计算机科学导论第二章__数制
第2章 数与数制
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第2章计算机中的数和数制
5．码制转换
反码通常作为求补过程中间形式。 正数原码、反码、补码表示方法相同。 1、以知[x]原，求[x]补 方法：符号位不变，数值部分逐位取反后末位加1。 2、以知[x]补，求 [x]原 方法： 求[ [x]补]补即可。 3、以知[x]补，求[-x]补 方法：连同符号位一起逐位取反后末位加1。
例：1000 1000(BCD)－ 0110 1001(BCD) = 0001 1001(BCD) 10001000 － 01101001 00011111 － 0 1 1 0 ……调整 00011001
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第2章计算机中的数和数制
2.3 符号数的表示及运算
一、有符号数和无符号数
无符号数最高位表示数值,而有符号数最 高位表示符号（正数用0,负数用1），其 他位表示数值位。 有符号数有不同的编码方式，常用的是 补码。
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第2章计算机中的数和数制
1. 原码
原码表示法：符号 位+ 绝对值 例如：n = 8bit 有符号数的原码表示。 X=45=0010 1101B [X]原= 0010 1101B X=-45 [X]原= 1010 1101B [+3]原码 = 0 000,0011 = 03H [- 3]原码 = 1 000,0011 = 83H [+0]原码 = 0 000,0000 = 00H [- 0]原码 = 1 000,0000 = 80H 0 的表示不惟一
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第2章计算机中的数和数制
(3)二进制数算术运算—除
计算机导论第四讲-计算机科学中的常用数制
(3) 若，按进位的产生顺序书写，得m进制小数部分； 否则，转到(2)，继续上述步骤。
例2-3 把十进制数0.75化为二进制、八进制、十六进制 形式。 解：(1) 把0.75化为二进制小数，过程如下： 进位(整数部分) 小数部分 0.75 1 0.5 m 2
0.75
(C)12 0.75=(0.C)16 0.0
16
例2-4 把十进制数5.3化为二进制小数形式。
解: 第一步：将5.3的整数部分化为二进制整数，有 5=(101)2 第二步：把5.3的小数部分化为二进制形式，过程如下: 进位(整数部分) 小数部分 m 0.3 2 0 0.6 1 0.2 (5.3)10=(101.01001 1001 1001 …)2 0 0.4 0 0.8 1 0.6 (以下重复)
例：一个4位十六进正整数(A1BC)16对应的数值为 10163+1162+1116+12=41404 表示十六进制的后缀字母为H, 本例中，该十六 进制数也可以表示为A1BCH。 十六进制的英文缩写为: HEX
6
2.2 四种进制正整数的相互转换 2.2.1 十进制正整数化为其它m进制数
算法：m连除取余 (1)记待转换的十进制正整数为a; (2) 用m除a, 即a/m; 将整数商仍记为a; 用m进制符号记录余数； (3) 若a=0, 则按余数产生的相反次序书写余数， 可得到对应的m进制数; 算法停止。 (4) 若a>0, 则转至步骤(2)。
将二进数化为八进制数时，只需从最低位开始，从 右向左，每三个二进制位一组，写出对应的八进制符 号。当二进制数的高位不足三位时，前面可以添0占位 。例如：
11111 110 101B 3765 O
3 7 6 5
计算机科学导论-第二章-数字系统
二数字系统数字系统(或数码系统)定义了如何用有限的符号来表示一个数字。
在不同的系统中，一个数字有不同的表示方法。
例如，这两个数字(2A)16和(52)8。
都是指同样的数量(42)10，但是他们的表示截然不同。
我们使用有限的数字符号(数码)来表示数字，这意味着数码需要重复使用。
一些数字系统已经在过去广为使用，并可以分为两类: 位置化系统和非位置化系统。
2.1 位置数字系统在位置化数字系统中，数字中符号所占据的位置决定了其表示的值。
在该系统中，数字这样表示:±(S k−1S k−2⋯S1S0⋅S−1S−2⋯S−i)b其值为n=±S k−1×b k−1+⋯+S0×b0+S−1×b−1+⋯+S−i×b−1其中，S是表示数字的字符集；b是底数(基数)，等于字符集S中的个数n位数的最大值为b n−12.1.1 十进制所谓十进制就是使用S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}十个符号来表示一个数。
±用于表示该数时正数还是负数。
•这些符号不能存储在计算机中•计算机对于正负数的存储方式不同十进制整数表示十进制实数表示2.1.2 二进制使用符号S={0,1}两个符号来表示一个数，称为二进制。
该系统下，符号被称为二进制位。
由于计算机由电子开关制成；仅有开和关两种状态，分别对应1和0；所以计算机中存储数据都是采用二进制模式存储的。
二进制整数二进制实数尽管二进制系统用于存储计算机数据，但是它并不便于在计算机外部表示数字，因为与十进制符号相比，二进制符号过长。
然而，十进制不像二进制那样直接显示存储在计算机中的是什么。
