 ABE .(2) AB AC, F为BC中点, AF BC B1 B 平面 ABC , AF 平面 ABC ,B1 B AF B1B BC B, AF 平面 B1 BCC1又AF 平面 AEF , 平面 AEF 平面 B1 BCC116． ( 本小题8 分) (1) 已知直线 l 1 : ax 2 y 6 0 和直线 l 2 : x (a 1) y a2 1 0 .当 l1 // l 2时，求a的值.(2) 已知点P(2, 1) ，求过 P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，并求出最大距离．解: (1) 由 A1B2 A2 B1 0 ，得a(a 1) 1 2 0 ，由 B1C2 B2 C1 0 ，得2( a2 1) 6( a 1) 0 ， a 1(2) 过 P 点且与原点距离最大的直线, 是过P点且与OP垂直的直线，由 l OP 得 k l k OP 1 ．因此 k l 2 ．由直线方程的点斜式得y 1 2( x 2) ，即 2x y 5 0 ，所以直线 2x y 5 0是过P点且与原点距离最大的直线，最大距离为5d 5 ．D1 C1517． (本小题 8 分 ) 如图，长方体ABCD A1B1C1 D1中，A1 B1ED1 D DC 4，AD 2 ， E为 D 1C 的中点．DC(1) 求三棱锥D1 ADE 的体积． A B(2)AC 边上能否存在一点M,使得 D1 A // 平面 MDE ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明原因．解 : (1) V D1 ADE VA DED 1长方体中, AD 平面 D1CD ，AD 是三棱锥 A D1DE 的高．E为D1C 的中点，且 D1D DC 4，S D 1DE4又 AD2，因此V D 1 ADE V A DED 18．3(2) 取 AC 中点 M ，连结 EM , DM ，由于 E 为 D 1C 的中点， M 是 AC 的中点，EM //D 1A .又 EM 平面 MDE ， D 1A 平面 MDE ， D 1A // 平面 MDE ．AM5 ．即在 AC 边上存在一点 M ，使得 D 1A // 平面 MDE ，此时 M 是 AC 的中点AM 5 ．18． (本小题 10 分 )如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA平面 ABCD , AB AD , ACCD ，ABC 60 ，PAABBC ，E 是PC 的中点．(1) 求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小．(2)求二面角 APD C 的正弦值．解 : (1) 在四棱锥 PABCD 中， PA平面 ABCD ，AB 平面 ABCD ，PAAB ． 又 ABAD ， PA ADA ，AB平面 PAD .故 PB 在平面 PAD 内的射影为 PA ，进而 APB 为 PB 和平面 PAD 所成的角 .在 Rt PAB 中， ABPA ，故 APB 45 ．因此 PB 和平面 PAD 所成的角的大小为 45 ．(2) 在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ，CD 平面 ABCD ， PACD ．由条件 AC CD ，PAACA ， CD平面 PAC ． 又 AE平面 PAC ， CD AE ．由 PA ABBC ，ABC 60 ，可得 AC PA ．∵ E 是 PC 的中点，PCAE ．又CD PC C ， AE平面 PCD ．过点 E 作EM PD ，垂足为 M ，连结 AM ，如下图．AE 平面 PCD ， AM 在平面 PCD 内的射影是 EM ， AMPD ．AME 是二面角 A PD C 的平面角．由已知CAD30 , 设 CD1,则PAAC3 ,AD2, PC6, PD7 .Rt PAC 中 , AE1PC6 .22在 Rt ADP 中，AM PD , 在 Rt AEM 中， sin AME14．419． ( 本小题 10 分 ) 设二次函数 f (x)(1)若方程 f ( x) x 0 的两实根(2)求函数 g(x) af ( x) a2 ( x解 : (1) 令m( x) f ( x) x x 21 0 a0 1依题意， 2 得 0m(1) 0m(0) 0AM PD AP AD,2 21得AM .7AE 14A PD C 的正弦值为AM．因此二面角4x 2 ax a ．x1和 x2知足 0 x1 x2 1．务实数a的取值范围;1)2x 在区间 [0,1] 上的最小值．(a 1) x a ．a 3 2 2 ,故实数a的取值范围为( 0,3 2 2) .(2) g( x) ax 2 2x①当 a 0 时， g( x) 2x 在 [0,1] 上递减，g (x) min g(1) 2 ．②当 a 0 时，函数g( x) a(x 1) 21图象的张口方向向上，且对称轴为x10 ．a a a若11即 a 1，函数 g (x) 在 [ 0,1] 上递减，在 [1,1] 上递加．g(x)min g (1) 1 .a a a a a若11即 0 1 ，函数在上递减．( ) (1) 2a g (x) [0,1]g xmin g a ．a③当 a 0 时，函数g( x) a(x 1 ) 2 1 的图象的张口方向向下，且对称轴x 1 0 ，a a ag( x) 在 [0,1] 上递减, g(x)min g(1) a 2综上所述，g(x)min a12 ( a 1)(a 1) a。
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甘肃省兰州一中高一上学期期末考试（数学）说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）.第I 卷（选择题）一、选择题(每小题3分，共30分，将答案写在答题卡上) 1．右图是由哪个平面图形旋转得到的( )2. 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有( )A ．4条B . 6条C . 8条D . 10条 3．直线10x +-=的倾斜角是( )A ．30ｏB ．1C ．135ｏD ．150ｏ4．直线3x +4y -13=0与圆1)3()2(22=-+-y x 的位置关系是：（ ）A ． 相离B ． 相交C ． 相切D ． 无法判定 5. 设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是( )A ①和②B ②和③C ③和④D ①和④6．直线330x y +-=与直线610x my ++=平行，则它们之间的距离为( )A ．4 BCD7．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45ｏ ，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A. 2BCD. 18．如下图，正方体ABCD -A 'B 'C 'D '中, 直线D 'A 与DB 所成的角为( )A ．30ｏB ．45ｏC ．60ｏD ．90ｏ9. 如上图，一个简单空间几何体的三视图中，其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则其侧面积是( )A ．12B . 8CD 10. 若直线l 与直线y =1和x -y -7=0分别交于A 、B 两点，且AB 的中点为P (，则直线l 的斜率等于( )A ．32B ．-32C ．23D ．-23第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题4分，共将答案写在答题卡上）11．过点（1，3）且与直线210x y +-=垂直的直线方程是 .12．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 ．13 在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为，其余各棱长都为2，则二面角A -BD -C 的大小为 .14．两圆相交于点A （1，3）、B （m ，－1），两圆的圆心均在直线x －y +c =0上，则m +c = . 15．已知两个平面垂直，给出下列一些说法：①一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④在一个平面内过该平面内的任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另 一个平面. 其中正确的说法的序号依次是 .三、解答题(共50分) 16.（本小题8分）如图，四棱锥ABCD 中，底面ABCD 是正方形，O 是正方形ABCD 的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．求证： （1）PA ∥平面BDE ；（2）平面PAC 平面BDE.17.（本小题10分）已知线段AB的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，且∣AB∣=2.（1）求线段AB的中点P的轨迹C的方程；（2）求过点M(1，2)且和轨迹C相切的直线方程.18．（本小题10分）（1）求经过直线l1：x + y– 1 = 0与直线l2：2x– 3y + 8 = 0的交点M，且与直线2x + y + 5 = 0平行的直线l的方程;（2）已知点A(1，1)，B(2，2)，点P在直线l上，求∣PA∣2+∣PB∣2取得最小值时点P的坐标.19. （本小题12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，AA1=1，E是A1C1与B1D1的交点.（1）作出面A1BC1与面ABCD的交线l，并写出作法；（2）若以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，试写出B，E两点的坐标，并求BE的长；（3）求BC1与面BDD1B1所成角的正切值.（本小题10分）已知圆C过点M（0，-2）、N（3，1），且圆心C在直线x+2y+1=0上.（1）求圆C的方程；（2）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l 垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题(每小题3分，共30分)11．2x-y+ 1=0 12． 3：1：2 13．60°14. 3 15．②④三、解答题(共50分)16.（本小题8分）证明：(1)连结OE．∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE．………………………4分(2) ∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC PO=O，∴BD⊥平面PAC．而BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．……………8分17.（本小题10分）解: (1) 方法一：设P(x , y ),∵∣AB∣=2,且P为AB的中点，∴∣OP∣=1 ……………………2分∴点P的轨迹方程为x2+y2=1. ……………………5分方法二：设P(x , y )，∵P为AB的中点，∴A (2x , 0 ), B(0 , 2y ), ………………………2分又∵∣AB∣=2∴(2x)2+(2y)2=2 ………………………4分化简得点P的轨迹C的方程为x2+y2=1. ……………5分(2) ①当切线的斜率不存在时，切线方程为x=1,由条件易得 x =1符合条件; ………………7分②当切线的斜率存在时，设切线方程为 y -2=k (x -1) 即kx -y +2-k =01=得k =34,∴切线方程为y -2=34 (x -1)即 3x -4y +5=0综上，过点M (1，2)且和轨迹C 相切的直线方程为： x =1 或3x -4y +5=0 ……………………10分18.（本小题10分）解：(1) 102380x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得⎩⎨⎧=-=21y x所以交点为（－1，2）……………3分 ∵所求直线与直线2x + y + 5 = 0平行， ∴2-=k∴直线方程为02=+y x ……………………5分 (2) 设P (t ,-2t ) 则2222222(1)(21)(2)(22)10610PA PB t t t t t t +=-+--+-+--=++当310t =-时，22PB PA +取得最小值，∴33(,)105P -…………………………10分19.（本小题12分）解：(1)在面ABCD 内过点B 作AC 的平行线BE ， （或过点B 作A 1C 1的平行线）则此平行线即为所求作的交线l . …………4分(2) B ( 2 , 2 , 0 ) ， E ( 1 , 1 , 1 ) …………6分BE…………………………8分(3)连接BE ，∵C 1E ⊥B 1D 1, C 1E ⊥BB 1 ∴C 1E ⊥面BDD 1B 1 ，∴∠C 1BE 为BC 1与面BDD 1B 1所成的角, …………10分 又∵C 1E， BE∴ tan ∠C 1BE=1C E BE==…………………12分本小题10分）解：（1）设圆C 的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0则有--1024-201030DE EF D E F ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪+++=⎪⎩ …………………2分解得644D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩……………………………4分 ∴圆C 的方程为：x 2+y 2-6x +4y +4=0 …………5分 （2）设符合条件的实数a 存在，由于l 垂直平分弦AB ，故圆心(3, 2)C -必在l 上． 所以l 的斜率2PC k =-，而1AB PC k a k ==-， 所以12a =． …………7分把直线ax -y +1=0 即y =ax +1．代入圆C 的方程，消去y ，整理得22(1)6(1)90a x a x ++-+=． 由于直线10ax y --=交圆C 于,A B 两点，故2236(1)36(1)0a a ∆=--+>， 即20a ->，解得0a <．则实数a 的取值范围是(,0)-∞．…………………9分由于1(, 0)2∉-∞，P的直线l垂直平分弦AB．………10分故不存在实数a，使得过点(2, 0)。
