模型解题数列
初中数学常见解题模型及思路(中考数学难题破解自有定理)
初中数学压轴题常见解题模型及套路（自有定理）A ． 代数篇：1．循环小数化分数:设元—扩大——相减（无限变有限）相消法。
例.把0.108108108⋅⋅⋅化为分数。
设S=0.108108108⋅⋅⋅ （1） 两边同乘1000得：1000S=108.108108⋅⋅⋅（2） （2）-（1）得：999S=108 从而：S=108999余例仿此—— 2．对称式计算技巧：“平方差公式—完全平方公式”—整体思想之结合：x+y ；x-y ；xy ；22x y + 中，知二求二。
222222()2()2x y x y xy x y x y xy +=++⇒+=+- 2222()2()4x y x y xy x y xy -=+-=+- 加减配合，灵活变型。
3．特殊公式22112x x x x ±=+±2（）的变型几应用。
4．立方差公式：3322a b a b a ab b ±=±+（）（）5．等差数列求和的三种方法：首尾相加法；梯形大法；倒序相加法。
例.求：1+2+3+···+2017的和。
三种方法举例：略6．等比数列求和法：方法+公式：设元—乘等比—相减—求解。
例.求1+2+4+8+16+32+···2n 令S=1+2+4+8+16+32+···+2n （1）两边同乘2得: 2S=2+4+8+32+64+···+2n +12n + （2） （2）-（1）得：2S-S=12n +- 1 从而求得S 。
7．11n m m n --=mn 的灵活应用：如：111162323==-⨯等。
8．用二次函数的待定系数法求数列（图列）的通项公式f （n ）。
9．韦达定理求关于两根的代数式值的套路：⑴．对称式：变和积。
22221111x y x y x y+++22；；；xy +x y 等（x 、y 为一元二次方程方程的两根）⑵．非对称式：根的定义—降次—变和积（一代二韦）。
数列题型及解题方法
数列题型及解题方法题型1：等差数列解题方法：首先确定数列的首项和公差，然后使用递推公式an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列的第n项，a1表示首项，d表示公差。
根据题目给出的条件，可以求得所求的项或者公式中的未知数。
题型2：等比数列解题方法：首先确定数列的首项和公比，然后使用递推公式an = a1 * r^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1表示首项，r表示公比。
根据题目给出的条件，可以求得所求的项或者公式中的未知数。
题型3：斐波那契数列解题方法：斐波那契数列是指后一项等于前两项之和的数列，即an = an-1 + an-2。
根据题目给出的条件，可以使用递归或循环的方式计算斐波那契数列的第n项。
题型4：数列求和解题方法：对于等差数列和等比数列，可以使用求和公式直接计算数列的和。
等差数列的和用Sn = (n/2)(a1 + an)表示，等比数列的和用Sn = a1(1 - r^n)/(1 - r)表示。
根据题目给出的条件，代入公式计算即可得到所求的和。
题型5：数列拓展解题方法：有时候题目需要在基本的数列模型上进行拓展，可以根据数列的特点和题目的要求进行分析和解答。
可以使用递推公式或者递推关系式进行推导，并根据题目给出的条件计算所求的项或和。
题型6：递推关系式解题方法：有时候数列无法使用基本的递推公式进行求解，需要根据数列的特点建立递推关系式。
递推关系式是指数列的每一项与前面的若干项之间存在某种关系，通过这个关系可以递推求解数列的项或和。
根据题目给出的条件，建立递推关系式，并根据初始条件求解所求的项或和。
待定系数法解决数列模型问题的探究
