【好题】高中必修二数学下期末试卷含答案

【好题】高中必修二数学下期末试卷含答案一、选择题1．设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，//m β，则//αβC ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥2．在ABC ∆中，2AB =，2AC =，E 是边BC 的中点.O 为ABC ∆所在平面内一点且满足222OA OB OC ==u u u v u u u v u u v ，则·AE AO u u u v u u u v 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2 D ．323．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A ．12尺 B ．815尺 C ．1629尺 D ．1631尺5．若||1OA =u u u v ，||3OB =u u u v ，0OA OB ⋅=u u u v u u u v，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOBu u u v u u u v u u u v =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ） A ．13B ．3C ．33D ．36．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A ．1B ．2C ．3D ．47．设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称 8．函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．09．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )A ．2π B ．C ．D ．3π 10．已知二项式2(*)nx n N x ⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A ．14B ．14-C ．240D ．240-11．与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++= D ．()()22114x y +++=12．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ）A ．7a =，3b =，30B =o B ．6b =，52c =，45B =oC ．10a =，15b =，120A =oD ．6b =，63c =60C =o二、填空题13．在ABC △ 中，若223a b bc -= ，sin 23C B = ，则A 等于__________． 14．在ABC ∆中，若3B π=，3AC =2AB BC +的最大值为__________．15．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为______．16．设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.233a b c-=，则222a cb ac+-的取值范围为______. 17．已知a 0>，b 0>，且111a b +=，则b3a 2b a++的最小值等于______．18．若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=_________19．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{0,1,2,,9}a b ∈L .若||1a b -…，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为______.20．已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m的取值范围为 .三、解答题21．某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示． 组号 分组频数 频率第1组 [)160,165 5 0.050 第2组 [)165,170 ① 0.350第3组 [)170,175 30 ②第4组 [)175,180 20 0.200 第5组[)180,185100.100（1）请先求出频率分布表中,①②位置的相应数据，再完成频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试； （3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率．22．已知函数()()221+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.(1)求a 、b 的值； (2)设()()2g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．23．已知平面向量()3,4a =v ，()9,b x =v ，()4,c y =v，且//a b v v ，a c ⊥v v .（1）求b v 和c v；（2）若2m a b =-v v v ，n a c =+v v v ，求向量m u v 与向量n v 的夹角的大小.24．已知数列{}n a 满足：()*22,21,n n a S n a n N ==+∈（1）设数列{}n b 满足()11nn b n a =•+，求{}n b 的前n 项和n T ：（2）证明数列{}n a 是等差数列，并求其通项公式；25．已知数列{}n a 是等比数列，24a =，32a +是2a 和4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log 1n n b a =-，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .26．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[)[)0,0.5,0.5,1,...,[)4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中a 的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】根据空间线面关系、面面关系及其平行、垂直的性质定理进行判断． 【详解】对于A 选项，若//m α，//n α，则m 与n 平行、相交、异面都可以，位置关系不确定； 对于B 选项，若l αβ=I ，且//m l ，m α⊄，m β⊄，根据直线与平面平行的判定定理知，//m α，//m β，但α与β不平行；对于C 选项，若//m n ，n α⊥，在平面α内可找到两条相交直线a 、b 使得n a ⊥，n b ⊥，于是可得出m a ⊥，m b ⊥，根据直线与平面垂直的判定定理可得m α⊥； 对于D 选项，若αβ⊥，在平面α内可找到一条直线a 与两平面的交线垂直，根据平面与平面垂直的性质定理得知a β⊥，只有当//m a 时，m 才与平面β垂直． 