2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. (1)曲线221
x x y x +=-渐近线的条数为 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(2)设函数2()(1)(2)
()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f = ( )
(A) 1(1)(1)!n n --- (B)(1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -
(3)设函数()f t 连续，则二次积分2
220
2cos d ()d f r r r π
θ
θ=⎰⎰
( )
(A) 2
22
d ()d x x y y +⎰
(B) 2
220
d ()d x f x y y +⎰
(C) 2
22
d ()d y x y x +⎰
(D) 2
220
1d ()d y f x y x +⎰
(4)
已知级数1
1
(1)
n n α∞
=-∑绝对收敛，级数21(1)n a n n
∞
-=-∑条件收敛，则 ( )
(A) 102a <≤
(B) 112a <≤ (C) 312a <≤ (D)3 22
a <<
(5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )
(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα
(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则
1Q AQ -= ( )
(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0.1）上的均匀分布，则{}
221P X Y +≤= ( )
(A)
14 (B) 12 (C) 8π (D)4
π
(8)设1234,,,X X X X 为来自总体2(1,)N σ（σ>0）的简单随机样本，则统计量
12
34|2|
X X X X -+-的分布为 ( )
(A) N （0,1） (B) t(1) (C) 2(1)χ (D)(1,1F ） 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. (9)()
1
cos sin 4
lim tan x x
x x π
-→
=
(10)设函数(
),1
21,1
x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩， ()()y f f x =，则
x e
dy dx ==
(11)设连续函数(,)z f x y =
满足0x y →→=则()0,1d |z =
(12)由曲线4
y x
=
和直线y x =及4y x =在第一象限中围成的平面图形的面积为 (13)设A 为3阶矩阵，3A =，*A 为A 的伴随矩阵。

若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ,则*BA =
(14)设A 、B 、C 是随机事件，A 与C 互不相容，1()2P AB =,1
()3
P C =,则(|)P AB C = 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．
指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)
求极限2
22cos 4
0lim x x
x e e x -→-
(16)
计算二重积分d d x e xy x y ⎰⎰，其中D
是以曲线y y ==
及y 轴为边界的无界区域.
(17)
某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x （件）和y （件），且定两种产品的边际成本分别为202
x
+（万元/件）与6y +（万元/件）。

（1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)C x y （万元）
(2)当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可使总成本最小？求最小 成本 (3)求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。

(18)
证明2
1ln cos 1,(11)12
x x x x x x ++≥+-<<-
(19)
已知函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及
''()()2x f x f x e +=
（1）求()f x 的表达式 (2)求曲线220
()()d x y f x f t t =-⎰的拐点 (20)
设1
000
10001001a a A a a
⎛⎫ ⎪
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭，1100β⎛⎫
⎪
⎪ ⎪=- ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
（1）
计算行列式A ； （2）当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解. (21)
已知10101
11001A a a
⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪-
⎪-⎝⎭
，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2， （1）求实数a 的值；
（2）求正交变换x Qy =将f 化为标准形. （22）
设二维离散型随机变量
、的概率分布为
（Ⅰ）求{}2P X Y =； （Ⅱ）求Cov(,)X Y Y -. （23）
设随机变量X 与Y 相互独立，且服从参数为1的指数分布. 记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y = （Ⅰ）求V 的概率密度()V f v ； （Ⅱ）求()E U V +.。