㊀㊀㊀㊀㊀１３６㊀待定系数法解决数列模型问题的探究待定系数法解决数列模型问题的探究Һ王㊀莹㊀（青海师范大学数学与统计学院，青海㊀西宁㊀８１０００８）㊀㊀ʌ摘要ɔ在高中数列的学习中，求通项公式是重点与难点之一．求数列通项公式的思路与方法灵活多样，但待定系数法在处理一些特殊数列的通项问题时是十分有效的一种方法．本文通过四类递推关系模型，利用待定系数法求其通项，求解方法具有通性，展现了多角度㊁多层次利用待定系数法求数列通项的解题思路．ʌ关键词ɔ待定系数法；数列模型；通项公式待定系数法是中学数学学习过程中极为重要的思想与解题方法，它由法国著名数学家笛卡尔提出，在解决数学问题时是常用的方法，并有多种应用技巧．该方法通常用来解决函数㊁方程以及几何相关的问题，具有广泛的应用价值．通常来讲，利用待定系数法解题时，结论仍然未知，不过根据其结论具有的结构可以判断某种确定的形式，只要在其中确定某些关键系数，就可得出问题的结论．这种解题方法称为待定系数法，关键系数称为待定系数．待定系数法实际就是将待定的未知数与已知数建立等式关系，从而列出方程或方程组，解方程或方程组即可得待定的未知数，之后根据题目给出的条件解题即可．利用待定系数法解决数学问题可以使思维有条理，思路更清晰．用待定系数法解题的一般步骤可以总结如下：（１）设式：引入恰当的待定系数，设出所求目标的一般形式；（２）列组：根据已知条件列出待定系数的方程组；（３）求解：求出待定系数；（４）回代：代回所设目标式．待定系数法在解决一些数列通项公式问题时是一种非常有用的方法，本文将通过四个模型加以展示．模型１㊀已知ａｎ＋１＝ｐａｎ＋ｑ（ｐ，ｑ为常数，且ｐʂ０，１，ｑʂ０），求数列｛ａｎ｝的通项公式．解析㊀引入待定参数λ，令ａｎ＋１－λ＝ｐ（ａｎ－λ），则ａｎ＋１＝ｐａｎ＋（１－ｐ）λ．再和原递推式比较系数，得ｑ＝（１－ｐ）λ．讨论：（１）当ｐ＝１时，｛ａｎ｝为公差是ｑ的等差数列，故ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｑ；（２）当ｑʂ１时，λ＝ｑ１－ｐ，数列｛ａｎ－λ｝为公比是ｐ的等比数列，故ａｎ－λ＝（ａ１－λ）ｐｎ－１，所以，ａｎ＝ａ１－ｑ１－ｐ()ｐｎ－１＋ｑ１－ｐ．模型２㊀已知ａ１，ａ２及ａｎ＋２＝Ａａｎ＋１＋Ｂａｎ（Ａ，Ｂ为常数），求｛ａｎ｝的通项公式．解析㊀引入待定双参数α，β，令ａｎ＋２－αａｎ＋１＝β（ａｎ＋１－αａｎ），则ａｎ＋２＝（α＋β）ａｎ＋１－αβａｎ．与已知递推式比较系数，知α＋β＝Ａ，αβ＝－Ｂ，因此α，β是方程ｘ２－Ａｘ－Ｂ＝０的两个根．从而可求出α，β．故数列｛ａｎ＋１－αａｎ｝是首项为ａ２－αａ１㊁公比为β的等比数列，从而可得ａｎ＋１－αａｎ＝（ａ２－αａ１）βｎ－１．讨论：（１）当αʂ０时，有ａｎ＋１αｎ＋１－ａｎαｎ＝ａ２－αａ１α２㊃βα()ｎ－１．①当αʂβ时，由累加法可求得ａｎ＝ｐαｎ－１＋ｑβｎ－１（ｐ，ｑ为常数）．②当α＝β时，由累加法可求得ａｎ＝（ｐ＋ｑｎ）αｎ－１（ｐ，ｑ为常数）．（２）当α＝０时，ａｎ＋２＝βａｎ＋１，β＝Ａ，Ｂ＝０．①当Ａ＝ａ２ａ１时，｛ａｎ｝是等比数列，首项为ａ１㊁公比为Ａ，故ａｎ＝ａ１Ａｎ－１．②当Ａʂａ２ａ１时，ａｎ＝ａ１，ｎ＝１，ａ２Ａｎ－２，ｎȡ２且ｎɪＮ＋．{模型３㊀已知ａ１及ａｎ＋１＝αａｎ＋βａｎ＋ｔ（其中α，β，ｔ为实数，且αｔʂβ），求｛ａｎ｝的通项公式．解析㊀引入待定参数λ，作如下变换：ａｎ＋１－λ＝αａｎ＋βａｎ＋ｔ－λ＝α－λａｎ＋ｔａｎ－λｔ－βα－λ()，当λʂα时，ａｎ＋１－λ＝（α－λ）ａｎ＋β－λｔａｎ＋ｔ．令λｔ－βα－λ＝λ，则λ＝λα＋βλ＋ｔ．（这说明λ是函数ｆ（ｘ）＝αｘ＋βｘ＋ｔ的不动点）当ａ１＝λ时，显然ａｎ＝λ（ｎɪＮ＋）；当ａ１ʂλ时（ｎɪＮ＋），易知ａｎʂλ（ｎɪＮ＋），这时可求出λ１，２＝α－ｔʃ（ｔ－α）２＋４β２（由αｔʂβ，知λʂα）．讨论：（１）当（ｔ－α）２＋４βʂ０时，ａｎ＋１－λ１＝α－λ１ａｎ＋ｔ（ａｎ－λ１），ａｎ＋１－λ２＝α－λ２ａｎ＋ｔ（ａｎ－λ２），所以ａｎ＋１－λ１ａｎ＋１－λ２＝α－λ１α－λ２㊃ａｎ－λ１ａｎ－λ２，即ａｎ－λ１ａｎ－λ２{}是公比为α－λ１α－λ２的等比数列，㊀㊀㊀１３７㊀㊀从而ａｎ－λ１ａｎ－λ２＝ａ１－λ１ａ１－λ２㊃α－λ１α－λ２æèçöø÷ｎ，求出ａｎ．