专题复习--体积问题
小学六年级复习题——图形体积专题
小学六年级复习题——图形体积专题1．唐老鸭用一个圆锥形容器装满了2000克香油，米老鼠趁唐老鸭不在，在容器的中间咬了一个洞，然后开始偷油，一直偷到油面与小洞平齐为止（如图）．问：米老鼠共偷得香油多少克（容器的厚度不计）？2．工地上有一堆圆锥形沙堆，沙堆的底面周长是18.84米，高15分米，把它铺在一条长31.4米，宽9米的公路上可以铺多厚？3．如图把一张长10厘米、宽6厘米的长方形纸板分成两个相等的直角三角形．绕乙三角形的顶点B所在的直线旋转一周，请你求出所形成的几何体的体积．4．图形的计算．（1）已知圆锥底面周长是18.84分米，求圆锥体积．（如图1）（2）求如图阴影部分面积．（单位：cm）（如图2）4．一个圆锥形沙堆，底面积是15平方米，高0.9米．把这堆沙子铺入长4.5米、宽2米的沙坑内，可以铺多厚？6．天气越来越热，商家举行冰淇淋促销活动，他们把冰淇淋装入下面的圆柱和圆锥形杯子里，圆柱形的要2元钱，圆锥形的要8角钱，你认为买哪一杯划算？为什么？7．把一个底面半径为10厘米的圆锥形金属铸件完全浸没在底面半径是15厘米的圆柱形容器中，水面上升了 1.2厘米．这个圆锥形金属铸件的高是多少厘米？8．一个长方体铁皮长50厘米，宽28厘米．如果从四个角剪去边长6厘米的正方形，再折成一个无盖的盒子，这个无盖盒子的容积是多少？8．制作一个长1m，宽4dm，高6dm的长方体的鱼缸，至少要用多少dm2的玻璃？如果鱼缸里的水面高4dm，鱼缸里有多少升的水？10．流动的水：有圆柱体、长方体和正方体玻璃容器连在一起，容器下面用细管连接起来，水可以流动，并装有A、B两个阀门．已知圆柱体底面积为25平方厘米，水深14厘米，长方体底面积为15平方厘米，水深10厘米，正方体底面积10平方厘米，无水．（1）如果打开A阀，等水停止流动，此时长方体水深多少厘米？（2）接着打开B阀，等水停止流动，此时正方体水深多少厘米？11．王老师用一根长48cm的铁丝做一个长方体框架，使长宽高的比是2：1：3．这个长方体的体积是多少？12．把一个直径是2分米的圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后沿直径把圆切开，拼成一个和它体积相等的长方体，这个长方体表面积比原来圆柱的表面积增加8平方分米，这个长方体的体积是多少？13．有一个长方体木块（如图）．长、宽、高的长度比是10：5：2，已知高比长少24厘米．（1）这个长方体木块的体积是多少立方厘米？（2）至少需要多少个这样的长方体木块才能拼成一个正方体？13．一个棱长是6分米的正方体水箱装满水，把水倒入一个长9分米，宽6分米的长方体水箱中，水高度是多少？14．用一根铁丝可做一个长6分米，宽5分米，高4分米的长方体框架，用这根铁丝做一个正方体的框架，这个正方体的体积是多少？16．小华放学回家，看见桌上放着两个金鱼缸，小华爸爸在留言条上写着：“小华回家后，请将A鱼缸中的水倒入B鱼缸，直到两个鱼缸中的水深一样为止．”请将小华计算一下，这两个鱼缸的水深多少厘米？17．一个棱长3分米的正方体，它的体积与另一个圆锥体体积的比是3：5，已知这个圆锥体的高是5分米，它的底面积是多少平方分米？18．一个用塑料薄膜覆盖的大棚长10m，横截面是一个半径为2m的半圆．（1）这个大棚所占地面的大小是多少？（2）大棚内的空间有多大？（3）搭建这个大棚至少要用多少平方米的塑料薄膜？19．一张长方形的铁皮（如图），剪下图中的阴影部分恰好可以做成一个油桶（接头处不算）．这个油桶的容积是多少立方分米？20．一个直径是12厘米的圆柱形水桶里装着水，把一个底面直径是6厘米，高36厘米的铁制圆锥体完全浸在水中．当圆锥体从桶中取出后，桶内的水将下降多少厘米？21．一台压路机，前轮直径1.2米，轮宽1.1米，工作时每分钟滚动16圈，这台压路机工作1分钟前轮压过的路面是多少平方米？22．照下面的样子，用铁皮焊制一个盛水容器，求这个容器最多能装水多少立方厘米？（单位：厘米）23．做如图规格的一个抽屉至少需要多少木板？它的容积是多少？（木板厚度忽略不计）24．用240厘米长的铁丝做成一个长方体框架，长是宽、高之和的57，宽是高的23，这个长方体的体积是多少？（接头处忽略不计）小学六年级复习题——图形体积专题参考答案与试题解析1.考点：圆锥的体积。
小学数学-有答案-人教版小升初数学专题复习：面积与体积
小学数学-有答案-人教版小升初数学专题复习：面积与体积一.填空.1. 估计我们正在做的试卷的面积大小约是________．2. 一个长方体物体长、宽、高如图所示，这个实物可能是________．（填一文化用品）3. 图中，阴影部分的面积用字母表示是________，a2表示________的面积。
4. 一个平行四边形菜地的高是40m，底是105m，它的面积是________平方米，合________公顷。
5. 如图是平行四边形，图中数据为相应的面积数（单位：cm2），那么阴影部分的面积是________cm2．6. 某长方形足球场周长为350m，长和宽的比为3:2，则长为________m．国际比赛的足球场的长可以是在100m到110m之间，宽在64m到75m之间，则这个足球场________可以作国际足球比赛场。
（填“是”或“否”）7. 一个长方体的长是4厘米，宽3厘米，高2厘米，它的表面积是________平方厘米。
可以切成棱长1厘米的立方体________块。
8. 教室长8m、宽6m、高3m，六(1)班有48名学生，平均每人占有的空间是________．9. 如图，至少再摆上________个这样的正方体，可以得到一个长方体。
10. 如图中甲是用20个硬币堆成的，底面是个圆形，面积是5.3cm2，它的高度是4cm，那么甲的体积是________cm3．再用这20个硬币重新堆成乙图，乙的高度________4cm．（填“大于”、“小于”或“等于”）11. 圆锥体底面直径是6厘米，高3厘米，体积是________立方厘米。
12. 一个长方体盒子从里面量长6dm，宽4dm，高5dm，若把棱长为2dm的正方体积木装进盒内（要求积木不能露出盒子），最多能装________块。
二．选择．一本数学书的体积约是240()A.cm2B.cm3C.dm3D.m3根据下图给出的数据，面积最大的是图________，面积相等的是图________和图________贝贝家圆桌直径1米，现在要给它铺上台布，（）种台布比较合适。
2020年小升初数学专题复习训练—空间与图形：周长、面积与体积(3)(知识点总结 同步测试) (含详解)
2020年小升初数学专题复习训练—空间与图形周长、面积与体积（3）知识点复习一．组合图形的体积 【知识点归纳】可以先把组合图形分解成独立的图形，然后相加减去重叠部分的体积． 【命题方向】例：求如图沿AB 旋转一周后形成物体所占空间的大小．（单位：厘米）分析：沿AB 旋转一周后形成物体，上部是一个底面半径为2厘米，高为3厘米的圆锥体，下部是一个底面半径为2厘米，高为6厘米的圆柱体，由此利用圆柱与圆锥的体积公式即可解答． 解：31×3.14×22×3+3.14×22×6， =12.56+75.36， =87.92（立方厘米）；答：旋转后的立体图形的体积是87.92立方厘米．点评：所占空间的大小，就是旋转后的立体图形的体积大小，根据圆柱与圆锥的展开图特点得出这个立体图形是圆柱与圆锥的组合图形是解决本题的关键．二．球的球面面积和体积 【知识点归纳】 1．球体：空间中到定点的距离小于或等于定长的所有点组成的图形叫做球．球面的面积=4πR2．【命题方向】例：一个铁球的半径为6厘米，重7千克，如果每立方米铁重7800千克，（1）这个铁球的体积是多少立方厘米？=904.32（立方厘米）；答：这个铁球的体积是904.32立方厘米．（2）这个铁球的质量应为：7800×0.00090432≈7（千克），与实际质量正好相等，所以这个铁球是实心球．点评：此题重点考查了球形体积计算公式的应用，同时考查了分析判断能力．三．立体图形的容积【知识点归纳】所有立体图形的体积公式都是底面积乘高．长方体=长×宽×高正方体=棱长×棱长×棱长圆柱=底面积×高，底面积=圆周率×半径的平方圆锥=底面积×高÷3．【命题方向】例1：自来水管的内直径是2厘米，水管内水的流速是每秒8厘米．一位同学去洗手，走时忘记关掉水龙头，分析：把流过的水看成圆柱，它的底面直径是2厘米、高是（8×5×60）厘米，由此根据圆柱的体积公式V=sh=πr2h计算即可．解：3.14×（2÷2）2×（8×5×60）， =3.14×1×2400， =7536（cm 3）， =7.536（升）；答：五分钟浪费7.536升的水． 故答案为：7.536．点评：把不规则的形状物体，转化成规则的形状来求解体积．例2：有一种饮料的瓶身如图所示，容积是3升．现在它里面装了一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空于部分的高度为5厘米．那么瓶内现有饮料2.4升．分析：正放时饮料高度为20厘米，倒放时，空余部分的高度为5厘米，如果把饮料瓶内饮料的体积看作圆柱体，正放和倒放瓶内饮料的体积不变，用高之比等于体积之比，即可求出饮料有多少升．解：饮料和空气的体积比是： 20：5=4：1 饮料有： 3×144+=3×0.8=2.4（升） 答：瓶内现有饮料2.4升． 故答案为：2.4．点评：此题主要考查应用圆柱体的体积（容积）的计算方法，解决有关的实际问题．