第二章 函数、导数及其应用
2019版高考数学总复习第二章函数、导数及其应用2.4二次函数与幂函数课件文
(3)五种幂函数的性质
函数
特征
y＝x
y＝x2
性质
定义域
R
R
y＝x3 R
值域
R
[0，＋∞) R
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
y＝x
1 2
y＝x－1
(－∞，
[0，＋∞) 0)∪(0，＋
∞)
(－∞，
[0，＋∞) 0)∪(0，＋
∞)
非奇非偶 函数
奇函数
单调性
x∈ [0，＋
x∈ (－
增
∞) 时，增 x∈ (－ ∞，0]
[自主练透型]
1．(2018·太原模拟)当
0<x<1
时，f(x)＝x2，g(x)＝x
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
，h(x)＝x－2，
则 f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是__h_(_x_)>__g_(x_)_>_f_(x_)___．
解析：分别作出 f(x)，g(x)，h(x)的图象，如图所示． 可知当 0＜x＜1 时，h(x)＞g(x)＞f(x)．
答案：A
4
3．(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知
a＝2
3
，b＝4
2 5
，c＝25
1 3
，则(
)
A．b<a<c B．a<b<c
C．b<c<a D．c<a<b
4
解析：因为
a＝2
3
＝16
1 3
，b＝4
2 5
＝16
1 5
，c＝25
1 3
，且幂函数
y＝x
1 3
在 R 上单调递增，指数函数 y＝16x 在 R 上单调递增，所以 b<a<c.
第二章 函数-导数及其应用-第八节 对数与对数函数
第二章 函数、导数及其应用
2．对数的常用关系式(a，b，c，d 均大于 0 且不等于 1)： (1)loga1＝ 0 ．(2)logaa＝ 1 ． (3)对数恒等式：alogaN＝ N ． logcb (4)换底公式：logab＝log a ． c 1 推广 logab＝ ，logab·logbc·logcd＝ logad ． logba
－lg 15 －1 3 ＝ － 2 lg 15
3 ＝－2. 答案 3 (1)D (2)－2
第二章 函数、导数及其应用
对数函数的图象及应用
[典题导入] (1)(2014· 南昌模拟)函数 y＝f(x)的图象如图所示， 则函数 y＝log1f(x)的图象大致是
2
(
)
第二章 函数、导数及其应用
第二章 函数、导数及其应用
[听课记录]
由函数 y＝f(x)的图象知，
2
当 x∈(0，2)时，f(x)≥1，所以 log1 f(x)≤0. 又函数 f(x)在(0， 1)上是减函数， 在(1， 2)上是增函数， 所以 y＝log1
2
f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，2)上是减函数．结合各选项知， 选 C. 答案 C
第二章 函数、导数及其应用
当0<a<1时，显然不成立； 当a>1时，如图，
第二章 函数、导数及其应用
要使 x∈(1 ， 2) 时 f1(x) ＝ (x － 1)2 的图象在 f2(x) ＝ logax 的图象下 方， 只需f1(2)≤f2(2)，
即(2－1)2≤loga2，
又即loga2≥1. 所以1<a≤2， 即实数a的取值范围是(1，2]． 答案 (1，2]
M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)． 2．对数值取正、负值的规律： 当a>1且b>1，或0<a<1且0<b<1时，logab>0； 当a>1且0<b<1，或0<a<1且b>1时，logab<0.
高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.5指数与指数函数课件理
第六页，共42页。
(2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ ar＋s (a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)．
第七页，共42页。
2．指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
R
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第九页，共42页。
故②正确；③
＝ ＝ 2；④ 4 －24＝2；⑤当 a≠0 时，由(1＋a2)m＜(1
＋a2)n 可知 m＜n，当 a＝0 时不成立．
答案：②
第十五页，共42页。
3
考点疑难突破
第十六页，共42页。
指数(zhǐshù)幂的化简与求值
计算：
第十七页，共42页。
【解】 (1)原式＝
－ 51－0 2＋1＝
第二十页，共42页。
[自 主 演 练]
1．化简 4 16x8y4(x＜0，y＜0)得( A．2x2y C．4x2y
) B．2xy D．－2x2y
解析： 4 16x8y4＝(16x8y4) ＝[24(－x)8·(－y)4] ＝
＝
2(－x)2(－y)＝－2x2y.
