【真卷】2016年山西农大附中中考数学模拟试卷及解析PDF

2016年山西农大附中中考数学模拟试卷一、单项选择题（共10个小题，每小题0分，共30分)1．下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．23．（3分）如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是（）A．1 B．1.5 C．2 D．34．（3分）足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首先发球者，其主要原因是（）A．让比赛更富有情趣B．让比赛更具有神秘色彩C．体现比赛的公平性D．让比赛更有挑战性5．（3分）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（）A．只有1个B．可以有2个C．可以有3个D．有无数个面上的投影长是，则皮球的直径是（）A．B．15 C．10 D．7．（3分）二次函数y=a（x+k）2+k，无论k为何实数，其图象的顶点都在（）A．直线y=x上B．直线y=﹣x上C．x轴上D．y轴上8．（3分）若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系成立的是（）A．S1=S2=S3 B．S1＞S2＞S3C．S1＜S2＜S3D．S2＞S3＞S19．（3分）一次函数y=kx+b和反比例函数的图象如图所示，则有（）A．k＞0，b＞0，a＞0 B．k＜0，b＞0，a＜0 C．k＜0，b＞0，a＞0 D．k＜0，b＜0，a＞010．（3分）如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度（）A．增大1.5米B．减小1.5米C．增大3.5米D．减小3.5米二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分，把正确答案写在答题卡中横线上）11．（3分）请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式．12．（3分）如图是一个几何体的三个视图，则这个几何体的表面积为．（结果保留π）13．（3分）⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是．14．（3分）在平面直角坐标系xoy中，直线y=x向上平移1个单位长度得到直线l．直线l与反比例函数的图象的一个交点为A（a，2），则k的值等于．15．（3分）如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P 处测得∠APC=75°，∠BPD=30°，则河流的宽度约为米．16．（3分）如图，点A1、A2、A3、…，点B1、B2、B3、…，分别在射线OM、ON 上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…．如果A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A4=4OA1，…．那么A2B2=，A n B n=．（n为正整数）三、解答题（共8个小题，共72分，请在答题卡上解答，应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（1）画出△A1OB1；（2）在旋转过程中点B所经过的路径长为；（3）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．18．（8分）小美周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏．游戏设计者提供了一只兔子和一个有A、B、C、D、E五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的．规定：①玩家只能将小兔从A、B两个出入口放入；②如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开，则可获得一只价值5元小兔玩具，否则应付费3元．（1）问小美得到小兔玩具的机会有多大？（2）假设有100人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元？19．（8分）图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串联而成，每相邻两个菱形均成30°的夹角，示意图如图2．在图2中，每个菱形的边长为10cm，锐角为60°．（1）连接CD，EB，猜想它们的位置关系并加以证明；（2）求A，B两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器）（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）20．（10分）如图，S为一个点光源，照射在底面半径和高都为2m的圆锥体上，在地面上形成的影子为EB，且∠SBA=30°．（以下计算结果都保留根号）（1）求影子EB的长；（2）若∠SAC=60°，求光源S离开地面的高度．21．（10分）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD 上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x．（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）若以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似，试求x的值．22．