四．扇形的面积 【知识点归纳】R 是扇形半径，n 是弧所对圆心角度数，π是圆周率扇形面积可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度nS=3602r n π．【命题方向】五．长度、周长的估算【知识点归纳】1．周长是围成这个图形的所有边长的总和．2．长度和周长的估算需要有数量级大小的概念和一定的常识．【命题方向】例：估一估下面两个图形的周长与面积．（横竖相临两点间的距离是1cm）①平行四边形的周长约是18cm，面积约是16cm2；②梯形的周长约是19cm，面积约是20cm2．分析：①平行四边形的相邻的两条边的长度约为4厘米、5厘米，高为4厘米；再根据周长和面积公式计算即可．②梯形的上底为2厘米、下底为6厘米、两腰约为5厘米、6厘米，高为5厘米，再根据周长和面积公式计算即可．解：①周长约为：（4+5）×2=18（厘米），面积约为：4×4=16（平方厘米）；②周长约为：2+6+5+6=19（厘米），面积约为：（2+6）×5÷2=20（平方厘米）．故答案为：①18，16；②19，20．点评：此题主要考查先估算边的长度，再根据周长和面积公式计算．六．面积及面积的大小比较【知识点归纳】1．将不同的单位化作同一单位，一般是化作标准单位．2．比较数值的大小．【命题方向】例：如图，阴影部分面积相等答案完全正确的是（）A、①②B、①②④C、①②③D、①②③④分析：在平行四边形①②中和长方形③中，阴影部分面积都是平行四边形或者长方形面积的一半，梯形的上底加下底也是4厘米，也等于平行四边形面积的一半，由此即可判断它们面积的大小．解：前三图中，阴影部分均为平行四边形（长方形）面积的一半，而三个平行四边形（长方形）的面积相等；梯形的上底加下底也是4厘米，也等于平行四边形面积的一半；由此可得：阴影部分的面积都相等．故选：D．点评：此题主要考查等底等高的三角形面积相等及平行四边形的特点．据图即可以作出判断．七．弧长【知识点归纳】在圆上过两点的一段弧的长度叫做弧长．在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR，所以n°圆心角所对的弧长为l=nπR÷180．【命题方向】一．选择题（共6小题）1．在一个周长是36πcm的圆中，弧长为9πcm的弧所对的圆心角是（）A．60°B．90°C．120°D．150°2．我估计黑板的周长是（）A．2千米B．10米C．80毫米D．4米3．圆心角是90°的扇形面积是它所在圆面积的（）A．B．C．4．甲容器可盛水8升．乙容器可盛水8100毫升．甲容器的容量比乙容器的容量（）A．大B．小C．无法比较5．O点是平行四边形的中心点．经过O点画一条线段，分别把两个面积相等的平行四边形分成了两部分．比较两幅图中阴影部分的面积，（）A．甲＞乙B．甲＝乙C．无法比较它们的大小6．一个物体是由圆柱和圆锥黏合而成的（如图），如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加了50.24cm2，原来这个物体的体积是（）A．200.96cm3B．226.08cm3C．301.44cm3D．401.92cm3二．填空题（共8小题）7．一个半球的全面积为9π，则球的半径为．8．1分硬币、1角硬币、5角硬币的厚度大约是毫米．电话卡、银行卡的厚度大约是毫米．9．一扇形的半径为2m，弧长为2π，则扇形的圆心角为．10．自来水管的内直径是2厘米，水管内水的流速是每秒8厘米．一位同学去洗手，走时忘记关掉水龙头，5分钟浪费升水．11．把一根18分米长的铁丝平均截成3段，一段围成正方形，一段围成长方形，另一段围成一个圆．其中，面积最大，面积最小．12．有一种饮料的瓶身如图所示，容积是3升．现在它里面装了一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空于部分的高度为5厘米．那么瓶内现有饮料升．13．圆的弧长所对的圆心角是度，如果该弧长6.28厘米，该扇形的面积是平方厘米．（π按3.14计算）14．有一个深4分米的长方体容器，其内侧底面为边长3分米的正方形．当容器底面的一边紧贴桌面倾斜如图时，容器内的水刚好不溢出．容器内的水有升．三．判断题（共5小题）15．如图，在梯形中，阴影部分甲和乙的面积相等．（判断对错）16．一个图形的周长就是围成这个图形的边线的长度．．（判断对错）17．两个扇形，圆心角大的扇形面积不一定大．（判断对错）18．一台冰箱的容积是196升，它的体积就是196dm3．．（判断对错）19．从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径．．（判断对错）四．计算题（共2小题）20．如图，求阴影部分的面积．21．计算如图图形的体积．五．操作题（共3小题）22．如图哪两个图形的面积相等？请你涂上相同的颜色．23．请画出两个半径为1厘米的圆，在两个圆内分别画出圆心角为90°和120°的两个扇形，并涂色．24．用一张边长20厘米的正方形纸，裁剪粘贴成一个无盖的长方体纸盒（不考虑损耗及接缝），要使它的容积大于550cm3．请你画出剪裁草图、标明主要数据，并回答下面问题：（1）你设计的纸盒长是厘米，宽是厘米，高是厘米．（2）在下面计算出纸盒的容积是多少立方厘米？六．应用题（共4小题）25．由于生产的需要，打算将一个半径为5cm的钢球重新铸造成一批半径为1cm的小钢球，求这些小钢球的个数．26．把一个半径6厘米的圆分成两部分，其中涂色部分是一个圆心角为120°的扇形．你能算出涂色部分的面积吗？27．如图所示，左图是一个密闭的玻璃容器，里面装有5厘米深的水．（1）根据图上标注的信息计算该容器内水的体积：（2）若把该容器顺时针旋转90°，成为右图所示情形，求这时容器内水的深度．（单位：厘米．玻璃厚度不计．）28．把一张圆纸片三次对折，并量得曲线的长（如图）．那么，圆纸片的直径是多少厘米？参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．【分析】在同一个圆里，弧长和圆心角成正比例，所以，设弧长为9πcm的弧所对的圆心角是x度，则有：36π：360＝9π：x，解比例即可．【解答】解：设弧长为9πcm的弧所对的圆心角是x度，则有：36π：360＝9π：x36πx＝360×9πx＝360×9π÷36πx＝90答：弧长为9πcm的弧所对的圆心角是90度．故选：B．【点评】本题主要考查弧长问题，关键根据同圆或等圆中弧长和圆心角成正比例的关系做题．2．【分析】根据生活经验、对长度单位和数据大小的认识，可知：黑板的周长大约是10米；据此选择即可．【解答】解：由分析可知：估计黑板的周长大约是10米；故选：B．【点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择．3．【分析】根据题意一个扇形和它所在的圆的半径相等，所以圆心角的度数是周角度数的几分之几，那么扇形的面积就是所在圆面积的几分之几；用扇形的圆心角90°除以周角360，即可求出圆心角的度数是周角度数的几分之几，即扇形的面积就是所在圆面积的几分之几．【解答】解：90°÷360°＝所以圆心角是90°的扇形面积是它所在圆面积的．故选：A．【点评】此题重点考查了扇形面积和它所在的圆的面积之间的关系．4．【分析】低级单位毫升化高级单位升除以进率1000，8100毫升＝8.1升，8升＜8.1升．【解答】解：8100毫升＝8.1升8升＜8.1升即甲容器的容量比乙容器的容量小．故选：B．【点评】不同单位的名数的大小比较通常是先化成相同的单位名数，再根据整数或小数或分数的大小比较方法进行比较．化成什么单位要灵活掌握．5．【分析】由于O点是平行四边形的中心点，经过O点画一条线段，分别把两个面积相等的平行四边形分成了两部分，第一幅图中甲占整个平行四形面积的一半，第二幅图中，乙占整个平行四边形面积的半．因此，比较两幅图中阴影部分的面积相等．【解答】解：因为O为平行四边形的中点所以第一幅图中甲占整个平行四形面积的一半，第二幅图中，乙占整个平行四边形面积的半因此，比较两幅图中阴影部分的面积相等即甲＝乙．故选：B．【点评】关键明白，两个图形中阴影部分都是平行四形面积的一半．6．【分析】根据题意可知：如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加了50.24平方厘米，表面积增加的两个底面的面积，由此可以求出底面积，再根据圆柱的体积公式：V＝sh，圆锥的体积公式：V＝sh，把数据分别代入公式求出它们的体积和即可．【解答】解：50.24÷2＝25.12（平方厘米）25.12×625.12×（12﹣6）＝150.72+25.12×6＝150.72+50.24＝200.96（立方厘米）答：原来这个物体的体积是200.96立方厘米．故选：A．【点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．二．填空题（共8小题）7．【分析】设球的半径为r，则球的面积为4πr2，半球的面积为2πr2再加截面的面积，据此解答即可．【解答】解：设球的半径为r，πr2+2πr2＝9π3πr2＝9πr2＝3r＝，答：球的半径为．故答案为：．【点评】本题考查半球的表面积的求法，半球的全面积＝半球的侧面积+底面面积．8．【分析】根据生活经验、对长度单位和数据大小的认识，可知1分硬币、1角硬币、5角硬币的厚度大约是2毫米，电话卡、银行卡的厚度大约是1毫米，据此解答．