答案：D
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2．(2017 届四川绵阳一诊)计算：2 3×3 1.5×6 12＝________. 解析：原式＝
【答案】 C
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角度三 探究指数型函数的性质
(1)函数 y＝14x－12x＋1 在区间[－3,2]上的值域是________．
(2)函数 f(x)＝
的单调减区间为________．
第三十四页，共42页。
【解析】 (1)因为 x∈[－3,2]， 所以令 t＝12x，则 t∈14，8， 故 y＝t2－t＋1＝t－122＋34. 当 t＝12时，ymin＝34；当 t＝8 时，ymax＝57. 故所求函数的值域为34，57.
第二章 函数、导数及其应用
[例1] 已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求 函数y的最小值． [思路点拨] 化简后采用换元转化为二次函数的最值问 题，利用配方法解决． [解] y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋ 2a2－2. 令t＝ex＋e－x，则f(t)＝t2－2at＋2a2－2. 因为t≥2，所以f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定 义域为[2，＋∞)． 因为抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a，所以当a≤2且a≠0时， ymin＝f(2)＝2(a－1)2； 当a>2时，ymin＝f(a)＝a2－2.
[答案] 9
[点评]
利用基本不等式法求解最值的关键在于确定
定值，求解时应注意两个方面的问题：一是检验基本不等
式成立的三个条件——“一正、二定、三相等”，灵活利用
符号的变化转化为正数的最值问题解决；二是要注意函数
解析式的灵活变形，通过“拆”、“添”或“减”等方法“凑”出
常数．对于条件最值问题，应首先考虑常数的代换，将函
[例3]
1 4 函数f(x)＝x＋ (0<x<1)的最小值为________． 1－x
[思路点拨] 通分 ―→ 换元 ―→ 化简 ―→ 找定值 ―→ 求定值
1－x＋4x 3x＋1 1 4 [解析] f(x)＝x＋ ＝ ＝ ， 1－x x1－x －x2＋x t－1 令t＝3x＋1，则x＝ 3 ，t∈(1,4)， t t 9t f(x)变为g(t)＝ ＝ 1 5 4 ＝ －t2＋5t－4 ＝ t－12 t－1 －9t2＋9t－9 ＋ － 3 3 9 ， 4 －t＋ t ＋5 4 4 9 因为t∈(1,4)，所以5>t＋ t ≥4,0<－ t＋ t ＋5≤1， 4 －t＋ t ＋5 ≥9，所以f(x)的最小值为9.
数学(文)一轮复习：第二章 基本初等函数、导数及其应用 第讲对数与对数函数
第6讲对数与对数函数,)1．对数概念如果a x＝N(a〉0,a≠1），那么数x叫做以a 为底N的对数，记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数，N叫做真数性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0底数的对数是1：log a a＝1对数恒等式：a log a N＝N运算性质log a（M·N)＝log a M＋log a N a>0，且a≠1, log a错误!＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M（n∈R)M >0,N〉0 2.对数函数的图象与性质a〉10<a<1图象性质定义域：（0，＋∞）值域:R过定点（1，0）当x〉1时，y〉0当0〈x〈1时,y<0当x〉1时，y〈0当0<x<1时，y〉在（0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞）上是减函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称．1．辨明三个易误点（1）在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1。
（2)对公式要熟记，防止混用．（3）对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0〈a 〈1和a〉1分类讨论，否则易出错．2．对数函数图象的两个基本点（1）当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a〈1时，对数函数的图象“下降”．(2)对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点(a，1），错误!，函数图象只在第一、四象限．3．换底公式及其推论(1）log a b＝错误!(a，c均大于0且不等于1，b〉0）；(2）log a b·log b a＝1，即log a b＝错误!（a，b均大于0且不等于1)；（3)log am b n＝错误!log a b（a〉0且a≠1，b>0，m≠0,n∈R）；(4)log a b·log b c·log c d＝log a d（a，b，c均大于0且不等于1,d>0）．1．函数y＝错误!ln(1－x）的定义域为（)A．(0，1) B．D．B 因为y＝错误!ln(1－x）,所以错误!解得0≤x〈1.2.错误!(log29）·（log34)＝（)A．错误!B．错误!C．2 D．4D原式＝错误!·错误!＝4。
高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.4 二次函数与幂函数名师课件 文 北师大版
_奇__函__数____
__非__奇__非__偶_ __函__数_____
__奇__函__数___
函数
单调 性
y＝x
y＝x2
y＝x3
在__(_－__∞__，__0_) _
_在__R_上__单___ 上__单__调__递__减__，_ _在__R__上__单__ 调__递__增___ 在__(_0_，__＋__∞__)上_ _调__递__增____
2
D.
