最新整理-最新2018天津高三数学理科试题精选分类汇编15：选修部分
2018天津高考理科数学真题答案解析(可编辑)
在 ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b sin A a cos B , 6
（Ⅰ） 求角B的大小； （Ⅱ） 设a=2，c=3,求b和sin 2 A B 的值. （Ⅰ）解： 在 ABC中，由正弦定理
a b , 可得b sin A=a sin B，又由 sin A sin B
l ( )2 d 2 r 2 2 l 1 ( )2 1 2 2 l 2 2 2 l 2 2 1 S d 2 2 2 2
1 0 2 11
2 2
(13) 已知 a, b R ，且 a 3b 6 0 ，则 2a 答案：
1 4
1 的最小值为_________. 8b
x 2 2ax a, x 0 (14) 已知 a 0 ，函数 f x 2 若关于 x 的方程 f x ax x 2ax 2a, y 0
恰有 2 个互异的实数解，则 a 的取值范围是_________. 答案： (4, 8) 解析：当 x 0时
第二部分：试卷题目解析
一、 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设全集为 R，集合 A x 0 x 2 , B x x 1 ,则 A CR B （A） x 0 x 1 答案：B 解析： Q B = {x | x 砛 1} CR B = {x | x < 1} (B) x 0 x 1 (C) x 1 x 2 (D) x 0 x 2
(4) 设 x R ，则“ x
1 1 ”是“ x3 1 ”的 2 2
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 答案：A 解析： Q x 1 1 < 2 2
【高三数学试题精选】2018高三数学(理)联考试题一(天津市含答案)
, ----------------9分
, --------------------10分
X0136
P
17．（本小题满分13分）
解(Ⅰ)证明因为，
所以……………………2分
所以ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
又因为是正方形，
设平面的法向量为，则
,即，
令
则……………………10分
………11分
整理得
解得，……………………12分
此时……………………13分
18．（本小题满分13分）
解（1）-------------------------1分
-------------------------2分
又,
-------------------------3分
由于直线的斜率为，-------------------------------------7分
所以，所以---------------------------------8分
（2）由（1）知，-------------- ------------9分
，--------------------------------10分
由两边同除以，
得，-------------------------4分
从而数列为首项，差的等差数列，所以，
从而数列的通项式为．-------------------------5分
(2)由（1）知------------6分
所以
-------------------------8分
设，
则，-------------------------9分
2018年高考数学(理科)天津卷(精校版)
2018年高考数学（理科）天津卷（精校版）一、选择题：1.[2018天津理1]设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()R A C B = （ ）A.{01}x x <≤B.{01}x x <<C.{12}x x ≤<D.{02}x x <<【答案：B 】2.[2018天津理2]设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为（ ）A.6B.19C.21D.45【答案：C 】3.[2018天津理3]阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为（ ）A.1B.2C.3D.4【答案：B 】4.[2018天津理4]设x R ∈，则“11||22x -<”是“31x <”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案：A 】5.[2018天津理5]已知2log e a =，ln 2b =，121log 3c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A.a b c >> B.b a c >> C.c b a >>D.c a b >>【答案：D 】6.[2018天津理6]将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A.在区间35[,]44ππ上单调递增 B.在区间3[,]4ππ上单调递减 C.在区间53[,]42ππ上单调递增D.在区间3[,2]2ππ上单调递减【答案：A 】7.[2018天津理7]已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为（ ）A.221412x y -= B.221124x y -= C.22139x y -= D.22193x y -= 【答案：C 】8.[2018天津理8]如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为（ ）A.2116B.32C.2516D.3【答案：A 】二、填空题：9.[2018天津理9] i 是虚数单位，复数6712ii+=+ . 【答案：4i -】10.[2018天津理10]在5(x 的展开式中，2x 的系数为 .【答案：52】 11.[2018天津理11]已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点,,,,E F G H M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为 .【答案：112】 12.[2018天津理12]已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,3x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)与该圆相交于,A B 两点，则ABC ∆的面积为 . 【答案：12】 13.[2018天津理13]已知,a b R ∈，且360a b -+=，则128a b+的最小值为 . 【答案：14】 14.[2018天津理14] 已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 . 【答案：(48)，】三、解答题：15.[2018天津理15]在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin cos()6b A a B π=-.（1）求角B 的大小；（2）设2,3a c ==，求b 和sin(2)A B -的值.【答案】：（1）3B π=；（2.16.[2018天津理16]已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.①用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； ②设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.【答案】：（1）甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人； （2）①12()7E X =；②67.17.[2018天津理17]如图，AD BC ∥且2AD BC =，AD CD ⊥,EG AD ∥且EG AD =，CD FG ∥且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===.（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN CDE ∥平面； （2）求二面角E BC F --的正弦值；（3）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60 ，求线段DP 的长.【答案】：（1）略；（2；（318.[2018天津理18]设函数设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()n S n N *∈，{}n b 是等差数列.已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n S 的前n 项和为()n T n N *∈.