故选C ． 【点睛】本题考查空间线面关系以及面面关系有关命题的判断，判断时要根据空间线面、面面平行与垂直的判定与性质定理来进行，考查逻辑推理能力，属于中等题．2．D解析：D 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可知()12AE AB AC =+u u u v u u u v u u u v，将所求数量积化为1122AB AO AC AO ⋅+⋅u u uv u u u v u u u v u u u v ；由模长的等量关系可知AOB ∆和AOC ∆为等腰三角形，根据三线合一的特点可将AB AO ⋅u u u v u u u v 和AC AO ⋅u u u v u u u v 化为212AB u u uv 和212AC u u u v ，代入可求得结果.【详解】E Q 为BC 中点 ()12AE AB AC ∴=+u u u v u u u v u u u v()111222AE AO AB AC AO AB AO AC AO ∴⋅=+⋅=⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v222OA OB OC ==u u u v u u u v u u u v Q AOB ∴∆和AOC ∆为等腰三角形211cos 22AB AO AB AO OAB AB AB AB ∴⋅=∠=⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，同理可得：212AC AO AC ⋅=u u u v u u u v u u u v22111314422AE AO AB AC ∴⋅=+=+=u u u v u u u v u u u v u u u v本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.3．C解析：C 【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．考点：三视图与表面积．4．C解析：C 【解析】试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为，,求公差，，解得：尺，故选C.考点：等差数列5．B解析：B 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算即可算出． 【详解】解：30AOC ︒∠=Q3cos ,OC OA ∴<>=u u u r u u u r 32OC OA OC OA⋅∴=u u u r u u u r u u u r u u u r()3mOA nOB OA mOA nOBOA+⋅∴=+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r=1OA =Q，OB =，0OA OB ⋅=2=229m n ∴=又C Q 在AB 上0m ∴>，0n > 3m n∴= 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．6．B解析：B 【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解：结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据：20,2,0N i T ===，20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =. 本题选择B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路： (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．7．D解析：D 【解析】()sin(2)cos(2)2sin(2)2cos 2442f x x x x x πππ=+++=+=,由02,x π<<得02x π<<，再由2,x k k Z ππ=+∈,所以,22k x k Z ππ=+∈. 所以y=f(x)在()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称,故选D.8．B解析：B 【解析】 【分析】可采用构造函数形式，令()()()35lg 1,1x h x x g x x +=+=-，采用数形结合法即可求解 【详解】由题可知，1x >-，当1x =时，()80f x =-≠， 令358()(1)lg(1)350lg(1)311x f x x x x x x x +=-+--=⇒+==+--， 令()()()35lg 1,1x h x x g x x +=+=-，画出函数图像，如图：则两函数图像有两交点，故函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为2个 故选：B 【点睛】本题考查函数零点个数的求解，数形结合思想，属于中档题9．A解析：A 【解析】 【分析】由题意设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2，构造直角三角形A 2BM ，解直角三角形求出BM ，利用勾股定理求出A 2M ，从而求解． 【详解】设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角， 在△A 2BM 中，22252()22a A B a BM a a ==+=，，222313()22a A M a a =+=，222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=， ． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．10．C解析：C 【解析】 【分析】由二项展开式的通项公式为()12rn rr r nT C x x -+⎛= ⎝及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r =，问题得解． 【详解】二项展开式的第1r +项的通项公式为()12rn rr r nT Cx x -+⎛= ⎝由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：12:2:5n n C C =. 解得：6n =.所以()()366216221rr n rr rr r r n T C x C xx ---+⎛==- ⎝ 令3632r -=，解得：2r =， 所以3x 的系数为()2262621240C --=故选C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．11．C解析：C 【解析】圆22220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-，过圆心()1,1-与直线40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直线40x y --==，设所求圆的圆心为(),a b ，且圆心在直线40x y --==0a b +=，解得1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为()()22112x y -++=.