2015-2016学年甘肃省兰州一中高一上学期期末考试数学试题(解析版)
2015-2016学年甘肃省兰州一中高一上学期期末考试数学试题一、选择题1．下列说法中，正确的是（）A．幂函数的图象都经过点（1，1）和点（0，0）B．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D．幂函数y＝xα，当α＜0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】试题分析：对于A．幂函数的图象都经过点（1，1），但不一定经过点（0，0），如幂函数1yx=，不经过点（0，0）；B．当α＝0时，函数y＝xα的图象不是一条直线，它不包括（0，0），C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，不一定满足y＝xα在定义域内y随x的增大而增大，反例幂函数1yx=；D．幂函数y＝xα，当α＜0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小是正确的．【考点】幂函数的性质．2．如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】A【解析】试题分析：由三视图复原几何体，如图该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积为12422432+⨯⨯⨯=，所以应选A．【考点】三视图、棱锥的体积．3．下列关于函数y＝f（x），x∈[a，b]的叙述中，正确的个数为（）①若且满足f（x0）＝0，则（x0，0）是f（x）的一个零点；②若x0是f（x）在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；③函数f（x）的零点是方程f（x）＝0的根，f（x）＝0的根也一定是函数f（x）的零点；④用二分法求方程的根时，得到的都是根的近似值．A ．0B ．1C ．3D ．4 【答案】B【解析】试题分析：对于①、[]0,x a b ∈且满足0()0f x =，则是f （x ）的一个零点，而不是（0x ，0），所以①错误；②、因为函数f （x ）不一定连续，所以②错误；③、函数f （x ）的零点是方程f （x ）＝0的根，方程f （x ）=0的根一定是函数f （x ）的零点，所以③正确的；④、用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，所以④错误．故选 B ．【考点】函数的零点、二分法等基本知识．【方法点睛】对于①，根据零点的概念即可判断；对于②考虑零点存在性定理的条件：函数f （x ）一定连续进行判断；对于③根据零点的概念即可判断；对于④，利用二分法求根时，得到的根也可能是精确值，故④错．我们把函数y=f （x ）的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，即方程的根．f （x ）的零点就是方程f （x ）=0的解．这样就为我们提供了一个通过函数性质确定方程的途径．函数的零点个数就决定了相应方程实数解的个数．零点存在性定理：若函数y=f （x ）在闭区间[a ，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号不同，即f （a ）•f （b ）≤0，则在区间[a ，b]内，函数y=f （x ）至少有一个零点，即相应的方程f （x ）=0在区间[a ，b]内至少有一个实数解．4．如图，在三棱锥S ﹣ABC 中，E 为棱SC 的中点，若AC ＝，SA ＝SB ＝SC ＝AB ＝BC ＝2，则异面直线AC 与BE 所成的角为（ ）A ．30° B．45° C ．60° D ．90° 【答案】C【解析】试题分析：取SA 的中点F ，连接EF ，BF ，则∵E 为棱SC 的中点，∴EF ∥AC ，∴∠BEF （或其补角）为异面直线AC 与BE 所成的角，AC ＝SA ＝SB ＝SC ＝AB ＝BC ＝2，BE EF BF ∴=== 060BEF ∴∠=，所以应选C ．【考点】异面直线及其所成的角．5．如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF ，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．直线AB 与平面BEF 所成的角为定值D ．异面直线AE 、BF 所成的角为定值 【答案】D【解析】试题分析：：∵AC ⊥平面BB 1D 1D ，又BE ⊂平面BB 1D 1D ，∴AC ⊥BE ．故A 正确．∵EF 垂直于直线AB 1，AD 1，∴A 1C ⊥平面AEF ．故B 正确．C 中由于点B 到直线B 1D 1的距离不变，故△BEF 的面积为定值．又点A 到平面BEF 的距离为2，故V A-BEF 为定值．C 正确；当点E 在D 1处，F 为D 1B 1的中点时，异面直线AE ，BF 所成的角是∠FBC 1，当E 在上底面的中心时，F 在C 1的位置，异面直线AE ，BF 所成的角是∠EAA 1显然两个角不相等，D 不正确．故选D ．【考点】直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角． 6．若函数 ()(0x f x a x a a =-->且1a ≠）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．(1,)+∞C ．,+)∞D ．0⎛ ⎝⎦ 【答案】B【解析】试题分析：令()xg x a =（a ＞0，且a ≠1），h ()x x a =+分0＜a ＜1，a ＞1两种情况，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，若函数f （x ）=a x-x-a 有两个不同的零点，则函数g （x ），h （x ）的图象有两个不同的交点．根据画出的图象只有当a ＞1时符合题目要求． 【考点】函数的性质及应用．7．已知,m n 为异面直线， m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则（ ）A ．α∥β，且l ∥αB ．αβ⊥，且l β⊥C ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 【答案】D【解析】试题分析：由m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以//l α，又n ⊥平面β，l n ⊥，l β⊄，所以//l β．由直线m ，n 为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m ∥n ，与m ，n 异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l ．故选D ．【考点】平面与平面之间的位置关系，平面的基本性质及推论，线面平行、线面垂直的判定与性质．8． 已知直线（1+k ）x+y-k-2＝0过定点P ，则点P 关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是（ ） A ．（3，﹣2） B ．（2，﹣3） C ．（3，﹣1） D ．（1，﹣3） 【答案】C【解析】试题分析：由直线（1+k ）x+y-k-2=0化为k （x-1）+（x+y-2）=0，令1020x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩于是此直线恒过点P （1，-1）．设点P 关于直线x-y-2=0的对称点为P ′（m ，n ），则1120221111m n n m --⎧--=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩解得31m n =⎧⎨=-⎩∴P ′（3，-1）．故选C ．【考点】直线的性质和轴对称的性质．9．如图，平面α⊥平面β，A α∈，B β∈， AB 与两平面α、β所成的角分别为45°和30°．过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB ：A′B′＝（ ）A ．2 ：1B ．3 ：1C ．3 ：2D ．4 ：3 【答案】A【解析】试题分析：∵平面α⊥平面β，A α∈，B β∈，， AB 与两平面α、β所成的角分别为45°和30°，∴∠ABA'=30°，∠BAB'=45°， 连结AB ′，设AB=2，则AA ′=1， ∴AB ′1=AB ：A′B′＝2:1【考点】两条线段的比值的求法．10．经过点P （1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正值，若截距之和最小，则直线的方程为（ ） A ．x ＋2y －6＝0 B ．2x ＋y －6＝0 C ．x －2y ＋7＝0 D ．x －2y －7＝0 【答案】B【解析】试题分析：设直线的方程为1(0,0)x ya b a b+=>>，直线经过点P （1，4）， 则有141a b+= ∴144()()5549b a a b a b aba b+=++=++≥+= 当且仅当4141b a a ba b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即a=3，b=6时取“=”．∴直线方程为2x+y-6=0．故选B ．【考点】直线方程的截距式，利用基本不等式求截距和的最小值． 【方法点睛】（1）一般情况下直线在x 轴的截距即当y=0时x 的值，直线在y 轴的截距即当x=0时y 的值，如果把方程设为截距式（一定要保证截距不为0），这样截距比较直观；（2）利用基本不等式求最值必须满足一正，二定，三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值二、填空题11．已知直线1l : x+（1+m ）y+m-2=0与直线2l :mx ＋2y ＋8＝0平行，则经过点A （3，2）且与直线1l 垂直的直线方程为________． 【答案】2x-y-4＝0【解析】试题分析：因为直线1l : x+（1+m ）y+m-2=0与直线2l :mx ＋2y ＋8＝0平行，所以28112m m m =≠+-，解得1m =，直线1l 方程为210x y +-=，因为所求的直线方程与 直线1l 垂直，所以可设为20x y λ-+=，又因为经过点A （3，2），所以2320λ⨯-+=，解得4λ=-，所以所求直线为2x-y-4＝0．【考点】两直线平行满足的条件及如何求直线方程．12．用斜二测画法得到的四边形ABCD 是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一________．【答案】DE ⊥AB 于E ，CF ⊥AB 于F ，则AE=BF=ADcos45°=1， ∴CD=EF=3．将原图复原（如图）则原四边形应为直角梯形，∠A=90°，AB=5，CD=3，AD=2则原四边形的面积是1(53)2+⋅=【考点】斜二测画法的理解和应用【方法点睛】将直观图放在还一个平面直角坐标系x o y''中，还原成平面图的关键是找与,x y ''轴平行的直线或线段，且平行与x '轴的线段还原时相等，且平行与y '轴的线段还原时放大为直观图中相应线段的2倍，由此图形的各个顶点，顺次连接即可；对于面积问题直观图的面积是原几何图形面积的倍，在选择及填空题中可直接应用【解析】13． 已知三棱锥A-BCD 则该三棱锥的外接球的表面积为________． 【答案】3π【解析】试题分析：如图所示，设球心为O点，底面△ABC的中心为O1，球的半径为R．∵三棱锥A-BCD的所有棱长都所以123CO==13PO===在1OAO∆中，222()(33R R=-+解得R=∴该三棱锥的外接球的表面积22443S Rπππ===，故答案为：3π．【考点】正三棱锥的性质、球的表面积计算公式．14．已知关于x的方程22210x mx m+++=有两根，其中一根在区间(1,0)-内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围是________．【答案】5162m-<<-【解析】试题分析：设f（x）=x2+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f（x）=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（-1，0）和（1，2）内，则(0)210(1)20(1)420(2)650f mff mf m=+<⎧⎪-=>⎪⎨=+<⎪⎪=+>⎩，解得5162m-<<-．【考点】一元二次方程根的分布与系数的关系．15．甲、乙、丙、丁四个质点同时从某一点出发向同一个方向运动，其轨迹f i（x）（i=1，2，3，4）关于时间x（x≥0）的函数关系式分别为1()21xf x=-，22()f x x=，3()f x x=，42()log(1)f x x=+，有以下结论：①当x ＞1时，甲在最前面； ②当x ＞1时，乙在最前面；③当0＜x ＜1时，丁在最前面，当x ＞1时，丁在最后面； ④丙不可能在最前面，也不可能在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为___________ （把正确结论的序号都填上，多填，错填或少填均不得分）． 