①求n T ；②证明221()22()(1)(2)2n nk k k k T b b n N k k n +*+=+=-∈+++∑. 【答案】：（1）.n b n =；（2）①122n T n +=--；②略.19.[2018天津理19]设椭圆22221x x a b+= (0)a b >>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的，点A 的坐标为(,0)b，且FB AB ⋅=（1）求椭圆的方程；（2）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若AQ AOQ PQ=∠( O 为原点) ，求k 的值.【答案】：（1）22194x y +=；（2）12k =或1128k =.20.[2018天津理20]已知函数()xf x a =，()log a g x x =，其中1a >.（1）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；（2）若曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线与曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线平行，证明122lnln ()ln ax g x a+=-； （3）证明当1e e a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线. 【答案】：（1）函数()h x 的单调递减区间(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞； （2）略；（3）略；。
(精校版)2018年天津理数高考试题WORD版(含答案)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分为第I 卷(选择题)和第n 卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I 卷1至2页，第n 卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷 时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！ 第I 卷注意事项：1 •每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他答案标号。
2•本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：如果事件A , B 互斥，那么P(A B)二P(A) P(B).如果事件A , B 相互独立，那么 P(AB) = P(A)P(B) •棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积， h 表示棱柱的高•1棱锥的体积公式V Sh ，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高•3 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)设全集为 R ,集合 A = {x0cx<2} , B={xx3&，则 AI (沬B)=x + y 兰5,2x _ y 兰 4,⑵设变量x , y 满足约束条件则目标函数 3x 5y 的最大值为 x + y 兰 1,y-0,(A){x 0 vx 兰1} (B) { x 0 v x v 1} (C) {x1 Wxc2} (D) {x0cxc2}(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45。
2018年天津市高考数学试卷(理科)(解析版)
2018年天津市高考数学试卷（理科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2}2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x+5y的最大值为（）A．6B．19C．21D．453．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A．1B．2C．3D．44．（5分）设x∈R，则“|x﹣|＜”是“x3＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知a＝log2e，b＝ln2，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b6．（5分）将函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，π]上单调递减C．在区间[，]上单调递增D．在区间[，2π]上单调递减7．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2＝6，则双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝18．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．3二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）i是虚数单位，复数＝．10．（5分）在（x﹣）5的展开式中，x2的系数为．11．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥M﹣EFGH的体积为．12．（5分）已知圆x2+y2﹣2x＝0的圆心为C，直线，（t为参数）与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为．13．（5分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6＝0，则2a+的最小值为．14．（5分）已知a＞0，函数f（x）＝．若关于x的方程f（x）＝ax 恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是．三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B ﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．16．（13分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．17．（13分）如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD ＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2．（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣F的正弦值；（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．18．（13分）设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1＝1，a3＝a2+2，a4＝b3+b5，a5＝b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明＝﹣2（n∈N*）．19．（14分）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|•|AB|＝6．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y＝kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若＝sin∠AOQ（O为原点），求k的值．20．（14分）已知函数f（x）＝a x，g（x）＝log a x，其中a＞1．（Ⅰ）求函数h（x）＝f（x）﹣xlna的单调区间；（Ⅱ）若曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y＝g（x）在点（x2，g（x2））处的切线平行，证明x1+g（x2）＝﹣；（Ⅲ）证明当a≥时，存在直线l，使l是曲线y＝f（x）的切线，也是曲线y＝g（x）的切线．2018年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，∴∁R B＝{x|x＜1}，∴A∩（∁R B）＝{x|0＜x＜1}．故选：B．2．【解答】解：由变量x，y满足约束条件，得如图所示的可行域，由解得A（2，3）．当目标函数z＝3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值．将其代入得z的值为21，故选：C．3．