2计算机科学导论第二章-数字系统

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整数
Figure 2.3 在十六进制系统中使用位置量表示一个整数
通常不使用十六进制系统表示一个实数
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Example 2.6
与十进制数686等值的十六进制数 (2AE)16.
相等的十进制数为 N = 512 + 160 + 14 = 686.
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其中，S是一套符号集， Si是数码（数字符号） ， b是底或基数（数码的个数）. bi：权（数值中每一固定位置对应的单位）
计数规则：逢基数进一
例： (123.45)10 = 1×102+2×101+3×100+4×10-1+5×10-2
(101.01)2 = 1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2
与(24)8相等的二进制数是多少? 解：
将每个八进制数码写成对等的二进制位组
2 → 010 4 → 100 结果是 (010100)2.
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八进制-十六进制的转换 Octal-hexadecimal conversion
Figure 2.12 八进制与十六进制的互换 （二进制换为二进制数，
有一个变通的方法，即把这个数分解为下列二进制
位置量对应数的和:
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Example 2.18
当分母是2的幂次时， 用类似的方法可以把十进制小数转换为二进制:
结果是 (0.011011)2
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二进制-十六进制的转换 Binary-hexadecimal conversion
并且最大的20位二进制数1,048,575. 注意，可以用19位表示的最大的数是524287,
它比999,999小. 因此需要20位.
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2-3 非位置化数制系统 NONPOSITIONAL NUMBER SYSTEMS
尽管非位置化系统并不用在计算机中, 但我们给出简 单的介绍作为和位置化数制系统的比较.
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2-1 引言 INTRODUCTION
数字系统（数制）定义了如何用独特的符号来表示一 个数字.
在不同的系统中，数字有不同的表示方法.
例如，这两个数字 (2A)16 和 (52)8 都是指同样的数量 (42)10, 但是它们的表示截然不同.
一些数制系统已经在过去广为使用，并可以分为两类：
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二进制系统 The binary system (以2为底)
二进制binary 来源于拉丁词根 bini (二). 在该系统中，底b = 2, 并且用两个符号来表示一个数
S = {0, 1}
该系统中的符号常被称为二进制数码或位
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整数
Figure 2.2 在二进制系统中使用位置量表示整数
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Example 2.23
找出二进制数码的最小数，用于存储一个最大6个数 码的十进制整数. 解： k = 6, b1 = 10, b2 = 2.
x = 「k × (logb1 / logb2) = 「6 × (1 / 0.30103) = 20.
最大的6数码十进制数是 999,999 ，
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Example 2.10
如何将八进制数 (23.17)8 转换为十进制数.
在十进制中 (23.17)8 ≈ 19.234. 再一次, 我们把7 × 8−2 = 0.109375四舍五入.
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十进制到其他进制的转换 除基取余法
Figure 2.7 转换十进制的整数部分到其他进制
结果是 0.634 = (0.5044)8. 注意，乘以8 (以8为底).
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Example 2.16
如何将十进制数 178.6转换为十六进制数，且精确到 1位小数.
结果是178.6 = (B2.9)16 ，
注意，以16为底时除以或乘以16.
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Example 2.17
位置化数制和非位置化数制. 我们的主要目标是讨论位置化数制系统，但也给出非 位置化数制系统的例子.
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2-2 位置化数制系统 POSITIONAL NUMBER SYSTEMS 在位置化数制系统中，符号所占据的位置决定 了其表示的值。
它的值是:
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位置化数制系统
结果是 126 = (176)8.
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Example 2.13
如何将十进制数126转换为十六进制数.
一边连续寻找除以16得到的商和余数，一边左移. 结果是126 = (7E)16
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例：将十进制整数（105）10转换为二进制整数。
解： 2 ︳105 2 ︳52 余数为1 2 ︳26 余数为0 2 ︳13 余数为0 2 ︳6 余数为1 2 ︳3 余数为0 2 ︳1 余数为1 0 余数为1 所以，（105）10＝（1101001）2
数 (4E2)16.
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Example 2.20
与十六进制数(24C)16相等的二进制数是多少? 解： 将每个十六进制数码转换成4位一组的二进制数: 2 → 0010, 4 → 0100, C → 1100
结果是 (001001001100)2.
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二进制-八进制的转换 Binary-octal conversion
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八进制系统 The octal system (以8为底)
八进制 octal 来源于拉丁词根 octo (八). 在该系统中，底 b = 8 ，并且用8个符号来表示一个数. 字符集是， S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
通常不使用八进制系统表示一个实数
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Example 2.11
如何将十进制数35转换为二进制数？
从这个十进制数35开始，一边连续寻找除以2 得到的商和余数，一边左移. 结果是 35 = (100011)2.
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Example 2.12
如何将十进制数126转换为八进制数.
一边连续寻找除以8得到的商和余数，一边左移.
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Example 2.4
二进制数 (11001)2，下标2表示底是2.
相等的十进制数是 N = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25.
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实数
Example 2.5
与十进制数5.75等值的二进制数 (101.11)2.
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十六进制系统 The hexadecimal system (以16为底)
非位置化数制系统仍然使用有限的数字符号，每个 符号有一个值. 但是，符号所占用的位置通常与其值无关，每个符 号所占的位置是固定的. 为求出该数字的值，我们把所有符号表示的值相加.
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该系统数字表示为:
并有值为:
与前面提到的相加规则有一些例外，如例2.24所示.
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下标法：用小括号将所表示的数括起来，然后在 右括号右下角写上数制的基R。

字母法：在所表示的数的末尾写上相应数制字母。
进制
二进制 八进制
符号
B (Binary) O (Octal)
数码
0~1 0~7
十进制 十六进制
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D (Decimal)
0~9
H (Hexadecimal) 0~9,A~F
Example 2.2
在十进制系统中使用位置量表示整数−7508.
(
) Values
可以用k表示的十进制整数的最大值？ 答案是Nmax=10k-1。 如果k=5，那么这个最大值是Nmax=105-1=99999.
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实数
Example 2.3
以下显示了实数+24.13的位置量.
十六进制 hexadecimal 来源于希腊词根hex (six) 和拉丁 词根 decem (ten). 在该系统中，底b = 16 ，并且用16个符号来表示一个数. 字符集是， S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F} 注意符号A, B, C, D, E, F 分别等于10, 11, 12, 13, 14, 15. 该系统中的符号常被称为十六进制数码.
Figure 2.10 二进制与十六进制的互换
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Example 2.19
如何将二进制数 (10011100010)2转换为十六进制数 解： 首先将二进制数排为4位一组的形式:
0100 1110
0010
注意:最左边一组可能是1到4位不等（可以补零）.
根据表2.2 所示的值对照每组等量转换得到十六进制
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整数
Figure 2.1 在十进制系统中使用位置量表示整数
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Example 2.1
在十进制系统中使用位置量表示整数+224.
注意， 在位置 1 的数码 2 值为 20 ，但是在位置 2 的 同一个数码其值为200。 通常我们省略掉的加号，实际上是隐含的.
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十进制系统The decimal system (以10为底)