【解答】解：据分析可知：1分硬币、1角硬币、5角硬币的厚度大约是2毫米．电话卡、银行卡的厚度大约是1毫米．故答案为：2、1．【点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择．9．【分析】根据题意，利用弧长公式L＝nπR÷180进行计算即可．【解答】解：扇形的圆心角为2π×180÷π÷2＝180（度）故答案为：180°．【点评】本题主要考查弧长公式的应用．10．【分析】把流过的水看成圆柱，它的底面直径是2厘米、高是（8×5×60）厘米，由此根据圆柱的体积公式V＝sh＝πr2h计算即可．【解答】解：3.14×（2÷2）2×（8×5×60），＝3.14×1×2400，＝7536（cm3），＝7.536（升）；答：五分钟浪费7.536升的水．故答案为：7.536．【点评】把不规则的形状物体，转化成规则的形状来求解体积．11．【分析】18÷3＝6（分米），即周长为6分米的正方形、长方形、圆的面积哪个最大，哪个最小．根据正方形的周长计算公式“C＝4a”，正方形的边长为6÷4＝1.5（分米），根据正方形面积计算公式“S ＝a2”即可求出正方形的面积．周长一定时，所画长方形的长、宽不一定，其中长、宽之差越小，面积越大．根据长方形周长计算公式“C＝2（a+b）”，正方形的长、宽之和为6÷2＝3（分米），可画一个长为2分米，宽为1分米的长方形，根据长方形面积计算公式“S＝ab”即可求出长方形的面积．根据圆周长计算公式“C＝2πr”、圆周长计算公式“C＝2πr”可求出圆的面积．然后通过比较即可确定哪个图形的面积最大，哪个图形的面积最小．【解答】解：18÷3＝6（分米）正方形：6÷4＝1.5（分米）1.5×1.5＝2.25（平方分米）长方形：6÷2＝3（分米），画长2分米，宽1分米的长方形2×1＝2（平方分米）圆：6÷3.14÷2＝（分米）3.14×（）2＝3.14×≈2.87（平方分米）2.87＞2.25＞2答：圆面积最大，长方形面积最小．故答案为：圆，长方形．【点评】在周长相同时，所有的平面图形中，圆的面积最大；在四边形中，正方形面积最大；周长一定时，长方形的长、宽不确定，但长、宽之差越小，面积越大．记住这个结论能快速解答此类题．12．【分析】正放时饮料高度为20厘米，倒放时，空余部分的高度为5厘米，如果把饮料瓶内饮料的体积看作圆柱体，正放和倒放瓶内饮料的体积不变，用高之比等于体积之比，即可求出饮料有多少升．【解答】解：饮料和空气的体积比是：20：5＝4：1饮料有：3×＝3×0.8＝2.4（升）答：瓶内现有饮料2.4升．故答案为：2.4．【点评】此题主要考查应用圆柱体的体积（容积）的计算方法，解决有关的实际问题．13．【分析】周角是360度，圆的弧长所对的圆心角是周角的，根据一个数乘分数的意义，用乘法求出该圆心角度数；如果该弧长6.28厘米，由此可知：6.28厘米是该圆周长的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法求出该圆的周长，根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷2π，由此可以求出半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式求出该圆面积的就是这个扇形的面积．【解答】解：360°×＝90°；6.28÷＝6.28×4＝25.12（厘米）；3.14×（25.12÷3.14÷2）2×＝3.14×42×＝3.14×16×＝12.56（平方厘米）；答：圆的弧长所对的圆心角是90度，该扇形的面积是12.56平方厘米．故答案为：90、12.56．【点评】此题考查的目的是理解掌握圆的周长公式、面积公式、扇形面积公式及应用，关键是熟记公式．14．【分析】先根据长方体的体积公式求出容器的容积；无水的部分看作是底面是直角三角形的棱柱，再根据棱柱的体积公式求出无水的部分的体积；相减即可求得容器内的水的体积．【解答】解：容器的容积：4×3×3＝36（立方分米）；无水的部分看作是底面是直角三角形的棱柱，底面积是3×3÷2＝4.5（平方分米），高是3分米．所以体积是4.5×3＝13.5（立方分米）；所以容器内有水：36﹣13.5＝22.5立方分米＝22.5升．答：容器内的水有22.5升．故答案为：22.5．【点评】考查了组合图形的体积，本题容器内的水的体积＝容器的容积﹣无水的部分体积，难点是把无水的部分看作是底面是直角三角形的棱柱．三．判断题（共5小题）15．【分析】如图所示，甲和丙组成的三角形与乙和丙组成的三角形等底等高，则其面积相等，同样的道理，都减去公共部分丙的面积，面积仍然相等，即甲乙的面积相等．【解答】解：因为甲和丙组成的三角形与乙和丙组成的三角形等底等高，则其面积相等，同样的道理，都减去公共部分丙的面积，面积仍然相等，即甲乙的面积相等；题干的说法是正确的．故答案为：√．【点评】解答此题的主要依据是：等底等高的三角形的面积相等．16．【分析】周长的意义是：物体表面或平面图形一周边线的长就是它们的周长．【解答】解：根据周长的含义可知：一个图形的周长就是围成这个图形的边线的长度．故答案为：√．【点评】本题主要考查了学生对周长意义的理解．17．【分析】根据扇形面积公式：S＝πr2×，在同圆或等圆中扇形的圆心角大的扇形面积就大．计算扇形面积需要知道半径的大小和圆心角，只知道圆心角而不知道半径，则无法计算扇形的面积，也无法比较大小．据此判断．【解答】解：计算扇形面积需要知道圆心角和半径，不知道半径的大小，就无法计算面积，也就更不能比较面积大小了；所以原题说法错误．故答案为：×．【点评】此题主要考查扇形面积的计算方法，注意扇形的面积的大小是由圆心角的度数和半径的大小决定的．18．【分析】根据体积与容积的意义以及区别直接判断即可．【解答】解：电冰箱的容积是电冰箱所能容纳物体的体积，电冰箱的体积是电冰箱所占空间的大小，电冰箱的体积要大于它的容积；故答案为：×．【点评】此题考查体积与容积的意义及区别．19．【分析】根据球半径的定义：在球中，连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径，即可判断．【解答】解：球的半径就是从球心到球面上任意一点的线段．故答案为：√．【点评】此题考查了学生对“球的半径”这一定义的掌握与理解．四．计算题（共2小题）20．【分析】根据扇形面积公式S＝代入数据解答即可．【解答】解：×3.14×22＝1.5×3.14＝4.71（平方厘米）答：阴影部分的面积是4.71平方厘米．【点评】本题考查了扇形面积公式S＝的灵活应用．21．【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据分别代入公式求出它们的体积和即可．【解答】解： 3.14×（8÷2）2×6+3.14×（8÷2）2×15＝ 3.14×16×6+3.14×16×15＝100.48+753.6＝854.08（立方厘米），答：它的体积是854.08立方厘米．【点评】此题主要考查圆锥、圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．五．操作题（共3小题）22．【分析】分别数出各图形所占格的多少，然后进行比较，即可得出结论．【解答】解：如图所示：【点评】数出两个图形中小方格的个数，是解答此题的关键．23．【分析】根据“圆心定位置，半径定大小”，在平面上确定一点为圆心，以半径为1厘米即可画出此圆．先在圆内画一条半径，再以这条半径为一边，以圆心为顶点画一个90°的角，角的另一边为圆的另一条半径，这两条半径与所夹的弧就是圆心角为90的扇形，并涂色．用同样的方法即可再画一个圆及圆心角为120°的扇形并涂色．【解答】解：【点评】此题是考查圆的意义及画法，扇形的意义及画法．24．【分析】根据题意，在原正方形的四个角上剪掉4个小正方形，小正方形的边长即是长方体的高，长宽都是20减小正方形边长的2倍，然后根据V＝abh计算出体积．【解答】解：如果剪掉边长1厘米的小正方形，V＝（20﹣1×2）×（20﹣1×2）×1＝324（cm3），剪掉边长2厘米的小正方形，V＝（20﹣2×2）×（20﹣2×2）×2＝512（cm3），剪掉边长3厘米的小正方形，V＝（20﹣3×2）×（20﹣3×2）×3＝588（cm3），剪掉边长4厘米的小正方形，V＝（20﹣4×2）×（20﹣4×2）×4＝576（cm3），剪掉边长5厘米的小正方形，V＝（20﹣5×2）×（20﹣5×2）×5＝500（cm3），所以剪掉的正方形的边长取整厘米时，为3或4厘米，粘贴的长方形的容积超过550cm3．答：纸盒的容积是588或576cm3．【点评】本题考查了正方形粘贴成长方形需要4个角剪掉4个一样的小正方形，以及用V＝abh的计算．六．应用题（共4小题）25．【分析】根据球的体积运算公式V＝πr3，计算出半径为5cm、1cm的钢球的体积，因为钢球的总体积不变，用除法计算即可．【解答】解：×3.14×53÷（×3.14×13）＝×3.14×53÷÷3.14÷13＝125（个），答：这些小钢球的个数为125个．【点评】本题考查了球的体积运算，要熟练掌握球的体积运算公式V＝πr3．26．【分析】因为一周是360°，所以圆心角是120°的扇形的面积等于该圆的面积的120÷360＝．利用圆的面积公式：S＝πr2，计算即可．