第2章2.3.4同步练习

人教B版必修2同步练习♦•同步测控1. 两圆x2+ y2= 9和x2+y2—8x+ 6y+ 9= 0的位置关系是()A. 相离 B .相交C.内切 D .外切解析：选B.圆x2+ y2—8x+ 6y+ 9 = 0的圆心为(4, —3)，半径为4•两圆心之间的距离为5,T|3—4|<5<3 + 4 ,•••两圆相交.2. 若圆x2+ y2—2ax+ 4y+ (a2—5)= 0 与圆x2+ y2+ 2x—2ay+ (a2—3) = 0 相内切，贝V a的值为()A . —5 或2B . —1 或—2C.—1 D . —2答案：B3. 两圆x2+ y2= r2与(x—2)2+ (y+ 1)2= r2(r>0)外切，贝U r 的值是()A. -；5 B . 5C.-^5 D . 2 .'5答案：C4. ____________________________________________________________ 若圆x2+ y2= 4 与圆x2+ y2—2ax+ a2— 1 = 0 相内切，贝V a = __________________________ .解析：两圆的圆心和半径分别为01(o,o), r1= 2, O2(a,0), r2= 1,由两圆内切可得d(01.O2) = r1 —「2,即|a|= 1,所以a= ±1. 答案：±15. _______ 点P在圆O: x2+ y2= 1上运动，点Q在圆C: (x—3)2+ y2= 1上运动，则|PQ|的最小值为______ .答案：1♦时训1. 已知0<r< ,2+ 1,则两圆x2+ y2= r2与(x—1)2+ (y+ 1)2= 2的位置关系是()A .外切B .相交C.外离 D .内含解析：选B.设圆(x—1)2+ (y+ 1)2= 2的圆心为0，,贝U 0，(1,—1).两圆的圆心距离d(0, 0，)= 12+ —1 2= . 2.显然有|r —2|< 2< .2 + r.所以两圆相交.2. 圆C1: x2+ y2+ 4x—4y+ 7= 0 和圆C2：x2+ y2—4x—10y + 13= 0 的公切线有()A . 2条B . 3条C. 4条 D . 0条解析：选B.由x2+ y2+ 4x—4y+ 7 = 0,得圆心和半径分别为01(—2,2), r1= 1.由x2+ y2—4x—10y+ 13= 0，得圆心和半径分别为02(2,5), r1 = 4.因为d(01, 02)= 5, r1 + r2 = 5,1卩门+ r2= d(01, 02)，所以两圆外切，由平面几何知识得两圆有3条公切线.3.两圆x2+ y2—2x+ 10y+ 1 = 0, x2+ y2—2x+ 2y—m= 0 相交，贝V m 的取值范围是()A . (—2,39)B . (0,81)C. (0,79) D . (—1,79)解析：选D.两圆的方程分别可化为(x —1)2 + (y+ 5)2= 25, (x—1)2+ (y+ 1)2= m+ 2.两圆相交，得|5—m+ 2|<4<5 +' m+ 2,解之得一1<m<79.4•已知半径为1的动圆与圆C: (x—5)2+ (y + 7)2= 16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A • (x—5)2+ (y+ 7)2= 25B • (x—5)2+ (y + 7)2= 25 或(x—5)2+ (y+ 7)2= 9C. (x—5)2+ (y + 7)2= 9D. (x—5)2+ (y+ 7)2= 17 或(x—5)2+ (y+ 7)2= 15解析：选B.设动圆圆心为M(x, y),因为动圆M与定圆C相切.所以|MC|= 1+ 4 = 5 或|MC|= 4—1 = 3，代入坐标整理，得(x—5)2+ (y+ 7)2= 25 或(x—5)2+ (y+ 7)2= 9.5. 若圆(x —a)2+ (y—b)2= b2+ 1 始终平分圆(x+ 1)2+ (y+ 1)2= 4 的周长，贝Va、b 应满足的关系式是()A . a2—2a —2b—3= 0B. a2+ 2a + 2b+ 5 = 0C. a2+ 2b2+ 2a+ 2b + 1= 0D. 3a2+ 2b2+ 2a+ 2b+ 1 = 0解析：选B.利用公共弦始终经过圆(x+ 1)2+ (y+ 1)2= 4的圆心即可求得.两圆的公共弦所在直线方程为(2a + 2)x+ (2b+ 2)y—a2—1 = 0，它经过圆心(—1，—1)，代入得a2+ 2a + 2b + 5 = 0.6. 若集合A = {(x，y)|x2+ y2< 16}，B = {(x，y)|x2+ (y—2)2< a—1}且A n B= B，则 a 的取值范围是()A . a< 1B . a> 5C. 1 w a w 5 D . a< 5解析：选 D.由 A n B= B 知B? A，故a—1 w 4，即a< 5.7. 