【解答】解：若输入N＝20，则i＝2，T＝0，＝＝10是整数，满足条件．T＝0+1＝1，i＝2+1＝3，i≥5不成立，循环，＝不是整数，不满足条件．，i＝3+1＝4，i≥5不成立，循环，＝＝5是整数，满足条件，T＝1+1＝2，i＝4+1＝5，i≥5成立，输出T＝2，故选：B．4．【解答】解：由|x﹣|＜可得﹣＜x﹣＜，解得0＜x＜1，由x3＜1，解得x＜1，故“|x﹣|＜”是“x3＜1”的充分不必要条件，故选：A．5．【解答】解：a＝log2e＞1，0＜b＝ln2＜1，c＝＝log23＞log2e＝a，则a，b，c的大小关系c＞a＞b，故选：D．6．【解答】解：将函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的函数为：y＝sin2x，增区间满足：﹣+2kπ≤2x≤，k∈Z，减区间满足：≤2x≤，k∈Z，∴增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，∴将函数y＝sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：A．7．【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线y＝，即bx﹣ay＝0，F（c，0），AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，F是AB的中点，EF＝＝3，EF＝＝b，所以b＝3，双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，可得：，解得a＝．则双曲线的方程为：﹣＝1．故选：C．8．【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，∴AN＝AB cos60°＝，BN＝AB sin60°＝，∴DN＝1+＝，∴BM＝，∴CM＝MB tan30°＝，∴DC＝DM+MC＝，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴＝（﹣1，m），＝（﹣，m﹣），0≤m≤，∴＝+m2﹣m＝（m﹣）2+﹣＝（m﹣）2+，当m＝时，取得最小值为．故选：A．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．【解答】解：＝＝＝＝4﹣i，故答案为：4﹣i10．【解答】解：（x﹣）5的二项展开式的通项为＝．由，得r＝2．∴x2的系数为．故答案为：．11．【解答】解：正方体的棱长为1，M﹣EFGH的底面是正方形的边长为：，四棱锥是正四棱锥，棱锥的高为，四棱锥M﹣EFGH的体积：＝．故答案为：．12．【解答】解：圆x2+y2﹣2x＝0化为标准方程是（x﹣1）2+y2＝1，圆心为C（1，0），半径r＝1；直线化为普通方程是x+y﹣2＝0，则圆心C到该直线的距离为d＝＝，弦长|AB|＝2＝2＝2×＝，∴△ABC的面积为S＝•|AB|•d＝××＝．故答案为：．13．【解答】解：a，b∈R，且a﹣3b+6＝0，可得：3b＝a+6，则2a+＝＝≥2＝，当且仅当2a＝．即a＝﹣3时取等号．函数的最小值为：．故答案为：．14．【解答】解：当x≤0时，由f（x）＝ax得x2+2ax+a＝ax，得x2+ax+a＝0，得a（x+1）＝﹣x2，得a＝﹣，设g（x）＝﹣，则g′（x）＝﹣＝﹣，由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x＝﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）＝4，当x＞0时，由f（x）＝ax得﹣x2+2ax﹣2a＝ax，得x2﹣ax+2a＝0，得a（x﹣2）＝x2，当x＝2时，方程不成立，当x≠2时，a＝设h（x）＝，则h′（x）＝＝，由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x＝4时，h（x）取得极小值为h （4）＝8，要使f（x）＝ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4＜a＜8，故答案为：（4，8）三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得b sin A＝a sin B，又b sin A＝a cos（B﹣）．∴a sin B＝a cos（B﹣），即sin B＝cos（B﹣）＝cos B cos+sin B sin＝cos B+，∴tan B＝，又B∈（0，π），∴B＝．（Ⅱ）在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝，由余弦定理得b＝＝，由b sin A＝a cos（B﹣），得sin A＝，∵a＜c，∴cos A＝，∴sin2A＝2sin A cos A＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝，∴sin（2A﹣B）＝sin2A cos B﹣cos2A sin B＝＝．16．【解答】解：（Ⅰ）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3：2：2，从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，随机变量X的取值为：0，1，2，3，，k＝0，1，2，3．所以随机变量的分布列为：随机变量X的数学期望E（X）＝＝；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C 为抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，则：A＝B∪C，且P（B）＝P（X＝2），P（C）＝P（X＝1），故P（A）＝P（B∪C）＝P（X＝2）+P（X＝1）＝．所以事件A发生的概率：．17．【解答】（Ⅰ）证明：依题意，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．设为平面CDE的法向量，则，不妨令z＝﹣1，可得；又，可得．又∵直线MN⊄平面CDE，∴MN∥平面CDE；（Ⅱ）解：依题意，可得，，．设为平面BCE的法向量，则，不妨令z＝1，可得．设为平面BCF的法向量，则，不妨令z＝1，可得．因此有cos＜＞＝，于是sin＜＞＝．∴二面角E﹣BC﹣F的正弦值为；（Ⅲ）解：设线段DP的长为h，（h∈[0，2]），则点P的坐标为（0，0，h），可得，而为平面ADGE的一个法向量，故|cos＜＞|＝．由题意，可得，解得h＝∈[0，2]．∴线段DP的长为．18．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1＝1，a3＝a2+2，可得q2﹣q﹣2＝0．∵q＞0，可得q＝2．故．设等差数列{b n}的公差为d，由a4＝b3+b5，得b1+3d＝4，由a5＝b4+2b6，得3b1+13d＝16，∴b1＝d＝1．故b n＝n；（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ），可得，故＝；（ii）证明：∵＝＝．∴＝＝﹣2．19．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的焦距为2c，由椭圆的离心率为e＝，∴＝；又a2＝b2+c2，∴2a＝3b，由|FB|＝a，|AB|＝b，且|FB|•|AB|＝6；可得ab＝6，从而解得a＝3，b＝2，∴椭圆的方程为+＝1；（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），由已知y1＞y2＞0；∴|PQ|sin∠AOQ＝y1﹣y2；又|AQ|＝，且∠OAB＝，∴|AQ|＝y2，由＝sin∠AOQ，可得5y1＝9y2；由方程组，消去x，可得y1＝，由（Ⅰ）知直线AB的方程为x+y﹣2＝0；由方程组，消去x，可得y2＝；由5y1＝9y2，可得5（k+1）＝3，两边平方，整理得56k2﹣50k+11＝0，解得k＝或k＝；∴k的值为或．20．【解答】（Ⅰ）解：由已知，h（x）＝a x﹣xlna，有h′（x）＝a x lna﹣lna，令h′（x）＝0，解得x＝0．由a＞1，可知当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：∴函数h（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）；（Ⅱ）证明：由f′（x）＝a x lna，可得曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1））处的切线的斜率为lna．由g′（x）＝，可得曲线y＝g（x）在点（x2，g（x2））处的切线的斜率为．∵这两条切线平行，故有，即，两边取以a为底数的对数，得log a x2+x1+2log a lna＝0，∴x1+g（x2）＝﹣；（Ⅲ）证明：曲线y＝f（x）在点（）处的切线l1：，曲线y＝g（x）在点（x2，log a x2）处的切线l2：．要证明当a≥时，存在直线l，使l是曲线y＝f（x）的切线，也是曲线y＝g（x）的切线，只需证明当a≥时，存在x1∈（﹣∞，+∞），x2∈（0，+∞）使得l1与l2重合，即只需证明当a≥时，方程组由①得，代入②得：，③因此，只需证明当a≥时，关于x1的方程③存在实数解．设函数u（x）＝，既要证明当a≥时，函数y＝u（x）存在零点．u′（x）＝1﹣（lna）2xa x，可知x∈（﹣∞，0）时，u′（x）＞0；x∈（0，+∞）时，u′（x）单调递减，又u′（0）＝1＞0，u′＝＜0，故存在唯一的x0，且x0＞0，使得u′（x0）＝0，即．由此可得，u（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，u（x）在x＝x0处取得极大值u（x0）．∵，故lnlna≥﹣1．∴＝．下面证明存在实数t，使得u（t）＜0，由（Ⅰ）可得a x≥1+xlna，当时，有u（x）≤＝．∴存在实数t，使得u（t）＜0．因此，当a≥时，存在x1∈（﹣∞，+∞），使得u（x1）＝0．∴当a≥时，存在直线l，使l是曲线y＝f（x）的切线，也是曲线y＝g（x）的切线．。