（10分）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=（k＞0）刻画（如图所示）．（1）根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？②当x=5时，y=45，求k的值．（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．23．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的高，⊙O的直径AE交BC 于点F，点P在BC的延长线上，∠CAP=∠B（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）求证：PC•PB=PD•PF．24．（12分）如图，直线y=﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（﹣1，0）．（1）求B，C两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明问题．2016年山西农大附中中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（共10个小题，每小题0分，共30分)1．下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，知：A：是轴对称图形，而不是中心对称图形；B、C：两者都不是；D：既是中心对称图形，又是轴对称图形．故选D．2．（3分）已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【解答】解：依题意，得c=﹣a﹣b，原方程化为ax2+bx﹣a﹣b=0，即a（x+1）（x﹣1）+b（x﹣1）=0，∴（x﹣1）（ax+a+b）=0，∴x=1为原方程的一个根，故选B．3．（3分）如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是（）A．1 B．1.5 C．2 D．3【解答】解：∵点A（t，3）在第一象限，∴AB=3，OB=t，又∵tanα==，∴t=2．故选：C．4．（3分）足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首先发球者，其主要原因是（）A．让比赛更富有情趣B．让比赛更具有神秘色彩C．体现比赛的公平性D．让比赛更有挑战性【解答】解：∵一枚硬币只有正反两面，∴正面朝上或朝下的概率均为，即两个队选择场地与首先发球者的可能性相等，∴这种方法公平．故选C．5．（3分）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（）A．只有1个B．可以有2个C．可以有3个D．有无数个【解答】解：∵一个直角三角形的两条边长分别是6和8，当6和8是直角边时，斜边为10，直角三角形的三边为6，8，10当8为斜边时，两条直角边为2和6，此直角三角形的三边为2，6，8，∵另一个直角三角形的边长分别是3和4及x，当3和为4直角边时，斜边x=5，直角三角形的三边为3，4，5，∴，满足这两个直角三角形相似的条件；当3和x为直角边时，4便是斜边，则：根据勾股定理得，x=，∴此直角三角形的三边为，3，4，∴，∴x=5或．∴x的值可以有2个．故选：B．6．（3分）太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（）A．B．15 C．10 D．【解答】解：由题意得：DC=2R，DE=10，∠CED=60°，∴可得：DC=DEsin60°=15．故选B．7．（3分）二次函数y=a（x+k）2+k，无论k为何实数，其图象的顶点都在（）A．直线y=x上B．直线y=﹣x上C．x轴上D．y轴上【解答】解：∵y=a（x+k）2+k，∴二次函数顶点坐标为（﹣k，k），∴其图象顶点坐标在直线y=﹣x上，故选B．8．（3分）若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系成立的是（）A．S1=S2=S3 B．S1＞S2＞S3C．S1＜S2＜S3D．S2＞S3＞S1【解答】解：设正三角形的边长为a，则正方形的边长为，正六边形的边长为；∵正三角形的边长为a，∴其高为，∴S1=a×=；S2=（）2=；∵正六边形的边长为，∴把正六边形分成六个三角形，其高为，∴S3=6×××=．∵S1==，S3==，＜＜，∴S1＜S2＜S3．故选C．9．（3分）一次函数y=kx+b和反比例函数的图象如图所示，则有（）A．k＞0，b＞0，a＞0 B．k＜0，b＞0，a＜0 C．k＜0，b＞0，a＞0 D．k＜0，b＜0，a＞0【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象过二、一、四象限，∴k＜0，b＞0，而反比例函数y=的图象在一、三象限，∴＞0，∴a＜0，故选B．10．（3分）如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B时，人影的长度（）A．增大1.5米B．减小1.5米C．增大3.5米D．减小3.5米【解答】解：设小明在A处时影长为x，B处时影长为y．∵AC∥OP，BD∥OP，∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，∴，，则，∴x=5，，∴y=1.5，∴x﹣y=3.5，减少了3.5米．故选D．二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分，把正确答案写在答题卡中横线上）11．（3分）请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式y=﹣x2+1（答案不唯一）．