【答案】③④⑤【解析】试题分析：因为路程f i （x ）（i=1，2，3，4）关于时间x （x ≥0）的函数关系是： f 1（x ）＝2x−1，f 2（x ）＝x 2，f 3（x ）=x ，f 4（x ）=log 2（x+1），它们相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数，和对数型函数模型． 当x=2时，f 1（2）=3，f 2（2）=4，∴命题①不正确； 当x=4时，f 1（5）=31，f 2（5）=25，∴命题②不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当0＜x ＜1时，丁走在最前面，当x ＞1时，丁走在最后面，命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，∴命题⑤正确．结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，命题④正确． 故答案为：③④⑤．【考点】几种基本初等函数的变化趋势，关键是注意到对数函数、指数函数与幂函数的增长差异，属于基础题．【方法点睛】分别取特值验证命题①②；对数型函数的变化是先快后慢，当x=1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而判断命题③正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的动物一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知命题④正确．三、解答题16．如图（1）所示，在直角梯形ABCD 中， BC ∥AP ， AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD=DC=PD=2．又 E 、F 、G 分别为线段PC 、PD 、BC 的中点，现将△PDC 折起，使平面 PDC ⊥平面ABCD （图（2））．（1）求证：平面EFG ∥平面PAB ； （2）求三棱锥C-EFG 的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）16【解析】试题分析：（1）由三角形中位线定理证明EF ∥AB ．利用直线与平面平行的判定定理证明EF ∥平面PAB ．然后利用平面与平面平行的判定定理证明平面EFG ∥平面PAB ．（2）利用等体积V C-EFG =V G-CEF ，转化求解即可． 试题解析：证明：（1）∵E 、F 分别是PC ，PD 的中点， ∴EF ∥CD 又CD ∥AB ．∴ EF ∥AB ．∵EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴EF ∥平面PAB ．同理，EG ∥平面PAB ，∵EF EG E = ，EF ⊂平面EFG ，EG ⊂平面EFG ∴平面EFG ∥平面PAB ． （2）V C －EFG ＝V G －CEF ＝13S △CEF ·G C ＝13×（12×1×1）×1＝16． 【考点】平面与平面平行的判定定理及几何体的体积的求法【名师点睛】1、判断面面平行的方法（1）利用定义:（常用反证法）；（2）利用面面平行的判定定理；（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行，（4）利用平行平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行； 2、在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算．17．已知两点)3,4(-A ，)1,2(-B ，直线0234=-+y x l ：，求一点P 使PB PA =，且点P 到直线l 的距离等于2． 【答案】)4,1(-P 或)78,727(-P 【解析】试题分析：先求出直线 AB 的垂直平分线，再根据),(b a P 在直线05=--y x 上及已知点P 到l 的距离为2，即可得到结论试题解析：设点P 的坐标为),(b a P ．∵)3,4(-A ，)1,2(-B ． ∴AB 的中点M 的坐标为)2,3(-．又AB 的斜率12413-=-+-=AB k ． ∴AB 的垂直平分线方程为32-=+x y ，即05=--y x ． 而),(b a P 在直线05=--y x 上． ∴05=--b a ． ①又已知点P 到l 的距离为2． ∴点P 必在于l 平行且距离为2的直线上， 设直线方程为034=++m y x ，由两条平行直线之间的距离公式得：252=+m ∴8=m 或12-=m ．∴点P 在直线0834=++y x 或01234=-+y x 上． ∴0834=++b a 或01234=-+b a ② ∴①②得：1=a ，4-=b 或727=a ，78-=b ． ∴点)4,1(-P 或)78,727(-P 为所求的点．【考点】线段的垂直平方线及点到直线的距离18．（1）已知圆C 经过(0,0)O ， (2,2)Q -两点，且被直线y=1截得的线段长为．求圆C 的方程．（2）已知点P （1，1）和圆x 2＋y 2－4y ＝0，过点P 的动直线l 与圆交于A ，B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．【答案】（1）22224040x y x x y y ++=+-=或；（2）22330x y x y +--+=【解析】试题分析：（1） 先设圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，再将O ，Q 两点代入得到D ，E ，F 的关系式，再把直线方程与圆联立，得到二元一次方程，利用韦达定理得到根与系数的关系，又得到一个D ，E ，F 的关系式，联立解出D ，E ，F 的值，得到圆C的方程；（2）先求出圆x 2＋y 2－4y ＝0圆心坐标，利用圆心与弦中的的连线垂直该弦，得到斜率之间的关系，从而得到M 点的轨迹方程试题解析：（1）设圆方程为220x y Dx Ey F ++++=．因为点O ，Q 在圆上，代入220x y Dx Ey F ++++=：可得04=0F D E =⎧⎨--⎩又由已知，联立：解得：2+10x Dx E ++=由韦达定理知：1212+,1x x D x x E =-⋅=+．．即()21212+412x x x x -⋅= 即：24412D E --=．即：24=0D D -． 则 0,44,0D E D E ==-==或者．所以所求圆方程为：22224040x y x x y y ++=+-=或．（2）设点M （x ，y ）， 圆2240x y y +-=的圆心坐标为C （0，2）． 由题意：1CM AB k k ⋅=-，又AB PM k k =化简: 22330x y x y +--+=所以M 点的轨迹方程为 22330x y x y +--+=【考点】（1）求圆的方程；（2）求轨迹方程．19．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ， AB ⊥AD ， AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°， PA ＝AB ＝BC ， E 是PC 的中点．（1）求PB 和平面PAD 所成的角的大小；CA PBDE（2）证明：AE ⊥平面PCD ；（3）求二面角A-PD-C 的正弦值．【答案】（1）45°；（2）见解析；（3． 【解析】试题分析：（1）由线面垂直得PA ⊥PB ，又AB ⊥AD ，从而AB ⊥平面PAD ，进而∠APB 是PB 与平面PAD 所成的角，由此能求出PB 和平面PAD 所成的角的大小．（2）由线面垂直得CD ⊥PA ，由条件CD ⊥PC ，得CD ⊥面PAC ，由等腰三角形得AE ⊥PC ，由此能证明AE ⊥平面PCD ．（3）过点E 作EM ⊥PD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则AM ⊥PD ，由此得∠AME 是二面角A-PD-C 的平面角，由此能求出二面角A-PD-C 得到正弦值．试题解析： （1）解：在四棱锥P —ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AB ．又AB ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，从而AB ⊥平面PAD ，∴PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而∠APB 为PB 和平面PAD 所成的角．在Rt △PAB 中，AB ＝PA ，故∠APB ＝45°． 所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45°．（2）证明：在四棱锥P —ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴ CD ⊥PA ．由条件CD ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ∵CD ⊥平面PAC ．又AE ⊂平面PAC ， ∴AE ⊥CD ．由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA ．∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC ．又PC ∩CD ＝C ，综上得AE ⊥平面PCD ．（3）解：过点E 作EM ⊥PD ，垂足为M ，连接AM ，如图所示．由（2）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则可证得AM ⊥PD ．因此∠AME 是二面角A —PD —C 的平面角．由已知，可得∠CAD ＝30°． 设AC ＝a ，可得PA ＝a ，AD a ，PD ＝3a ，AE 在Rt △ADP 中，∵AM ⊥PD ，∴AM ·PD ＝PA ·AD ，则AM ＝PA AD PD．在Rt △AEM 中，sin ∠AME ＝AE AM ．所以二面角A —PD —C ． 【考点】直线和平面所成角的大小的求法，直线与平面垂直的证明及二面角的正弦值的求法．【方法点睛】（1）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化．（2）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．20．诺贝尔奖的奖金发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，分别奖励给在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半；另一半利息计入基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6．24%．资料显示：1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f（x）表示第x（x∈N）年诺贝尔奖发放后．的基金总额（1999年记为f（1），2000年记为f（2），…，依次类推）（1）用f（1）表示f（2）与f（3），并根据所求结果归纳出函数f（x）的表达式；（2）试根据f（x）的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．（参考数据：1．031 29≈1．32）【答案】（1）f（x）＝19 800（1＋3．12%）x-1（x∈N），（2）是假新闻【解析】试题分析：（1）由题意先求得f（2）和f（3），结合指数式的特点，由此归纳出f（x）的表达式即可；（2）先计算出2012年诺贝尔奖发放后基金总额及2013的度诺贝尔奖各项金额，发现与150万美元相比少了约14万美元，从而判断出新闻的真实性．试题解析：（1）由题意知：f（2）＝f（1）（1＋6．24%）－12f（1）·6．24%＝f（1）×（1＋3．12%），f（3）＝f（2）×（1＋6．24%）－12f（2）×6．24%＝f（2）×（1＋3．12%）＝f（1）×（1＋3．12%）2，∴f（x）＝19 800（1＋3．12%）x-1（x∈N）．（2）2008年诺贝尔奖发放后基金总额为 f（10）＝19 800（1＋3．12%）9＝26 136，故2009年度诺贝尔奖各项奖金为16·12·f（10）·6．24%≈136（万美元），与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．【考点】函数模型的选择与应用、函数值、归纳推理等【名师点睛】解函数应用题的一般步骤：（1）审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；（2）建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；（3）求模——求解数学模型，得到数学结论；（4）还原——将用思想方法得到的结论还原为实际问题的意义；（5）反思回顾——对于数学模型得到的结果，必须验证是否有实际意义．。
2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
高一上学期期末考试数学试题一、选择题1．如果集合=A {}0242=+-x mx x 中只有一个元素，则实数m 的值为（ ）A ．0 错误！未找到引用源。
B ．1 错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