真题天津市高考数学理科试题附答案
适用精选文件资料分享【真题】 2018 年天津市高考数学（理科）试题（附答案）绝密★启用前 2018 年一般高等学校招生全国一致考试( 天津卷 ) 数学( 理工类 ) 本试卷分为第 I 卷( 选择题 ) 和第 II 卷( 非选择题 ) 两部分，共150分，考试用时 120分钟。
第 I 卷 1至 2页，第 II 卷3至5页。
答卷前，考生务势必自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定地点粘贴考试条形码。
答卷时，考生务势必答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第 I 卷注意事项： 1. 每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其余答案标号。
2. 本卷共 8 小题，每题 5 分，共 40 分。
参照公式：假如事件 A，B 互斥，那么 . 假如事件 A，B 互相独立，那么 . 棱柱的体积公式，此中表示棱柱的底面面积，表示棱柱的高 .棱锥的体积公式，此中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高.一.选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的. (1) 设全集为 R，会集，，则(A) (B) (C) (D) (2)设变量x，y满足拘束条件则目标函数的最大值为(A)6 (B) 19 (C) 21 (D) 45 (3)阅读右侧的程序框图，运转相应的程序，若输入N的值为 20，则输出 T 的值为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (4) 设，则“”是“ ”的 (A)充足而不用要条件 (B) 必需而不重复条件 (C) 充要条件 (D) 既不充足也不用要条件 (5) 已知，，，则 a，b，c 的大小关系为 (A) (B)(C)(D) (6) 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(A) 在区间上单调递加 (B) 在区间上单调递减 (C) 在区间上单调递加(D) 在区间上单调递减 (7) 已知双曲线的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点 . 设 A，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 (A) (B)(C)(D) (8) 如图，在平面四边形 ABCD中，，，， . 若点 E 为边CD上的动点，则的最小值为(A) (B) (C) (D) 2018年一般高等学校招生全国一致考试 ( 天津卷 )数学(理工类)第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或署名笔将答案写在答题卡上。
2018年数学真题及解析_2018年天津市高考数学试卷(理科)
2018年天津市高考数学试卷（理科）一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5.00分）设全集为R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2}2．（5.00分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值为（）A．6 B．19 C．21 D．453．（5.00分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5.00分）设x∈R，则“|x﹣|＜”是“x3＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5.00分）已知a=log 2e，b=ln2，c=log，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b6．（5.00分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，π]上单调递减C．在区间[，]上单调递增D．在区间[，2π]上单调递减7．（5.00分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=18．（5.00分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．3二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5.00分）i是虚数单位，复数=．10．（5.00分）在（x﹣）5的展开式中，x2的系数为．11．（5.00分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥M﹣EFGH的体积为．12．（5.00分）已知圆x2+y2﹣2x=0的圆心为C，直线，（t为参数）与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为．13．（5.00分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+的最小值为．14．（5.00分）已知a＞0，函数f（x）=．若关于x的方程f （x）=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是．三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13.00分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos （B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．16．（13.00分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．17．（13.00分）如图，AD∥BC且AD=2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG=AD，CD∥FG且CD=2FG，DG⊥平面ABCD，DA=DC=DG=2．（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣F的正弦值；（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP 的长．18．（13.00分）设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．19．（14.00分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|•|AB|=6．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若=sin∠AOQ（O为原点），求k的值．20．（14.00分）已知函数f（x）=a x，g（x）=log a x，其中a＞1．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣xlna的单调区间；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，g （x2））处的切线平行，证明x1+g（x2）=﹣；（Ⅲ）证明当a≥e时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g （x）的切线．