【解答】解：120÷360×3.14×62＝＝37.68（平方厘米）答：涂色部分的面积是37.68平方厘米．【点评】本题主要考查扇形面积，关键利用圆的面积公式计算．27．【分析】（1）根据图示可知，该容器中水的体积为：一个长12厘米、宽6厘米高4厘米的长方体体积，加上长（12﹣4﹣4）＝4（厘米）、宽6厘米、高（5﹣4）＝1（厘米）的长方体的体积，利用长方体体积公式计算即可；（2）根据图示，该图形旋转后，水的体积不变，所以，水旋转后的高度为：（312﹣4×6×4）÷（4+6）÷6+4＝7.6（厘米）．【解答】解：（1）12×6×4+（12﹣4﹣4）×6×（5﹣4）＝288+24＝312（立方厘米）答：这个容器中水的体积为312立方厘米．（2）（312﹣4×6×4）÷（4+6）÷6+4＝（312﹣96）÷10÷6+4＝216÷10÷6+4＝3.6+4＝7.6（厘米）答：旋转后水的高度为7.6厘米．【点评】本题主要考查组合图形的体积，关键把组合图形转化为规则图形，利用规则图形的体积公式进行计算．28．【分析】把这张圆纸片对折1次，形成的扇形（半圆）的弧长是所在圆周长的，对折2次，形成的扇形的弧长是所在圆周长的，对折3次，形成的扇形的弧长是所在圆周长的．把扇形所在圆的周长看作单位“1”，根据分数除法的意义，用此时的弧长除以就是扇形所在圆的周长．根据圆周长计算公式“C＝πd”即可求出这个圆纸片的直径．【解答】解：1.57÷÷3.14＝12.56÷3.14＝4（厘米）答：圆纸片的直径是4厘米．【点评】解答此题的关键有两点：一是明白把这张圆纸片对折3次所形成的扇形弧长是扇形所在圆周长的几分之几；二是圆周长计算公式的灵活运用．。
高考数学立体几何专题：等体积法
高考数学立体几何专题：等体积法一、引言在高考数学中，立体几何是一门重要的学科，它考察了学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
其中，等体积法是一种常用的方法，它在解决立体几何问题中具有重要的作用。
本文将详细介绍等体积法的基本原理和应用，并通过实例来展示其用法。
二等体积法的基本原理等体积法的基本原理是：对于同一个体积，可以将其分解为不同的几何形状，并且这些几何形状的体积相等。
在立体几何中，常见的几何形状有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。
这些形状的体积可以通过其高度、底面积和高度的乘积等参数来计算。
三等体积法的应用等体积法在解决立体几何问题中具有广泛的应用。
下面我们将通过几个例子来展示其用法：1、求几何体的表面积和体积例1：已知一个长方体的长、宽和高分别为a、b和c，求该长方体的表面积和体积。
解：该长方体的表面积为2(ab+bc+ac)，体积为abc。
2、判断两个几何体是否体积相等例2：给定两个几何体，判断它们是否体积相等。
解：根据等体积法，我们可以分别计算两个几何体的体积，如果两个体积相等，则两个几何体体积相等；否则，两个几何体体积不相等。
3、求几何体的重心位置例3：已知一个长方体的长、宽和高分别为a、b和c，求该长方体的重心位置。
解：根据等体积法，我们可以将该长方体分成两个小的长方体，它们的重心位置与原长方体的重心位置相同。
因此，我们只需要找到这两个小长方体的重心位置即可。
四、结论等体积法是一种常用的方法，在解决立体几何问题中具有重要的作用。
它可以帮助我们计算几何体的表面积和体积，判断两个几何体是否体积相等，以及求几何体的重心位置等。
在实际应用中，我们需要灵活运用等体积法来解决各种不同的问题。
在数学的世界里，立体几何是一门研究空间几何形状、大小、位置关系的科学。
它不仅在数学领域中占据着重要的地位，同时也是高考数学中的重要考点之一。
本文将针对高考数学立体几何专题进行深入探讨，帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。
专题20：《立体几何的体积和容积(二)》小升初数学专题讲练解析版)通用版
2019-2020学年通用版数学小升初总复习专题汇编讲练专题20 立体几何的体积和容积（二）（一）长方体1、特征六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。
相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。
有8个顶点。
相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。
两个面相交的边叫做棱。
三条棱相交的点叫做顶点。
把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。
长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
2、计算公式：s=2(ab+ah+bh) V=sh V=abh（二）正方体1、特征六个面都是正方形六个面的面积相等12条棱，棱长都相等有8个顶点正方体可以看作特殊的长方体2、计算公式：S表=6a² v=a³（三）圆柱1、圆柱的认识圆柱的上下两个面叫做底面。
圆柱有一个曲面叫做侧面。
圆柱两个底面之间的距离叫做高。
进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些，因此，要保留数的时候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位进1。
这种取近似值的方法叫做进一法。
2、计算公式：s侧=ch s表=s侧+s底×2 v=sh/3（四）圆锥1、圆锥的认识圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。
从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。
把圆锥的侧面展开得到一个扇形。
2、计算公式：v= sh/3（五）球1、认识球的表面是一个曲面，这个曲面叫做球面。
球和圆类似，也有一个球心，用O 表示。
从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径，用r 表示，每条半径都相等。
通过球心并且两端都在球面上的线段，叫做球的直径，用d 表示,每条直径都相等,直径的长度等于半径的2倍，即d=2r 。
2、计算公式：d=2r四、周长和面积1、平面图形一周的长度叫做周长。
2、平面图形或物体表面的大小叫做面积。
3、常见图形的周长和面积计算公式一．圆锥的体积【例1】（2019•广东）从正方体里削出一个最大的圆锥，圆锥的体积是32cm π，正方体的体积是( 3)cm ． A ．12 B ．8 C ．6 D ．4 【解答】解：设正方体的棱长是acm ，则圆锥的底面直径和高都是acm ，则正方体的体积是：33()a a a a cm ⨯⨯= 圆的体积是3231(2)()312a a a cm ππ÷⨯= 圆锥的体积是正方体的12π 正方体的体积是36()212cm ππ÷=答：正方体的体积是36cm ．故选：C ．【变式1-1】（2019春•方城县期中）把一个底面直径6cm 、高9cm 的圆锥形木块，沿底面直径切成相同的两块后，表面积比原来增加了( )平方厘米．A ．18B ．27C ．54【解答】解：6922⨯÷⨯272=⨯54=（平方厘米）答：表面积比原来增加了54平方厘米．故选：C ．【变式1-2】（2019春•交城县期中）用一个高是36cm 的圆锥形容器盛满油，倒入和它等底等高的圆柱形容器中，油面的高度是 12 cm ．【解答】解：136123⨯=（厘米）答：油面的高度是12厘米．故答案为：12．【变式1-3】（2019•衡阳模拟）绕一个直角三角形（如图）的短直角边旋转一周，得到一个立体图形．（单位：厘米）（1）这个立体图形是什么？（2）这个立体图形的体积是多少？【解答】解：以直角三角形短直角边为轴旋转一周得到一个底面半径是5厘米，高是4厘米的圆锥．所以这个立体图形是圆锥．（2）21 3.14543⨯⨯⨯1 3.142543=⨯⨯⨯3143=（立方厘米），答：这个立体图形的体积是3143立方厘米．【变式1-4】（2019•安顺）一个圆锥形的沙石堆，底面积是188.4平方米，高15米．如果用这堆沙石铺路，公路宽10米．沙石厚2分米，能铺多少米长？【解答】解：2分米0.2=米1188.415(100.2)3⨯⨯÷⨯=÷9422=（米)471答：能铺471米长．二．组合图形的体积【例2】（2019•益阳模拟）一个物体是由圆柱和圆锥黏合而成的（如图），如果把圆柱和圆锥重新分开，表面积就增加了250.24cm，原来这个物体的体积是()A．3401.92cm301.44cm D．3226.08cm C．3200.96cm B．3÷=（平方厘米）【解答】解：50.24225.121⨯+⨯⨯-25.12625.12(126)31=+⨯⨯150.7225.1263=+150.7250.24=（立方厘米）200.96答：原来这个物体的体积是200.96立方厘米．故选：A．【变式2-1】用两根完全相同的圆柱形木料分别制作成右图中的两个模型（图中涂色部分），甲与乙的体积相比()A ．甲大B ．乙大C ．相等 【解答】解：底面积相同时，两个高为12a 的圆锥的体积之和，等于一个高为a 的圆锥的体积；已知原来两个圆柱的体积相等，而空白处的图形的体积也相等，所以涂色部分的体积也相等，故选：C ．