52－1，2
【解析】 因为函数 y＝x21的定义域为[0，＋∞)， 且在定义域内为增函数，
所以不等式等价于 2mm2＋＋m1≥－01，≥0， 2m＋1>m2＋m－1。
解 2m＋1≥0，得 m≥－12；
－ 解 m2＋m－1≥0，得 m≤
25－1或 m≥
52－1。
解 2m＋1>m2＋m－1，得－1<m<2，
1
(2)幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x2，y＝x－1 的图像与性质
函数
y＝x
定义域
R
值域
R
奇偶性 _奇__函__数____
y＝x2 R
_{_y_|y_≥__0_}_
_偶__函__数Biblioteka __y＝x3y＝x－1
R
__{x_|_x_≥__0_}_ _{_x_|x_≠__0_}__
R
__{_y|_y_≥__0_} __{_y_|y_≠__0_}_
解析 正确。由幂函数的图像可知。
(6)关于
x
的不等式
ax2＋bx＋c>0
a>0， 恒成立的充要条件是b2－4ac<0。
( × )解析 错误。当 a＝0，b＝0，c>0 时也恒成立。ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒
2022数学第二章函数导数及其应用第十节变化率与导数导数的运算教师文档教案文
第十节变化率与导数、导数的运算授课提示：对应学生用书第37页［基础梳理］1．导数的概念（1）函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义称函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率＝错误!为函数y＝f（x)在x＝x0处的导数,记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝错误!＝．(2）导数的几何意义函数f（x）在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s（t)对时间t 的导数）．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．（3）函数f（x)的导函数称函数f′(x)＝错误!为f(x)的导函数．2原函数导函数f（x）＝c(c为常数)f′(x)＝0f（x)＝xα(α∈Q＊）f′(x)＝αxα－1f(x）＝sin x f′(x)＝cos__xf(x）＝cos x f′（x）＝－sin__xf（x）＝a x(a＞0，且a≠1）f′（x)＝a x ln__af(x）＝e x f′（x）＝e x f(x)＝log a x（a＞0,且a≠1）f′(x）＝错误!f（x)＝ln x f′（x)＝错误!3.导数的运算法则（1）[f(x)±g(x）］′＝f′(x）±g′(x)．(2）［f（x)·g（x）］′＝f′（x)g(x）＋f（x)g′（x)．（3）错误!′＝错误!(g（x）≠0)．1．求导其实质是一种数学运算即求导运算，有公式和法则，也有相应的适用范围或成立条件,要注意这一点，如(x n）′＝nx n－1中,n≠0且n∈Q*.错误!′＝错误!，要满足“＝”前后各代数式有意义，且导数都存在．2．(1)f′（x0)代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；(f（x0））′是函数值f(x0）的导数,而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0)）′＝0.(2）f′（x)是一个函数，与f′(x0）不同．3．（1）“过”与“在”：曲线y＝f（x)“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别：前者P（x0，y0)为切点，而后者P（x0，y0)不一定为切点．(2)“切点”与“公共点”:曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点．[四基自测]1．（基础点：求导数值)若f(x）＝x·e x，则f′（1)等于(）A．0B．eC．2e D．e2答案：C2．（易错点：导数的运算)已知f（x)＝x·ln x,则f′（x）＝（) A。
202新数学复习第二章函数导数及其应用2.2函数的单调性与最值学案含解析
第二节函数的单调性与最值课标要求考情分析1。
理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质。
1。