（２）当（ｔ－α）２＋４β＝０，λ＝１２（α－ｔ）时，即ａｎ＋１－λ＝（α－λ）（ａｎ－λ）ａｎ＋ｔ．故仍有１ａｎ＋１－λ＝１α－λ㊃（ａｎ－λ）＋λ＋ｔａｎ－λ＝１α－λ１＋λ＋ｔａｎ－λ()（ȵλ＋ｔ＝α－λ）＝１ａｎ－λ＋１α－λ，即１ａｎ－λ{}是公差为１α－λ的等差数列，１ａｎ－λ＝１ａ１－λ＋（ｎ－１）１α－λ，求出ａｎ即可．模型４㊀若ａｎ＝Ａａｎ－１＋ｆ（ｎ）（其中Ａ为常数，Ａʂ１，ｆ（ｎ）为ｍ次多项式），则可用待定系数法确定ｍ次多项式ｇ（ｎ）使ａｎ＋ｇ（ｎ）＝Ａ（ａｎ－１＋ｇ（ｎ－１）），于是．ａｎ＋ｇ（ｎ）＝（ａ１＋ｇ（１））Ａｎ－１．例１㊀已知ａ１＝１，ａｎ＝２３ａｎ－１＋ｎ２－１５（ｎȡ２），求ａｎ．解析㊀引入待定参数ａ，ｂ，ｃ，使ａｎ＋（ａｎ２＋ｂｎ＋ｃ）＝２３｛ａｎ－１＋［ａ（ｎ－１）２＋ｂ（ｎ－１）＋ｃ］｝，整理后，有ａｎ＝２３ａｎ－１＋－１３ａ()ｎ２＋－４３ａ－１３ｂ()ｎ＋２３ａ－２３ｂ－１３ｃ．与原递归式比较系数，得－１３ａ＝１，４３ａ＋１３ｂ＝０，２３ａ－２３ｂ－１３ｃ＝－１５，ìîíïïïïïï⇒ａ＝－３，ｂ＝１２，ｃ＝１５．{故有，ａｎ－３ｎ２＋１２ｎ＋１５＝２３［ａｎ－１－３（ｎ－１）２＋１２（ｎ－１）＋１５］，ʑａｎ－３ｎ２＋１２ｎ＋１５＝（ａ１－３ˑ１２＋１２＋１５）２３()ｎ－１＝２５２３()ｎ－１，ʑａｎ＝２５２３()ｎ－１＋３ｎ２－１２ｎ－１５．例２㊀整数列｛ａｎ｝定义如下：ａ１＝２，ａ２＝７，－１２＜ａｎ＋１－ａ２ｎａｎ－１ɤ１２（ｎȡ２），证明：对所有ｎȡ２，ａｎ为奇数．证㊀由已知易得－１２＜ａ３－４９２ɤ１２，ʑａ３＝２５．－１２＜ａ４－６２５７ɤ１２，ʑａ４＝８９．首先探求｛ａｎ｝满足的二阶递归式．可令ａｎ＋１＝ｘ㊃ａｎ＋ｙ㊃ａｎ－１，ｘ，ｙ待定．则ａ２ｘ＋ａ１ｙ＝ａ３，ａ３ｘ＋ａ２ｙ＝ａ４，{即７ｘ＋２ｙ＝２５，２５ｘ＋７ｙ＝８９，{解得ｘ＝３，ｙ＝２．下面用数学归纳法证明：ａｎ＋１＝３ａｎ＋２ａｎ－１，ａｎ＞０，ｎ＝３，４， ．ｎ＝３是显然的，设结论对于小于等于ｎ（ｎ＞３）成立．那么㊀ａ２ｎａｎ－１－（３ａｎ＋２ａｎ－１）＝１ａｎ－１［ａｎ（３ａｎ－１＋２ａｎ－２）－ａｎ－１（３ａｎ＋２ａｎ－１）］＝－２ａ２ｎ－１－２ａｎａｎ－２ａｎ－１＝－２ａｎ－２ａｎ－１㊃ａ２ｎ－１ａｎ－２－ａｎæèçöø÷，于是有ａ２ｎａｎ－１－（３ａｎ＋２ａｎ－１）＝２ａｎ－２ａｎ－１㊃ａ２ｎ－１ａｎ－２－ａｎɤ１２㊃２ａｎ－２ａｎ－１æèçöø÷（ȵａｎ－１＝３ａｎ－２＋２ａｎ－３＞３ａｎ－２）＜ａｎ－２３ａｎ－２＝１３＜１２，ʑａｎ＋１－（３ａｎ＋２ａｎ－１）ɤａｎ＋１－ａ２ｎａｎ－１＋ａ２ｎａｎ－１－（３ａｎ＋２ａｎ－１）＜１２＋１２＝１．ȵａｎ＋１－（３ａｎ＋２ａｎ－１）是非负整数，ʑａｎ＋１＝３ａｎ＋２ａｎ－１．于是，欲证结论成立．故当ｎȡ２时，ａｎ＋１ʉａｎ（ｍｏｄ２），而ａ２＝７，故ａｎʉ１（ｍｏｄ２）（ｎȡ２），即当ｎȡ２时，ａｎ为奇数．ʌ参考文献ɔ［１］李赟洋．巧用待定系数法求解递推数列的通项公式［Ｊ］．中学数学教学参考，２０２０（１８）：７７－７８．［２］刘鹏，卢象鹏，杨光伟．基于数学方法论的 深度 解题：学生数学思考脉络化［Ｊ］．数学教学通讯，２０２０（２４）：３－５，８．［３］强源．巧借待定系数法，妙解相关数学题［Ｊ］．中学数学，２０２０（０９）：５４－５５．。
数学
数学重点1. 集合2. 函数3. 3数列4. 三角函数5. 向量6. 21天成数理化解题高手，真能做到吗？《模型解题法》是清华附中、北大附中、人大附中等名校，38位名师多年心血结晶，编者都是教育界泰山北斗式任务，本成果是中国教育学会“十一五”优质教育资源推广的最新创新成果，从北京四中和丰台二中实验的结果显示， 21天成数理化解题高手很正常！2、什么是“模型三步解题法”，和传统的学习方法有什么不同吗？《模型解题法》独创的“模型三步解题法”，1、 21天成数理化解题高手，真能做到吗？《模型解题法》是清华附中、北大附中、人大附中等名校，38位名师多年心血结晶，编者都是教育界泰山北斗式任务，本成果是中国教育学会“十一五”优质教育资源推广的最新创新成果，从北京四中和丰台二中实验的结果显示， 21天成数理化解题高手很正常！3、孩子马上要高考了，现在买，还来得及吗？《模型解题法》最大的特点就是快捷高效，比如高中数学才20个模型，一天花半小时掌握一个模型，很快能掌握，而且每个模型有相应口诀，更容易记忆，特别适合中高考复习、暑假学习，初一初二，高一高二平时提升数理化解题能力，也非常适合。