2D ．0或2 【答案】D【解析】试题分析：集合A 只有一个元素，即方程2420mx x -+=只有一个根．0m =时， 方程变形为420x -+=，必有一个根；0m ≠时，要使方程2420mx x -+=只有一个根，则16420m ∆=-⨯⨯=，解得2m =．综上可得0m =或2m =．故D 正确． 【考点】1集合的元素；2方程的根．【易错点睛】本题重点考查方程根的个数问题，属容易题．但在做题时极容易将方程2420mx x -+=误看做一元二次方程，只注意到使其判别式等于0时此方程只有一个根，而忽视二次项系数m 是否为0．当0m =时此方程为一次方程，一次方程必有一个根．注意当二次项系数含参数时一定要讨论其是否为0，否则极易出错．2．已知全集{}4,3,2,1,0,1-=M ，且{}4321，，，=B A ，{}32，=A ，则=)(A C B U （ ）A ．{}41， B ．{}1 C ．{}4 D ．φ 【答案】A【解析】试题分析：由题意分析可得1，4必在集合B 内，2，3可能在集合B 内．由已知可得{}1,0,1,4U C A =-，所以(){}1,4U B C A = ．故A 正确． 【考点】集合的运算．3．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学不在同一个兴趣小组的概率为（ ）A ．31B ．21C ．32D ．43【答案】C【解析】试题分析：甲乙同学各自在一个小组时共有6种可能，甲乙同学在同一组时共有3种可能，则这两位同学不在同一个兴趣小组的概率为62633P ==+．故C 正确．试卷第2页，总14页【考点】古典概型概率．4．已知函数1)2)(2+++=mx x m x f （为偶函数，则)(x f 在区间()∞+，1上是（ ）A ．先增后减B ．先减后增C ．减函数D ．增函数 【答案】D【解析】试题分析：因为函数()f x 为偶函数，所以()200022m m m m +≠⎧⎪⇒=⎨-=⎪+⎩．所以()221f x x =+．所以函数()221f x x =+的图像是开口向上以y 轴为对称轴的抛物线，所以函数()f x 在()1,+∞上单调递增．故D 正确．【考点】1偶函数的性质；2二次函数的单调性．【方法点睛】本题主要考查偶函数的性质和二次函数单调性问题，难度一般．偶函数的图像关于y 轴轴对称，在本题中由此可求得m 的值．二次函数的单调性由开口方向和对称轴同时决定．5．若以下程序框图的输出结果为120，则判断框中应填写的判断条件为（ ）A ．?5<iB ．?5>iC ．?6>iD ．?5≥i 【答案】B【解析】试题分析：根据框图的循环结构依次可得: 122,213T i =⨯==+=；236,314T i =⨯==+=；6424,415T i =⨯==+=；246120,516T i =⨯==+=，此时应跳出循环输出120T =．所以判断框中应填入5?i >．故B 正确． 【考点】程序框图．【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件输出“120T =”，否则很容易出现错误．在给出程序框图有输出结果而需要填判断框时只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件，此时即可得出判断框中所填内容．6．已知函数⎩⎨⎧<+≥-=4)),2((4,1)(x x f f x x x f ，则=)3(f （ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】C【解析】试题分析：()()()()()35514413f f f f f ==-==-=．故C 正确． 【考点】分段函数求值．7．若a 是从区间[]2,0中任取的一个实数， b 是从区间[]3,0中任取的一个实数，则概率是（ ）A ．32B ．65C ．31D ．61【答案】A【解析】试题分析：试验的全部结果构成的区域（如图）为边长分别为2和3的矩形，面积为236⨯=．其中满足a b <的结果构成的区域为图中阴影部分，其面积为162242-⨯⨯=．则所求概率为4263P ==．故A 正确． 【考点】几何概型．【思路点睛】本题主要考查几何概型概率，难度一般．几何概型的概率为长度比或面积比或体积比．所以应先根据已知条件作出满足初始条件的点所构成的可行域，再在其中标注出其中满足b a <的点构成的可行域．分别计算出其面积．即可求得所求概率．8．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，1x ，2x 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，21S ，22S 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差，则有（ ）试卷第4页，总14页A ．1x >2x ，21S ＜22S B ．1x ＝2x ，21S >22S C ．1x ＝2x ，21S ＝22S D ．1x ＝2x ，21S <22S【答案】B【解析】试题分析：181315151722156x +++++==；291415151621156x +++++==；()()()()()()222222211538151315151515151715221563S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦，()()()()()()222222221379151415151515151615211563S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦．故B 正确．【考点】平均数，方差．9．函数54ln )(2++-=x x x x f 的零点个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】试题分析：函数()2ln 45f x x x x =-++的零点个数等价于函数ln y x =图像与函数245y x x =--图像的交点个数问题．由数形结合可知函数ln y x =图像与函数245y x x =--图像有2个交点．所以函数()f x 有2个零点．故C 正确．【考点】1函数零点；2转化思想．10．向顶角为0120的等腰三角形ABC （其中BC AC =）内任意投一点M ，则AM 小于AC 的概率为（ ） A ．33π B ．93πC ．21D ．3π【答案】B【解析】试题分析：令1AC BC ==，则111sin1202ABC S ∆=⨯⨯⨯= ．满足AC AM <的点M 所在区域的面积为230136012ππ⨯⨯=．所以所求概率为9Pπ==．【考点】几何概型．【思路点睛】本题主要考查几何概型概率，难度一般．因为几何概率的值为比值所以边长的取值对结果没有影响，为计算方便不妨令等腰三角形两腰长为1，从而可得此三角形的面积．AM小于AC时点M所在区域为以A为圆心以AC为半径的圆且在三角形内部的扇形部分，可得此扇形面积．扇形面积与三角形面积的比值即为所求．11．如果奇函数)0)((≠=xxfy在()0,∞-∈x时，1)(+=xxf，那么使0)2(<-xf成立的x的取值范围是（）A．()()∞+∞-31,B．()1,-∞-()1,0C．()()3,00,∞-D．()1,∞-()32，【答案】D【解析】试题分析：因为()y f x=为奇函数，所以()()f x f x-=-，即()()f x f x=--．x>时0x-<，()()()11f x f x x x=--=--+=-．()()()1,01,0x xf xx x+<⎧⎪∴=⎨->⎪⎩．()2020210xf xx-<⎧∴-<⇔⎨-+<⎩或20210xx->⎧⎨--<⎩1x⇒<或23x<<．故D正确．【考点】1奇函数；2不等式．12．若函数)2(log)(2xxxfa-=）且1,0(≠>aa在区间⎪⎭⎫⎝⎛1,21内恒有0)(>xf，则函数)(xf的单调递增区间是（）A．()0，∞- B．⎪⎭⎫⎝⎛∞-41， C．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21D．⎪⎭⎫⎝⎛∞+，41【答案】A【解析】试题分析：2200x x x->⇒<或12x>．函数()f x的定义域为试卷第6页，总14页()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭．要使区间⎪⎭⎫⎝⎛1,21内恒有0)(>x f ，只需()min 0f x >当1a >时，此时存在33log log 1048a a f ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭．故舍．当01a <<时，又函数22y x x =-在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减． 此时()()1log 10a f x f >==恒成立，符合题意． 综上可得01a <<．因为函数22y x x =-在(),0-∞上单调递减；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又01a <<所以函数)(x f 的单调递增区间(),0-∞．故A 正确． 【考点】对数函数单调性；二次函数单调性；复合函数单调性．二、填空题13．若六进制数)6(510k （k 为正整数）化为十进制数为239，则=k ． 【答案】3 【解析】试题分析：()321061051606656216652216239k k k k =⨯+⨯+⨯+⨯=++=+=， 解得3k =．【考点】进位制．14．幂函数1222)33)(+-+-=m mx m m x f （在区间()+∞,0上是增函数，则=m ．【答案】2【解析】试题分析：由题意可知2331m m -+=，即2320m m -+=，解得1m =或2m =．当1m =时，()0f x x =，在区间()0,+∞上为常数1，不具有单调性，故舍； 当2m =时，()f x x =，在区间()0,+∞上单调递增，符合题意． 综上可得2m =．【考点】1幂函数的概念；2函数的单调性．【思路点睛】本题主要考查幂函数的概念和函数的单调性，难度一般．根据幂函数的定义: a y x =叫做幂函数，可知2331m m -+=，从而可得m 的值．将其分别代入()f x 验证是否满足()f x 在区间()0,+∞上单调递增．15．函数)(x g 是函数)2(log )(-=x x f a )1,0(≠>a a 且的反函数，则函数)(x g 的图象过定点 ． 【答案】()3,0【解析】试题分析：()3log 10a f == ，∴函数()()log 2a f x x =-的图像过定点()3,0．所以函数()g x 的图像过定点()0,3．【考点】互为反函数的性质．【思路点睛】本题重点考查对数函数过定点和互为反函数的性质问题，属容易题．根据对数公式log 10a =可求得()f x 所过的定点．因为互为反函数的两个函数图像关于y 轴对称，所以函数()f x 图像过的定点()00,x y 关于y 轴的对称点()00,y x 即为函数()g x 的图像过的定点．16．0x 是x 的方程x a a x log =)10(≠>a a ，且的解，则0,1,x a 这三个数的大小关系是 ． 【答案】10<<x a【解析】试题分析：当1a >时，由数形结合可知函数x y a =的图像与函数log a y x =的图像无交点，所以此时方程log x a a x =无解，不合题意故舍； 当01a <<时，由数形结合可知函数x y a =的图像与函数log a y x =的图像只有一个交点，即此时方程log x a a x =只有一个解0x ．由数形结合分析可知00001,0log 1x x a x a <<<=<，又01a <<，0000log 1log 1log log 1x a a a a x a x a ∴<<⇔<<⇒>>． 综上可得10<<x a ．【考点】1指数函数，对数函数图像；2对数不等式；3数形结合思想．三、解答题17．一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时试卷第8页，总14页生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，具有线性相关关系，下表为抽样试验的结果：（1）如果y 对x 有线性相关关系，求回归方程；（2）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？参考公式：x b y aˆˆ-=，∑∑==---=ni ini i ix xy y x xb 121)())((ˆ∑∑==--=ni ini ii x n xyx n yx 1221【答案】（1）52107ˆ-=x y；（2）机器的运转速度应控制在7614转/秒内． 【解析】试题分析：（1）根据已给公式求,x y ，再求ˆb，ˆa 从而可求得回归方程．（2）根据题意解不等式ˆ10y≤即可求得所求． 试题解析：解：（1）设所求回归方程为a x b yˆˆˆ+=，则由上表可得 12=x ，8=y ，107ˆ=b， 52107128ˆˆ-=⨯-=-=x b y a ∴回归方程为52107ˆ-=x y ．（2）由y ≤10得1052107ˆ≤-=x y，解得7614≤x ， 所以机器的运转速度应控制在7614转/秒内．【考点】线性回归方程．18．（1）计算20325.0)43()2(2)27102(2)1615(--÷+⨯-⨯-π（2）计算3log 28log 318log 3log 4913662742log --+⋅-【答案】（1）0；（2）3． 【解析】试题分析：（1）根据指数的性质及运算法则即可求得其值； （2）根据对数的性质及运算法则即可求得其值．试题解析：解：（1）20325.0)43()2(2)27102(2)1615(--÷+⨯-⨯-π232)34(2)2764(21681÷-⨯-=- 22)43(2)43(249⨯-⨯-=0=（2）3log 28log 318log 3log 4913662742log --+⋅-3log 2log 23664log 3++-=6log 246+-=12+=3=【考点】1指数的性质及运算法则；2对数的性质及运算法则．19．已知集合A 是函数][))(2(log )(a x a x x g a ---=)1,0(≠>a a 且的定义域，集合B 和集合C 分别是函数x x f 39)(-=的定义域和值域。