在二进制位数和十进制数字之间没有显然的关系。
正如我们看到的那样，它们之间的转换也不快捷。
为了克服这个问题，发明了两种位置化系统:十六进制和八进制。
2.1.3 十六进制在十六进制系统中，底b=16并且用16个符号来表示一个数。
字符集是S= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}。
《计算机科学导论》第2章 计算机基础知识
几种常用的进位计数制比较
十进制数 二进制数 十六进制数 八进制数
符号组成
0 ~9
0和1 和
0~9，A~F ，
0~7
基数 第K位权值 位权值
10
－ 10K－１
2
－ 2K－１
16
－ 16K－１
8
Ｋ－１ 8 Ｋ－１
加减运算 法则
逢十进一 借一当十
逢二进 一， 借一当 二
进一， 逢16进一， 进一 借一当16 借一当
逢八进一 借一当八
数制之间的转换
其它进制转换为十进制 二进制与八进制、 二进制与八进制、十六进制的相互转换 十进制数转换为其它进制数
其它进制转换为十进制
方法： 按进位计数制（ 位置计数法） 展开计算 方法 ： 按进位计数制 （ 位置计数法 ） 后得到十进制 例1：将二进制数 ：将二进制数1101.101转换为十进制数 转换为十进制数 解： （1011.101）2 ） =1×23+0×22+1×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3 × × × × × × × =8+0+2+1+0.5+0+0.125 =11.625
练 习
将（11.375）10转换为二进制数 ） 将十进制数301.6875转换为十六进制数 转换为十六进制数 将十进制数 将3ADH转换为十进制数 3ADH转换为十进制数 将10001110010001010B转换为十六进制 10001110010001010B转换为十六进制
计算机中为什么采用二进制？ 计算机中为什么采用二进制？
解： 2 ︳105 余数为1 2 ︳52 余数为1 余数为0 2 ︳26 余数为0 余数为0 2 ︳13 余数为0 余数为1 2 ︳6 余数为1 余数为0 2 ︳3 余数为0 余数为1 2 ︳1 余数为1 余数为1 0 余数为1 所以，（105） ＝（1101001 ，（105 1101001） 所以，（105）10＝（1101001）2
计算机导论 第二章完美总结
常用的数制表示方法
下标法 字母法
2.2.2 数制的表示
下标法
用小括号将要表示的数括起来， 用小括号将要表示的数括起来，然后在右括号外 的右下角写上数制的基数R 的右下角写上数制的基数R。 一般我们用（ 表示不同进制的数据。 一般我们用（ ）角标表示不同进制的数据。 十进制数用（ 表示， 如：十进制数用（ ）10表示， 二进制数用（ 二进制数用（ ）2表示 （1056.78）10，表示1056.78是十进制数 1056.78） 表示1056.78是十进制数 1056.78 756） 表示756 756是八进制数 （756）8，表示756是八进制数 1101.0101是二进制数 1101.0101） 表示1101.0101 （1101.0101）2，表示1101.0101是二进制数
2.2.2 数制的表示
几种进位计数制的表示和运算规则
数制 数码个数 基数 规则 权 形式表示 十进制 0,1,… 0,1,…,9 10 逢十进一 借一当十 10i Decimal 二进制 0,1 2 逢二进一 借一当二 2i Binary 八进制 0,1,… 0,1,…,7 8 逢八进一 借一当八 8i Octal 十六进制 0,1,… 0,1,…,9, A,B,C,D,E,F 16 逢十六进一 借一当十六 16i Hexadecimal
2.2.3 数制之间的转换
例：将（0.706）D转换为二进制数。
0.706 × 2 = 1.412 • • • • • •1 • • • • • •b−1 0.412 × 2 = 0.824 • • • • • •0 • • • • • •b− 2 0.824 × 2 = 1.648 • • • • • •1 • • • • • •b−3 0.648 × 2 = 1.296 • • • • • •1 • • • • • •b− 4 0.296 × 2 = 0.592 • • • • • •0 • • • • • •b−5 0.592 × 2 = 1.184 • • • • • •1 • • • • • •b−6 0.184 × 2 = 0.368 • • • • • •0 • • • • • •b−7 0.368 × 2 = 0.736 • • • • • •0 • • • • • •b−8 0.736 × 2 = 1.472 • • • • • •1 • • • • • •b−9
计算机科学导论-第二章-数字系统精选全文
（100101.01）2=1×25+0×24+0×23+ 1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2
• 和式
n1
(N)10
ai 10i
im
二、 其他进制
其它进制的计数规律可看成是十进制计数制的推广， 对任意进制 R，数N可以表示成按权展开式。
(N) R=(an-1 an-2 … a1 a0. a-1 a-2… a-m)R
向左，小数部分自左向右，按每四位为一组，不 足四位用0补齐，每组用相应的十六进制数写出。
• 十六进制转二进制
– “一分为四”法 – 方法：每位十六进制数用四位二进制数代替。