4、这一套产品，都包括什么？《模型解题法》是一整套的数理化解题学习系统，包括各名校书的特级教师、高级教师讲解的视频光盘，一本知识讲解和模型专题分析的书，还有附带口诀记忆的学习卡片，每天坚持学习半小时，一般20天左右，就可以轻松客服数学难、物理化学烦的困扰。
5、孩子基础不太好，能看懂吗？《模型解题法》特点之一就是一看就懂，一学就会！名师们把复杂的题目，就像拆解一台机器一样，层层拆解，然后找出相对应的解题模型，学生只需要照葫芦画瓢，一步一步，列公式，计算，出结果，非常简单！《模型解题法》已在全国畅销8年，从众多使用的学生反馈的情况看，越是基础差的孩子，提升越明显！6、孩子对数理化没兴趣，不愿意学，能管用吗？不愿意学，多半因为学不好，越学越信心。
专题 构造法求数列通项的八种技巧
专题 构造法求数列通项的八种技巧【必备知识点】◆构造一:待定系数之1n n a Aa B +=+型构造等比数列求关于1n n a Aa B +=+(其中,A B 均为常数,(1)0AB A -≠)类型的通项公式时,先把原递推公式转化为()1n n a M A a M ++=+,再利用待定系数法求出M 的值,再用换元法转化为等比数列求解.其实对于这类式子,我们只需要记住在等式两侧加上一个常数M ,构造成等比数列.常数M 的值并不需要背诵,我们可以通过待定系数法推导出来.◆构造二:待定系数之1n n a Aa Bn C +=++型构造等比数列求关于1(1,0,0)n n a Aa Bn C A C B +=++≠≠≠类型的通项公式时,与上面讲述的构造一的方法很相似,只不过等式中多了一项Bn ,在构造时我们也保持跟题干一样的结构,加一项pn 再构造等比数列就可以,即令()1(1)n n a p n q A a pn q ++++=++,然后与已知递推式各项的系数对应相等,解,p q ,从而得到{}n a pn q ++是公比为A 的等比数列.◆构造三:待定系数之1n n n a pa q +=+型构造数列求关于1nn n a pa q +=+(其中,p q 均为常数,(1)0pq p -≠)类型的通项公式时,共有3种方法.方法一:先用待定系数法把原递推公式转化为()11n n n n a q p a q λλ+++=+,根据对应项系数相等求出λ的值,再利用换元法转化为等比数列求解. 方法二:先在递推公式两边同除以1n q+,得111n n n n a a p q q q q ++=⋅+,引入辅助数列{}n b (其中n b nna q=),得11n n p b b q q+=⋅+,再利用待定系数法解决； 方法二:也可以在原递推公式两边同除以1n p +,得111nn n n n a a q p p p p ++⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭,引入辅助数列{}n b (其中n n na b p =),得11n n b b p +-=⋅.nq p ⎛⎫⎪⎝⎭,再利用叠加法(逐差相加法)求解. ◆构造四:同型构造法所谓同型构造法,就是将找因式中的因子和数列项数相同或者相近的部分通过同除或同乘化归成结构相同的形式,形成新的数列,如常数列,等差数列或等比数列.下面让我们来看看有哪些模型结构吧. 模型一:111(1)1n n n n n n a a n a n a n +++−=−−−−→⋅+=⋅+左右同乘,构造n n b n a =⋅,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列.