2015-2016学年兰州第一中学高一上学期期末考试数学试题
兰州一中2015-2016-1学期期末考试试题高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间100分钟.答案写在答题卷(卡)上,交卷时只交答题卷(卡).第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1. 下列说法中,正确的是()A．幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B．当α＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D．幂函数y＝xα,当α< 0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小2．如图所示,则这个几何体的体积等于()A．4B．6C．8D．123．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为()①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A．0 B．1 C．3 D．44．如图,在三棱锥S﹣ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝SA ＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为()A． 30°B． 45°C．60°D．90°5. 如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E 、F ,且EF , 则下列结论中错误的是 ( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．直线AB 与平面BEF 所成的角为定值D ．异面直线AE 、BF 所成的角为定值6. 若函数 ()(0x f x a x a a =-->且1a ≠)有两个零点,则实数a 的取值范围是 ( )A ．(0,1)B ．(1,)+∞C ．)∞D ．0⎛ ⎝⎦7. 已知,m n 为异面直线, m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄, 则 ( ) A ．α∥β,且l ∥α B ．αβ⊥,且l β⊥C ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l8. 已知直线（1+k ）x +y -k -2＝0过定点P ,则点P 关于直线x -y -2＝0的对称点的坐标是( )A ．（3,﹣2）B ．（2,﹣3）C ．（3,﹣1）D ．(1,﹣3）9. 如图,平面α⊥平面β,A α∈,B β∈, AB 与两平面α、β所成的角分别为45°和30°．过A 、B 分别作两平面交线的垂线,垂足为A ′、B ′,则AB ：A ′B ′＝ ( )A ． 2 ：1B ． 3 ：1C ． 3 ：2D ． 4 ：310. 经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为 ( )A ．x ＋2y －6＝0B ．2x ＋y －6＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝0第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)11. 已知直线1l : x +(1+m )y +m -2=0与直线2l :mx ＋2y ＋8＝0平行,则经过点A (3,2)且与直线1l 垂直的直线方程为________．12. 用斜二测画法得到的四边形ABCD 是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰则原四边形的面积是________．13. 已知三棱锥A -BCD 则该三棱锥的外接球的表面积为________． 14. 已知关于x 的方程22210x mx m +++=有两根,其中一根在区间(1,0)-内,另一根在区间(1,2)内,求m 的取值范围是________．15. 甲、乙、丙、丁四个质点同时从某一点出发向同一个方向运动,其轨迹f i (x ) (i =1,2,3,4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为1()21x f x =-, 22()f x x =, 3()f x x =, 42()log (1)f x x =+,有以下结论：①当x ＞1时,甲在最前面； ②当x ＞1时,乙在最前面；③当0＜x ＜1时,丁在最前面,当x ＞1时,丁在最后面； ④丙不可能在最前面,也不可能在最后面； ⑤如果它们一直运动下去,最终在最前面的是甲．其中,正确结论的序号为___________ (把正确结论的序号都填上,多填,错填或少填均不得分)．三、解答题(本大题共5小题,共50分)16. （本小题8分）如图（1）所示,在直角梯形ABCD 中, BC ∥AP , AB ⊥BC ,CD ⊥AP, AD =DC =PD =2.又 E 、F 、G 分别为线段PC 、PD 、BC 的中点,现将△PDC 折起,使平面PDC ⊥平面ABCD （图（2））． （1）求证：平面EFG ∥平面P AB ； （2）求三棱锥C -EFG 的体积．17.（本小题10分） 已知两点)3,4(-A ,)1,2(-B ,直线0234=-+y x l ：,求一点P 使PB PA =,且点P 到直线l 的距离等于2．18.（本小题10分）(1)已知圆C 经过(0,0)O , (2,2)Q -两点,且被直线y =1截得的线段长为求圆C 的方程.(2)已知点P (1,1)和圆x 2＋y 2－4y ＝0,过点P 的动直线l 与圆交于A ,B 两点,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.19.（本小题12分）如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD , ∠ABC ＝60°, PA ＝AB ＝BC , E 是PC 的中点． (1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小； (2)证明：AE ⊥平面PCD ； (3)求二面角A -PD -C 的正弦值．20. (本小题10分) 诺贝尔奖的奖金发放方式为：每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r ＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f (x )表示第x (x ∈N *)年诺贝尔奖发放后．的基金总额(1999年记为f (1),2000年记为f (2),…,依次类推)(1)用f (1)表示f (2)与f (3),并根据所求结果归纳出函数f (x )的表达式；(2)试根据f (x )的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据：1.031 29≈1.32)CA PBDE兰州一中2015-2016-1学期期末考试答题卡高一数学答案一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)11. 2x -y -4＝0． 12. 82．13. 3π． 14. 5162m -<<-．15. ③④⑤．三、解答题(本大题共5小题，共50分)16．（本小题8分）如图（1）所示,在直角梯形ABCD 中, BC ∥AP , AB ⊥BC ,CD ⊥AP , AD =DC =PD =2.又 E 、F 、G 分别为线段PC 、PD 、BC 的中点,现将△PDC 折起,使平面PDC ⊥平面ABCD （图（2））． （1）求证：平面EFG ∥平面P AB ； （2）求三棱锥C -EFG 的体积． 证明：（1）∵E 、F 分别是PC ，PD 的中点，∴EF ∥CD 又CD ∥AB ． ∴ EF ∥AB ． ∵EF ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， ∴EF ∥平面P AB ．同理，EG ∥平面P AB ， ∵EFEG E =，EF ⊂平面EFG ，EG ⊂平面EFG∴平面EFG ∥平面P AB ． （2）V C －EFG ＝V G －CEF ＝13S △CEF ·GC ＝13×（12×1×1）×1＝16． 17. （本小题10分） 已知两点)3,4(-A ,)1,2(-B ,直线0234=-+y x l ：,求一点P 使PB PA =,且点P 到直线l 的距离等于2．解：设点P 的坐标为),(b a P ．∵)3,4(-A ，)1,2(-B ．∴AB 的中点M 的坐标为)2,3(-．又AB 的斜率12413-=-+-=AB k ． ∴AB 的垂直平分线方程为32-=+x y ，即05=--y x ． 而),(b a P 在直线05=--y x 上． ∴05=--b a ． ①又已知点P 到l 的距离为2． ∴点P 必在于l 平行且距离为2的直线上， 设直线方程为034=++m y x ，由两条平行直线之间的距离公式得：252=+m ∴8=m 或12-=m ．∴点P 在直线0834=++y x 或01234=-+y x 上． ∴0834=++b a 或01234=-+b a ② ∴①②得：1=a ，4-=b 或727=a ，78-=b ．∴点)4,1(-P 或)78,727(-P 为所求的点． 18.（本小题10分）(1)已知圆C 经过(0,0)O , (2,2)Q -两点,且被直线y =1截得的线段长为求圆C 的方程.(2)已知点P (1,1)和圆x 2＋y 2－4y ＝0,过点P 的动直线l 与圆交于A ,B 两点,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.解：(1)设圆方程为220x y Dx Ey F ++++=.因为点O ,Q 在圆上，代入：04=0F D E =--又由已知，联立：解得：2+10x Dx E ++=由韦达定理知：1212+,1x x D x x E =-⋅=+.即()21212+412x x x x -⋅= 即：24412D E --=.即：24=0D D -. 则 0,44,0D E D E ==-==或者.所以所求圆方程为：22224040x y x x y y ++=+-=或者. (2)设点M （x ,y ）, 圆2240x y y +-=的圆心坐标为C （0,2）. 由题意：1CM AB k k ⋅=-,又AB PM k k = .化简: 22330x y x y +--+=所以M 点的轨迹方程为 22330x y x y +--+=19. （本小题12分）如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD , ∠ABC ＝60°, PA ＝AB ＝BC , E 是PC 的中点． (1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小； (2)证明：AE ⊥平面PCD ； (3)求二面角A -PD -C 的正弦值．解: (1)解：在四棱锥P —ABCD 中，∵P A ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AB .又AB ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，从而AB ⊥平面PAD ， ∴PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而∠APB 为PB 和平面PAD 所成的角．在Rt △PAB 中，AB ＝PA ，故∠APB ＝45°. 所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45°.(2)证明：在四棱锥P —ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴ CD ⊥PA .由条件CD ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ∵CD ⊥平面PAC .又AE ⊂平面PAC ， ∴AE ⊥CD .由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA . ∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .又PC ∩CD ＝C ， 综上得AE ⊥平面PCD .(3)解：过点E 作EM ⊥PD ，垂足为M ，连接AM ，如图所示． 由(2)知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ， 则可证得AM ⊥PD . 因此∠AME 是二面角A —PD —C 的平面角． 由已知，可得∠CAD ＝30°. 设AC ＝a ，可得C APB DEPA ＝a ，AD ，PD a ，AE 在Rt △ADP 中，∵AM ⊥PD ，∴AM ·PD ＝PA ·AD ，则AM ＝PA AD PD. 在Rt △AEM 中，sin ∠AME ＝AE AM .所以二面角A —PD —C . 20. (本小题10分) 诺贝尔奖的奖金发放方式为：每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r ＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f (x )表示第x (x ∈N *)年诺贝尔奖发放后．的基金总额(1999年记为f (1),2000年记为f (2),…,依次类推) (1)用f (1)表示f (2)与f (3),并根据所求结果归纳出函数f (x )的表达式；(2)试根据f (x )的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据：1.031 29≈1.32) 解：(1)由题意知：f (2)＝f (1)(1＋6.24%)－12f (1)·6.24%＝f (1)×(1＋3.12%)， f (3)＝f (2)×(1＋6.24%)－12f (2)×6.24% ＝f (2)×(1＋3.12%)＝f (1)×(1＋3.12%)2， ∴f (x )＝19 800(1＋3.12%)x -1(x ∈N *)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为 f (10)＝19 800(1＋3.12%)9＝26 136，故2009年度诺贝尔奖各项奖金为16·12·f (10)·6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．兰州一中2015-2016-1学期期末考试答题卡高一数学一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)11. ． 12. ． 13. ． 14. ． 15. ． 三、解答题(本大题共5小题，共50分) 16．(本小题8分)17.（本小题10分）18．（本小题10分）19．（本小题12分）CAPBDE20．（本小题10分）。