【变式2-2】（2014春•泸西县校级期末）如图是一个直角梯形，如果以AB 边为轴旋转一周，会得到一个立体图形．这个立体图形是由 圆柱 和 组成（填图形名称）．它的底面积是 平方厘米，体积是 立方厘米．【解答】解：这个立体图形由1个圆柱和1个圆锥组成，其底面积为：23.14212.56⨯=（平方厘米）；其体积为：2213.1422 3.142(52)3⨯⨯+⨯⨯⨯-，12.56212.56=⨯+，25.1212.56=+，37.68=（立方厘米）；答：这个立体图形的底面积是12.56平方厘米，体积是37.68立方厘米．故答案为：圆柱、圆锥、12.56、37.68．【变式2-3】（2016春•平阳县校级期中）一个粮囤，上面是圆锥，下面是圆柱形（如图）．如果每立方米的粮食重600千克，这个粮囤可囤粮食多少千克？【解答】解：这个粮囤的底面积是：23.14(42)⨯÷3.144=⨯12.56=（平方米）这个粮囤的体积是：112.56212.56 1.53⨯+⨯⨯25.12 6.28=+31.4=（立方米）这囤小麦的重量是：60031.418840⨯=（千克）．答：这个粮囤可囤粮食18840千克．【变式2-4】（2019•萧山区模拟）图形计算求立体图形的体积单位（分米）【解答】解：223.14[(202)(102)]15⨯÷-÷⨯3.14[10025]15=⨯-⨯3.147515=⨯⨯3532.5=（立方分米），答：这个立体图形的体积是3532.5立方分米．三．立体图形的容积【例3】（2019春•江城区期末）一个水池能蓄水3430m ，3430m 是这个水池的( )A ．表面积B ．重量C ．体积D ．容积 【解答】解：一个水池能蓄水3430m ，3430m 是这个水池的容积．故选：D ．【变式3-1】（2015•遂溪县校级模拟）一个汽油桶可装汽油360dm ，它的( )是360dm ．A ．容积B ．体积C ．表面积【解答】解：一个汽油桶可装60升汽油，是指它的容积是60升；故选：A ．【变式3-2】（2010•广州自主招生）有一种饮料的瓶身如图所示，容积是3升．现在它里面装了一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空于部分的高度为5厘米．那么瓶内现有饮料 2.4 升．【解答】解：饮料和空气的体积比是：20:54:1=饮料有：4330.8 2.441⨯=⨯=+（升)答：瓶内现有饮料2.4升．故答案为：2.4．【变式3-3】（2013•福田区校级模拟）去超市买酸奶，发现一种酸奶采用长方体塑封纸盒包装，从外面量这种纸盒长6.4厘米，宽4厘米，高8.5厘米．这种酸奶盒上标注酸奶的净含量为220毫升，标注是否真实？【解答】解：6.448.5217.6⨯⨯=（立方厘米）217=（毫升）；答：盒子的体积是217毫升，而净含量为220毫升，不真实．【变式3-4】一个谷囤的形状如图，下面是圆柱形，底面周长是18.84米，高是2米；上面是圆锥形，高是1.5米．这个谷囤最多能装稻谷多少立方米？【解答】解：221 3.14(18.84 3.142) 1.5 3.14(18.84 3.142)23⨯⨯÷÷⨯+⨯÷÷⨯13.149 1.5 3.14923=⨯⨯⨯+⨯⨯14.1356.52=+70.65=（立方米）；答：这个谷囤最多能装稻谷70.65立方米．真题强化演练一．选择题1．（2019•萧山区模拟）将直角三角形ABC 以BC 为轴旋转一周，得到的圆锥体积是V ，那么(V = )A ．16πB ．12πC ．25πD ．48π【解答】解：21433π⨯⨯⨯16π=⨯16π=答：体积是16π．故选：A ．2．（2018春•平阴县期中）把一团圆柱体橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，高将( )A ．扩大3倍B ．缩小3倍C ．扩大6倍【解答】解：根据等底等高的圆锥形的体积是圆柱形体积的13，又因为，在捏橡皮泥的过程中，它的总体积不变，所以，把一团圆柱体橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，高将扩大3倍；故选：A ．3．（2015春•平阳县校级期中）一个体积是325.12cm 的圆锥，半径是2cm ，它的高是( )cm ．A ．2B ．8C ．6 【解答】解：2125.12(3.142)3÷÷⨯ 25.123(3.144)=⨯÷⨯75.3612.56=÷6=（厘米），答：它的高是6厘米．故选：C ．4．（2014春•鹿城区校级月考）一个圆锥和一个圆柱的高相等，圆锥底面半径是1厘米，圆柱底面半径是2厘米，圆锥体积是圆柱体积的( )A ．13B ．16C ．112D ．14【解答】解：设圆锥和圆柱的高为h 厘米，圆锥的体积：211133h h ππ⨯=（立方厘米），圆柱的体积：224h h ππ⨯=（立方厘米），114312h h ππ÷=，答：圆锥的体积是圆柱体积的112．故选：C ．二．填空题5．（2019•杭州模拟）如图是一个直角三角形，以6cm 的直角边所在直线为轴旋转一周，所得到的图形是 圆锥 ，它的体积是 3cm ．【解答】解：以直角三角形的直角边(6厘米）为轴旋转一周得到一个底面半径是2厘米，高是6厘米的圆锥．21 3.14263⨯⨯⨯3.148=⨯25.12=（立方厘米）答：得到的立体图形是圆锥，它的体积是25.12立方厘米．故答案为：圆锥、25.12．6．（2019•杭州模拟）计算下面圆锥的体积是 50 3cm【解答】解：11510503⨯⨯=（立方厘米），答：这个圆锥的体积是50立方厘米．故答案为：50．7．（2019•衡水模拟）一个圆锥形零件的底面半径是4厘米，高是9厘米，它的体积是 150.72 立方厘米．【解答】解：21 3.14493⨯⨯⨯1 3.141693=⨯⨯⨯150.72=（立方厘米）答：它的体积是150.72立方厘米．故答案为：150.72．8．（2019•萧山区模拟）下面，以直角三角形的斜边为轴旋转一圈，求所形成图形的体积．（得数保留整数）【解答】解：如图斜边的高为：345 2.4⨯÷=（厘米），21 3.14 2.453⨯⨯⨯1 3.14 5.7653=⨯⨯⨯30.144=（立方厘米）；答：所形成图形的体积是30.144立方厘米．9．（2013•永康市）一个圆柱形水桶，里面盛48升的水，正好盛满，如果把一块与水桶等底等高的圆锥形，放入水中，桶内还有 32 升水．【解答】解：4832÷⨯，162=⨯，32=；故答案为：32．10．（2017•杭州）一个正方体木料削成最大的圆锥，圆锥的体积占正方体的12π ．【解答】解：假设正方体的棱长为a 厘米，正方体的体积是：3a a a a ⨯⨯=（立方厘米）， 削出最大圆锥的体积是：23211(2)33412a a a a a πππ⨯÷⨯=⨯⨯=（立方厘米）， 所以圆锥的体积占正方体体积的：331212a πππ÷=； 故答案为：12π．三．判断题11．（2014•桐乡市校级模拟）在一个圆柱中挖去一个最大的圆锥，剩下部分的体积是圆柱的23． √ ．（判断对错）【解答】解：根据题干分析可得：这个圆柱的体积与挖出的圆锥是等底等高，所以圆柱的体积是圆锥的体积的3倍， 则剩下部分的体积是圆柱的体积的2(31)33-÷=． 故答案为：√．12．（2019•亳州模拟）把一个圆柱削成一个圆锥，这个圆锥的体积是圆柱体积的13． ⨯ ．（判断对错） 【解答】解：把一个圆柱削成一个与它等底等高的圆锥，这个圆锥的体积是圆柱体积的13，如果没有确定削成的圆锥是否与圆柱等底等高，那么把一个圆柱削成一个圆锥，这个圆锥的体积是圆柱体积的13，这种说法是错误的．故答案为：⨯．13．（2016•温州）把一个圆柱削成最大的圆锥体，削去部分的体积与圆锥的体积的比是2:1． √ （判断对错）【解答】解：圆柱体削成一个最大的圆锥体，则：3V V =圆柱圆锥():V V V -圆柱圆锥圆锥2:V V =圆锥圆锥2:1= 答：削去部分的体积与圆锥的体积的比是2:1．故题干的说法是正确的．故答案为：√．14．（2012•紫金县）把圆柱体削成一个最大的圆锥体，圆锥体体积是削去部分的12． 正确 ．（判断对错） 【解答】解：把圆柱体的体积看作“1”，与它等底等高的圆锥的体积是圆柱体的13，削求部分是圆柱体的23． 12133-=； 1213133322÷=⨯=； 答：圆锥体体积是削去部分的12．故答案为：正确．四．计算题15．（2019•萧山区模拟）求如图图形的体积．单位：厘米．【解答】解：2 501030 3.14(202)10⨯⨯-⨯÷⨯15000 3.1410010=-⨯⨯150003140=-11860=（立方厘米），答：它的体积是11860立方厘米．16．（2019•萧山区模拟）求如图空心圆柱的表面积．（单位：分米）【解答】解：22 3.1444 3.1424 3.14[(42)(22)]2⨯⨯+⨯⨯+⨯÷-÷⨯50.2425.12 3.14[41]2=++⨯-⨯50.2425.12 3.1432=++⨯⨯50.2425.1218.84=++94.2=（平方分米），答：这个空心圆柱的表面积是94.2平方分米．五．应用题17．（2019•宁波模拟）有一块正方体木料，它的棱长是4分米．把这块木料加工成一个最大的圆柱．削去部分的体积是多少？