2018年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5.00分）设全集为R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2}【分析】根据补集、交集的定义即可求出．【解答】解：∵A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，∴∁R B={x|x＜1}，∴A∩（∁R B）={x|0＜x＜1}．故选：B．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．（5.00分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+5y的最大值为（）A．6 B．19 C．21 D．45【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数z=3x+5y的最大值．【解答】解：由变量x，y满足约束条件，得如图所示的可行域，由解得A（2，3）．当目标函数z=3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值．将其代入得z的值为21，故选：C．【点评】在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．也可以利用目标函数的几何意义求解最优解，求解最值．3．（5.00分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．【解答】解：若输入N=20，则i=2，T=0，==10是整数，满足条件．T=0+1=1，i=2+1=3，i≥5不成立，循环，=不是整数，不满足条件．，i=3+1=4，i≥5不成立，循环，==5是整数，满足条件，T=1+1=2，i=4+1=5，i≥5成立，输出T=2，故选：B．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．4．（5.00分）设x∈R，则“|x﹣|＜”是“x3＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先解不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可求出．【解答】解：由|x﹣|＜可得﹣＜x﹣＜，解得0＜x＜1，由x3＜1，解得x＜1，故“|x﹣|＜”是“x3＜1”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了不等式的解法和充分必要条件，属于基础题．5．（5.00分）已知a=log 2e，b=ln2，c=log，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】根据对数函数的单调性即可比较．【解答】解：a=log 2e＞1，0＜b=ln2＜1，c=log=log23＞log2e=a，则a，b，c的大小关系c＞a＞b，故选：D．【点评】本题考查了对数函数的图象和性质，属于基础题，6．（5.00分）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，π]上单调递减C．在区间[，]上单调递增D．在区间[，2π]上单调递减【分析】将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的函数为：y=sin2x，增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，减区间为[+kπ，+kπ]，k ∈Z，由此能求出结果．【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的函数为：y=sin2x，增区间满足：﹣+2kπ≤2x≤，k∈Z，减区间满足：≤2x≤，k∈Z，∴增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，∴将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：A．【点评】本题考查三角函数的单调区间的确定，考查三角函数的图象与性质、平移等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7．（5.00分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【分析】画出图形，利用已知条件，列出方程组转化求解即可．【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线y=，即bx﹣ay=0，F（c，0），AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，F是AB的中点，EF==3，EF==b，所以b=3，双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，可得：，解得a=．则双曲线的方程为：﹣=1．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．8．（5.00分）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．3【分析】如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，求出A，B，C的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1，∴AN=ABcos60°=，BN=ABsin60°=，∴DN=1+=，∴BM=，∴CM=MBtan30°=，∴DC=DM+MC=，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴=（﹣1，m），=（﹣，m﹣），0≤m≤，∴=+m2﹣m=（m﹣）2+﹣=（m﹣）2+，当m=时，取得最小值为．故选：A．【点评】本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5.00分）i是虚数单位，复数=4﹣i．【分析】根据复数的运算法则计算即可．【解答】解：====4﹣i，故答案为：4﹣i【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．10．（5.00分）在（x﹣）5的展开式中，x2的系数为．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为2求得r值，则答案可求．【解答】解：（x﹣）5的二项展开式的通项为=．由，得r=2．∴x2的系数为．故答案为：．【点评】本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．11．（5.00分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥M﹣EFGH的体积为．【分析】求出四棱锥中的底面的面积，求出棱锥的高，然后利用体积公式求解即可．【解答】解：正方体的棱长为1，M﹣EFGH的底面是正方形的边长为：，四棱锥是正四棱锥，棱锥的高为，四棱锥M﹣EFGH的体积：=．故答案为：．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5.00分）已知圆x2+y2﹣2x=0的圆心为C，直线，（t为参数）与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为．【分析】把圆的方程化为标准方程，写出圆心与半径；直线的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，计算弦长|AB|，利用三角形面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0化为标准方程是（x﹣1）2+y2=1，圆心为C（1，0），半径r=1；直线化为普通方程是x+y﹣2=0，则圆心C到该直线的距离为d==，弦长|AB|=2=2=2×=，∴△ABC的面积为S=•|AB|•d=××=．故答案为：．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，也考查了参数方程应用问题，是基础题．13．（5.00分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+的最小值为．【分析】化简所求表达式，利用基本不等式转化求解即可．【解答】解：a，b∈R，且a﹣3b+6=0，可得：3b=a+6，则2a+==≥2=，当且仅当2a=．即a=﹣3时取等号．函数的最小值为：．故答案为：．【点评】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，也可以利用换元法，求解函数的最值．考查计算能力．14．（5.00分）已知a＞0，函数f（x）=．