兰州一中2015-2016学年高一上学期期中数学试题
兰州一中2015-2016-1学期高一年级期中考试试题数 学说明：本试卷满分100分，考试时间100分钟．一．选择题（本大题共10小题 ，每小题3分 ，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填入答题卡的表格中.） 1．已知集合{}3,2,1,0=U ,{},2,1,0=A ,{}3,2=B ,则B A C U )(等于( )．A ． {}3,1 B ．{}3,2 C ．{}3 D ． {}3,12,0 2．如果12log x 0log 21<<y ，那么( )．A ．1<<x yB ．1<<y xC ． 1>>x yD ． 1>>y x3．下列各组函数表示相同函数的是( )． A ．2)(x x f =，2)()(x x g = B ．1)(=x f ，0)(x x g =C ．⎩⎨⎧<-≥=0,0,)(x x x x x f ，2)(x x g = D ．1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g4．若集合{}0122=++∈=x ax R x A 中只有一个元素，则实数a 的值为 ( )． A ．0或1 B ．0 C ．1 D ．0或1- 5．若6.03=a ，2.0log 3=b ，36.0=c ，则( )．A ．b c a >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b >> 6．函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递减区间为( )．A ． )1,(-∞B ． ),1(+∞C ． )1,(--∞D ．),3(+∞7．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，对任意R x ∈，都有)()4(x f x f =+，若2)3(=-f ，则)7(f 等于( )．A ．2 012B ．2C ．2 013D ．－2 8．已知函数⎩⎨⎧>≤+-=-7,7,10)31()(7x a x a x a x f x 是定义域),(+∞-∞上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是( )．A ．)21,31( B ． ]116,31( C ． )32,21[ D ． ]116,21( 9. 函数)1lg()(-=x x f 的大致图象是( )．10．当210≤<x 时，x a xlog 4<，则实数a 的取值范围是( )． A ． )22,0( B ． )1,22( C ．)2,1( D ．)2,2(二．填空题（本大题共5小题,每小题4分，共20分，答案写在答题卡上．） 11．已知函数()2log ,0,3,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩则18f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ． 12．函数112)(++=x x x f 在区间]4,2[上的值域为 ． 13．函数()log (23)1a f x x =-+的图像恒过定点P ，则点P 的坐标是 .14．已知函数34)(2+-=x x x f ，若方程m x f =)(有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．15．设定义在]2,2[-上的偶函数)(x f 在区间]2,0[上单调递减，若)()1(m f m f <-，则实数m 的取值范围是________．兰州一中2015-2016-1学期高一年级期中考试试题数学答题卡二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11． ； 12． ；13． ；14. ； 15． ．三．解答题（本大题共5小题，共50分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分8分）计算下列各式的值：（1）2103439)41()2(4)161(-+-⋅--- （2）3log 333558log 932log 2log 2-+-17．（本小题满分8分）已知集合{}72≤≤-=x x A ，{}121-<<+=m x m x B ，若能使A B A = 成立的所有实数m 的集合是C ，求集合C ．18．（本小题满分10分）设20≤≤x ，求函数524121+-=+-x x y 的最大值和最小值及相应x 的值．19．（本小题满分12分）若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时，x x x f 2)(2+=． （1）写出函数)(x f )(R x ∈的解析式．（2）若函数22)()(+-=ax x f x g ])2,1[(∈x ，求函数)(x g 的最小值．20．（本小题满分12分）已知函数11)(+-=x x e e x f ．（1）判断)(x f 的奇偶性．（2）判断)(x f 在R 上的单调性，并用定义证明．（3）是否存在实数t ，使不等式0)()(22≥-+-t x f t x f 对一切]2,1[∈x 恒成立？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由．兰州一中2015-2016-1学期高一年级期中考试试题数学答题卡二．填空题（每小题4分，共20分．）11．127； 12．]59,35[； 13．)1,2(；14. 0＜m ＜1 ； 15．⎣⎡⎭⎫－1，12． 三．解答题（本大题共5小题,共50分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分8分）计算下列各式的值：（1）2103439)41()2(4)161(-+-⋅--- （2）3log 333558log 932log 2log 2-+-解：（1）原式=216（2）原式=1- 17．（本小题满分8分）已知集合{}72≤≤-=x x A ，{}121-<<+=m x m x B ，若能使A B A = 成立的所有实数m 的集合是C ，求集合C ． 解: 由A B A = 得A B ⊆当φ=B 时， m ＋1≥2m －1，得m ≤2. 当φ≠B 时， ⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围是(－∞，4]．18．（本小题满分10分）设20≤≤x ，求函数524121+-=+-x x y 的最大值和最小值及相应x 的值．解：y =421-x －2·2x+5=21(2x )2－2·2x +5令t =2x(0≤x ≤2),则1≤t ≤4 ∴y =21t 2－2t +5=21(t －2)2+3,t ∈［1,4］∴当t =2,即2x =2,x =1时，y 有最小值为当t =4，即2x =4,x =2时，y 有最大值为19．（本小题满分12分）若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时，x x x f 2)(2+=． （1）写出函数)(x f )(R x ∈的解析式．（2）若函数22)()(+-=ax x f x g ])2,1[(∈x ，求函数)(x g 的最小值．解：（1）f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x (x ＞0)，x 2＋2x (x ≤0). 4分（2）g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1，当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值； 当a ＋1＞2，即a ＞1时，g (2)＝2－4a 为最小值． 综上，g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a (a ≤0)，－a 2－2a ＋1(0＜a ≤1)，2－4a (a ＞1).8分20．（本小题满分12分）已知函数11)(+-=x x e e x f ．（1）判断)(x f 的奇偶性．（2）判断)(x f 在R 上的单调性，并用定义证明．（3）是否存在实数t ，使不等式0)()(22≥-+-t x f t x f 对一切]2,1[∈x 恒成立？若存在，求出t 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）R x ∈)(1111)(x f ee e e xf xxxx -=+-=+-=--- )(x f ∴是奇函数． 3分 （2）任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则)1)(1()(2)()(212121++-=-x x x x e e e e x f x f ，∵x 1<x 2，∴21xx e e < ，∵0)1)(1(21>++x x e e ， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上是增函数． 4分 （3） 假设存在实数t 满足条件．由f (x )是R 上的奇函数，不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0可化为f (x －t )≥－f (x 2－t 2)，即f (x －t )≥f (－x 2＋t 2)，又f (x )是R 上的增函数，∴f (x －t )≥f (－x 2＋t 2)等价于x －t ≥－x 2＋t 2，即x 2＋x －t 2－t ≥0对一切]2,1[∈x 恒成立，即t t x x +≥+2min 2)( 即t t +≥22解得12≤≤-t综上所述，存在12≤≤-t 使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切]2,1[∈x 恒成立． 5分。
甘肃省兰州第一中学高一上学期期末考试数学试题
兰州一中2019-2020-1学期期末考试试题高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟. 答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．直线03=-+a y x 的倾斜角为( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150° 2．某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到 “新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上（ ） A. 快、新、乐 B. 乐、新、快 C. 新、乐、快 D. 乐、快、新3．正方体1111D C B A ABCD -中, 直线1D A 与DB 所成的角为（ ）A ．30ｏB ．45ｏC ．60ｏD ．90ｏ4．正六棱锥底面边长为a ，体积为23a 3，则侧棱与底面所成的角为( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°5. 已知m ，n 是不重合的直线，βα,是不重合的平面，给出下列命题： ①若βαβα⊥⊂⊥则,,m m ；②若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂；③如果n m n m ,,,αα⊄⊂是异面直线，则α与n 相交； ④若.//,//,,,//,βαβαβαn n n n m n m 且则且⊄⊄=⋂ 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．46. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45ｏ，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A. 22+B.12+ C. 22+ D. 12+7. 已知两定点A (-3，5)，B (2，8)，动点P 在直线x -y ＋1＝0上，则||PA|+|PB 的最小值 为( )A ．