【解答】解：2 444 3.14(42)4⨯⨯-⨯÷⨯64 3.1444=-⨯⨯6450.24=-13.76=（立方分米），答：削去部分的体积是13.76立方分米．18．（2018•萧山区模拟）一个圆锥形沙堆，底面积是250m ，高是3m ．用这堆沙在10米宽的公路上铺2cm 厚的路面，能铺多少米？【解答】解：2厘米0.02=米， 1503(100.02)3⨯⨯÷⨯500.2=÷250=（米)，答：能铺250米．19．（2019•萧山区模拟）一个圆锥形的沙堆，底面直径是4米、高1.5米．用这堆沙子铺在宽10米，厚5厘米的路上，能铺多长？【解答】解：5厘米0.05=米21 3.14(42) 1.5(100.05)3⨯⨯÷⨯÷⨯1 3.144 1.50.53=⨯⨯⨯÷6.280.5=÷12.56=（米)答：能铺12.56米．六．解答题20．（2019•萧山区模拟）一个直角三角形，两条直角边长分别为3厘米和4厘米，斜边长是5厘米．以斜边所在直线为轴旋转一周（如图），所得到的立体图形的体积是多少？【解答】解：直角三角形斜边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体是同一底面的两个圆锥，如上图所示， 设这个圆锥的底面半径是r ，则：52342r ÷=⨯÷，512r =，2.4r =，所以这个立体图形的体积是：21 3.14 2.4()3AO CO ⨯⨯⨯+，1 3.14 5.7653=⨯⨯⨯；30.144=（立方厘米），答：旋转一周后的立体图形的体积是30.144立方厘米．21．（2016•龙湾区校级模拟）一个底面半径与高的比为1:3的圆锥体煤堆．高是6米，如果每0.75立方米的煤是1吨，这堆煤有多少吨？ 【解答】解：21 3.14(63)63⨯⨯÷⨯3.148=⨯25.12=（立方米）251225.120.7575÷=（吨) 答：这堆煤有251275吨．22．（2012•桐乡市校级模拟）一个圆锥形麦堆，高1.2米，占地面积16平方米，如果每立方米小麦重750千克，这堆小麦重多少千克？ 【解答】解：116 1.27503⨯⨯⨯，6.4750=⨯，4800=（千克）．答：这堆小麦重4800千克．23．（2017•朝阳区）小红和小军分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到两个立体图形．（1）你同意谁的说法，请将名字填在横线里． 小红．（2）甲、乙两个立体图形的体积比是多少？（写出你的思考过程）【解答】解：（1）我同意小红的说法，分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到两个立体图形的体积不相等．以梯形的上底为轴旋转得到是高为6厘米，底面半径是3厘米的圆柱内有一个空心圆锥；而以梯形的下底为轴旋转得到的是上面是圆锥、下面是圆柱．（2）甲的体积：2213.1436 3.143(63)3⨯⨯-⨯⨯⨯-13.1496 3.14933=⨯⨯-⨯⨯⨯169.5628.26=-141.3=（立方厘米）；乙的体积：221 3.143(63) 3.14333⨯⨯⨯-+⨯⨯1 3.1493 3.14933=⨯⨯⨯+⨯⨯28.2684.78=+113.04=（立方厘米）；141.3:113.04(141.3 3.14):(113.04 3.14)=÷÷(459):(369)=÷÷5:4=．答：甲、乙体积的比是5:4．故答案为：小红．24．（2012•苍南县）工地上有一些沙子，堆起来近似于一个圆锥．如果每立方米沙重1.5t，这堆沙重多少吨？（得数保留一位小数．)【解答】解：213.14(42) 1.6 1.5 3⨯⨯÷⨯⨯13.144 1.6 1.53=⨯⨯⨯⨯6.7 1.5≈⨯10.1≈（吨)，答：这堆沙重10.1吨．25．（2009•新昌县）一个装满稻谷的粮囤，上面是圆锥形，下面是圆柱形，量得圆柱地面的周长是6.28m，高是2m，圆锥的高是1.5m，这个粮囤能装稻谷多少立方米？如果每立方米稻谷重500千克，这个粮囤能装稻谷多少千克？【解答】解：（1）圆柱的底面积为：23.14(6.28 3.142)⨯÷÷23.141=⨯3.14=（平方米）；这个粮囤的体积：13.14 1.5 3.1423⨯⨯+⨯1.57 6.28=+7.85=（立方米）；答：这个粮囤能装稻谷7.85立方米．⨯=（千克）（2）7.855003925答：这个粮囤最多能装稻谷3925千克．。
小升初数学复习专题《不规则物体体积算法》练习及答案
小升初数学复习专题《不规则物体体积算法》练习一、单选题1．我会测量一块不规则矿石的体积，如下图所示。
这块石头体积为（）立方厘米。
A．1200B．8000C．68002．一个长方体容器，底面是正方形，盛水高1分米。
放入6个质量一样的鸡蛋后，水面升高2厘米。
要求一个鸡蛋的体积，只需要再知道（）。
A．6个鸡蛋的表面积B．长方体容器的表面积C．长方体容器的高D．长方体容器的底面周长3．依依测量一颗铁球的体积，过程如下：⑴将300mL的水倒入一个容量为500mL的杯子中，如图①；⑴将4颗相同的球放入水中，结果水没有满，如图②；⑴再加入一颗同样的球，结果水满溢出来，如图③。
根据以上过程，推测一个铁球的体积大约在（）。
A．30~40cm3B．40~50cm3C．50~60cm3D．正好40cm34．小强测量一个土豆的体积，在一个棱长1分米的正方体容器中装了一些水，水面距离杯口2厘米（如图）。
他把土豆浸没在水中，有部分水溢出，接着他又把土豆取出来，水面下降了3厘米，土豆的体积是（）立方厘米。
A．200B．500C．100D．3005．爸爸在一个长8dm，宽5dm，高4dm的长方体鱼缸中放入一个假山石（完全浸没），水面上升了3cm，这个假山石的体积是（）。
A．16cm3B．120dm3C．120cm3D．12dm36．把一粒花生米放入装满水的杯子里，溢出来的水的体积大约是（）.A．1毫升B．100毫升C．1升D．10升二、判断题7．长方体容器的长和宽都是4cm，原来水深3cm。
将一颗钢珠掷入这个容器中（完全浸没），水面上升了4cm。
这颗钢珠的体积是64cm3。
（）三、填空题8．一个圆柱形的水箱里装满了水。
这时放入一块高和宽都是1分米的长方体石块，完全浸没，水溢出4升。
这块石块的体积是立方分米。
9．如图，甲、乙两个容器装有8厘米深的水。
小林为了测一块石头的体积，把石头放入甲容器（全部淹没），水面正好上升了2厘米，他再把这块石头放入乙容器也全部淹没，水面会上升厘米.10．一个长方体水槽，从里面量，长60厘米，宽25厘米，高40厘米。
五年级下册数学体积
五年级下册数学体积
数学体积是五年级下册的重要内容之一。
在这个学期，学生将会学习有关三维图形的体积计算和相关概念。
什么是体积？
体积是用来描述三维图形所占空间大小的属性。
通常使用单位立方厘米（cm³）或立方米（m³）来表示。
如何计算体积？
不同的三维图形有不同的计算公式来求解体积。
以下是一些常见图形的体积计算公式：
立方体：体积=边长³
长方体：体积=长×宽×高
圆柱体：体积=π×半径²×高
锥体：体积=1/3×底面积×高
实际问题中的体积应用
学生们将会通过实际问题来应用体积的概念和计算方法。
例如，他们可以计算一个鱼缸的容量、一个纸盒的容积或者一个水桶可以装多少水等等。
总结
通过五年级下册的数学体积学习，学生将会掌握计算不同图形体积的方法，并能够应用到实际生活中。
体积的概念在日常生活中有着广泛的应用，对于培养学生的空间思维能力和解决实际问题的能力都非常重要。
1。
高考数学专题复习：立体几何体的表面积与体积
高考数学专题复习：立体几何体的表面积与体积一、单选题1．一个圆柱的轴截面是一个面积为36的正方形，则该圆柱的体积是（ ） A ．54π B ．36π C ．16π D ．8π2．在正三棱锥A BCD -中，BCD △的边长为6，侧棱长为积为（ ）A ．754πB ．75πCD 3．在菱形ABCD 中，6AB =，60A ∠=，连结BD ，沿BD 把ABD 折起，使得二面角A BD C --的大小为60，连结AC ，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．13π B ．24π C ．36π D ．52π 4．已知一个圆柱上，下底面的圆周都在同一个球面上，球的直径为4，圆柱底面直径为2，则圆柱的侧面积为（ ）A ．B ．C ．D ．5．一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个平面的距离为2cm ，则该球的体积为（ ）A ．3256cm 3πB ．364cm πC ．364 c m 3πD ．316cm 3π 6．若底面直径和高相等的圆柱的侧面积是π，则这个圆柱的体积是（ ） A ．π B ．4π C ．2π D ．34π7．已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面,4,60ABC SA BC BAC ==∠=︒，则三棱锥S ABC -外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．64πC ．80πD ．128π8．已知一平面截一球得到直径为，则该球的体积为（ ）3cmA ．12πB ．36πC ．D ．108π 9．已知圆柱1OO 及其展开图如图所示，则其体积为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π10．