主要考查函数单调性的判定、求单调区间、比较大小、解不等式、求最值及不等式恒成立问题．2．题型以选择题、填空题为主，若与导数交汇命题则以解答题的形式出现,属中高档题.知识点一函数的单调性1．增函数、减函数的定义定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2:(1)增函数：当x1〈x2时，都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f（x)在区间D上是增函数；（2）减函数：当x1〈x2时，都有f（x1）〉f(x2)，那么就说函数f(x）在区间D上是减函数．2．单调性、单调区间的定义若函数y＝f(x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数y ＝f（x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x）的单调区间．注意以下结论1．对∀x1，x2∈D(x1≠x2)，错误!>0⇔f(x)在D上是增函数，错误!<0⇔f（x)在D上是减函数．2．对勾函数y＝x＋错误!(a〉0）的增区间为(－∞,－错误!]和［错误!，＋∞）,减区间为[－错误!，0）和(0，错误!]．3．在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．4．函数f(g（x))的单调性与函数y＝f（u）和u＝g(x）的单调性的关系是“同增异减”．知识点二函数的最值1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”）(1）对于函数f（x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有（x1－x2）[f（x1）－f(x2)］〉0,则函数f（x)在区间D上是增函数．(√)（2）函数y＝1x的单调递减区间是（－∞,0）∪(0,＋∞)．（×）（3）对于函数y＝f(x）,若f(1）<f（3)，则f（x)为增函数．(×)（4）函数y＝f（x）在［1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1,＋∞）．（×）解析:（2)此单调区间不能用并集符号连接，取x1＝－1，x2＝1,则f（－1)〈f(1），故应说成单调递减区间为(－∞,0）和（0,＋∞）．(3）应对任意的x1<x2，f（x1)〈f(x2）成立才可以．（4)若f（x)＝x,f（x)在[1，＋∞）上为增函数，但y＝f(x）的单调递增区间是R.2．小题热身（1)下列函数中,在区间（0，＋∞)内单调递减的是（A）A．y＝错误!－x B．y＝x2－xC．y＝ln x－x D．y＝e x(2）函数f（x)＝－x＋错误!在区间错误!上的最大值是(A)A．错误!B．－错误!C．－2 D．2（3)设定义在[－1，7］上的函数y＝f(x)的图象如图所示,则函数y＝f（x)的增区间为［－1,1]和[5,7］．(4）函数f（x）＝错误!的值域为（－∞，2）．（5）函数f(x）＝错误!在[2,6]上的最大值和最小值分别是4,错误!.解析：（1）对于A,y1＝错误!在(0，＋∞）内是减函数，y2＝x在（0，＋∞)内是增函数，则y＝1x－x在（0，＋∞)内是减函数；B,C选项中的函数在（0，＋∞）上均不单调；选项D中，y＝e x 在(0,＋∞）上是增函数．（2）∵函数y＝－x与y＝错误!在x∈错误!上都是减函数，∴函数f（x)＝－x＋错误!在错误!上是减函数，故f(x）的最大值为f（－2）＝2－错误!＝错误!.(3）由图可知函数的增区间为[－1，1］和［5,7]．（4）当x≥1时，f(x）＝log错误!x是单调递减的，此时，函数的值域为(－∞，0]；x<1时，f（x）＝2x是单调递增的,此时,函数的值域为（0,2)．综上，f（x)的值域是(－∞,2)．(5）函数f（x）＝错误!＝错误!＝2＋错误!在［2，6]上单调递减，所以f（x）min＝f（6)＝错误!＝错误!。
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提示：不一定．如函数 y＝x 与 y＝x＋1，其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数； 再如 y＝sin x 与 y＝cos x，其定义域都为 R，值域都为[－1,1]，显然不是同一个函数．因为定 义域和对应关系完全相同的两个函数的值域也相同，所以定义域和对应关系完全相同的两个 函数才是同一个函数． 4．函数的表示方法 表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法． 5．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这 种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函 数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． [探究] 3.分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系？
解析：选 C 由于新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即一个班级对应的学生 不止一个，所以④不是从集合 A 到集合 B 的映射．
x2＋1，x≤1， 3.(2012· 江西高考)若函数 f(x)＝ 则 f(f(10))＝( lg x，x>1，
)
A．lg 101 C．1 解析：选 B
B．2 D．0 f(10)＝lg 10＝1，故 f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2.