若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是（4，8）．【分析】分别讨论当x≤0和x＞0时，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：当x≤0时，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax，得x2+ax+a=0，得a（x+1）=﹣x2，得a=﹣，设g（x）=﹣，则g′（x）=﹣=﹣，由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x=﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）=4，当x＞0时，由f（x）=ax得﹣x2+2ax﹣2a=ax，得x2﹣ax+2a=0，得a（x﹣2）=x2，当x=2时，方程不成立，当x≠2时，a=设h（x）=，则h′（x）==，由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8，要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4＜a＜8，故答案为：（4，8）【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法结合函数的极值和导数之间的关系以及数形结合是解决本题的关键．三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13.00分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos （B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【分析】（Ⅰ）由正弦定理得bsinA=asinB，与bsinA=acos（B﹣）．由此能求出B．（Ⅱ）由余弦定理得b=，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，cosA=，由此能求出sin（2A﹣B）．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．【点评】本题考查角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16．（13.00分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．【分析】（Ⅰ）利用分层抽样，通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人数；（Ⅱ）若（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，的可能值，求出概率，得到随机变量X的分布列，然后求解数学期望；（ii）利用互斥事件的概率求解即可．【解答】解：（Ⅰ）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3：2：2，从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，随机变量X的取值为：0，1，2，3，，k=0，1，2，3．所以随机变量的分布列为：随机变量X的数学期望E（X）==；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，设事件B为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C为抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人，则：A=B∪C，且P（B）=P（X=2），P（C）=P（X=1），故P（A）=P（B∪C）=P（X=2）+P（X=1）=．所以事件A发生的概率：．【点评】本题考查分层抽样，考查对立事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定X的可能取值，求出相应的概率是关键．17．（13.00分）如图，AD∥BC且AD=2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG=AD，CD∥FG且CD=2FG，DG⊥平面ABCD，DA=DC=DG=2．（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣F的正弦值；（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP 的长．【分析】（Ⅰ）依题意，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴，y 轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．求出对应点的坐标，求出平面CDE的法向量及，由，结合直线MN⊄平面CDE，可得MN∥平面CDE；（Ⅱ）分别求出平面BCE与平面平面BCF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣BC﹣F的正弦值；（Ⅲ）设线段DP的长为h，（h∈[0，2]），则点P的坐标为（0，0，h），求出，而为平面ADGE的一个法向量，由直线BP与平面ADGE所成的角为60°，可得线段DP的长．【解答】（Ⅰ）证明：依题意，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x 轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．设为平面CDE的法向量，则，不妨令z=﹣1，可得；又，可得．又∵直线MN⊄平面CDE，∴MN∥平面CDE；（Ⅱ）解：依题意，可得，，．设为平面BCE的法向量，则，不妨令z=1，可得．设为平面BCF的法向量，则，不妨令z=1，可得．因此有cos＜＞=，于是sin＜＞=．∴二面角E﹣BC﹣F的正弦值为；（Ⅲ）解：设线段DP的长为h，（h∈[0，2]），则点P的坐标为（0，0，h），可得，而为平面ADGE的一个法向量，故|cos＜＞|=．由题意，可得，解得h=∈[0，2]．∴线段DP的长为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．18．（13.00分）设{a n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n（n∈N*），{b n}是等差数列．已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{S n}的前n项和为T n（n∈N*），（i）求T n；（ii）证明=﹣2（n∈N*）．【分析】（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由已知列式求得q，则数列{a n}的通项公式可求；等差数列{b n}的公差为d，再由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，可得等差数列的通项公式；（Ⅱ）（i）由等比数列的前n项和公式求得S n，再由分组求和及等比数列的前n 项和求得数列{S n}的前n项和为T n；（ii）化简整理，再由裂项相消法证明结论．【解答】（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，由a1=1，a3=a2+2，可得q2﹣q ﹣2=0．∵q＞0，可得q=2．故．设等差数列{b n}的公差为d，由a4=b3+b5，得b1+3d=4，由a5=b4+2b6，得3b1+13d=16，∴b1=d=1．故b n=n；（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ），可得，故=；（ii）证明：∵==．∴==﹣2．【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题．19．（14.00分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|•|AB|=6．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若=sin∠AOQ（O为原点），求k的值．