【解答】解：抛物线解析式为y=﹣x2+1（答案不唯一）．故答案为：y=﹣x2+1（答案不唯一）．12．（3分）如图是一个几何体的三个视图，则这个几何体的表面积为24π．（结果保留π）【解答】解：∵圆柱的直径为4，高为4，∴表面积=2π×（×4）×4+π×（×4）2×2=24π．故答案为：24π．13．（3分）⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是4≤OP≤5．【解答】解：如图：连接OA，作OM⊥AB与M，∵⊙O的直径为10，∴半径为5，∴OP的最大值为5，∵OM⊥AB与M，∴AM=BM，∵AB=6，∴AM=3，在Rt△AOM中，OM==4，OM的长即为OP的最小值，∴4≤OP≤5．故答案为：4≤OP≤5．14．（3分）在平面直角坐标系xoy中，直线y=x向上平移1个单位长度得到直线l．直线l与反比例函数的图象的一个交点为A（a，2），则k的值等于2．【解答】解：根据题意可知直线l为y=x+1，因为直线l与反比例函数的图象的一个交点为A（a，2），则a=1，即点A（1，2），把（1，2）代入反比例函数得2=，解得k=2．故答案为：2．15．（3分）如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两点，A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P 处测得∠APC=75°，∠BPD=30°，则河流的宽度约为100米．【解答】解：过点P作PE⊥AB于点E，∵∠APC=75°，∠BPD=30°，∴∠APB=75°，∵∠BAP=∠APC=75°，∴∠APB=∠BAP，∴AB=PB=200m，∵∠ABP=30°，∴PE=PB=100m．故答案为：100．16．（3分）如图，点A1、A2、A3、…，点B1、B2、B3、…，分别在射线OM、ON 上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…．如果A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A4=4OA1，…．那么A2B2=6，A n B n=n（n+1）．（n为正整数）【解答】解：∵OA1=1，∴A1A2=2×1=2，A2A3=3×1=3，A3A4=4，…A n﹣2A n﹣1=n﹣1，A n﹣1A n=n，∵A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…，∴=，∴=，∴A2B2=6=2×（2+1），A3B3=12=3×（3+1），A4B4=20=4（4+1），…，∴A n B n=n（n+1），故答案为：6，n（n+1）．三、解答题（共8个小题，共72分，请在答题卡上解答，应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（1）画出△A1OB1；（2）在旋转过程中点B所经过的路径长为π；（3）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．【解答】解：（1）△A1OB1如图所示；（2）由勾股定理得，BO==，所以，点B所经过的路径长==π；故答案为：π．（3）由勾股定理得，OA==，∵AB所扫过的面积=S扇形A1OA +S△A1B1O﹣S扇形B1OB﹣S△AOB=S扇形A1OA﹣S扇形B1OB，BO扫过的面积=S扇形B1OB，∴线段AB、BO扫过的图形的面积之和=S扇形A1OA ﹣S扇形B1OB+S扇形B1OB，=S扇形A1OA，=，=π．18．（8分）小美周末来到公园，发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏．游戏设计者提供了一只兔子和一个有A、B、C、D、E五个出入口的兔笼，而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的．规定：①玩家只能将小兔从A、B两个出入口放入；②如果小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开，则可获得一只价值5元小兔玩具，否则应付费3元．（1）问小美得到小兔玩具的机会有多大？（2）假设有100人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚多少元？【解答】解：（1）根据题意得：小美得到小兔玩具的机会是；（2）根据题意得：一个人玩此游戏，游戏设计者可赚的钱为﹣×5+×3=（元），则有100人次玩此游戏，估计游戏设计者可赚100×=140（元）．19．（8分）图1中的中国结挂件是由四个相同的菱形在顶点处依次串联而成，每相邻两个菱形均成30°的夹角，示意图如图2．在图2中，每个菱形的边长为10cm，锐角为60°．（1）连接CD，EB，猜想它们的位置关系并加以证明；（2）求A，B两点之间的距离（结果取整数，可以使用计算器）（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）【解答】解：（1）猜想CD∥EB．证明：连接DE．∵中国结挂件是四个相同的菱形，每相邻两个菱形均成30°的夹角，菱形的锐角为60°∴∠CDE=60°÷2×2+30°=90°，∴∠BED=60°÷2×2+30°=90°，∴∠CDE=∠BED，∴CD∥EB．（2）如图2，连接AD、BD．由（1）知，∠BED=90°，∵BE=DE，∴∠EDB=∠EBD=45°，同理，∠ADC=45°又由（1）知，∠CDE=90°，∴∠ADC+∠CDE+∠EDB=180°，∴点A、D、B三点共线．BE=2OE=2×10×cos30°=10cm，同理可得，DE=10cm，则BD=10cm，同理可得，AD=10cm，AB=BD+AD=20≈49cm．答：A，B两点之间的距离大约为49cm．20．