模型二:11111n n n n n a a n a a n n n +++−−−−−⋅→+==+左右同除,构造n n a b n=,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列. 模型三:()()21112(1)(2)(1)n n n n n n a a n a a n n n n n ++++−−−−+=⋅=+−→++−左右同除,构造(1)n n a b n n =+,则1n n b b +=,{}n b 为常数数列.模型四:()111(1)221n n n n n n n a a na n a n +++−−−−−→=+=+左右同除,构造n n ab n=,则12n n b b +=,{}n b 为等比数列. 模型五:11111222212n n n n n n n n n n n n n a S S S S S n n S S S nn n ++++++++=⋅=⋅=⇒-⇒−−−−−→+⋅=左右同除,构造nn S b n=,则12n n b b +=,{}n b 为等比数列. 模型六:1111111n n n n n a a n a a n n n n ++++=⋅=+++−−−+−−→左右同除,构造n n a b n=,则11n n b b +=+,{}n b 为等差数列.模型七:12111122122n n n n n n n n a a a a +++++−=+=−−−→+−左右同除,构造2nnna b =,则11n n b b +=+,{}n b 为等差数列. 模型八:1111111n n a an n n n n n a a a a a a ++++-−−=-=−−−→左右同除,构造1n nb a=,则11n n b b +-=,{}n b 为等差数列. 看了这么多模型,是不是觉得很多,很难记住呢,其实向大家展示这么多,只是想向大家展示,当看到这类式子,尽量将1n +和1n a +,n 和n a 等因子和数列项数相同的部分划归成结构相同的形式,构造成新数列.◆构造五:取倒数构造等差类型一:数列{}n a 满足:1n n n ba a ka b+=+,则有111n n n n b ka ka ba ab ++==+. 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11a 为首项,kb 为公差的等差数列,即111(1)n k n a a b =+-.(当分母出现加减时,我们很难将它进行化简运算,所以往往取倒数再运算才能找到突破点). 类型二:数列{}n a 满足:1112n n n n na a a a a -+-=-,则有11111211111n n n n n n n n n a a a a a a a a a -+-+--=⇔-=-. 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.类型三:若数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足10n n n a kS S -+=,则有110n n n n S S kS S ---+=,两边同除以1n n S S -得:111n n k S S --=,故1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11a 为首项,k 为公差的等差数列,即111(1)n n k S a =+-,再用1n n n a S S -=-,求{}n a .◆构造六:取对数构造法型如1k n n a ca +=,1n k n a ca -=或者1(),n n kb b b ac a -++=为常数.针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以c 或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取c 为底,什么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.