【分析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，根据椭圆的几何性质与已知条件，求出a、b的值，再写出椭圆的方程；（Ⅱ）设出点P、Q的坐标，由题意利用方程思想，求得直线AB的方程以及k的值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2c，由椭圆的离心率为e=，∴=；又a2=b2+c2，∴2a=3b，由|FB|=a，|AB|=b，且|FB|•|AB|=6；可得ab=6，从而解得a=3，b=2，∴椭圆的方程为+=1；（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），由已知y1＞y2＞0；∴|PQ|sin∠AOQ=y1﹣y2；又|AQ|=，且∠OAB=，∴|AQ|=y2，由=sin∠AOQ，可得5y1=9y2；由方程组，消去x，可得y1=，∴直线AB的方程为x+y﹣2=0；由方程组，消去x，可得y2=；由5y1=9y2，可得5（k+1）=3，两边平方，整理得56k2﹣50k+11=0，解得k=或k=；∴k的值为或．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程与几何性质、直线方程等知识的应用问题，也考查了利用代数方法求研究圆锥曲线的性质应用问题，考查了运算求解能力与运用方程思想解决问题的能力．20．（14.00分）已知函数f（x）=a x，g（x）=log a x，其中a＞1．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣xlna的单调区间；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线平行，证明x1+g（x2）=﹣；（Ⅲ）证明当a≥e时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g （x）的切线．【分析】（Ⅰ）把f（x）的解析式代入函数h（x）=f（x）﹣xlna，求其导函数，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在各区间段内的符号可得原函数的单调区间；（Ⅱ）分别求出函数y=f（x）在点（x1，f（x1））处与y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线的斜率，由斜率相等，两边取对数可得结论；（Ⅲ）分别求出曲线y=f（x）在点（）处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，log a x2）处的切线方程，把问题转化为证明当a≥时，存在x1∈（﹣∞，+∞），x2∈（0，+∞）使得l1与l2重合，进一步转化为证明当a≥时，方程存在实数解．然后利用导数证明即可．【解答】（Ⅰ）解：由已知，h（x）=a x﹣xlna，有h′（x）=a x lna﹣lna，令h′（x）=0，解得x=0．由a＞1，可知当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：∴函数h（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）；（Ⅱ）证明：由f′（x）=a x lna，可得曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线的斜率为lna．由g′（x）=，可得曲线y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线的斜率为．∵这两条切线平行，故有，即，两边取以a为底数的对数，得log a x2+x1+2log a lna=0，∴x1+g（x2）=﹣；（Ⅲ）证明：曲线y=f（x）在点（）处的切线l1：，曲线y=g（x）在点（x2，log a x2）处的切线l2：．要证明当a≥时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线，只需证明当a≥时，存在x1∈（﹣∞，+∞），x2∈（0，+∞）使得l1与l2重合，即只需证明当a≥时，方程组由①得，代入②得：，③因此，只需证明当a≥时，关于x1的方程③存在实数解．设函数u（x）=，既要证明当a≥时，函数y=u（x）存在零点．u′（x）=1﹣（lna）2xa x，可知x∈（﹣∞，0）时，u′（x）＞0；x∈（0，+∞）时，u′（x）单调递减，又u′（0）=1＞0，u′=＜0，故存在唯一的x0，且x0＞0，使得u′（x0）=0，即．由此可得，u（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，u（x）在x=x0处取得极大值u（x0）．∵，故lnlna≥﹣1．∴=．下面证明存在实数t，使得u（t）＜0，由（Ⅰ）可得a x≥1+xlna，当时，有u（x）≤=．∴存在实数t，使得u（t）＜0．因此，当a≥时，存在x1∈（﹣∞，+∞），使得u（x1）=0．∴当a≥时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线．【点评】本题考查导数的运算，导数的几何意义，运用导数研究指数函数与对数公式的性质等基础知识和方法，考查函数与方程思想，化归思想，考查抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，是难题．。
2018年普通高等学校招生统一考试理科数学真题及参考答案(天津卷)
2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学试卷（理工类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+ .·如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B = .·棱柱的体积公式V Sh =，其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高. ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高. 一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)设全集为R ，集合{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，则()=R I A B ð (A) {01}x x <≤(B) {01}x x << (C) {12}x x ≤<(D) {02}x x <<(2)设变量x ，y 满足约束条件5,24,1,0,x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩ 则目标函数35z x y =+的最大值为(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为 (A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(4)设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 (A) a b c >> (B) b a c >>(C) c b a >>(D) c a b >>(6)将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数(A)在区间35[,]44ππ上单调递增(B)在区间3[,]4ππ上单调递减 (C)在区间53[,]42ππ上单调递增(D)在区间3[,2]2ππ上单调递减 (7)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为 (A)221412x y -=(B)221124x y -= (C)22139x y -=(D) 22193x y -= (8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点，则⋅uu u r uu rAE BE 的最小值为(A)2116(B)32(C)2516(D) 3第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
最新届天津高三数学理科试题精选分类汇编15：选修部分
一、选择题
1* （天津市天津一中届高三上学期第二次月考数学理试题）极坐标方程
cos ρθ=和参数方程
⎩⎨
⎧+=--=t y t x 321(t 为参数)所表示的图
形
分
别是
（
）
A ． 圆,直线
B ． 直线,圆
C ． 圆,圆
D ． 直线,直线
二、填空题
2*
（天津市十二区县重点中学届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）如图,CB 是⊙O 的直径,AP
是⊙O 的切线,AP 与CB 的延长线交于点P ,A 为切点． 若10=PA ,5=PB ,则AB 的长为_________．
3*
（天津市十二区县重点中学届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）已知圆C 的参数方程为
2x y θθ⎧=⎨
=+⎩cos ,
sin ,
(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线截圆C 所得的弦长是_______________?