名称 记法
[探究]
1.函数和映射的区别与联系是什么？
提示：二者的区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的 两个集合必须是非空数集，二者的联系是函数是特殊的映射． 2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域： 在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)|x∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合 B 的子集． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． 3．相等函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． [探究] 2.若两个函数的定义域与值域都相同，它们是否是同一个函数？
1 解析：(1)由 1－2log6x≥0 解得 log6x≤ ⇒0＜x≤ 6，故所求定义域为(0， 6 ]． 2 x>0， (2)由题意知10－2x>0， 2x>10－2x 5 即 <x<5. 2
答案：(1) (0， 6 ] (2)D
简单函数的值域问题
[例 2] 求下列函数的值域： x－3 4 (1)y＝ ；(2)y＝x－ 1－2x；(3)y＝x＋ . x x＋1 [自主解答] 4 ≠1， x＋1 即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}． x－3 法二：由 y＝ 得 yx＋y＝x－3. x＋1 y＋3 解得 x＝ ，所以 y≠1， 1－y 即函数值域是{y|y∈R，y≠1}． 1－t2 1－t2 1 (2)法一：(换元法)令 1－2x＝t，则 t≥0 且 x＝ ，于是 y＝ －t＝－ (t＋1)2＋1， 2 2 2 1 1 由于 t≥0，所以 y≤ ，故函数的值域是y|y≤2. 2 1 法二：(单调性法)容易判断函数 y＝f(x)为增函数，而其定义域应满足 1－2x≥0，即 x≤ . 2 1 1 1 y|y≤ . 所以 y≤f ＝ ，即函数的值域是 2 2 2 (3)法一：(基本值不等式法)当 x>0 时， 4 x＋ ≥2 x 4 x× ＝4， x x－3 x＋1－4 4 4 (1)法一：(分离常数法)y＝ ＝ ＝1－ .因为 ≠0，所以 1－ x＋1 x＋1 x＋1 x＋1
x－4≥0， 解析：选 B 由函数的定义知①正确；②错误；由 得定义域为∅，所以不是 1－x≥0，
函数；因为函数 f(x)＝5 为常数函数，所以 f(t2＋1)＝5，故③正确；因为 x∈N，所以函数 y ＝2x(x∈N)的图象是一些离散的点，故④错误；由于函数 f(x)＝1 的定义域为 R，函数 g(x)＝ x0 的定义域为{x|x≠0}，故⑤错误．综上分析，可知正确的个数是 2. 2．(教材习题改编)以下给出的对应是从集合 A 到 B 的映射的有( )
当且仅当 x＝2 时“＝”成立； 4 4 当 x<0 时，x＋ ＝－(－x－ )≤－4， x x 当且仅当 x＝－2 时“＝”成立． 即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
2 4 x －4 法二：(导数法)f′(x)＝1－ 2＝ 2 . x x
x∈(－∞，－2)或 x∈(2，＋∞)时，f(x)单调递增， 当 x∈(－2,0)或 x∈(0,2)时，f(x)单调递减． 故 x＝－2 时，f(x)极大值＝f(－2)＝－4； x＝2 时，f(x)极小值＝f(2)＝4. 即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 4 若将本例(3)改为“y＝x－ ”，如何求解？ x 4 4 解：易知函数 y＝x－ 在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，故函数 y＝x－ 的值域为 x x R. ————— —————————————— 求函数值域的基本方法 (1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域． (2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域． (3)换元法：形如 y＝ax＋b± cx＋d(a，b，c，d 均为常数，且 a≠0)的函数常用换元法求 值域，形如 y＝ax＋ a－bx2的函数用三角函数代换求值域． cx＋d (4)分离常数法：形如 y＝ (a≠0)的函数可用此法求值域． ax＋b (5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增 减性进而求最值和值域． (6)数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其 变化范围． ——————————————————————————————————————
)
B．(－1,0)∪(0,2] D．(－1,2]
(2)已知函数 f(x －1)的定义域为[0,3]，则函数 y＝f(x)的定义域为________． x＋1>0， [自主解答] (1)x 满足x＋1≠1， 4－x2≥0， 解得－1<x<0 或 0<x≤2. (2)∵0≤x≤3， ∴0≤x2≤9，－1≤x2－1≤8. ∴函数 y＝f(x)的定义域为[－1,8]． [答案] (1)B (2)[－1,8] x>－1， 即x≠0， －2≤x≤2.