已知正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，则该正四棱锥的体积等于（ ）A ．43BC ．D ．411．已知A ，B 是球O 的球面上两点，23AOB π∠=，P 为该球面上动点，若三棱锥O PAB -体O 的表面积为（ ） A ．12π B ．16π C ．24π D ．36π12．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，则该棱台的体积是（ ） A ．563 B ．583 C ．20 D ．21二、填空题13．设体积为P ABC -外接球的球心为O ，其中O 在三棱锥P ABC -内部．若球O 的半径为R ，且球心O 到底面ABC 的距离为3R ，则球O 的半径R =__________． 14．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使ABD △为正三角形，则三棱锥A BCD -的体积为__________．15．已知正四棱台的上底边长为4，下底边长为8________. 16．如图边长为2的正方形ABCD 中，以B 为圆心的圆与AB ，BC 分别交于点E ，F ，若1tan 2CDF ∠=，则阴影部分绕直线BC 旋转一周形成的几何体的体积等于__________．三、解答题17．如图，已知圆锥的顶点为P ，O 是底面圆心，AB 是底面圆的直径，5PB =，3OB =．（1）求圆锥的表面积；（2）经过圆锥的高PO 的中点O '作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积．18．如下图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面三角形ABC 的边长为2cm ，侧棱14cm AA =，若侧面11AA B B 水平放置时（如下图2），水面恰好过AC ，BC ，11A C ，11B C 的中点．（1）求容器中水的体积；（2）当容器底面ABC 水平放置时（如图1），求容器内水面的高度．19．如果一个正四棱柱与一个圆柱的体积相等，那么我们称它们是一对“等积四棱圆柱”.将“等积四棱圆柱”的正四棱柱、圆柱的表面积与高分别记为1S 、2S 与1h 、2h .（1）若121h h ==，1=30S ，求2S 的值;（2）若12h h =，求证：12S S >.20．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 的中点；（1）求该三棱柱的体积与表面积；（2）求三棱锥11D AB C -的内切球半径．21．如图，正三棱锥（底面是正三角形，侧棱长都相等）P ABC -的底面边长为2，侧棱长为3．-的表面积；（1）求正三棱锥P ABC-的体积．（2）求正三棱锥P ABC22．如图所示是在圆锥内部挖去一正四棱柱所形成的几何体，该正四棱柱上底面的四顶点在r=.圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，已知圆锥侧面积为15π，底面半径为3（Ⅰ）若正四棱柱的底面边长为a（Ⅱ）求该几何体内正四棱柱侧面积的最大值.参考答案1．A【分析】设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的高为2r ，利用圆柱的轴截面面积求出r 的值，再利用柱体体积公式可求得该圆柱的体积.【详解】设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的高为2r ，该圆柱的轴截面面积为2436r =，解得3r =， 因此，该圆柱的体积为2223654V r r πππ=⨯=⨯⨯=.故选：A.2．B【分析】取CD 中点E ，连接BE ，在BE 上取点F ，使得23BF BE =，连接AF ，则点F 为三角形BCD的中心， 根据题意可得AF ⊥平面BCD ，求出BF =AF =半径为R ，则222)R R =+，解得R 【详解】解：取CD 中点E ，连接BE ，在BE 上取点F ，使得23BF BE =，连接AF ， 则点F 为三角形BCD 的中心，根据题意可得AF ⊥平面BCD ，则该三棱锥外接球的球心O 在AF 上，BF ==，AF = 设该三棱锥外接球的半径为R ，则222)R R =+， 解得R∴该三棱锥外接球的表面积为：224475S R πππ==⨯=．故选：B ．3．D【分析】取BD 的中点记为O ，分别取BCD △和ABD △的外心E 与F ，过这两点分别作平面BDC ､平面ABD 的垂线，交于点P ，则P 就是外接球的球心，先在POE △中，求解1PE =，再在PCE ，求PC 可得球半径，进而得解.【详解】如图，取BD 的中点记为O ，连接OC ，OA ，分别取BCD △和ABD △的外心E 与F ，过这两点分别作平面BDC ､平面ABD 的垂线，交于点P ，则P 就是外接球的球心，连接OP ，CP ，易知AOC ∠为二面角A BD C --的平面角为60，则AOC △是等边三角形，其边长为6=1133OE OC ==⨯在POE △中，30POE ∠=，∴tan 30=3PE OE =⋅⨯∵2=3CE OC =∴PC R ====则四面体ABCD 的外接球的表面积为2452ππ⨯=.故选：D.4．B【分析】由题意结合勾股定理可得12h = 【详解】设圆柱的高为h ，球的半径为R ，圆柱的底面半径为r ，根据题意，2,1R r ==，由勾股定理可得12h h =S 侧221rh ππ==⨯⨯=，故选：B5．A【分析】依题意求得球半径即可.【详解】依题意得球半径4R =，所以该球的体积33442564333V R πππ==⨯=（cm 3）. 故选：A.6．B【分析】设出圆柱底面圆半径r 并表示出其高，借助圆柱侧面积求出r 即可作答.【详解】设圆柱底面圆半径为r ，依题意得高2h r =，于是得圆柱侧面积224S r h r πππ=⋅==，解得12r =，1h =， 所以圆柱的体积为24V Sh r h ππ==⋅=.故选：B7．A【分析】根据三棱锥中线面位置关系求解外接球的半径，进而求出外接球的表面积.【详解】 ABC 中，23,60BC BAC =∠=︒，设 ABC 的外接圆半径为r ，根据正弦定理有， 23242sin sin 60BC r r BAC ===∴=∠︒如图，1O 点为 ABC 的外心，O 三棱锥外接球的球心SA ⊥平面ABC ， 1//OO SA ∴，且 OS OA =1122OO SA ∴== 1Rt AO O 中，11122,90AO r OO AO O ===∠=︒，， 22AO ∴= 即三棱锥外接球的半径为：22所以外接球的表面积为()24π·2232π=，选项A 正确，选项BCD 错误故选：A.8．B【分析】由球的截面性质求得球半径后可得体积．【详解】由题意截面圆半径为r =3R ==， 体积为334433633V R πππ==⨯=． 故选：B ．9．D【分析】结合展开图求出圆柱的底面半径与高，进而结合体积公式即可求出结果.【详解】设底面半径为r ，高为h ，根据展开图得422h r ππ=⎧⎨=⎩，则41h r =⎧⎨=⎩，所以圆柱的体积为22144r h πππ=⨯⨯=，故选：D.10．A【分析】首先计算正四棱锥的高，再计算体积.【详解】如图，正四棱锥S ABCD -，SB =OB =1SO =， 则该正四棱锥的体积1422133V =⨯⨯⨯=.故选：A【分析】当点P 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O PAB -的体积最大，利用三棱锥O PAB -体O 的表面积． 【详解】解：如图所示，当点P 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O PAB -的体积最大， 设球O 的半径为R ，此时21132O PAB P AOB V V R R --==⨯=， 解得2R =，则球O 的表面积为2416R ππ=，故选：B ．12．A【分析】先求出棱台的高，然后利用台体的体积公式求体积即可.【详解】由棱台的几何特征可得其高为：2h ， 则其体积为：(2215624233V =⨯+⨯=. 故选：A13．3【分析】根据等边三角形的性质，结合球的几何性质、棱锥的体积公式进行求解即可.取ABC 的中心G ．连接PG ，则PG ⊥平面ABC 且球心O 在PG 上．由条件知，3R OG =，连接OA ，AG ，则AG ==，设等边ABC 的边长为a ，所以等边ABC =，因此23AG ===，所以有R a 362=，于是ABC ．又OP R =， 故三棱锥P ABC -的高是：1433R R R +=，所以223148)333P ABC V R R R -=⋅⋅=⋅==3R =． 故答案为：314【分析】取AC 的中点O ，连接BO ，DO ，求出底面面积以及高，然后求解体积即可．【详解】取AC 的中点O ，连接BO ，DO ，由题意，AC ⊥BO ，AC ⊥DO ，BO DO == 因为ABD △为正三角形，AB ＝AD ＝DB ＝1，由已知可得AO ＝OB ＝OD ，∴OBD 是直角三角形，∴DO ⊥OB ，又,OD AC AC OB O ⊥⋂=，∴OD ⊥面ABC ，∴111332A BCD D ABC ABC V V S DO --==⋅=⨯=15．