513B ．34C ．55D ．226 8．已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为62，则该正四棱锥外接球的表面积为( ) A ．π16 B ．π24 C ．π36 D ．π64 9. 棱台上、下底面面积比为1∶9, 则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( ) A ．1∶7 B ．2∶7 C ． 7∶19 D ．5∶ 16 10. 若某多面体的三视图(单位：cm )如图所示, 则此多面体的体积是（ ）31A.6cm31B.2cm31C.3cm 32D.3cm11. 已知圆的方程2225x y +=，过(4,3)M -作直线,MA MB 与圆交于点,A B . 且直线,MA MB 关于直线3y =对称，则直线AB 的斜率等于（ ）4A.3- 3B.4- 5C.4- 4D.5-12. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且 重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线. 已 知△ABC 的顶点A (2，0)，B (0，4)，若其欧拉线方程为x -y +2=0，则顶点C 的坐标是（ ） A. (- 4，0) B. (- 4，0)，(- 2，0) C. (- 4，0)，(- 3，0) D. (- 4，2)参考公式：若△ABC 的顶点A 、B 、C 的坐标分别是11(,)x y 、22(,)x y 、33(,)x y ，则该 △ABC 的重心的坐标为123123(,)33x x x y y y ++++. 第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 直线l 1: x +ay +6=0与l 2: (a -2)x +3y +2a =0平行，则a 的值为 .14. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的体积是 .15. 已知关于x x k =+有唯一实数解，则实数k 的取值范围是 . 16. 已知圆O ：229x y +=，点A (-5，0)，若在直线OA 上(O 为坐标原点)，存在异于A 的定点B ，使得对于圆O 上的任意一点P ，都有||||PB PA 为同一常数. 则点B 的坐标是 .三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于点A 、B . （1）求弦AB的垂直平分线方程；（2）求弦AB的长.18．(12分)如图, 三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A1C1的中点.(1) 证明EF//平面A1CD；(2) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1.19．（12分）如图所示，矩形ABCD中，AC∩BD＝G，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．(1) 求证：AE⊥平面BCE；(2) 求三棱锥C－BGF的体积．20． (12分)△ABC 中，A (0，1)，AB 边上的高CD 所在直线的方程为x ＋2y －4＝0，AC 边上的中线BE 所在直线的方程为2x ＋y －3＝0. (1) 求直线AB 的方程； (2) 求直线BC 的方程； (3) 求△BDE 的面积．21. (12分)如图，四棱锥A -BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，BC =2， CD =2，AB =AC ，CE 与平面ABE 所成的角为45°. (1) 证明：AD ⊥CE ；(2) 求二面角A -CE -B 的正切值.22. （本小题12分）已知圆C 过点M （0，-2）、N （3，1），且圆心C 在直线x +2y +1=0上. (1) 求圆C 的方程；(2) 设直线ax -y +1=0与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点P (2，0)ACDEB的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．兰州一中2019-2020-1学期期末考试试题参考答案高一数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DACBBADCCDAA二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 1- 14. 86π 15. {|11,2}k k k -≤<=或 16. 95-三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．（本小题满分10分）解：（1）圆方程可整理为：4)1(22=+-y x ，圆心坐标为（1，0），半径r =2， 易知弦AB 的垂直平分线l 过圆心，且与直线AB 垂直， 而23,321=∴-=k k AB .所以，由点斜式方程可得：),1(230-=-x y整理得：0323=--y x . ……………………5分（2）圆心（1，0）到直线,13323|12|013222=++==++d y x 的距离为故.135592)133(22||22=-⨯=AB ……………………10分 18．（本小题满分12分）证明：(1) 连接ED ，∵ED ∥AC , ED =21AC ， 又∵F 为A 1C 1的中点. ∴A 1F ∥DE , A 1F =DE ，∴四边形A 1DEF 是平行四边形， ∴EF ∥A 1D ， 又A 1D ⊂平面A 1CD ， EF ⊄平面A 1CD ，∴EF //平面A 1CD ……………………6分 (2) ∵A 1A ⊥平面ABC , ∴A 1A ⊥CD ， 又∵D 是AB 的中点, ∴AB ⊥CD ， ∴CD ⊥平面A 1ABB 1， 又∵CD ⊂平面A 1CD ，∴平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1. ……………………12分19.（本小题满分12分）解：（1）因为AD ⊥面ABE ，所以AD AE ⊥，又//BC AD ， 所以BC AE ⊥.因为ACE BF 面⊥，所以AE BF ⊥. 又因为.BC BF B =I所以AE 垂直于平面BCE …………… 6分（2）因为2AE EB BC ===，所以22=EC ,2,2==CF BF ,又因为G 为AC 中点， 所以1=GF . …………… 10分所以312221131=⨯⨯⨯⨯==--BCF G BGF C V V . …………… 12分 20．(本小题满分12分)解：(1)直线AB 的斜率为2，∴AB 边所在的直线方程为012=+-y x ， …………４分(2) 由⎩⎨⎧=-+=+-032012y x y x 得⎪⎩⎪⎨⎧==221y x , 即直线AB 与AC 边中线BE 的交点为B (21，2). 设点C 的坐标为 (m ，n )，则由已知条件得240,1230,22m n m n +-=⎧⎪⎨+⋅+-=⎪⎩ 解得2,1,m n =⎧⎨=⎩ 故C (2，1).∴所以BC 边所在的直线方程为0732=-+y x ； ……………………8分(3) ∵E 是AC 的中点, ∴E (1，1), ∴E 到AB 的距离为：d =52.又点B 到CD 的距离为：|BD|=25，∴S △BDE =12•d •|BD|=110. ……………………12分 另解：∵E 是AC 的中点, ∴E (1，1), ∴|BE|=25, 由⎩⎨⎧=-+=+-042012y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5952y x , ∴D (52,59)，∴D 到BE 的距离为：d =552， ∴S △BDE =12•d •|BE|=110. …………12分 21. (本小题满分12分)证明：(1)如图，取BC 的中点H ,连接HD 交CE 于点P ，连接 AH 、AP .∵AB =AC , ∴AH ⊥BC又∵平面ABC ⊥平面BCDE ，平面ABC ⋂平面BCDE =BC ，AH ⊂平面ABC . ∴AH ⊥平面BCDE ，又∵CE ⊂平面BCDE . ∴AH ⊥CE ，又∵HC CD CD DE ==, ∴Rt △HCD ∽Rt △CDE ， ∴∠CDH =∠CED , ∴HD ⊥CE.又∵ AH ⋂HD =H ，AH ⊂平面AHD ，HD ⊂平面AHD . ∴CE ⊥平面AHD ，又∵AD ⊂平面AHD .∴CE ⊥AD ，即AD ⊥CE. ……………………6分 (2)由(1) CE ⊥平面AHD , ∴AP ⊥CE ,又∵HD ⊥CE .∴∠APH 就是二面角A -CE -B 的平面角, 过点C 作CG ⊥AB ，垂足为G ，连接CG 、EG . ∵BE ⊥BC ,且BE ⊥AH ，∴BE ⊥平面ABC , ∴BE ⊥CG , ∴CG ⊥平面ABE ,∴∠CEG 就是CE 与平面ABE 所成的角， 即∠CEG =45°， 又∵CE =6, ∴CG =EG =3. 又∵BC =2, ∴∠ABC =60°,∴AB =BC =AC =2. ∴AH =3. 又∵HD =3,ACDEB HPG∴HP =2CH HD=3,∴tan ∠APH =AHHP=3.故二面角A -CE -B 的正切值是3. ……………………12分22.（本小题满分12分）解：（1）设圆C 的方程为：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0， ………1分则有--10,24-20,1030.DE EF D E F ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪+++=⎪⎩ …………………3分解得6,4,4.D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩………… …………………5分∴圆C 的方程为：x 2+y 2-6x +4y +4=0. …………6分 （2）设符合条件的实数a 存在，由于l 垂直平分弦AB ，故圆心(3, 2)C -必在l 上． 所以l 的斜率2PC k =-， 而1AB PC k a k ==-， 所以12a =． …………8分 把直线ax -y +1=0 即y =ax +1．代入圆C 的方程， 消去y ，整理得22(1)6(1)90a x a x ++-+=． 由于直线10ax y --=交圆C 于,A B 两点， 故2236(1)36(1)0a a ∆=--+>， 即20a ->，解得0a <．则实数a 的取值范围是(,0)-∞． …………………10分由于1(, 0)2∉-∞，故不存在实数a ，使得过点(2, 0)P 的直线l 垂直平分弦AB ． ………12分。
甘肃省兰州第一中学2015-2016学年高一数学下学期期末考试试题
兰州一中2015-2016-2学期期末考试试题高一数学说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分100分,考试时间100分钟．答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷(选择题)一、 选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一个．．．．选项符合题意) 1.已知角α的终边经过点)3,(-m p ，且54cos -=α，则m 等于（ ） A ．114-B ．114C ．-4D ．42.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知,13A a b π===，则c=（ ）A ．1B ． 2C 1D 3.πππ425tan 32cos3)34sin(-+-的值为（ ）A ．13+－B ．13－－C ．3D ．1－ 4.已知510cos sin =+αα，则=αtan （ ） A ．-3或31-B ．-3C ．31-D ．3或31- 5.将函数sin y x x =的图象向右平移a （a>0）个单位长度，所得函数的图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（ ）A ．3π B ．76π C ．6π D ．2π6.如图，在ABC ∆中，13AN AC =，P 是BN 上的一点，若2,11AP mAB AC =+则实数m 的值为（ ）A ．911 B ．511 C ．311 D ．211=-20cos 20sin 10cos 2.7（ ）A ．21B ．1C ．2D ．3 8.若向量a 与b 不共线，0≠⋅b a ，且⋅-=(，则向量a 与c 的夹角为（ ）A ．0B ．6π C ．3π D ．2π 9.已知534sin(=+πx ，且π<<x 0，则=x 2cos （ ）A ．2524B ．2524-C ．257D ．257-10.已知0,ω>函数()sin(4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．15[,]24B ．13[,]24C ．1(0,2D ．(0,2]第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11.在ABC ∆中，已知150,30,b c B === 则C = .12.函数)223cos(x y -=π的单调增区间是 . 13.已知(5,3),a = (2,),b t =-若a 与b 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是 .14.函数sin()(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><在一个周期内的图象如下图所示，M ，N 分别是最大、最小值点，且0OM ON = ，则A ω= .15.