集合A= {(x，y)|x2+ y2= 4}，B= {(x，y)|(x—3)2+ (y—4)2= r2}，其中r>0，若A n B 中有且仅有一个元素，则______ r的值是 .解析：VA n B中有且仅有一个元素，•••圆x2+『=4 与圆(x—3)2+ (y —4)2= r2相切.当内切时，「32+ 42= |2—r|，解得r = 7.当外切时，「32+ 42= 2+ r，解得r = 3.答案：3或7&若圆x2+ y2—2ax+ a2= 2和圆x2+ y2—2by+ b2= 1外离，则a、b满足的条件是答案：a2+ b2> 3 + 2 29. ___________ 已知动圆M与y轴相切且与定圆A：(x—3)2+ y2= 9外切，则动圆的圆心M的轨迹方程是____ .解析：设点M(x，y)，动圆的半径为r，由题意，得|MA|= r + 3且r = |x|，: x—3 2 + y2= XI+ 3.当x>0时，两边平方化简得y2= 12x(x>0);当x<0时，两边平方化简得y= 0(x<0).答案：y2= 12x(x>0)或y = 0(x<0)10. 求与已知圆x2+ y2—7y+ 10= 0相交，所得公共弦平行于已知直线2x—3y—1 = 0，且过点(一2,3)，(1,4)的圆的方程.2 7解：公共弦所在直线斜率为 3，已知圆的圆心坐标为(0, 2)，所以两圆连心线所在直线—2 2+ 32- 2D + 3E + F = 0, 12+ 42+ D + 4E + F = 0, D E3 — 2 + 2 — 2 — 7 = 0,D = 2,解得 E =— 10,故所求圆的方程为 x 2 + y 2 + 2x — 10y + 21 = 0.F = 21.11. 已知两圆 x 2+ y 2— 2x — 6y — 1 = 0 和 x 2 + y 2— 10x — 12y + m = 0•求: ⑴m 取何值时两圆外切；(2)m 取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ 解：两圆的标准方程分别为(x — 1)2+ (y — 3)2 = 11, (x — 5)2+ (y — 6)2 = 61 — m. 圆心分别为 C 1 (1,3)、C 2(5,6). 半径分别为,11和-61 — m. (1) 当两圆外切时， -5 — 1 2+ 6— 3 2= .11+ 61 — m.解得 m = 25+ 10.11.(2) 当两圆内切时，因定圆的半径，11小于两圆圆心间距离 5，故有 61 — m — ,11 = 5.6 — 3 3 解得 m = 25 — 10 11.因为 kC 1C 2= =：, 5 — 1 4 容易验证，当b =13+ 3 '11,直线与后一圆相交， 故所求公切线方程为y = — 3x +13 — 5 -'11. 即 4x + 3y + 5.11— 13= 0. 12.已知圆A ： x 2 + y 2 + 2x + 2y — 2 = 0,若圆B 平分圆A 的周长，且圆 B 的圆心在直线 I : y = 2x 上，求满足上述条件的半径最小的圆 B 的方程.解：法一：设圆B 的半径为r ，因为圆B 的圆心在直线I : y = 2x 上，所以圆B 的圆心 可设为(t,2t),则圆 B 的方程是(x — t)2 + (y — 2t)2= r 2, 即卩 x 2+ y 2— 2tx — 4ty + 5t 2— r 2= 0.①4设切线方程为y =— §x + b ,则有4|尹 1 + 3 — b|解得b =乎总'". 7 一2-y为程-2X ,即3x + 2y — 7 = 0.设所求圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0，贝U所以两圆公切线的斜率是4 3.因为圆A的方程为x2+ y2+ 2x+ 2y—2= 0，②所以②一①，得两圆的公共弦所在直线的方程为(2 + 2t)x + (2 + 4t)y —5t2+ r2—2 = 0•③因为圆B平分圆A的周长，所以圆A的圆心(一1，—1)必须在公共弦上，于是将x=—3 21 21 31, y =—1代入方程③并整理得r2= 5t2+ 6t+ 6 = 5 t+ 5 2+ ~~，所以当t = —5时，r min3 2 6 2 21圆B的万程是x + 5 2+ y+ 5 2= y.法二：如图所示，由已知得A—1,—1), B在直线I: y= 2x上，连接AB,过A作MN 丄AB,且MN交圆A于M , N两点，所以MN为圆A的直径.因为圆B平分圆A的周长，所以只需圆B经过M , N两点•因为圆A的半径是2，设圆B的半径为r，连接MB,所以r = |MB|=JAB|2+ |AM|2=；AB|2+ 4•欲求r的最小值，只需求|AB|的最小值.因为A是定点，3 6 B是I上的动点，所以当AB丄I,即MN //I时，|AB|最小.于是，可求得B的坐标为一5, —5 ,B 的方程是x+ 3 2+ y+1 2= £•rmin。