◆构造七:二阶整体构造等比简单的二阶整体等比:关于11n n n a Aa Ba +-=+的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为()11(1)n n n n a a A a a +--=--,利用{}1n n a a +-成等比数列,以及叠加法求出n a .还有一小部分题型可转化为()11(1)n n n n a a A a a +-=+++,利用{}1+n n a a +成等比数列求出n a .此方法可以解决大多数的11n n n a Aa Ba +-=+,1A B +=模型的试题.当然针对个别试题,单纯构造{}1n n a a +-成等比数列可能解决不了问题.我们需要学习更完整的方法来解决这种类型题.这就需要运用数列的特征方程理念来解决.当然我们不需要详细学习数列的特征方程,用高中的待定系数法也可以解决,接下来我们通过两道例题,来详细解释说明下这种方法.秒杀求法:21(,0)n n n a pa qa p q ++=+≠类通项公式暴力秒杀求法21(,0)n n n a pa qa p q ++=+≠对应的特征方程为:2x px q =+,设其两根为12,x x当12x x ≠时, 2212n n n a Ax Bx --=+，当12x x =时, 21()n n a An B x -=+其中A ,B 的值的求法,用12,a a 的值代入上面的通项公式中,建立方程组解之即可◆构造八：数列不动点构造求数列(较难,能力强的同学可以学习)针对1n n n ax bx cx d++=+这类题型,考题中并不多见,难度比较大,这类题型有特定的解题方法.我们需要学习“数列不动点”的知识点.接下来我们来学习下什么是“数列不动点”,它有什么性质.当然看不懂也没关系,可以通过例题,熟记掌握解题步骤就可以.对于函数()f x ,若存在实数0x ,使得()00f x x =,则称0x x =是函数()f x 的不动点. 在几何上，曲线()y f x =与曲线y x =的交点的横坐标即为函数()f x 的不动点.一般地,数列{}n x 的递推式可以由公式()1n n x f x +=给出,因此可以定义递推数列的不动点:对于递推数列{}n x ,若其递推式为()1n n x f x +=,且存在实数0x ,使得()00f x x =,则称0x 是数列{}n x 的不动点。
高考数学一轮复习 第七章 数列 7.5.3 数列建模问题课件
即 a12a22a32 =aa222002109,
a2 019
故 a12a22a32 是斐a22波019那契数列中的第2 020项.
a2 019
(方法二:归纳法)
a12 a22 a2
=122 =11a23,
a 1 2 a a 2 2 3 a 3 2 1 2 1 2 2 2 2 3 a 4 ， a 1 2 a 2 2 a 4 a 3 2 a 4 2 1 2 1 2 3 2 2 3 2 5 a 5 ，
猜测 a12 a22 =aan2n+1.由此可知,
） a
.
的等比数列,{bn}是首项为
12/11/2021
所以经过n年,该市被更换的公交车总数为
S(n)=Sn+Tn=25[ ( 632 ) n－ 1 ]
+400n+n
(
n
－1
） a
.
2
(2)若计划7年内完成全部更换,
则S(7)≥10 000,
所以256[ ( 3 ) 7－+1 ]400×7+
2
7 a6≥10 000,
利润率bn= 这 n 天 第 的 n 天 投 的 入 利 资 润 金 总 和 .例 如 ， b 3 ＝ 8 1 a a 1 3 a 2 . (1)求b1,b2的值. (2)求第n天的利润率bn.
12/11/2021
【解题导思】
12/11/2021
12/11/2021
【解析】(1)当n=1时,b1=8 1 1 ; 当n=2时,b2=8 1 2 .