112【分析】 根据已知条件，分别计算出上、下底面面积以及棱台的高，代入棱台体积公式进行计算即可得解.【详解】因为正四棱台的上底边长为4，下底边长为8所以棱台的下底面积64S =，上底面积16S '=，高3h =，所以正四棱台的体积(()11641632311233V S S h '=⋅+⋅=⋅++⋅=. 故答案为：112.16．6π【分析】阴影部分绕直线BC 旋转一周形成的几何体是一个圆柱挖掉一个半球与圆锥，分别计算其体积，然后得到答案.【详解】在Rt DCF 中12,tan 212DC CF DC CDF ==∠=⨯=， 所以211BF BC CF =-=-=，正方形ABCD 绕直线BC 旋转一周形成圆柱，圆柱的底面半径2R AB ==，高12h BC ==，其体积2211228V R h πππ==⨯⨯=； 直角CDF 绕直线BC 旋转一周形成与圆柱同底的圆锥，圆锥的底面半径2R =，高21h CF ==，其体积222211421333V R h πππ==⨯⨯=；扇形BEF 是圆的14，绕直线BC 旋转一周形成一个半球，球的半径为1r BE ==， 故其体积33314142123233V r πππ=⨯=⨯⨯=； 所以阴影部分绕直线BC 旋转一周形成的几何体是一个圆柱挖掉上述的半球与圆锥， 故其体积123428633V V V V ππππ=--=--=． 故答案为：6π.17．（1）24π；（2）21π2． 【分析】（1）由题意可知，该圆锥的底面半径3r =，母线5l =，从而可求出锥的表面积，（2）先求出大圆锥的高，从而可求出小圆锥的高，进而可得圆台的体积等于大圆锥的体积减去小圆锥的体积【详解】解：（1）由题意可知，该圆锥的底面半径3r =，母线5l =．∴该圆锥的表面积22πππ3π3524πS r rl =+=⨯+⨯⨯=．（2）在Rt POB △中，4PO ==，∵O '是PO 的中点，∴2PO '=．∴小圆锥的高2h '=，小圆锥的底面半径1322r r '==， ∴截得的圆台的体积2211321π34π2π3322V V V ⎛⎫=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭小台大．18．（1）)3cm ；（2）3cm ． 【分析】（1）在图2中，根据四棱柱的体积公式计算可得；（2）设图1中水高度为cm h ，根据水的体积相等得到方程，解得即可；【详解】解：（1）在图2中，水所占部分为四棱柱．四棱柱底面积为)222112sin 601sin 6022S cm =⨯⨯︒-⨯⨯︒=，又高为4cm所以水的体积为)34V cm ==，（2）设图1中水高度为cm h ，则212sin 602V h =⨯⨯︒⨯=3h =． 所以当容器底面ABC 水平放置时，容器内水面的高度为3cm ．19．（1）18+；（2）证明见解析.【分析】设正四棱柱的底面边长为a ，圆柱的底面半径为r ，2212πa h r h =，21124S a ah =+，2222π2πS r rh =+.（1）由121h h ==，1=30S 可得答案；（2）由21h h =，得22πa r =，212124S S a ah -=+22(2π2π)r rh -+化简可得答案.【详解】设正四棱柱的底面边长为a ，圆柱的底面半径为r ，则2212πa h r h =，21124S a ah =+，2222π2πS r rh =+.（1）224130a a +⨯=，得22150a a +-=，又0a >，所以3a =，所以22π131r ⨯=⨯，得r =292π2π1πS =⨯+18=+（2）证明：21h h =，则22πa r =，212124S S a ah -=+22(2π2π)r rh -+212π4r ah =+212π2πr rh --14ah =12πrh -12π)h r =0>.得证.20．（1）1113-=ABC A B C V ，111ABC A B C S -=（2 【分析】（1）直接利用体积公式求解即可，直接求解表面积，（2）利用等体积法求法【详解】（1）111223ABC A B C V Sh -===，111222232ABC A B C S S S -=+=+=底侧（2）111111112132D AB C B AB C C ABB V V V ---===⨯= 1111113,6AB D AC D B C D AC B S S S S ====，则三棱锥11D AB C -的表面积为+设三棱锥11D AB C -的内切球半径为r ，则113r ⨯⨯=，则r =21．（1）；（2【分析】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，利用勾股定理求得PD ，可得三角形PBC 的面积，进一步可得正三棱锥P ABC -的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥P ABC -的表面积可求； （2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ⊥底面ABC ．求解PO ，再由棱锥体积公式求解．【详解】解：（1）取BC 的中点D ，连接PD ，在Rt PBD 中，可得PD = ∴1222PBC S BC PD == 正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，∴正三棱锥P ABC -的侧面积是33PBC S =⨯=正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴122sin 602ABC S =⨯⨯⨯︒=△则正三棱锥P ABC -的表面积为（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ⊥底面ABC ．且13OD AD ==在Rt POD 中，PO ==∴正三棱锥P ABC -的体积为1133ABC S PO ⋅==．22．（Ⅰ）16123π-；（Ⅱ）【分析】 （Ⅰ）分别计算圆锥和正四棱柱的体积，再计算该几何体的体积；（Ⅱ）首先利用比例关系求得1312h +=，再利用基本不等式求得1h a 的最大值，即可得到正四棱柱侧面积的最大值【详解】解：设圆锥母线长为l ，高为h ，正四棱柱的高为1h（Ⅰ）由S rl π=圆锥侧，有315l ππ=，故5l =，由222h r l +=，故4h =， 所以圆锥体积为2211341233V r h πππ==⨯⨯=圆锥由a =2， 由图可得11h r h r -=，所以11318433r h h r --==⨯=， 故正四棱柱的体积为21816233V a h ==⨯=正四棱柱 所以该几何体的体积为16123V V π-=-圆锥正四棱柱 （Ⅱ）由图可得12r h h r =，即13243h -=，即1312h +=由13h +≥136h ==时左式等号成立，有112h a ⇒≤12h =，a =故正四棱柱侧面积14S h a =≤侧，当且仅当12h =，a =所以该几何体内正四棱柱侧面积的最大值为。
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常用体积公式
h
s
V棱柱
ห้องสมุดไป่ตู้
=
s
底
· h
常用体积公式
h V棱锥= s 底 ·
1 3
求多面体的体积时常用的方法
1、直接法 2、割补法
根据条件直接用柱体或锥体的体积公式 如果一个多面体的体积直接用体积公式 计算用困难，可将其分割成易求体积的 几何体，逐块求积，然后求和。 如果一个三棱锥的体积直接用体积公式 计算用困难，可转换为等积的另一三棱 锥，而这一三棱锥的底面面积和高都是 容易求得
变形：PA与BC成 角呢？
（06山东卷）如图，平面A1B1C1平行于三棱锥F-ABC 的底面ABC，等边三角形 AB1C所在的平面与底面 ABC垂直，角ACB=90°，设AC=2a,BC=a. （1）求证：B1C1是异面直线AB1与A1C1的公垂线； （2）求点A到平面FBC的距离； （3）求二面角A-FB-C的大小.
3、换底法
正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是 BB1，DD1的中点，棱长为a,求四棱锥D1AEC1F的体积？
D1 A1 F B1 E D A B C C1
已知三棱锥有一条棱长为4，其余各棱 长为3，求其体积？ D
A
C
B
已知三棱锥有一条棱长为4，其余各棱 长为3，求其体积？ D E C
V棱锥D-ABC V棱锥D-BCE V棱锥A-BCE V棱锥D-ABC
= 1 3 S⊿BCE×AD
A
B
（05湖北）如图所示的多面体是由底面ABCD 的长方体被截面AEGF所截而得到的， 其中AB＝4，BC＝2，CG＝3，BE＝1， （ ）求FB的长（2）求这个多面体的体积 1 （3）求C到面AEGF的距离
问题:
在三棱锥P-ABC中，E为PA的中点， F为棱PB上一点，且有PB=3PF, G为棱 PC上一点，且有3PC＝4PG，若三棱锥 P－EFG的体积为1， 求多面体EFG－ABC的体积.
在三棱锥P－ABC中，PA BC， 且EF＝ｈ，求三棱锥P－ABC的体积。
PA＝BC＝ａ，PA、BC的公垂线段为EF，