（10分）如图，S为一个点光源，照射在底面半径和高都为2m的圆锥体上，在地面上形成的影子为EB，且∠SBA=30°．（以下计算结果都保留根号）（1）求影子EB的长；（2）若∠SAC=60°，求光源S离开地面的高度．【解答】解：（1）∵圆锥的底面半径和高都为2m，∴CH=HE=2m，∵∠SBA=30°，∴HB=2m，∴影长BE=BH﹣HE=2﹣2（m）；（2）作CD⊥SA于点D，在Rt△ACD中，得CD=ACcos30°=AC=，∵∠SBA=30°，∠SAB=∠SAC+∠BAC=60°+45°=105°，∴∠DSC=45°，∴SC===2，∴SB=2+BC=2+4，∴SF=SB=（+2）m，答：光源S离开地面的高度为（2+）m．21．（10分）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD 上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x．（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）若以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似，试求x的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，且∠ABE=90°，∴∠PAF=∠AEB，又∵PF⊥AE，∴∠PFA=∠ABE=90°∴△PFA∽△ABE；（2）解：①当△EFP∽△ABE，且∠PEF=∠EAB时，则有PE∥AB∴四边形ABEP为矩形，∴PA=EB=2，即x=2．②当△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB时，∵∠PAF=∠AEB∴∠PEF=∠PAF，∴PE=PA∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点，∵∴由，即得PE=5，即x=5故满足条件的x的值为2或5．22．（10分）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用反比例函数y=（k＞0）刻画（如图所示）．（1）根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？②当x=5时，y=45，求k的值．（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．【解答】解：（1）①y=﹣200x2+400x=﹣200（x﹣1）2+200，∴x=1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200（毫克/百毫升）；②∵当x=5时，y=45，y=（k＞0），∴k=xy=45×5=225；（2）不能驾车上班；理由：∵晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时，∴将x=11代入y=，则y=＞20，∴第二天早上7：00不能驾车去上班．23．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的高，⊙O的直径AE交BC 于点F，点P在BC的延长线上，∠CAP=∠B（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）求证：PC•PB=PD•PF．【解答】证明：（1）连接EC，∵∠CAP=∠B，∴∠E=∠B=∠CAP，∵⊙O的直径AE，∴∠ECA=90°，∴∠E+∠EAC=90°，∴∠EAC+∠CAP=90°，∴∠EAP=90°，∴PA是⊙O的切线；（2）∵∠P=∠P，∠CAP=∠B，∴△PAC∽△PBA，∴=，∴PA2=PB•PC，∵∠P=∠P，∠ADP=∠FAP，∴△ADP∽△FAP，∴=，∴AP2=DP•PF，∴PC•PB=PD•PF．24．（12分）如图，直线y=﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（﹣1，0）．（1）求B，C两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明问题．【解答】解：（1）令x=0，则y=﹣x+2=2；令y=0，则0=﹣x+2，解得x=4，所以B（4，0），C（0，2）；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A、B的坐标代入得，，解得．∴该二次函数的关系式为y=﹣x2+x+2；（3）如图2，过C点作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2）∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a，（0≤a≤4），∵S=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN四边形CDBF=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a）=﹣a2+4a+=﹣（a﹣2）2+，（0≤a≤4），的最大值为；∴a=2时，S四边形CDBF∴E（2，1）；（4）存在，如图3，∵抛物线y=﹣x2+x+2的对称轴x=﹣==，∴OD=，∵C（0，2），∴OC=2，在RT△OCD中，由勾股定理得CD=，∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=DP2=DP3=CD，如图所示，作CE⊥对称轴于E，∴EP1=ED=2，∴DP1=4，∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）．。