故选C ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．12．D解析：D 【解析】 【分析】根据三角形解的个数的判断条件得出各选项中对应的ABC ∆解的个数，于此可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，17sin 722a B =⨯=，sin a B b ∴>，此时，ABC ∆无解；对于B 选项，sin 52c B ==，sin c B b c ∴<<，此时，ABC ∆有两解； 对于C 选项，120A =o Q ，则A 为最大角，由于a b <，此时，ABC ∆无解； 对于D 选项，60C =o Q ，且c b >，此时，ABC ∆有且只有一解.故选D. 【点睛】本题考查三角形解的个数的判断，解题时要熟悉三角形个数的判断条件，考查推理能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】由得所以即则又所以故答案为 解析：6π【解析】由sinC = 得c =， 所以222a b -==，即227a b =， 则2222222b c acosAbc+-===，又0Aπ∈（，），所以6Aπ=．故答案为6π.14．【解析】【分析】【详解】设最大值为考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理三角形内角和将边长用一内角表示转化为三角函数求最值只需将三角函数化简为的形式解析：【解析】【分析】【详解】设22sinsin3AB BCAθθπθ====⎛⎫-⎪⎝⎭Q22sin,3ABπθ⎛⎫∴=-⎪⎝⎭2sinBCθ=()222sin4sin3AB BCπθθθϕ⎛⎫∴+=-+=+⎪⎝⎭，最大值为考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只需将三角函数化简为()sin cosa bθθθϕ+=+的形式15．36π【解析】三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上SC是球O的直径若平面SCA⊥平面SCBSA=ACSB=BC三棱锥S−ABC的体积为9可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形设球的半解析：36π【解析】三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9，可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r，可得112932r r r⨯⨯⨯⨯=，解得r=3.球O的表面积为：2436rππ= .点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16．【解析】【分析】把已知式用正弦定理化边为角由两角和的正弦公式和诱导公式化简可求得即角从而得角的范围注意由余弦定理可得结论【详解】因为所以所以即又所以则因为所以而故故答案为：【点睛】本题考查正弦与余弦解析：()()0,2U【解析】 【分析】把已知式用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求得cos C ，即C 角，从而得B 角的范围，注意2B π≠，由余弦定理可得结论．【详解】=，所以()()2cos cos cos cos 0a C B B C =⋅≠，所以()2sin cos cos A B C C B =，即()2sin cos A C C B A +=，又sin 0A >，所以cos C =， 则6C π=，因为cos 0B ≠，所以50,,226B πππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，而2222cos a c b B ac +-=，故()()2220,2a c b ac+-∈U .故答案为：()()0,2U ． 【点睛】本题考查正弦与余弦定理的应用，考查运算求解能力.本题是一个易错题，学生容易忽略cos B 不能等于0.17．11【解析】分析：构造基本不等式模型化简整理应用基本不等式即可得出答案详解：当且仅当时取等号的最小值等于11故答案为11点睛：本题考查基本不等式的性质与应用同时考查了整体思想与转化思想的运用解析：11 【解析】分析：构造基本不等式模型1132()(32)b ba b a b a a b a++=+++，化简整理，应用基本不等式，即可得出答案. 详解：Q111a b+=， ∴1132()(32)53()b b b a a b a b a a b a a b++=+++=++ Q 0a >，0b >，∴0b a >，0ab>， ∴2b aa b+≥，当且仅当2a b ==时取等号.325611ba b a++≥+=. ∴32ba b a++的最小值等于11.故答案为11. 点睛：本题考查基本不等式的性质与应用，同时考查了整体思想与转化思想的运用.18．【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可【详解】因为故故答案为：【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负同时也要利用两角和的正弦公式属【解析】 【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可. 【详解】因为1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故cos 43πα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭ sin sin cos cos s s in 44i 44n 44ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=14sin cos 2442336ππαα⎡⎤⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法,同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负,同时也要利用两角和的正弦公式,属于中等题型.19．【解析】【分析】由题意知本题是一个古典概型从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法列出满足所有可能情况代入公式得到结果【详解】从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法则的情况有：共有 解析：725【解析】 【分析】由题意知本题是一个古典概型，从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法，列出满足||1a b -„所有可能情况，代入公式得到结果。