4*
（天津市六校届高三第二次联考数学理试题（WORD 版））已知:如图⊙O 和⊙P 相交于A,B 两点,⊙O
的弦BC 切⊙P 于点B,CP 及其延长线交⊙P 于D,E 两点,过点E 做EF ⊥CE 延长线与点F ．
若CD=2,CB=22,则EF 的长为 *
P C
5*
（天津市新华中学届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成
立,则实数a 的取值范围是___________．
6*
（天津市新华中学届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）如图,过圆O 外一点P 分别作圆的切线
和割线交圆O 于,A B 两点． 且7PB =,C 是圆O 上一点且使得5BC =,BAC APB ∠=∠,则
AB =_________?
7*
（天津市新华中学届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）圆4sin ρθ=的圆心到直线1,
12x t y t
=+⎧⎨
=-⎩
(t 为参数)的距离是_____
8*
（天津南开中学届高三第四次月考数学理试卷）如图所示,圆O 是△ABC 的外接圆,过点C 的切线交
AB 的延长线于点D,CD=72,AB=BC=3,则AC 的长为__________．
9*
（2012--2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理））在平面直角坐标系中，以原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝4sin θ(ρ≥0)，直线l
的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝3t ，
y ＝1＋t
(t 为参数)，设直线l 与抛物线C 的两交点为A ，B ，点F 为抛物线
C 的焦点，则|AF |＋|BF |＝__________．
10． （2012--2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理））如图，AC 为⊙O 的直径，
OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M ．
若OC ，1OM =，则MN =_____?
A
B
C
O
M N
11． （天津市天津一中届高三上学期一月考理科数学）如图过⊙0外一点P 分别作圆的切线和割线交
圆于A,B,且PB=7,C 是圆上一点使得BC=5,∠BAC=∠APB,则
AB= ?
12． （天津市天津一中届高三上学期一月考理科数学）点P(x,y)在曲线2cos sin x y θ
θ=-+⎧⎨
=⎩
(θ为参数,θ
∈R)上,则
y
x
的取值范围是 *
13． （天津市滨海新区五所重点学校届高三联考试题数学（理）试题）直
线
4,:(),:)12.
4x a t l t C y t πρθ=+⎧=+⎨=--⎩为参数圆(极轴与x 轴的非负半轴重合,
且单位长度相同),若直线l 被圆C
则实数a 的值为____________． 14． （天津市天津一中届高三上学期第二次月考数学理试题）已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F,E
是AB 延长线上一点,且
DF=CF=
,AF:FB:BE=4:2:1,若CE 与圆相切,则线段CE 的长为
______．
15． （天津市天津一中届高三上学期第三次月考数学理试题）如图,已知PA 是圆O 的切线,切点为
A ,AC 是圆O 的直径,PC 与圆O 交于点
B ,4PA =,圆O 的半径
是,那么
__________ PB ．
最新届天津高三数学试题精选分类汇编15：选修部分参考答案
一、选择题 1. 【答案】A
解:由cos ρθ=,得2cos ρρθ=,即22,x y x +=即22
11
()2
4
x y -+=,所表示的图形为圆． 消去参数t 得方程为310x y ++=,图形为直线,所以选A?
二、填空题
2.
4.
2
5. 42≤≤-a
6.
.35
7.
8.
2
7
3
9.
163
10. 1 11.
【解析】因为PA 是圆的切线，所以BAP APB ∠=∠，又C
A C A P
B ∠=，所以BAP ∆与BCA
∆相似，所以
AB PB CB AB
=，所以2
7535AB PB CB ==⨯=
，所以AB = 12.
【答案】[33
-
【解析】消去参数θ得曲线的标准方程为2
2
(2)1x y ++=，圆心为(2,0)-，半径为1． 设y
k x
=，则直线y kx =，即0kx y -=
，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离1d =
=
，即
2k =222141,3k k k =+=
，所以解得k =，由图象知k 的取值范围是
33k -
≤≤，即y x
的取值范围是[33
-。
13. 【答案】 0或2在平面直角坐标系下直线方程为2(2)0x y a ++-=，圆的方程为
2222x y x y +=-，即22(1)(1)2x y -++=，所以圆心为(1,1)-
，半径r =l 被圆
C 截得的弦长
为
，则圆心到直线的距
离5
d ===，
又5
d =
=
=
，即11a -=，解得0a =或2a =。
14.
【答案】
2
解:
因为DF CF ==所以F 是CD 的中点． 连结AC 取AC 的中点O ,则O 为圆心． 设
BE x =,则4,2AF x FB x ==． 由DF FC AF BF =,
2
428x x x ==,即12
x =
,所以根据切线长定理可得22
(42)7CE BE AE x x x x x ==++=．
所以2
CE ==
? 15. 【答案】2
解:由题意
知2222
24
()64
PC PA AC =+=+=,所以8PC =,根据切线长定理可得2
PA PB PC =,即22
428
PA PB PC ===?。