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命题角度3 递推关系模型 【典例】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样的数 列:1,1,2,3,5,8,…,该数列的特点是:从第3个数起,每一个数都等于它前面两 个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”, 则 a12a22a32a22019 是斐波那契数列中的第________项. 世纪金榜导学号
(全)初中数学｜23种模型汇总
(全)初中数学｜23种模型汇总1. 数列模型数列模型是一组按照特定规律排列的数字，常见的数列有等差数列和等比数列。
在解题中，需要掌握其通项公式和求和公式。
2. 几何模型几何模型是通过图形来表示问题，需要熟练掌握各种几何图形的性质和定理，如圆、三角形、直线等。
3. 等式模型等式模型是通过等式来表示问题，需要掌握化简等式、配方、移项等技巧。
4. 方程模型方程模型是通过方程来表示问题，需要掌握解方程的方法和技巧，如消元法、相似变形法、套公式法等。
5. 数据分析模型数据分析模型需要对给定的数据进行处理和分析，如找出最大值、最小值、平均值等。
6. 概率模型概率模型需要根据事件发生的可能性来计算概率，需要掌握概率的基本原理和计算方法。
8. 百分数模型百分数模型需要将数值转化为百分数进行计算，需要掌握百分数的计算方法和应用。
9. 推理模型推理模型需要根据已知的信息推出未知的结果，需要掌握逻辑思维和推理技巧，如分类讨论法、反证法等。
10. 图表模型图表模型是通过图表来表示问题，需要掌握读图和解决图表问题的技巧。
11. 统计模型统计模型需要对给定的数据进行统计分析，如频数分布、统计量计算等。
12. 函数模型函数模型需要根据函数的定义和性质来计算未知量，需要掌握函数的基本概念和图像变化规律。
13. 同余模型同余模型需要根据同余关系来计算未知量，需要掌握同余关系的基本性质和计算方法，如模运算等。
14. 最优化模型最优化模型需要找出满足特定条件下的最优解，需要掌握最优化方法和技巧，如最大值最小值法、拉格朗日乘数法等。
16. 排列组合模型排列组合模型需要计算不同元素之间的排列和组合方式，需要掌握排列组合的基本概念和计算方法。
17. 质数模型质数模型需要计算满足质数条件的解，需要掌握质数的基本性质和计算方法，如质因数分解等。
23. 递推模型递推模型需要利用递推公式来计算未知项，需要掌握递推公式的推导方法和递推问题的解法。
大模型 数学推理题
大模型数学推理题
大模型在数学推理题中的应用通常是指利用大数据和机器学习技术来处理和解决复杂的数学问题。
以下是一个例子：
题目：有一个数列，第一个数是1，第二个数是2，第三个数是3，第四个
数是5，第五个数是8，第六个数是13...后面的数都是前面两个数的和。
请问这个数列的第300个数是多少？
利用大模型的方法，我们可以利用机器学习算法，如线性回归、决策树、神经网络等，来预测数列中的每一个数。
具体来说，我们可以将数列中的前几个数作为输入，将后面的数作为输出，训练一个模型来预测数列中的每一个数。
然后，我们可以用这个模型来预测第300个数。
具体实现上，首先我们需要收集数列中的前几个数作为训练数据，然后选择一个合适的机器学习算法进行训练。
在训练过程中，我们需要对数据进行预处理，如特征工程、缺失值处理等。
训练完成后，我们可以使用这个模型来预测第300个数。
这种方法相比传统的数学方法更高效、准确，可以处理更大规模的数学问题。
但是，它需要大量的数据和计算资源，也需要专业的机器学习知识和技能。
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第一章 数列（备注：前半部分为基础，后面才是常见难题模型解法）
另：请下载的同学也不要太依赖模型解题法，入模是第一步，自行再总结后出模后才能达到解题自如。
数列基础要点： 一、等差数列
定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；
d
和a 核心元素：n 及s 、求和公式a 通项项公 d 公差 、a 1n n 1、涉及基本元素：首项
基本公式：
*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈
d n n na n a a s n n •-+=•+=
2
)
1(211 可化简为：2n S An Bn =+ 技巧公式：
n
n s s s s s d
m n a a a q n m a a a a q p n m n n m m m q n m q p n m 1s 1n 26a 5....s s s 4)(a a 322211
n 23m 2m m n +=
+-=---+==+=++=++=+-偶奇则：、若有、构成新的等差数列、、、、则、则、 二、等比数列
定义：
)2(1
≥=-n q a a n n
基本公式：
)1(1111111
111≠+-=•---=--=•==
=-q b bq q q
a
q a q q a s q c q q
a q a a n n n
n n n
n n
技巧公式：
1
n 23m 2m 2
a 5....s s s 43q 2n m 21---=--===+=+=+n n m m m m n m n q n m q p n m s s s s q a a a a a a a a a q p n m 、构成新的等比数列
、、、、则、则、
基础题：
题型一 等比数列的通项公式 1. 已知是等比数列，,，则公比= （ ） A ． B ． C ．2 D ．
2. 己知等比数列满足则= ( )
A ．64 B. 81 C ．128 D ．243 3. 已知等比数列的前三项依次为，则= ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
4. 已知{}n a 是等比数列，25124
a a ==，，则13221++++n n a a a a a a Λ= （ ）
A ．16（n
--4
1） B ．16（n
--2
1） C ．
332（n --41） D ．3
32（n