给出下列命题：①存在实数α，使；31cos sin =⋅αα ②函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π；③设,a b 是两个非零向量，若存在实数λ，使,b a λ= 则||||||a b a b +=- ；④若12sin(2)sin(2)44x x ππ-=-，则12x x k π-=，其中；Z k ∈⑤若βα、是第一象限的角，且βα>，则.sin sin βα> 其中正确命题的序号是______________.兰州一中2015-2016-2学期高一年级期末数学答题卡一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 2二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11._____________ 12._____________ 13._______________ 14._____________ 15._____________三、解答题（本大题共5大题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本题满分8分）设向量1e 和2e 不共线.（1）如果21e e AB +=，2182e e BC +=，)(321e e CD -=，求证：A 、B 、D 三点共线；（2）若2||1=e ，3||2=e ，1e 和2e 的夹角为60，试确定k ，使21e e k +和 21e k e +垂直．17．（本题满分8分）已知），（40πα∈，）（πβ,0∈，且21)tan(=-βα， 71-tan =β. （1）求αtan 的值；（2）求βα-2的值． 18．（本题满分10分）已知函数2π()cos sin 3f x x x x x R ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在[,]43ππ-上的值域．已知ABC ∆中，CB CA BA BC AC AB AB ⋅=⋅+⋅-)(2，边AB ，BC 的中点分别为D ，E ．（1）判断ABC ∆的形状；（2）若0=⋅AE CD ，求B 2sin 的值．已知向量]2,0[),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cosπ∈-==x x x x x 且，求 （1）||+⋅及；（2）若3()2||,2f x a b a b λλ=⋅-+- 的最小值是求的值．兰州一中2015-2016-2学期高一年级期末数学答题卡一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11. 60°或120° 12.3[,],44k k k Z ππππ++∈ 13.6610(,)(,)553-∞--14.23π15. ①② 三、解答题（本大题共5大题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本题满分8分）设向量1e 和2e 不共线.（3）如果21e e AB +=，2182e e BC +=，)(321e e CD -=，求证：A 、B 、D 三点共线；（4）若2||1=e ，3||2=e ，1e 和2e 的夹角为60，试确定k ，使21e e k +和 21e k e +垂直．（1）证明：e e 66621=+=++= ,//∴又与有公共点A D B A ,,∴三点共线.（2）解：0)()(2121=+⋅+e k e e e k0||60cos ||||)1(||2221221=+++∴e k e e k e k613313,931332±-=∴=++∴k k k17．（本题满分8分）已知），（40πα∈，）（πβ,0∈，且21)tan(=-βα， 71-tan =β. （1）求αtan 的值；（2）求βα-2的值．（1）解：.31)71(211)71(21tan )tan(1tan )tan(])tan[(tan =-⨯--+=--+-=+-=ββαββαββαα （2）解：,1213112131)tan(tan 1)tan(tan )](tan[)2tan(=⨯-+=---+=-+=-βααβααβααβα),2(),0(,071tan ππβπββ∈∴∈<-=又)0,(2)4,0(πβαπα-∈-∴∈ 432πβα-=-∴18．（本题满分10分）已知函数2π()cos sin 3f x x x x x R ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在[,]43ππ-上的值域． （1）解：43cos 3)cos 23sin 21(cos )(2+-+=x x x x x f 43cos 23cos sin 212+-=x x x 43)2cos 1(432sin 41++-=x x )32sin(21π-=x)(x f ∴的最小正周期为.22ππ==T （2）解：3326534πππππ≤-≤-∴≤≤-x x 43)32sin(212123)32sin(1≤-≤-∴≤-≤-∴ππx x )(x f ∴的值域是].43,21[-19．（本题满分12分）已知ABC ∆中，⋅=⋅+⋅-)(2，边AB ，BC 的中点分别为D ，E ．（1）判断ABC ∆的形状；（2）若0=⋅，求B 2sin 的值．解：（1）由题设得⋅=+-⋅)( 又在△ABC 中，0=++BC CA AB ， 即=+-∴0=⋅ ，即BC AC ⊥ ∴△ABC 为直角三角形（2）运用坐标法，如图建立平面直角坐标系. 设A (a ,0)，B (0,b )，则)2,2(),2,0(b a D b E ， ∴)2,2(b a = )2,(b a -=， ，∴由0=⋅ 得04222=+-b a ， ∴a b 2=11∴333sin 222==+==a a b a aB ∴36cos =B 于是有32236332cos sin 22sin =⨯⨯==B B B 20．（本题满分12分） 已知向量]2,0[),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cosπ∈-==x x x x x 且，求 （1）||+⋅及；（2）若3()2||,2f x a b a b λλ=⋅-+- 的最小值是求的值． 解：（1）x x x x x 2cos 2sin 23sin 2cos 23cos =⋅-⋅=⋅ xx x x x x 222cos 22cos 22)2sin 23(sin )2cos 23(cos ||=+=-++=+ x b a x x cos 2||,0cos ],2,0[=+∴>∴∈π（2）2221)(cos 2)(,cos 42cos )(λλλ---=-=x x f x x x f 即.1cos 0],2,0[≤≤∴∈x x π①当0<λ时，当县仅当0cos =x 时，)(x f 取得最小值－1，这与已知矛盾；②当λλ=≤≤x cos ,10当且仅当时时，)(x f 取得最小值221λ--，由已知得21,23212=-=--λλ解得； ③当1cos ,1=>x 当且仅当时λ时，)(x f 取得最小值λ41-，由已知得3142λ-=- 解得85=λ，这与1>λ相矛盾，综上所述，21=λ为所求.。
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高一上学期期末考试数学
一、选择题：共10题
1．下列说法中,正确的是
A.幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)
B.当a＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线
C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大
D.幂函数y＝xα,当a<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小
2．如图所示,则这个几何体的体积等于
A.4
B.6
C.8
D.12
3．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为
①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;
②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;
③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;
④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.
A.0
B.1
C.3
D.4
4．如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝,SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
5．如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF＝,则下列结论中错误的是
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.直线AB与平面BEF所成的角为定值
D.异面直线AE、BF所成的角为定值
6．若函数且)有两个零点,则实数a的取值范围是
A. B. C. D.
7．已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则
A.α∥β且l∥α
B.α⊥β且l⊥β
C.α与β相交,且交线垂直于l
D.α与β相交,且交线平行于l
8．已知直线(1+k)x+y-k-2＝0过定点P,则点P关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是
A.(3,﹣2)
B.(2,﹣3)
C.(3,﹣1)
D.(1,﹣3)
9．如图,平面⊥平面与两平面所成的角分别为和．过分别作两平面交线的垂线,垂足为,则＝
A. B. C. D.
10．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为
A.x＋2y-6＝0
B.2x＋y-6＝0
C.x-2y＋7＝0
D.x-2y-7＝0
二、填空题：共5题
11．已知直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,则经过点A(3,2)且与直线垂直的直线方程为________．
12．用斜二测画法得到的四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰长为,则原四边形的面积是________.
13．已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________．14．已知关于x的方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则m的取值范围是________．
15．甲、乙、丙、丁四个物体同时以某一点出发向同一个方向运动，其路程
关于时间的函数关系式分别为，
，，，有以下结论：
①当时，甲走在最前面；
②当时，乙走在最前面；
③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；
④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；
⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.
其中，正确结论的序号为_________(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分).
三、解答题：共5题
16．如图(1)所示,在直角梯形中,BC AP,AB BC,CD AP,又
分别为线段的中点,现将△折起,使平面平面(图(2))．
(1)求证:平面平面;
(2)求三棱锥的体积．
17．已知两点,直线,求一点使,且点到直线的距离等于2．
18．(1)已知圆C经过两点,且被直线y=1截得的线段长为.求圆C的方程;
(2)已知点P(1,1)和圆过点P的动直线与圆交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.
19．如图,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD, AB⊥AD, AC⊥CD,∠ABC＝60°,PA＝AB＝BC,E是PC的中点．
C
A P
B
D E
(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小; (2)证明:AE ⊥平面PCD ; (3)求二面角A -PD -C 的正弦值．
20．诺贝尔奖的奖金发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项
(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r ＝6.24%.资料显示:1999年诺贝尔发放后基金总
额约为19 800万美元．设f (x )表示第x (x ∈N *
)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记
为f (1),2000年记为f (2),…,依次类推)
(1)用f (1)表示f (2)与f (3),并根据所求结果归纳出函数f (x )的表达式;
(2)试根据f (x )的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”
是否为真,并说明理由．(参考数据:1.031 29
≈1.32)。