• 二进制转十六进制
– 例2-8 将（1001010111.110110111）2转换为 十六进制数。
0010 0101 0111.1101 1011 1000
• 下标法
– 用小括号将要表示的数括起来，然后在右括号外的 右下角写上数制的基数R。
– 一般我们用（ ）角标表示不同进制的数据。 – 如：十进制数用（ ）10表示，
二进制数用（ ）2表示 （1056.78）10 表示1056.78是十进制数 （756）8 表示756是八进制数 （1101.0101）2 表示1101.0101是二进制数
课堂练习： 1. （1101101.01）2=（ ？）8 2. （1101101.01）2 =（ ？）16 3. (54A.69) 16 = ( ? ) 2 4. (54A.69) 16 = ( ? ) 8
本章小结
理解数字系统的概念 重点掌握数制及数制之间的转换
2. R＝8 八进制 数码个数:8个 0,1,2,3,4,5,6,7
第2章计算机中数制及转换
第2章计算机中数制及转换在计算机科学中，数制是用于表示数字和执行数学运算的一种系统。
计算机中最常用的数制是二进制（base-2），但也存在其他数制如十进制（base-10）和十六进制（base-16）。
在本章中，我们将探讨计算机中的不同数制及如何进行数制转换。
1. 二进制数制（Binary System）二进制数制是计算机中最基础的数制，因为计算机中的所有数据和运算都是以二进制形式进行的。
二进制由两个数字组成：0和1、每个二进制位（也称为比特）表示一位数字，并且位权从右向左递增。
例如，二进制数1101可以转换为十进制数132. 十进制数制（Decimal System）十进制数制是我们常用的数制系统，由0到9的十个数字组成。
每个十进制位表示一位数字，位权从右向左递增。
例如，十进制数1942可以表示为：1942=1*1000+9*100+4*10+2*13. 八进制数制（Octal System）八进制数制由0到7的八个数字组成。
每个八进制位表示三位二进制位。
八进制数制在计算机中不如二进制和十六进制常用，但在一些特定的编程语言中仍然存在。
例如，八进制数57表示为十进制数474. 十六进制数制（Hexadecimal System）十六进制数制由0到9和A到F的16个数字组成。
每个十六进制位表示四位二进制位。
十六进制在计算机科学中非常常见，因为它可以更简洁地表示二进制数。
例如，十六进制数3A7表示为十进制数9355. 数制转换（Number System Conversion）在计算机中，常常需要进行不同数制的转换。
下面介绍了一些常见的数制转换方法：5.1.二进制转十进制将一个二进制数转换为十进制，只需根据位权逐位相乘，并将结果相加。
例如，二进制数1101转换为十进制数的计算过程如下：1*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0=8+4+0+1=135.2.二进制转八进制或十六进制5.3.十进制转二进制将一个十进制数转换为二进制，可以从左向右依次对每一位除以2，并将余数从右向左排列。
第2章基础知识(计算机专业导论第三版40)
三位二进
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2.2 数的码制
2.2.1 机器数和真值 机器数：一个数连同其符号一起在 机器中的表示。 真 值：机器数的数值。
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8位微机中的带符号数： D7 D6 D5 D4 D3 D2 D1 D0
符号位
数值位
0 D7 =
1
正数 负数
机器数 01010010B = 11010010B =
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10进制16进制 16进制10进制 10进制X进制 X进制10进制
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小结数制转换
•十进制=〉其他进制 整数部分除 基数倒取余、小数部分乘基数取整
•其他进制 =〉十进制 按公式展开
•二进制 〈=〉十六进制 四位二进 制对应一位十六进制
•二进制 〈=〉八进制 制对应一位八进制
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2.1.1 几种 进制数 • 十进制——符合人们的习惯 • 二进制——便于物理实现 • 十六进制——便于识别、书写
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十进制数的两个主要特点：
（1） 有十个不同的数字符号：0, 1, 2, … 9。
（2）遵循“逢十进一”原则。
一般地，任意一个十进制数N都可以表示为：
N=Kn-1×10n-1+Kn-2 ×10n-2+······+K1×101+K0×100 + K-1×10-1+K-2×10-2+······+K-m×10-m =
真值 +82 82
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2.2.2 带符号数的三种表示方法
（1）原码 最高位为符号位 0 正数 1 负数 后面n-1位是数值。
[+4]原 = 0 000 0100B