--21） 5. 等比数列{n a }中，其公比q<0，且21431,4a a a a =-=-，则45a a += （ ）
A. 8
B. -8
C.16
D.-16
6. 等比数列{a n }中，a 9＋a 10=a (a ≠0)，a 19＋a 20=b ，则a 99＋a 100等于（ ）
A ．89
a
b
B ．(a
b )9
C ．910a
b
D ．(
a
b )10 7. 在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于（ ）
A ．4
B ．
2
3 C ．
9
16 D ．2
8. 在等比数列{a n }中，已知a 1=2
3
，a 4=12，则q =________，a n =____ ____．
{}n a 22=a 4
1
5=
a q 2
1
-
2-2
1
{}n a 12233,6,a a a a +=+=7a }{n a 4,1,1++-a a a n a n
⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅234n
⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅3241
234-⎪
⎭⎫ ⎝⎛⋅n 1
324-⎪
⎭
⎫
⎝⎛⋅n
题型二 等比数列的前n 项和
9. 设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，则数列｛a n ｝前7项的和为 （ ）
A.63
B.64
C.127
D.128
10. 设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则4S ：2a = （ ）
A. 2
B. 4
C.
15
2
D.1
11. 等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为 （ ）
A ．1
B ．－
21 C ．1或－1 D ．－1或2
1 12. 在各项都为正数的等比数列中， ，S 3=21，则= ( )
A ．33
B ．72
C ．84
D ．189 13. 已知等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，那么前八项之和等于 ( )
A. 15
B. 21
C. 19
D. 17
14. 已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之
和为（ ） A ．32
B ．313
C ．12
D ．15
15. 已知等比数列的各项均为正数，若，前三项的和为21 ，则。
16. 设 .
题型三 等比数列的性质
1. 等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为（ ）
A ．216
B ．－216
C ．217
D ．－217
2. 在正项等比数列{a n }中a 1a 5+2a 3a 5+a 3a 7=25，则 a 3＋a 5＝_______。
{}n a 31=a 543a a a ++{}n a 31=a =++654a a a =∈++++=+S N n S n 则),(3931*2
ΛΛ
3. 在等比数列{}n a 中38124,a a +=47512a a =-公比q 是整数，则10a =___
4. 在等比数列｛a n ｝中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，求a 10＝ ．
5. 在等比数列｛a n ｝中，a 1＋a n =66，a 2·a n －1=128，且前n 项和S n =126，求n 及公比q ．
提升建模（多题一解）：
{}1
2
3n 32316)(n 11111=-+==-==-++++n n n n n n n n n a a a a a a a a n f a a 、、、列的通项公式
，求以下不同条件的数中若以下数列型
模型一：
()()()(){}己完成
剩下的两题请同学们自通项公式：时满足经验证别相加：
将上面式子左右两边分则：去分母得：解：题为例解析：
以下第421n 42)
2(2
121222222222212
3n n n 11n 1
-n 3211n 3423121
-n 1n 3
34223112n 1n
1+=∴=+=∴≥--=-++++=-++-+-+-=-=-=-=-=-=----++n n n n n n n n
n a a a n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Λ
ΛM Θ
出通项公式的和可求，就可以求其型，只要对于备注：)()(1n f n f a a n n =-+
{}n 1
n
1n 111
33,3,3)(=====++++n
n n n n n n n
n a a a a a a a a n f a a 可变为：析：求数列的通项公式。
且满足：中，例：数列型变式：
()
{}0
1-6-331
4262161
11111=+==-==-+++++n n n n n n n n n n a a a a a
a a a a f e f
ea a 、、、列的通项公式
，求以下不同条件的数中若以下数列均为某常数、其中型模型二：
{}，求数列的通项公式，中变式：数列
3
1136n n n a a a a ==+ 型模型三：0-t -11=++n n n n a a a a
{}0
32402301220216111111111=--=--=--=--=++++++++n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a s s s s a a a
a a a a a a 、、、、列的通项公式
，求以下不同条件的数中若以下数列
型模型四：11t --+=n n n a ka a
{}18
4296161111-=-==+-+n n n n n n a s a a a a a 、、列的通项公式
，求以下不同条件的数中若以下数列
{}，求数列的通项公式
，中若数列型
模型五：11112346t +++⨯+==+=n n n n n n n a a a a c ka a。