－1－1≤－2－1＝－3. y＝－ － t ＋ t
1 1 当且仅当－t＝－ 即 log3x＝－1，x＝ 时，等号成立． t 3 综上所述，函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
第一节 函数及其表示
[备考方向要明了]
考 什 么
怎 么 考
1.了解函数、映射的概念，会求一些简单的函数定义域和值域． 2.理解函数的三种表示法：解析式法、图象法和列表法． 3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
2011· 填空题 T1 2010· 选择题 T10 2009· 填空题 T14
[归纳· 知识整合] 1．函数与映射的概念 函数 两集合 A， B 对应关系 f：A→B A，B 是两个非空数集 按照某种确定的对应关系 f，对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中有唯 一确定的数 f(x)和它对应 f： A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函 数 y＝f(x)，x∈A 映射 A，B 是两个非空集合 按某一个确定的对应关系 f，对于集合 A 中的任意一个元素 x 在集合 B 中都有 唯一确定的元素 y 与之对应 对应 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的 一个映射 对应 f：A→B 是一个映射
2．求下列函数的值域． (1)y＝x2＋2x，x∈[0,3]； x2－x (2)y＝ 2 ； x －x＋1
(3)y＝log3x＋logx3－1. 解：(1)(配方法)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1， ∵0≤x≤3， ∴1≤x＋1≤4.∴1≤(x＋1)2≤16. ∴0≤y≤15， 即函数 y＝x2＋2x(x∈[0,3])的值域为[0,15]． x2－x＋1－1 1 (2)y＝ 2 ＝1－ 2 ， x －x＋1 x －x＋1 12 3 3 ∵x2－x＋1＝ x－2 ＋4≥4， ∴0< 1 4 ≤ ， x －x＋1 3
解析：由图象可知，函数 y＝f(x)的定义域为[－6,0]∪[3,7)，值域为[0，＋∞)． 答案：[－6,0]∪[3,7) [0，＋· 山东高考)函数 f(x)＝ A．[－2,0)∪(0,2] C．[－2,2]
2
1 ＋ lnx＋1
4－x2的定义域为(
①集合 A＝{P|P 是数轴上的点}，集合 B＝R，对应关系 f：数轴上的点与它所代表的实 数对应． ②集合 A＝{P|P 是平面直角坐标系中的点}，集合 B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系 f： 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应； ③集合 A＝{x|x 是三角形}，集合 B＝{x|x 是圆}，对应关系 f：每一个三角形都对应它的 内切圆； ④集合 A＝{x|x 是新华中学的班级}，集合 B＝{x|x 是新华中学的学生}，对应关系 f：每 一个班级都对应班里的学生． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2
1 1 ∴－ ≤y<1，即值域为 －3，1. 3 (3)y＝log3x＋ 令 log3x＝t， 1 则 y＝t＋ －1(t≠0)， t 当 x>1 时，t>0，y≥2 1 t· －1＝1， t 1 －1， log3x
1 当且仅当 t＝ 即 log3x＝1，x＝3 时，等号成立； t 当 0<x<1 时，t<0，
1．(1)(2012· 江苏高考)函数 f(x)＝
1－2log6x的定义域为________．
(2)已知等腰△ABC 周长为 10，则底边长 y 关于腰长 x 的函数关系为 y＝10－2x，则函数 的定义域为( A．R C．{x|0<x<5} ) B．{x|x>0}
5 D.x|2<x<5
本例(2)改为 f(x)的定义域为[0,3]，求 y＝f(x2－1)的定义域． 解：∵y＝f(x)的定义域为[0,3]， ∴0≤x2－1≤3， 解得－2≤x≤－1 或 1≤x≤2， 所以函数定义域为[－2，－1]∪[1,2]． ————— —————————————— 简单函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)对抽象函数： ①若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数 f(g(x))的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 求 出． ②若已知函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a，b]时的值域． ——————————————————————————————————————