厦门理工学院 复变函数 作业答案第二章 学长只能帮你到这了

[
]
（A）等于 0
（B）等于1
（C）小于1
（D）大于1
二、填空题
1．设
f (0) 1，
f (0) 1 i ，则 lim
f (z) 1
z0
z
1+i
。
2．设 f ( z ) z R e z ，则 f (0)
0
。
3．
f
(z)

x3

y3
ix 2 y 2 ，则
f
(
3
i
3 )

27
-i
27 。
22 44
三、解答题。
5
1．设
m y 3 nx 2 y i( x 3 lxy 2 )为 解 析 函 数 ， 试 确 定 的 值 。 解 ： u ( x, y) my3 nx2 y, v(x, y) x3 lxy 2 ux 2nxy, u y 3my 2 nx2 ; vx 3x 2 ly 2 , vy 2lxy. 由 C.-R.方 程 知 ，


3
m
y
2
2nxy nx2
2lxy =-(3 x 2

， ly 2 )
从 而 n l 3, m 1.
2．下列函数何处可导？何处解析？ （1）
f (z) x2 iy;
解 ： u x2, v y.
ux 2 x, u y 0; vx 0, vy 1. 由 C.-R.方 程 知 ， 2 x 1.
f ( z )。
解 ： f (z) u iu 2.
由 C .-R .方 程 知 ，
u x (u 2 ) y
u y

(u 2 )x

2uu y 2uux
,
则 ux u y 0, u C R.
从 而 f (z) C iC 2.
4．设 f ( z ) u ( x, y ) iv ( x, y ) 是 z 的解析函数，证明：
4．设
z

re i
，则 R e

z
1

z 1
r2 1 r 2 2r cos
1
三、解答题。 1．解方程
[
]
(1)
8
sin z i cos z 4i


ln 4 i
cos( z) i sin( z) e 2
2
2


i( z) ln 4 i( 2k )
2
2

x
|
f
(
z
)
|





y
|
f
(z) |
| f ( z ) |2
pf :
2
2
左
边
=

x
u2

v2





y
u2

v2


。
2
2


uux

vvx



uu y

vv y

u2 v2 u2 v2
2
2
f (z) xy 1 x2 1 y2 C i(xy 1 x2 1 y2 C )
2
2
2
2
10
2
2
z i ln 4 2k (k Z )
(2)
e z 1 3i 0
z Ln (1 3i ) ln 2 i( 2 k )
3
2．计算下列复数的值：
(1)
(1 i )i


1
e e e iLn (1 i )
i[ln 2 i ( 2 k )] 4
(1) e z e z ; 正确；错误
(2) eiz ei z
9
4．已知 u v x 2 y 2 ，试确定解析函数 f ( z ) u iv 。 由 C.-R.方程知， u x v y , u y v x
u

v

x2

y2

ux vx 2x

（B） co s i

（C） e 2
（C） L n i

（D） e 2

（D） e 3 2 i
[
]
3．设 f ( z ) sin z ，下列命题中错误的是
[
]
（A） f ( z ) 在复平面内处处解析
（B） f ( z ) 以 2 为周期
（C） f ( z ) e iz e iz 2
（D） | f ( z ) | 是无界的
4． e z 在复平面上
（A）无可导点 （C）有可导点，且在可导点解析 二、填空题。
z
1．函数 f ( z ) e 5 的周期是1 0 k i
（B）有可导点但不解析 （D）处处解析
2． Im {ln(3 4i)} arctan 4 3
3．方程1 e z 0 的全部解为 2 k i(k Z )
( 2 k ) i ln 2
4
2
(2)
L n(1+ i)
1

= ln2+i( 2k )
2
4
（1）
(1 i ) i


1
e e e iLn (1 i )
i[ln 2 i ( 2 k )] 4
2 k i ln 2
4
2
（2）
13 e 3Ln1 e 2 3k i 3．下列关系是否正确？
（B） x 2 xyi
（C） 2( x 1) y i( y 2 x 2 2 x)
（D） x 3 iy 3
3. 若 f ( z ) x 2 2 xy y 2 i( y 2 axy x 2 ) 在复平面内处处解析，则 a
[
]
（A） 0
（B）1
（C） 2
u
y

vy

2 y

vy


v
x
vx vy

2x 2 y

vx

y

x,vy

x

y
v xy 1 x2 ( y) xy 1 y2 (x)
2
2
( y) 1 y2 C v xy 1 x2 1 y2 C
2
2
2
u xy 1 x2 1 y2 C
C. R .方 程
u 2ux2 v2vx2 +u 2vx2 v2ux2 u2 v2
ux2 vx2
=右 边 。
7
一、选择题。
复变函数练习题
第二章 解析函数
系
专业
班级 姓名
学号
§3 初等函数 综合练习题
1． i i 的主值为
[
]
（A） 0
（B）1
2．下列数中为实数的是
（A） (1 i)3
2y2 x2 4xy 2xy
则 u 和 v 在 (0, 0) 点 满 足 C.-R. 方 程 。 又 由 u 和 v 的 一 阶 偏 导
在 (0, 0) 点 连 续 ， 则 函 数 f ( z ) 在 (0, 0)点 可 导.
6
3．设 f ( z ) u ( x, y ) iv ( x, y ) 在区域 D 内解析，并且 v u 2 ，试求
（D） 2
4. 函数 f ( z ) z 2 Im ( z ) 在 z 0 处的导数
[
]
（A） 0
（B）1
（C） 1
（D）不存在
5．设 f ( z ) x 2 iy 2 ，则 f (1 i)
[
]
（A） 2
（B） 2 i
（C）1 i
（D） 2 2i
6. 设 z 为非零复数， a , b 为实数，若 z a ib ，则 a 2 b 2 的值 z
一概念
第二章 解析函数
班 姓名
学号
§2 解析函数的充要条件
1．函数 f ( z ) 3 | z |2 在点 z 0 处是
（A）解析的
( B) 可导的
2．下列函数中，为解析函数的是
(C) 不可导的
[
]
(D) 既不解析也不可导
[
]
（A） x 2 y 2 2 xyi
又由 u 和 v 的一阶偏导连续，则函数 f (z) 在
直线
1 x
上 可 导 ，f ( z ) 不 解 析 .
2
（2） f ( z) xy 2 ix2 y
解 ： u 2 xy2, v x2 y.
ux 2 y2 ,u y 4xy; vx 2xy, vy x2. 由 C.-R.方 程 知 ，